超级画板教学于中学数学论文

超级画板教学于中学数学论文 篇1：

常见中小学数学教学软件的比较

目前，在中小学中使用的数学教学软件很多，但是怎么选择合适的数学教学软件来提高教学效率，取得教学效果的最优化呢？本文以证明勾股定理为例，对万用拼图实验室MP_Lab、平面几何实验室PG_Lab、动态数学实验室DM_Lab(以下简称Lab系列)，几何画板，Z+Z智能教育平台——超级画板三种教学软件进行比较，为教师在教学中选择合适的教学软件提供参考。

Lab系列是由澳门培道中学副校长韦辉梁先生开发的软件，Lab系列中的MP_Lab适用于小学《图形的认识》的教学，PG_Lab适用于小学《认识图形》和中学《平面几何》的教学，DM_Lab适用于中学《平面几何》、高中代数函数和解析几何的教学。

几何画板软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的几何软件。几何画板适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）的教学。

Z+Z智能教育平台——超级画板是由中国科学院院士张景中教授主持策划，由东方科技集团投资开发的智能教育软件。“超级画板”兼顾了几何与代数的教学，可应用在代数运算、函数图像、概率统计、算法编程、解析几何、立体几何等方面。

笔者选取了新课标数学八年级下册第18章关于勾股定理的证明这一内容来比较三种软件的应用情况。勾股定理的内容是：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b, 斜边长为c, 那么a2+b2=c2。

这里使用书中探究框里提出的证明方法，即证明直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积，如图1所示,S3=S2+S1。下面将对三种软件在证明过程中的使用进行比较。

一、画一个直角三角形

1.Lab系列

（1）单击直角三角形按钮。

（2）在作图框内任意两点处点击，得到线段AB。

（3）移动鼠标可见一垂直线段，在作图框内任意位置点击鼠标，即做出直角三角形ABC。

2.几何画板

（1）点击画线工具，在画图区任意区域点击鼠标两次，画出线段。点击选择工具，选中线段的一个端点，单击菜单“显示→对象的标签”，将此端点命名为A。重复此操作，将线段另一端点命名为B，完成线段AB。

（2）选中点A和线段AB，单击菜单“构造→垂线”。

（3）在画线段的状态下，单击B点，松开左键，移动光标到垂线。

（4）选中垂线，单击菜单“显示→隐藏对象”，隐藏垂线。

（5）连接AC，即做出直角三角形ABC。

3.超级画板

（1）单击工具栏中的画笔按钮，在作图区任意合适位置点击一下，拖动鼠标到另一点处松开，画出线段AB。

(2)单击工具栏中的选择按钮，选中线段AB后单击菜单“作图→多边形→直角三角形”命令，即做出一个直角三角形ABC。

小结：三种软件均可通过执行对应的作图菜单项或工具栏做出点、线、圆等几何对象，并且做出的图形都是动态的。对于这步操作，用几何画板比较麻烦，用超级画板最简便，用Lab系列做出的图有一缺陷：画出的线可能会有细小的齿，所以在作图时需要等线变得光滑再点击鼠标。

二、分别以直角三角形三边为边长作三个正方形

1.Lab系列

（1）单击正方形按钮。

（2）在直角三角形ABC一条边的两个顶点处分别点一下。

（3）移动鼠标见一垂直线段，在作图框内任意位置点击鼠标，即画出一个正方形。

（4）按此步骤作出另外两个正方形。

（5）选择一种颜色，用鼠标点一下填色按钮。依次用鼠标点击正方形的顶点，最后一点双击，即可在正方形内部填充上已选的颜色，使软件能够据此求出正方形的面积。

2.几何画板

（1）双击点B，标记为中心点。选中点A和线段AB，单击菜单“变换→旋转”，在弹出对话框中，输入参数值90。。按“旋转”按钮，绘制出线段并将另一端点标记为I。

（2）同法绘制出另一条边，将另一端点标记为H。单击工具箱上的画线工具，连接点A和点H，绘制出线段HA，即做出正方形ABIH。

（3）按此步骤做出另外两个正方形。

（4）单击工具箱上的选择工具，同时选中正方形的顶点，单击菜单“构造→多边形内部”，使软件能够据此求出正方形的面积。

3.超级画板

（1）逆时针选取三角形一条边的两个顶点（正方形另外两个顶点的位置在所选线段的方向按逆时针旋转的一侧），单击菜单“作图→常见多边形→正方形”命令做出一个朝外的正方形。

（2）按此步骤做出另外两个正方形。

小结：Lab系列、超级画板都提供了画正方形的命令，而几何画板中，没有现成的正方形工具供教师直接使用，需要教师自己构造正方形。此步骤仍然是使用超级画板相对简单一些，但一定要注意必须逆时针选取顶点，否则做出的正方形方向就会朝内，与三角形叠加在一起。用Lab系列和几何画板稍复杂一些，用Lab系列做出的正方形只有顶点和边界，不包含内部，不能测量面积，所以需要用填色按钮分别将三个正方形内部填色，而几何画板需要旋转线段来做出正方形，同时需要构造正方形内部。

三、测量三个正方形的面积

1.Lab系列

（1）点击菜单“测量→圆或多边形的面积”。

（2）点一下欲测量的正方形，屏幕弹出测量值表，显示出该正方形的面积。

（3）重复以上步骤2次，测量值表里会依次列出三个正方形的面积，将以三角形直角边为边长的正方形分别命名为S1、S2，以斜边为边长的命名为S3。

2.几何画板

点击左侧选择工具，选中要测量的图形，单击菜单“度量→面积”，所求图形面积显示在作图区域的左上角。重复2次此步骤求出另外两个正方形面积，将以三角形直角边为边长的正方形分别命名为S1、S2，以斜边为边长的命名为S3。

3.超级画板

分别选取正方形四个顶点，单击菜单“测量→多边形的面积”命令，测量出正方形的面积。在屏幕上会显示测量值。

重复以上步骤2次求出另外两个正方形面积，将以三角形直角边为边长的正方形分别命名为S1、S2，以斜边为边长的命名为S3。

四、计算较小两正方形的面积之和

1.Lab系列

在测量值表的最后一行的测量项目文本框里输入S1+S2，回车后就会在测量值一列的最后一行中显示出两个小正方形面积之和。

2.几何画板

执行菜单“度量”→“计算”，调出计算器。通过单击计算器的数字和符号按钮、工作区中的度量值，计算较小两个正方形的面积之和。

3.超级画板

单击菜单“测量→测量表达式”命令，在弹出的“测量表达式”对话框中，输入求和表达式S1+S2，即可求出两个小正方形面积之和。

小结：三种软件在进行正方形面积测量和简单的加法计算时基本没有区别。

改变直角三角形的大小，观察发现两个小正方形面积之和始终等于大正方形的面积。至此分别用三种软件对勾股定理的证明完毕，如图2、图3、图4。

本文选取了目前在中小学数学教学中使用较多的三种教学软件：Lab系列、几何画板、超级画板，并对它们做了比较。这三种软件都可生成动画，能对所有的几何对象进行跟踪与生成相应的轨迹，并都能制作课件，方便教师的演示。但它们又有其各自的特点：Lab系列功能并不多，全部作图功能都以图标形式放在工具栏中，十分方便、实用。几何画板专攻几何教学，针对性很强。超级画板兼顾几何与代数的教学，并具有自动推理、编程与宏工具的制作等高级功能，可选择空间比较大，但是需要教师掌握的功能也很多。另外，几何画板、Lab系列对系统要求比超级画板低。因此，教师应结合所授课程内容、自己能够接受的操作程度等方面来选择合适的教学软件，以达到良好的教学效果。

参考文献

[1]王晓波,张景中,王鹏远.“Z+Z智能教育平台”与数学课程整合[J].信息技术教育,2006,(06).

[2]乔贵春. 利用“Z+Z”智能教育平台推进信息技术与数学课的整合[J].中国教育技术装备,2006, (07).

[3]魏志雄.几何画板在小学数学教学中的应用实践[J]. 教育信息化,2006, (09).

[4]陆亚彬.利用几何画板实现深度教学[J]. 陕西教育,2006,(Z1).

（作者单位：北京师范大学教育技术学院）

作者：纪　颖　鲁子荟　褚　湛

超级画板教学于中学数学论文 篇2：

3DS Max软件在中学数学立体几何教学中的应用

[摘  要] 立体几何一直是中学（特别是高中）数学教学的重点内容和难点内容，在中学阶段，学生的空间想象力还未发展成熟，对于理解立体几何存在难度. 文章介绍了三维动画制作软件3DS Max的基本功能与优点，并根据教学实例说明了该应用软件的可行性和必要性.

[关键词] 中学数学;立体几何;3DS Max软件

[?] 引言

立体几何是中学数学教学内容，同时也是重点和难点，目的在于从无到有地培养学生的空间想象力，即对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力. 但在实际教学过程中，传统的粉笔作图教学方式很难表达出空间图形的立体感，因而对于空间想象力还处在初级阶段的大部分学生难以理解，影响了他们对立体几何知识的学习和领悟. 随着教育理念、基础设施和师资力量的增长，不少教师已经将国内外针对数学学科教育开发的软件，如几何画板、GeoGebra、超级画板等引入课堂，取得了一定的成果，但在立体几何领域收效有限. 究其原因，是这些软件的主要用途在于平面几何，并没有针对立体几何绘图的优化和设计，特别是没有表现动态视角下的立体几何的功能，但3DS Max软件的出现很好地解决了这一问题. 文章旨在将三维动画制作软件（3DS Max软件）引入中学数学立体几何的教学，配合传统数学教学方式帮助学生更好地进行学习和理解.

[?] 3DS Max软件功能简介

3D Studio Max软件，常简称为3D Max软件或3DS Max软件，是Discreet公司开发的（后被Autodesk公司合并）基于PC平台的三维动画渲染和制作软件. 在最新版的3DS Max（2018）中，能够提供三维造型、涉及材质、环境布置、动画制作等功能，上至好莱坞电影特效的制作，下至简单图形的绘制，其已经广泛应用于广告、影视、工业设计、建筑设计、三维动画、多媒体制作、游戏、辅助教学以及工程可视化等领域. 3DS Max软件在中学数学立体几何教学中有以下优点.

1. 3DS Max软件能够完成中学数学立体几何教学内容的设计与实现

中学数学中立体几何教学的目的是培养学生的空间想象力，最终使学生能够达到：

（1）根据空间几何形体或根据表述几何形体的语言、符号，在大脑中展现出相应的空间几何图形，并能正确想象其直观图.

（2）根据直观图在大脑中展现出直观图表现的几何形体及其组成部分的形状、位置关系和数量关系.

（3）对头脑中已有的空间几何形体进行分解、组合，产生新的空间几何形体，并正确分析其位置关系和数量关系.

对应于中学教材，特别是人教版必修2中的第一章“空间几何体”与第二章“点、直线、平面之间的位置关系”，要能够很好地表现出这些空间图形的立体感，同时能够动态展开（三视图、旋转体）. 3DS Max软件的功能可以实现中学数学立体几何教学的全部要求.

2. 3DS Max软件易上手，学习资料丰富，交流方式多

与大部分人对专业动画软件的印象不同，3DS Max软件其实是一款很容易上手的软件. 以笔者自身为例，从软件的下载安装到自学再到完成第一次应用于圆锥曲线的课程设计，仅仅用了一周时间. 3DS Max软件的制作流程非常简洁高效，而中学数学立体几何教学所需要用到的功能其实很少，只要能够针对性地学习，很快就能够学会相关的功能. 在进行几次初步尝试后，就能够完成教学内容的设计. 同时，在学习3DS Max软件方面，不需要有专门学习的人士指导，互联网上有丰富的学习资料，还可以通过百度贴吧、网络论坛等媒介交流制作心得.

3. 3DS Max软件制作流程短，完成效果好

这也是3DS Max软件在进行立体几何教学中比起常规数学教学软件如几何画板等一个不可替代的优势. 學会3DS Max软件一些简单的命令后，完成立体几何教学内容的动画（绘制空间图形→设置关键帧→设置摄像机→完成渲染）仅仅需要几个小时. 同时在绘制空间图形、表现空间动画方面也更胜一筹，3DS Max软件可以通过设置完成透视图的表现，其中还有布尔运算能够制作出切面的图案甚至动画.

[?] 3DS Max软件的应用实例——不规则几何体的切面例题讲解

1. 教学内容设计

笔者在中学数学教学过程中，发现学生因空间想象力不足，在理解不规则几何体的切面上存在一定难度，以下即为典型的不规则几何体的切面例题.

图（图1）中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得. 现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ）

A. ①② B. ①③

C. ①④ D. ①⑤

该例题的正确答案是D，对于空间想象力强的学生而言，这是一道比较简单的题目. 然而在笔者执教的两个高一班级中，还是有40%左右的学生没能做对. 其中，学生比较容易错误选择的答案是A（约27%）和B（约13%），且这些学生普遍反映，经过笔者的初步讲解也无法很好地理解截面图形为何呈选项⑤的弧形. 该题目讲解的难度大在于使用黑板绘制图形，用平面表达立体效果差;而现实中很难找到这样一个不规则几何体供学生参考，凭空讲解对于这部分学生来说难以理解. 因此笔者决定尝试使用3DS Max软件进行立体动态演示，帮助这些空间想象力不足的学生直观这一不规则几何体实际被切割时的截面图形.

笔者使用的是3DS Max（2014）试用版，目的是多视角展示出这一不规则几何体被竖直平面切割时可能呈现的图形.

第一步是建立模型. 使用“创建—几何体—标准基本体—圆柱体”得到一个圆柱体，再同样使用该功能创建一个底面与之前创建的圆柱体的底面相同、高相等的倒立的圆锥体. 选中创建的圆锥体，使用“创建—复合对象—布尔—差集（B-A）”功能，再选中圆柱体，即可得到例题中的不规则几何体.

第二步是创建竖直平面，并用其截取该不规则几何体. 使用“创建—几何体—标准基本体—平面”绘制一个竖直平面，并让该平面和不规则几何体保持一定距离. 选中平面，使用“设置关键点—拖动时间轴—移动平面—设置关键点”功能，让平面在设定的时间内均匀地切割该不规则几何体.

第三步是多视角下切割动画的输出. 笔者认为一个从斜上方俯视和一个旋转的视角可以完整描述该不规则几何体被切割的情形. 使用“创建—摄像机—自由”绘制一个从右上方俯视的视角，命名为“摄像机1”，再通过“渲染—渲染设置—活动时间段—摄像机1”得到俯视视角下的切割动画. 使用同样的方式创建一个“摄像机2”，视角调整为平视该不规则几何体，再通过“渲染—渲染设置—活动时间段—摄像机2”得到平视视角下的切割动画. 最后选中平面，使用“创建—复合对象—布尔—交集”得到平面截该不规则几何体的图形. 重复上述渲染的步骤，得到俯视视角下的切割动画以及平视视角下的切割动画.

第四步是视频制作. 运用会声会影将4个镜头输出的动画整合到一个画面，并进行简单的文字解释以及后期制作，配合教案完成整个易错题例题的解析课教学内容的设计.

2. 实际教学

笔者分别在执教的两个高一班级进行了这个例题的讲解课，授课按照“例题错选分析—视频播放讲解—学生交流反馈”的流程进行. 在视频播放讲解中，利用3DS Max软件制作的动画视频，使得学生对于该不规则几何体被竖直平面所截得到的图形有了一个全方位动态的了解，随着竖直平面从该不规则几何体外部接触到切割再到离开，其截面呈现出何种图形，都能直观地在视频中看到. 其中，视角一是俯视视角，视角二是平视视角. 图2和图3展示了动画中的两个瞬间截图，通过截图可以知道答案是D，①和⑤是該不规则几何体被竖直平面切割可能出现的图形.

3. 反馈与效果评价

即便学生普遍反映喜欢这类视频教学形式，但是对于将3DS Max软件引入高中数学立体几何教学的效果如何，笔者仍然通过一些简单的问卷做了进一步的了解. 在教学环节的第三部分，笔者发放了一份自己设计的教学问卷（两个班级共计学生87名，回收问卷87份，有效问卷87份）.

备注：“5分”表示“非常赞同”，“4分”表示“比较赞同”，“3分”表示“无所谓”，“2分”表示“比较不赞同”，“1分”表示“非常不赞同”.

笔者利用Excel对回收的问卷进行了简单的处理，得到的结果如表2所示.

从处理的数据来看，总体上每个序号的平均分都超过了3分，说明此次将3DS Max软件引入高中数学立体几何教学是一次成功的尝试，学生对于该类教学方式产生了较大的兴趣，并且不仅能够更好地理解该例题，对于自身空间想象力的提高也具有帮助. 同时，3个问题的得分基本上相差不大，但还是呈降序排列，分布上“序号1”得到了最多的5分，说明了该类视频教学形式能够很好地引起学生的兴趣，但想要学生完全理解习题、提高空间想象力，难度仍然很大，还需要教师更进一步地努力和尝试.

[?] 小结

诚然，3DS Max软件在中学数学立体几何教学中具备一些传统数学教学软件所不具备的优势，同时其功能强大、易于上手、便于操作的可行性和必要性也让我们看到了其应用于中学数学立体几何教学的前景. 3DS Max软件在表现空间几何体、展现动画过程有着其余软件不可替代的优势，其引入中学数学立体几何教学可以帮助学生突破传统教学认知空间的局限性. 但在使用过程中应当注意其作用在于吸引学生的注意力和兴趣、帮助学生理解空间几何体、提高学生的空间想象力，不能让学生过分依赖3DS Max软件而忽视或者疏于自身的思考.

作者：杜宁贝

超级画板教学于中学数学论文 篇3：

人工智能时代的初等数学研究

【摘 要】基于使用工具的不同，文章将初等数学研究划分为“石器时代”“农业时代”“智能时代”三个阶段，智能时代需要智能工具，智能工具的产生取决于数学现代化的实现，其中数学机械化研究是实现数学现代化的关键。基于目前的数学机械化研究成果，结合中学数学的实际需求，文章列举了丰富的实例，涉及平面几何、不等式、三角函数等内容，充分展示人工智能在探索数学结论、自动命题等方面的应用。

【关键词】人工智能;初等数学;数学机械化;自动命题

【作者简介】彭翕成，博士，数学科普作家，主要从事数学文化传播和数学教育技术的普及;曹洪洋，主要从事计算机辅助数学探索研究。

一、研究背景

1950年，图灵在论文《计算机器与智能》中提出“机器能否像人一样思考？”的问题[1]，引起较大反响。1956年，麦卡锡、香农、明斯基等科学家在美国发起举行达特茅斯会议，首次提出“人工智能”，希望能模仿或扩展人类学习以及其他方面的智能，发展类人智能机器，标志着一门新兴学科正式诞生[2]。之后几十年，人工智能发展起起落落[3]，有过发展繁荣，也曾遭遇瓶颈，但最终于近年大放异彩。继1997年超级计算机深蓝战胜国际象棋世界冠军之后，2016年，阿尔法围棋（AlphaGo）击败人类围棋世界冠军，人机博弈举世瞩目。因此，有专家称，人工智能时代已经到来。

2017年至2019年，人工智能连续三年被写入我国《政府工作报告》。为抓住人工智能发展机遇，国务院印发《新一代人工智能发展规划》，系统部署了我国人工智能发展的总体思路、战略目标、主要任务及保障措施，在2030年抢占人工智能全球制高点。不仅在中国，美国、英国、日本、德国、韩国等国家也将人工智能上升为国家战略，出台了相关战略、计划[4-5]。

人工智能包含但不限于以下课题：自然语言理解、数据库的智能检索、博弈、机器人学、自动程序设计、智能解答等。本文研究属于智能解答领域的分支，主要研究利用计算机自动命题以及解题。

解题研究是数学教学中重要的组成部分。现在的考试繁多，题目需求量大，而且要求试题要有新意，对命题人要求很高，如果用计算机自动命题，可不受已有题目的干扰，创新性强。用计算机解题还可以与已有题库网站形成互补，能解决题库中没有的题目。对于题库已有的题目，计算机解答系统也可生成解答，通过对照检验，检测原有解答是否正确，还可以给学习者提供多种解答思路。这一研究成果如果能应用推广，必将为教师教学提供有效的帮助，同时也为智能批改、学习诊断等研究打好基础。

目前人工智能的研究力量主要来自高校、科研院所及一些大的计算机企业，而初等数学的研究力量主要是中学数学教师，这两者交集较少，因此有必要在这两者之间搭建沟通的桥梁，使得先进成果得到更好的应用。

二、初等數学研究的三个时代

初等数学研究历史漫长，但从研究手段来说，却没有太大变化。随着计算机的出现，特别是近年来智能技术的发展，研究手段也得到了很大的发展。根据研究手段的变化，笔者认为，可将初等数学研究的历史分为三个时代，或者是三个阶段。

（一）赤手空拳的“石器时代”

在很长的一段时间，数学研究被认为只需一张纸、一支笔就够了，能不能做出有用的科研成果，关键取决于研究者下了多少功夫。由于使用的工具十分有限，因此创新极不容易。这一阶段我们称为 “石器时代”，其特点是几乎没有工具辅助。

（二）机器辅助的“农业时代”

计算机出现后，自然被用于数学研究。在初等数学研究中，几何画板、超级画板、网络画板、Geogebra等工具的应用越来越普遍。绘制几何图形是这些软件的基本功能之一，其通过绘制图形测量相关数据，拖动点或参数发现变化中的不变量，从而得出结论。实践表明，类似动态几何软件的出现，较之前的研究效率得到很大的提高，发现一些新结论也比以前更容易[6]。这一阶段我们称为 “农业时代”，其特点是应用了一些辅助工具帮助人们进行数学研究，但研究的效率还不是很高，成果出产较慢。

（三）批量生产的“智能时代”

科技的发展日新月异，特别是以阿尔法围棋（AlphaGo）为代表的智能技术举世瞩目[7]。能不能将这些新技术应用于中学数学研究成为人们关注的焦点。这一新的阶段我们称为“智能时代”，其特点是使用智能工具，提高了研究效率，扩展了研究深度和广度。而要真正实现这一目标，智能工具只是负责具体执行，根本原动力在于努力实现数学现代化。

三、数学机械化或算法数学

什么是数学现代化，怎样实现数学现代化，这是每个数学工作者应该关注的问题。数学家吴文俊院士曾提出一个令人深思的问题：农业和工业这样的体力劳动能机械化，数学研究这样的脑力劳动，能否机械化？[8]所谓机械化，吴文俊院士认为无非就是刻板化和规格化。由于简单刻板，因而可以让机器来实现，又由于往往需要反复千百万次，超出了人力的可能，因而又必须借助机器来实现。

吴文俊院士进一步指出，数学机械化在中小学课堂就接触过，在小学用纸笔进行的加减乘除四则运算，就完全是机械化的，正因为如此，才有可能在17世纪巴斯喀利用齿轮转动制造成加法机器，之后莱布尼茨又把它改进成乘法机器。而到现代，四则运算已可以在电子计算机上实现。如果没有小学那种已经成为机械化的算法，这些都是不可能实现的。又如几何定理证明，添加辅助线往往是一种很高超的艺术，但出现了解析几何，证明定理就有些机械化而容易入手。虽然这些都还算不上真正的机械化或半机械化，但提高了机械化的程度，在机械化的道路上迈进了一大步，在历史上成为数学进展的划时代标志[8]。

吴文俊院士认为，贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想[8]。著名数学教育家弗赖登塔尔也有类似的观点，他认为，对于数学教育说来，数学可分为思辨数学和算法数学。算法中有思辨，思辨中有算法，但两者又各有特点和不同。在算法数学中，问题解决有较明确的步骤和法则可循;而在思辨数学中，解决问题只能根据一般的逻辑法则对问题中出现的数量关系与空间形式的特点去做具体的分析。例如用算术方法解四则应用题是思辨数学，而用列方程解四则应用题是算法数学;用综合法解平面几何是思辨数学，而解析几何与向量几何是算法数学。思辨数学更富有技巧，学习它需要更高的机智，从而也培养机智;算法数学是思辨数学的结晶，是从反复的技巧使用中凝成的法则（这种凝成，往往是一种高超的数学思想的产物），使用这些法则可以少花脑力，因而也容易为更多的人所掌握，同时解决问题更具有普遍性。一般地说，算法数学一旦形成，相关的思辨数学便被抛弃。例如一个人一旦掌握了代数法解应用题的方法后，相应的算术法自然被抛弃[9]。目前，数学机械化的研究已经取得一些成果，上文提到的超级画板便是其中的成果之一。下面笔者通过例子说明智能技术在初等数学教学中的应用。

四、智能技术在初等数学教学中的应用

初等数学分支很多，下文将从平面几何、代数恒等式（含不等式）、三角几何公式、三角不等式等方面分别举例介绍智能技术的应用。具体来说，就是面对若干已知条件，如何深入挖掘信息，推理出更深层的结论;或者面对已有命题，能否仿照其形式，构造出更多类似结论，再从中选取正确命题输出。

（一）深入挖掘已有条件得出新结论

例1 （2002年四川省初中数学竞赛题）如图1，圆O是△ABC的外接圆，过A的切线与直线BC交于P，过A作AD⊥PO于D。求证：BD·CP=BP·CD。

该题难度不大，图形也简单，可看作是两个常见基本模型的组合：直角三角形斜边高线模型、切割线模型。但组合起来内涵丰富，远不是两个基本模型性质的简单相加。

如果将BD·CP=BP·CD看成一条线段比例信息，排除AD·OA=AD·OB（化简后是OA=OB，此类信息应归于线段相等信息），那么图中大概有多少条比例信息？估计很少有人会选择20条以上。

需要指出的是，超级画板具备智能解答功能，只不过知道的人不多，应用较少。而网络画板、Geogebra等工具也在不断地增加智能推理功能。在吴文俊、张景中两位院士的帶领下，我国在几何定理机器证明领域处于世界领先位置。笔者在广泛吸收已有成果的基础上，开发了一款能够自动发现几何结论的软件——几何神算。使用几何神算搜索，不到一秒钟就能得到几十条信息，列举如下。

线段比例信息：

DOAO=BDBP=ADAP=AOOP=CDCP，

BDAD=ADCD=ABAC=BPAP=APCP，DOCD=BDDP=AOCP，

DOAD=ADDP=AOAP，

DOBD=AOBP=CDDP，

BDAO=BPOP=DPCP，

AOCD=BPDP=OPCP，

ADAO=DPAP=APOP。

角度相等信息：

∠DPB=∠DCO=∠DBO，

∠OCA=∠CAO，

∠OAD=∠APD，

∠DCA=∠DAB，

∠BOD=∠BCD，

∠CAD=∠ABD，

∠ODC=∠OBC=∠BDP=∠BCO，

∠OAB=∠ABO，

∠BCA=∠BAP，

∠DOA=∠DAP，

90°=∠PDA=∠OAP=∠ADO，

∠PBA=∠CAP，

∠COB=∠CDB，

∠BDA=∠ADC，

∠PBD=∠COD，

∠PBO=∠ODB=∠CDP。

三角形相似信息：

△ADB∽△CDA，

△BAP∽△ACP，

△OAD∽△APD∽△OPA，

△OCP∽△ODC∽△BDP，

△CDP∽△OBP∽△ODB。

该题中的结论，例如线段比例、角度相等、三角形相似信息数量之多，远远超出我们的想象。因此，这是一道较好的开放题，教师可让学生自己探索。特别是近年来，考试题型提倡多选题、多空题，由于受到思维的限制，有时候人们很难对问题有全面的认识，因此有必要借助智能技术进行教学和学习。该题简略分析如下。

由OC2=OA2=OD·OP，即OCOD=OPOC，∠DOC=∠COP，于是△DOC∽△COP，∠OCD=∠OPC。

由PB·PC=PA2=PD·PO，得B、C、O、D四点共圆，于是△PBD∽△POC;

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，结合∠OCD=∠BPD，于是△DBP∽△DOC，得DBDO=DPDC，即DB·DC=DO·DP=AD2，ADDB=DCAD。

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，∠BDA=∠ADC，结合ADDB=DCAD，于是△ADB∽△CDA。

由∠POB=∠BOD，∠OPB=∠OBD，得△OPB∽△OBD。

根据以上所得的相似关系，以及角度相等、相等比例线段，不难得出△BAP∽△ACP，△OAD∽△APD∽△OPA，△OCP∽△ODC∽△BDP，△CDP∽△OBP∽△ODB。根据相似关系，可写出大量线段成比例。

例1是基于已有条件生成结论。几何题如此，代数题能否实行？下面笔者通过例2继续进行研究。

例2 已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，你能探索出哪些结论？

分析：不妨设abc=k1，ab+ac+bc=k2，a3+b3+c3=k3，a4+b4+c4=k4，a5+b5+c5=k5，a6+b6+c6=k6，a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）=k7，a3b2+b3c2+c3a2=k8，使用符号计算中的消元算法，能得到以下结论。

{k2，-5k4+4k5+1，k4+4k8-1，4k3-3k4-1，4k1-k4+1，3k8-k7，3k1+k7，

3k5+5k7-3，-3k12-6k1+k6-1，-3k1+k3-1，3k4+4k7-3}=0。

其中k2=0，意味着ab+ac+bc=0，以此类推。

计算机得出这些结论之后，还能进一步给出以下解释。

2（ab+bc+ca）+（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（1+a+b+c）=0（1），

2[4abc-（a4+b4+c4）+1]-（-2-a-a2-b-b2-2c+ac+bc）（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（a-a3+b+2ab+a2b+ab2-b3+2c+2ac+2bc-2abc+ac2+bc2-2c3）=0……（2），

基于上述恒等式，得出ab+bc+ca=0，4abc-（a4+b4+c4）+1=0。如果说（2）式太长，人们难以理解，那么（1）式可以帮助我们更好地理解。

例3 （2017年全国高考文科试题）已知a>0，b>0，a3+b3=2，证明：a+b≤2。

分析：因为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab·（a+b）≤2+3（a+b）24（a+b）=2+3（a+b）34，所以（a+b）3≤8，a+b≤2。

机器生成恒等式：3（2-a-b）=（a-1）2（2+a）+（b-1）2（2+b）+（2-a3-b3）。

因为3（2-a-b）表示为若干非负项相加，所以所得结果必为非负，命题得证。恒等式证明简便快捷，为该题的解答带来新的启发。事实上，当学生给出恒等式证明时，其已经不自觉地运用了“多项式理想”“零点集”这些知识点，而不是简单地运用代数变形或者套用不等式定理。

（二）模仿已有命题得出新结论

S=12absinC是我们熟悉的三角形面积公式。该公式可看成由三个部分组成：系数12，线段的二次方ab，角度的函数sinC。能不能让计算机根据这些特征，尝试生成另外的三角形面积公式？经过研究发现，这完全可以实现。凭借计算机高速的计算能力，在一两分钟内可尝试百万次，计算机输出结果如下。其中设△ABC的面积为S，三边长为a、b、c，三个角为A、B、C，外接圆半径为R，内切圆半径为r。

（1）S=ab+bc+ca2（1sinA+1sinB+1sinC）;

（2）S=（a+b+c2）2tanA2tanB2tanC2;

（3）S=2ab+2bc+2ca-a2-b2-c24（tanA2+tanB2+tanC2）;

（4）S=a2+b2+c24（cotA+cotB+cotC）;

（5）S=a（b+c）sinBsinC2（sinB+sinC）;

（6）S=14（b2sin2A+a2sin2B）;

（7）S=18（a+b-c）（a-b+c）（-1+cotA4）（1+cotA4）tanA4;

（8）S=14（a+b-c）（a-b+c）cotA2;

（9）S=-14（a2-b2-c2）tanA;

（10）S=12（a+b+c）r（cot2Acot2B+cot2Bcot2C+cot2Ccot2A）;

（11）S=R（acosA+bcosB-ccosAcosB）;

（12）S=rR（sinA+sinB+sinC）;

（13）S=12R2（sin2A+sin2B+sin2C）;

（14）S=r2cotA2cotB2cotC2;

（15）S=r2（cotA2+cotB2+cotC2）。

以上关系式的证明并不难，但要是在没有提示的情况下，让学生独立发现，也不容易。即便能发现一两个关系式，也很难发现这么多。也就是说，在不借助计算机的情况下，一次性得到这么多式子是不容易的。在这些面积关系式中，还有其他关系，譬如结合第（14）和（15）式子，可得cotA2cotB2cotC2=cotA2+cotB2+cotC2。

能仿写得到等式，能否仿写得到不等式？以下通过例4进行研究。

例4（《数学通讯》2020年第8期问题征解459）在△ABC中，证明：sinA2cosB-C2+sinB2cosC-A2+sinC2cosA-B2≥32。

计算机模仿题目可自动生成若干表达式，并从中选取11个表达式，分别设为ti，并根据大小生成如图2所示的关系图。图中的箭头是表示较小者指向较大者（含相等），譬如例4就是32→t4≤sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5。其中，

sinA2tanB-C2+sinB2tanC-A2+sinC2tanA-B2→t1，

tanA2tanB-C2+tanA-B2tanC2+tanB2tanC-A2→t2，

0→t3，

32→t4，

sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5，

2→t6，

cosA2tanB-C2+cosB2tanC-A2+cosC2tanA-B2→t7，

tanA2secB-C2+tanB2secC-A2+tanC2secA-B2→t8，

cosA2secB-C2+cosB2secC-A2+cosC2secA-B2→t9，

cotA2tanB-C2+cotB2tanC-A2+cotC2tanA-B2→t10，

cotA2secB-C2+cotB2secC-A2+cotC2secA-B2→t11。

五、结语

随着计算机的发展，人工智能在某些领域产生了深刻的影响。但人工智能应用于中小学教育，仍处于起步阶段，有待于进一步探索。

从宏观上来说，随着教育部相关课程标准的制定，全国各地也出版了人工智能与教育应用的教材，其内容五花八门。在中小学阶段，进行人工智能相关研究，有助于学生应对智能时代的变革和挑战，也是国家培养高科技人才的迫切需要。笔者认为，对于条件比较好的学校，可以尝试开设机器人、无人机等课程。而对于条件一般的学校，考虑到师资力量、学生课时、升学压力等因素，建议学校可将人工智能的研究与具体的中小学学科教学研究结合起来，譬如尝试与数学学科结合起来，有助于培养学生的计算思维，这样花费的时间少，但取得的效果可能更加明显。

从微观上说，人工智能教育应用的时代还没有真正来临。虽然人工智能已经有一些研究，也有希望应用于教学，但离实际落地还有一定距离。以应用于初等数学研究而言，本文所述只是众多应用中的几个小案例而已，所述智能技术只是统称，目前大多数还是以算法形式散落在学术期刊，并没有形成可直接使用的软件。要将这些算法一个个编程实现，开发为可供中小学老师简单操作的软件，还有很长的路要走。如果能将人工智能数学应用做成

典型，加强科学规范管理，形成体系化、结构化的案例集和资源库，然后以点带面，带动其他学科，将有助于推进人工智能在中小学教育应用和发展。

参考文献：

[1]TURING A M. Computing machinery and intelligence[J].Mind，1950（236）：433-460.

[2]吳军.智能时代：大数据与智能革命重新定义未来[M].北京：中信出版社，2016.

[3]陈宗周.AI传奇：人工智能通俗史[M].北京：机械工业出版社，2018.

[4]马玉慧，柏茂林，周政.智慧教育时代我国人工智能教育应用的发展路径探究：美国《规划未来，迎接人工智能时代》报告解读及启示[J].电化教育研究，2017（3）：123-128.

[5]吴砥，饶景阳，王美倩.智能教育：人工智能时代的教育变革[J].人工智能，2019 （3）：119-124.

[6]张景中，彭翕成.数学教育技术[M].北京：高等教育出版社，2009.

[7]张景中，彭翕成.自动推理及其在数学教育中的应用[J].数学教育学报，2008（4）：1-5.

[8]吴文俊.吴文俊论数学机械化[M].济南：山东教育出版社，1996.

[9]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，等译.上海：上海教育出版社，1995.

（责任编辑：陆顺演）

作者：彭翕成 曹洪洋