勾股定理多种证法

第一篇：勾股定理多种证法

勾股定理的总统证法

勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛.迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种.其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.

总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味.

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.

亲爱的同学们，从上面的故事我们可以看出发明创造并非科学家、学者的专利，只要我们用心观察发现问题，认真思考钻研问题，照样可以取得成就。

第二篇：余弦定理的六种证法

法一(平面几何)：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，求c。 过A作ADBC于D，是AD=ACsinCBCsinC，

CDACcosbcosc,

C

在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc， 法二(平面向量)：

222ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC|

222222cos(180B)BCb2abcosBa，即：cab2abcosc 

法三(解析几何)：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0).

|AB|2=(acosC-b)2+(asinC-0)

2=a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2-2abcosC，

即c2=a2+b2-2abcosC.

法四(利用正弦定理)：

先证明如下等式：sin

证明：sin22Asin22BsinC2sinAsinBcosC⑴ 2A

sin2BsinC



1cos2A

212



1cos2B



1cos2C

22



coo2sAcos2B

1cos2C

sABcosABcosCcocosCcosABcosAB

2sinAsinBcosC

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

a2RsinA

b2RsinB

c2RsinC

(2)

结合⑴、(2)有

abc4R

sinAsinBsinC

4R2sinAsinBcosC2abcosC.

即cab2abcosC.

同理可证abc2bccosA;bca2cacosB.

222

法五(用相交弦定理证明余弦定理):

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B

为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有：DC×CE=AC×CG，带入以后就是

(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我们的余弦定理。

法六(面积解释)：

如图9，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证旋转而成)，进而可得;同理形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

，

(最好是将

交AB于K。据看作是

，所以直角三角形斜边上的正方

此处还有一个副产品：影定理。

等价于，无需用到相似，轻松可得射

图9图10

假若不是直角三角形呢?如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，

，

，

，轻松可得余弦定理。

例1：证明余弦定理。

勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。

证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。

余弦定理证明1：如图1，将△ABC绕点B旋转一个较小角度得到△DBE，则

;由面积关系得

，即

，则

，

即

，化简得。

图1 图2

如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。 余弦定理证明2：只要注意到马可得

。

，

，立

余弦定理证明3：如图3，在△ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，使得在AB边上取点D，使得

得

;易得△AEC∽△CDB∽△ACB，

;由

;

，

化简得

。

图3

第三篇：余弦定理的多种证明

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活.

对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明：

如图：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 (证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方)拆开即a^2=b^2+c^2-2bc

再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。

------------------

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,

如果一个三角形两边的平方和等于第三

边的平方,那么第三边所对的角一定是直

角,如果小于第三边的平方,那么第三边所

对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边

所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。 同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

第四篇：正余弦定理的多种证明方法（大全）

利用向量统一正、余弦定理的证明

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，[1]人教版中等职业教育国家规划教材《数学》(提高版)是用向量的数量积(内积)给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A。

证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：

C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))

=C′(-acos B,asin B)。

根据向量的运算：

=(-acos B,asin B)，

=-=(bcos A-c,bsin A),

(1)由=：得

asin B=bsin A,即

=。

同理可得：=。

∴==。

(2)由=(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A。

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B。

第五篇：辩证法

辩证法作业

王宝林

21世纪中国面临的环境问题及其对策

发展是人类历史的永恒主题，但随着经济的快速的发展，一系列环境问题随之产生。环境问题使人类文明不能永恒发展，而是在孕育这些文明的故乡走向衰落和覆灭。在以前人们主要依赖自然而生活，对环境的影响较小，并且自然界的自发调节作用抵消了许多不利的环境影响。在知识经济时代，科学技术得到了突飞猛进的发展，环境问题依然十分严峻，对人类的生存和发展仍然构成了极大的威胁。具体的环境问题包括人口膨胀、能源危机、森林面积锐减、土地严重荒漠化、自然灾害频繁发生、淡水资源日益枯竭、温室效应加剧、臭氧层破坏和酸雨出现频繁等十大问题。

中国是世界上人口最多的国家，约占世界人口的五分之一，总人口约为13.4亿，并且以每年1000万的速度急剧上升。庞大的人口队伍带来很多的问题。医疗保限和社会保险的收支不平横,政府不得不用现在年青人交的款来支付退休金，甚至还要动用财政收入。过去中国马路上最多的是自行车，现在越来越多的家庭买了轿车，特别是大城市，交同拥堵的情况更严重了，越来越多的车，尾气排放量也越来越多，现在都说要低炭化，越来越多的车和尾气污染我们的环境。现在的物价再涨，贫富差距在拉大。那些有钱人第一年资产一千万，几年过去了，以经变成了几千万了。没有钱的人，每个月都用光了，还要去借钱用。富人为什么会更富，穷人为什么会越穷。富人那么多钱自己用不了，为什么不多分一些给穷人。不是说中国大部分钱是掌握在少数富人手中。即然国家好的大环境让少部分富人掌握了大部份钱，富人更有义务和职责帮国家帮助那些贫穷的人。现在的农民工工资增加了，但是企业也招不到工人，这些增加工资以后也要计算入产品的成本。中国人口重多，有许多不同复杂的社会问题正显现出来。摆在面前的是如和处理好这些问题。

经济的逐步提高，能源危机逐渐凸显出来。中国向以“地大物博”、“资源丰盛”而自傲。 然而，1988年中国科学院的国情报告却昭示，中国的资源危机十分严重。960万平方公里的土地，却有一个十几亿人口的大分母，其结论是： (1)中国是缺水大国，水资源并不丰富，地下水开采过量，用水浪费，供需问题十分突出。 (2)耕地贫乏，后备耕地资源不足。 (3)中国是贫林大国，森林面积不断减少，成熟林赤字采伐消耗，森林资源锐减趋势十分明显。 (4)中国是贫草大国，长期重用轻养，超载放牧，盲目开垦草原，退化草原已达可利用草场的1/3。 (5)我国矿产资源并不丰富，浪费程度惊人，目前我国对矿产的需求正处于高速增长时期，如不采取有力措施，矿业资源形势将会走向全面严峻。 总之，我国的资源总

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辩证法作业

王宝林

护好森林和海洋，比如不乱砍滥伐森林，不让海洋受到污染以保护浮游生物的生存。我们还可以通过植树造林，减少使用一次性方便木筷，节约纸张(造纸用木材〕，不践踏草坪等等行动来保护绿色植物，使它们多吸收二氧化碳来帮助减缓温室效应。

臭氧层被破坏后，其吸收紫外线的能力大大降低，使得人类接受过量紫外线辐射的机会大大增加了。一方面，过量的紫外线辐射会破坏人的免疫系统，使人的自身免疫系统出现障碍，患呼吸道系统传染性疾病的人数大量增加;另一方面，过量的紫外线辐射会增加皮肤癌的发病率。据统计，全世界范围内每年大约有10万人死于皮肤癌，大多数病例与过量紫外线辐射有关。臭氧层的臭氧每损耗1%，皮肤癌的发病率就会增加 2%。另外，过量紫外线辐射还会诱发各种眼科疾病，如白内障、角膜肿瘤等。其次，它会影响农作物的生产。实验表明，过量的紫外线辐射会使植物叶片变小，减少了植物进行光合作用的面积，从而影响作物的产量同时，过量紫外线辐射还会影响到部分农作物种子的质量，使农作物更易受杂草和病虫害的损害。再次，它会影响水生生态系统。研究结果表明，紫外线辐射的增加会直接引起浮游植物、浮游动物、幼体鱼类以及整个水生食物链的破坏。可见，紫外线辐射的增加，对水生生态系统有较大的影响。紫外辐射增强将使患呼吸系统传染病的人增加，还会增加皮肤癌和白内障的发病率，促使皮肤老化和病变。

我国酸雨(酸雨通常是指表示酸碱度指数的 PH 值低于 5.6 的酸性降水)正呈蔓延之势，是继欧洲、北美之后世界第三大重酸雨区。80 年代，我国的酸雨主要发生在以重庆、贵阳和柳州为代表的川贵两广地区，酸雨区面积为 170 万平方公里。到 90 年代中期，酸雨已发展到长江以南、青藏高原以东及四川盆地的广大地区，酸雨面积扩大了 100 多万平方公里。以长沙、赣州、南昌、怀化为代表的华中酸雨区现已成为全国酸雨污染最严重的地区，其中心区年降酸雨频率高于 90%，几乎到了逢雨必酸的程度。以南京、上海、杭州、福州、青岛和厦门为代表的华东沿海地区也成为我国主要的酸雨区。华北、东北的局部地区也出现酸性降水。1998 年，全国一半以上的城市，其中 70% 以上的南方城市及北方城市中的西安、铜川，图们和青岛都下了酸雨。酸雨在我国已呈燎原之势，覆盖面积已占国土面积的 30% 以上。

当前和今后一个时期，我国进一步深入推进可持续发展战略的总体思路，可以用五句话来概括：一是把转变经济发展方式和对经济结构进行战略性调整作为推进经济可持续发展的重大决策。不仅要调整需求结构，要把国民经济增长更多地建立在扩大内需的基础上;不仅要调整产业结构，我们要更好、更快的发展现代的制造业以及第三产业，更重要的是要调整要素投入结构，使整个国民经济增长不能永远老是依赖物质要素的投入，而是要把它转向依

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