勾股定理的多种证法

第一篇：勾股定理的多种证法

勾股定理的总统证法

勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛.迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种.其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.

总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味.

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.

亲爱的同学们，从上面的故事我们可以看出发明创造并非科学家、学者的专利，只要我们用心观察发现问题，认真思考钻研问题，照样可以取得成就。

第二篇：余弦定理的六种证法

法一(平面几何)：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，求c。 过A作ADBC于D，是AD=ACsinCBCsinC，

CDACcosbcosc,

C

在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc， 法二(平面向量)：

222ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC|

222222cos(180B)BCb2abcosBa，即：cab2abcosc 

法三(解析几何)：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0).

|AB|2=(acosC-b)2+(asinC-0)

2=a2cos2C-2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2-2abcosC，

即c2=a2+b2-2abcosC.

法四(利用正弦定理)：

先证明如下等式：sin

证明：sin22Asin22BsinC2sinAsinBcosC⑴ 2A

sin2BsinC



1cos2A

212



1cos2B



1cos2C

22



coo2sAcos2B

1cos2C

sABcosABcosCcocosCcosABcosAB

2sinAsinBcosC

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

a2RsinA

b2RsinB

c2RsinC

(2)

结合⑴、(2)有

abc4R

sinAsinBsinC

4R2sinAsinBcosC2abcosC.

即cab2abcosC.

同理可证abc2bccosA;bca2cacosB.

222

法五(用相交弦定理证明余弦定理):

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B

为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有：DC×CE=AC×CG，带入以后就是

(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我们的余弦定理。

法六(面积解释)：

如图9，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证旋转而成)，进而可得;同理形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

，

(最好是将

交AB于K。据看作是

，所以直角三角形斜边上的正方

此处还有一个副产品：影定理。

等价于，无需用到相似，轻松可得射

图9图10

假若不是直角三角形呢?如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，

，

，

，轻松可得余弦定理。

例1：证明余弦定理。

勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。

证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。

余弦定理证明1：如图1，将△ABC绕点B旋转一个较小角度得到△DBE，则

;由面积关系得

，即

，则

，

即

，化简得。

图1 图2

如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。 余弦定理证明2：只要注意到马可得

。

，

，立

余弦定理证明3：如图3，在△ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，使得在AB边上取点D，使得

得

;易得△AEC∽△CDB∽△ACB，

;由

;

，

化简得

。

图3

第三篇：正弦定理,余弦的多种证明

正弦(余弦)定理的另类证明

课本利用向量法证明正弦定理，本文来介绍的另外两种证法. 正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即a=bsinAsinB=csinC. 证法1：(等积法)在任意斜三角形ABC中,S△111absinCacsinBbcsinA， 222两边同除以1abc即得：a=b=c2sinAsinBsinCABC=

.

C点评：证法1主要利用了任意斜三角形面积可分别转化为三角形不同边与其对应高的乘积的12.此证法体现了转化与化归的思想方法.

abAOBDc证法2：(外接圆法)如图1所示，设O为△ABC的外接圆的圆心，

连接CO并延长交圆O于D，连接BD，则A=D，

BCaa所以sinAsinDCD,即2R.同理 2RsinAbsinB=2R，

csinC=2R.

故 a=b=csinAsinBsinC=2R(R为三角形外接圆半径). 点评：证法2建立了三角形中的边与对角、外接圆半径三者之间的联系，这三者知二可求一，为正弦定理增添了新内容，体现了数形结合的思想. 小结：由以上证明过程，我们可以得到正弦定理的几种变形形式： 1. a: b: c = sinA : sinB :sinC ; 2. a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC; 3. sinA=2aR;sinB= 2bR;sinC=2cR. (其中R为△ABC外接圆的半径)

在解决三角形问题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用公式.公式选择得当、方法运用对路是简化问题的必要手段.

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活.

对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明： 如图：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2 (证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方)拆开即a^2=b^2+c^2-2bc 再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。 ------------------ 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出, 如果一个三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么第三边所对的角一定是直 角,如果小于第三边的平方,那么第三边所 对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边

所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。 同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

第四篇：蒙日圆定理(解析几何证法)

蒙日圆定理

(纯解析几何证法)

蒙日圆定理的内容：

椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。

x2y2如图，设椭圆的方程是221。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。

ab求证：点P在圆xyab上。

证明：

若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是：

它必定在圆xyab上。

现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：

22222222Pspeciala,b

(1)

PM:ykxm

(2) (3)

1PN:yxn

knmknk2mP2,2

k1k1联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P的坐标为：

(4) 从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为：

nmknk2m2OP22k1k1

n2k2m2k2122(5) 现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得：

1k222kmm222x2x210

bbab(6) 由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：

m2b212a2k21m2b

对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：

n2b222a2k1nb2

为方便起见，令：

a2A,b2B,m2M,n2N,k2K

这样(7)和(8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出：

MBAK

NBAK 将(10)和(11)代入(5)，就得到： OG2NKMABa2b2K1

证毕。

(7)

(8)

(9)

(10) (11)

(12)

第五篇：抓落实的辩证法

抓工作要有力度，务求落实，抓出成效，这是一切工作的内在要求，也是推动我们事业取得成功的根本保证。抓落实除了我们常说的既要吃透“上情”又要摸清“下情”外，还需要正确把握和处理工作中一些辩证关系。

一、既要讲求“干劲”，又要讲求“干法”

抓工作落实，除了要有充足的干劲和扎实的作风，还要有正确的思路和科学的方法。

一要善于盯着重点抓落实。事物的主要矛盾往往决定着事物的发展变化，抓住了主要矛盾，就抓住了解决问题的关键。因此，工作中要坚持两点论和重点论相统一，善于抓工作重点，抓工作中的主要矛盾和主要环节，通过重点突破促进全面发展。

二要善于盯着问题抓落实。对工作中遇到的一些影响工作质量、阻碍工作进度、制约整体发展的焦点问题、难点问题和薄弱环节，要认真搞好调查研究，系统分析成因，找准问题症结，探索有效的解决途径和办法。

三要善于循着规律抓落实。根据实际情况决定工作方法，做到主观能动性和客观规律性相统一。要把握好抓落实的“度”，目标要可望也可即，任务要重而可担，标准要高而可攀，要求要严而可行。要确立与时俱进的思想观念，针对工作中出现的新情况、新问题，及时研究并提出能妥善解决的新思路、新对策和新办法，

1 不断探索事物发展变化的规律中牢牢把握工作的主动权，努力增强工作的预见性、针对性和实效性。

二、既要善当“主力”，又要善谋“合力”

抓工作落实，要培育良好的团队意识和合作精神。

注重搞好团结。领导干部只有正确处理与领导、同事、下级之间的关系，努力营造一个团结、和谐、稳定的工作环境和工作氛围，才能带领大家有效地抓好工作落实。

注重集思广益。个人的思维能力再强，也会存在一定的主观性和片面性。只有集中大家的智慧，做到集思广益、求同存异，才能弥补自身思维的不足，全面提升工作的质量和层次。

注重协作攻关。在全局性、综合性较强的重要活动及大项工作中，要注意当好组织者、协调员，树立“一盘棋”思想，统筹安排，科学调度，充分发挥广大干部的专长，形成齐抓共管的良好局面，防止和克服互相 扯皮、各自为政的现象。

三、既要善谋“上篇”，又要善抓“下篇”

有的干部干工作只有“上篇文章”出彩，不在“下篇文章”出力，导致工作虎头蛇尾或“无疾而终”。有的抓落实只重过程不重结果，只看声势不看实效。要消除这些现象，关键是要做到以下几个方面。

克服畏难心理，防止裹足不前。工作中遇到难题不能绕道而行，要拿出敢闯敢拼敢干的勇气，切实做到难题不破解不罢休;要发扬愚公移山、锲而不舍的精神，坚持反复抓、抓反复，只要

2 今天解决一点，明天解决一点，就一定能达到最终解决的目的;要强化创新意识，拓展创新思路，增强创新魄力，寻找创造性解决问题的突破口和着力点，不断开创工作的新局面。

克服厌烦情绪，防止虎头蛇尾。抓落实不可能一蹴而就，也不可能一劳永逸，需要持之以恒、常抓不懈。因此，干工作尤其要注意克服浮躁心态、厌烦情绪，防止虎头蛇尾。要消除厌烦情绪，不妨将长期性、经常性的工作分解为阶段性目标，做到常抓常新，保持活力。

克服功利心态，防止竭泽而渔。抓落实必须端正指导思想，有扎实的态度和作风，坚持一切从实际出发，一切看实际效果，要正确处理眼前与长远的关系，坚持既兼顾眼前又注重长远，正确处理发展速度与质量的关系，坚持立足现实，量力而行，科学确定发展思路、发展方向和发展目标。

四、既要务求实效，又要善于务虚

务虚作为一种形式、一种手段，应当服务于务实这个中心内容，而不能等同于务实，更不能代替务实。

要通过务虚科学确定工作落实的层次。务虚可以减少决策的盲目性以增强方向性，减少随意性以增强针对性。要深入学习唯物辩证法和科学发展观，牢固掌握马克思主义的立场、观点和方法，增强认识问题、分析问题和解决问题的能力，培养干工作、抓落实的宏观意识;要全面系统地学习业务知识、社科理论和政策法规，善于吸收和借鉴科学的分析方法不断提高自身的业务素

3 质和学识水平，不断增强贯彻落实自觉性、坚定性和创造性;要坚持调查研究，深入群众、深入实际，增强理论联系实际的能力，进一步理清工作思路，明晰工作方向，促进工作高质量落实。

要通过务虚着力提高工作落实的效率。只有提高科学预见的能力，及早推测工作中可能发生的意外、可能碰到的难道，准确把握事物变化发展的态势，才能提高工作落实的效率。

要通过务虚及时调整工作落实的方向。落实工作前，要弄清为什么干、怎么干;落实过程中，要明确怎样才能干得更好;工作完成后，要及时总结经验教训。通过经常性地务虚，适时停下脚步回过头来审视工作开展情况，系统总结前期工作中成功的经验和失败的教训，就可以及时发现并纠正工作中的偏差，使工作尽快回到正确的轨道上。要边干边学、边思考边总结，不断形成新的认识，积累新的经验。