一个不等式的六种证法

前言

解题是数学教学过程中的一个重要组成部分。它有两方面的作用,一方面是教师对学生运用知识和进行独立思考作业时的指导作用,另一方面是使学生加深巩固所学的基本知识,基本技能和发展能力的作用,所以,解题是数学教师的基本功,是学生学好数学的必要条件。通过解题,不仅可以使学生更清楚地理解和牢固地掌握所学的基础知识,基本技能,启发学生积极思考,提高学习数学的兴趣,而且还有助于发展学生的能力,培养学生独立地分析问题和解决问题的能力。培养学生的创造能力,培养学生良好的个性品质,提高思维素质。

教师在上数学课时,为了巩固所学的知识,从而举些例子是必要的,而如果能针对一个例子,应用多种方法,把所学的知识都结合起来,开拓学生的思维,可能会达到一种更好的效果。

1实证分析

在中专数学里,常见的不等式有,一元二次不等式,分式不等式和含有绝对值的一元一次不等式。主要解题思路是:如果是一元二次不等式,可通过因式分解(十字相乘法,求根公式法等),转化为简单的一元一次不等式求解,或用数形结合的思想,借助一元二次函数的图象来解一元二次不等式。若是绝对值不等式,利用绝对值的性质,先去掉绝对值符号再解不等式,对于分式不等式,通过移项,通分,把一边化为零,再把商的形式化为积的形式。在高等数学当中,也经常遇到不等式的证明问题,一些教材中谈到利用中值定理或函数的单调性来证明一些不等式的方法,本文就以一个不等式为例来探讨它的六种证法。

例证:当x>0时,证明ex>1+x

证法1:利用拉格朗日中值定理

定理内容:如果函数f(x)满足下列条件:

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导,那么,在(a,b)内至少有一点(ζ,使得

f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)

证:设f(x)=ex-1-x,显然f (x)在区间(0,+∞)内连续可导且,所以当x>0时f (x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理条件,则在区间(0,x)内一定存在一点ζ,使得

f(x)-f(0)=f'(ζ)(x-0)=(eζ-1),x>0

从而f(x)>f(0)=0,因此当x>0时ex>1+x成立。

证法2:利用函数的单调性的判定定理

函数的单调性定义:对于给定区间上的函数f (x):(1)如果对于这个区间上的任意两点x1,x1,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数(或单调递减函数)。

函数单调性的判定定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则有

(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上单调增加;

(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,则函数f(x)在[a,b]上单调减少.

证:设f(x)=ex-1-x,求得f'(x)=ex-1,则当x>0时f'(x)>0,由函数单调性的判定定理可知道,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以当x>0时可知f(x)>f(0)=0,从而x>0时,ex>1+x成立。

注:证明不等式经常构造辅助函数,辅助函数一般通过移项,使不等式一端为

“0”,另一端即为所作辅助函数。

证法3:利用柯西(Cauchy)中值定理

柯西中值定理:如果函数f(x)与F(x)满足下列条件:

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)上连续;

(3)F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零,那么,在(a,b)内至少有一点ζ,使得

设F(x)=1+x,f(x)=ex,则函数F(x)与f(x)在[0,x]上满足柯西中值定理的条件,那么在(0,x)内至少有一点ζ,使得

，即,所以ex-1>x，所以ex>x+1。

证法4:利用积分法

积分的比较性质:在[a

证:当x>0时,对x>t>0有ex>1,由积分的比较性质可知:

所以

ex-1>x-0,从而不等式ex>1+x成立.证法5:数形结合:利用曲线的凹凸性

曲线凹凸性的定义:若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方,则称曲线段在(a,b)内是向上凹的(简称上凹,也称凹的);若曲线段总位于其上任意一点处切线的下方,则称曲线段在(a,b)内是向下凹的(简称下凹,也称凸的)。

凹凸性的判定定理:设函数y=f(x)在开区间(a,b)内具有二阶导数。

(1)若在(a,b)内f〃(X)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是向上凹的:

(2)若在(a,b)内f〃(X)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是向下凹的;

证:f(x)=ex,则有f〃(X)=ex>0,根据曲线凹凸性的判定定理可知曲线f(x)=ex在区间[0,+∞)内是向上凹的,即曲线弧总位于其上任意一点处切线的上方,又y=1+x是曲线f (x)=ex在(0,1)处的切线,所以对任意一点x(x>0),均有ex>1+x.

证法6:利用麦克劳林公式

泰勒公式:,其中余项Rn(x)=o(|x-x0|n)

在泰勒公式中,当x0=0时,则有麦克劳林公式:

其中余项Rn(x)=o(|x|n)

证:设f(x)=ex,则由麦克劳林公式,

从而ex>1+x得证。

注:对不等式eax>1+ax(a>0,x>0)或不等式ax>ln(1+ax)(a>0,x>0)皆可用上述几种方法证明。

总之,不等式证明方法具有多样性,本文只举出一个不等式的几种证明方法,读者可试着用这几种方法去证明其它不等式,还有其它的证明方法就需要广大数学老师的不断研究。

摘要：数学中经常遇到不等式的证明问题,本文以实例为依托,着重用高等数学的知识,见证了不等式证明方法的多样性。

关键词：高等数学,中值定理,麦克劳林公式,积分,函数的单调性,曲线的凹凸性

参考文献

[1] 数学通讯编辑部[J].数学通讯,2004,10.

[2] 高汝熹.高等数学(一)——微积分.高等教育出版社,2000.

[3] 刘长华.数学教学基本功.辽宁师范大学出版社,2000.