伯努利不等式的另一证法

众所周知, 伯努利不等式是数学史上一个著名的不等式, 在高等数学中占有重要地位。 伯努利不等式在证明极限、连续、单调以及证明其他不等式和级数的敛散性等方面都有极其广泛的应用。 本文给出了伯努利不等式的另一种证明方法。

1伯努利不等式

对任意整数n≥0, 和任意实数x>-1, 有 (1+x) n≥1+nx成立。

2运用定积分证明伯努利不等式

运用定积分来证明伯努利不等式, 要利用到定积分的如下性质:

若在区间[a, b]上有f (x) ≤g (x) , 则

下面我们给出证明伯努利不等式的过程:

证明:显然, 当n=0, 或n=1, 或x=0 时, 等号成立。

下面只需证明, 当x>-1 且x≠0, n∈N, 且n≥2, 时, 有严格不等式 (1+x) n>1+nx成立。

若-11+nx;

若x>0, 则1+x>1, 又n∈N, 且n≥2 时, 有 (1+x) n-1>1, 因此

可见, 当x>-1 且x≠0, n∈N且n≥2 时, 有 (1+x) n>1+nx。综上所述, 对任意整数n≥0, 和任意实数x>-1, 有 (1+x) n≥1+nx成立。

根据上面的证明, 我们可以推广, 当去掉上面的条件n∈N时, 结论仍然成立。 而且, 我们可以得到一个更一般的结论:

设x>-1, 若0<λ<1, 则 (1+x) λ≤1+λx, 当且仅当x=0 时, 等号成立;

若 λ<0 或 λ>1, 则 (1+x) λ≥1+λx, 当且仅当x=0 时, 等号成立。

摘要：伯努利不等式在高等数学中占有重要地位。本文利用定积分的性质给出了伯努利不等式的另一种证明方法。

关键词：伯努利不等式,定积分,证明

参考文献

[1] 吴贛昌.微积分 (经管类第四版) [M].第四版, 北京:中国人民大学出版社, 2011, 195。