由数学问题情景的创立和解决谈提高数学课堂质量

2022-09-11

1 关于创设数学问题情景的理解

1.1 什么是数学问题和数学情景

数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如幂的指数由正整数到正分数,对初学的学生来说就是一个不能直接用已有的数学经验和方法解决来进行计算的情景状态,它就是一个问题。就信息加工而言,数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统,那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的,那么这个系统对学生来说就不是问题系统了,而是一种稳定系统。数学问题有两个特别显著的特点:一是障碍性,即学生不能直接看出问题的解法和答案,必须经过深入的研究与思考才能得出其答案;二是可接受性,即它能激起学生的学习兴趣,学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。

所谓数学情景,就是从事数学活动的环境,产生数学行为的条件。从它提供的信息,通过联想、想象和反思,发现数量关系与空间形式的内在联系,进而提出问题、研究问题、解决问题的策略和方法。同时伴随着一种积极的情感体验,其表现为对新知识的渴求,对客观世界的探索欲望,对数学的热爱等。

所谓创设数学情景,就是呈现给学生刺激性数学信息,引起学生学习数学的兴趣,启迪思维,激发学生的好奇、发现欲,产生认知冲突,诱发质疑猜想,唤起强烈的问题意识,从而使其发现和提出数学问题,分析和探讨数学问题,运用所学知识解决数学问题。

1.2 数学问题的结构

数学问题作为一种有待加工的信息系统,它主要由以下三种成分构成。

1.2.1 条件信息

条件信息是指问题已知的和给定的东西,它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号、应用题中的已知数量及其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。

1.2.2 目标信息

目标在这里是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态,即通常所说的要求什么。数学问题一旦由问题状态转化成目标状态以后,它就不再是一个问题系统了。

1.2.3 思维信息

这里是指条件所允许采取的求解行动,即可以采取哪些思维方式把数学问题由问题状态转化成目标状态,它是问题求解的途径。

1.3 数学问题的类型

就数学问题而言我们可以把它按内容归纳为;计算问题,证明问题,实际问题.按形式可归纳为:填空题,选择题,计算题,证明题,作图题,应用题,阅读理解题等等。

1.4 数学问题情景的创立

创设数学问题情景,是提出数学问题的前提;离开了数学情景的创设,数学问题的产生就失去了肥沃的土壤。一个好的数学情景,能激发学生的学习动机,调动学生学习数学的积极性,能有效地培养学生的问题意识和创新思维。为了创设好的数学情景,应遵循四条原则:

(1)科学性原则,作为数学情景的材料或活动,必须是科学的,自然合理的,可信的。(2)探究性原则,作为数学情景的材料或活动,必须富有探究性,能使学生产生强烈的问题意识和探究、创新的动机。(3)发展性原则,作为数学情景的材料或活动,内容辐射面要具有较大的广度,知识能由近及远,对学生现在学习有帮助的同时还可使学生得到可持续发展。(4)趣味性原则,作为数学情景的材料或活动,情景的内容要有吸引力,使学生爱看、爱想、爱提问;情景的形式要新颖,让学生有新奇感;情景的表述要言简意赅,便于学生理解;情景的形象要生动,让学生有真实感和亲切感

2 数学情景的创立和问题解决案例

2.1 创设趣味、游戏情境

在学习二元一次方程组时,设置:鸡兔共49只,100条腿满地走,问鸡兔各几只?学生被这个有趣问题吸引,思考问题的答案。以“趣”引“思”,使学生处于兴奋状态和积极思维状态。这是诱发学生主动学习的一种好方法。

如讲相似三角形判定定理一节时,授课前,先给同学们讲一个故事:古希腊有一个哲学家泰勒斯旅行到埃及,在一个晴朗的日子里,埃及伊西达神殿的司祭长陪同他去参观胡夫金字塔,泰勒斯问司祭长:“有谁知道金字塔有多高吗?”司祭长告诉他:“没有,我的孩子,古代草片文字没有告诉这个,而我们今天的知识使我们甚至不可能大概地判定这金字塔究竟有多高。”泰勒斯说:“可是,这是马上可以测出来的,我可以根据我的身高测得金字塔的高度。”说完,泰勒斯随即从白长袍下取出一条结绳,在他的助手帮助下,测得塔高是131米。故事讲完了,在学生们还沉浸在故事之中时,问:“谁能说出泰勒斯是如何测出塔高的?”学生们面面向视,回答不出,我告诉学生:“下面将要学习的相似三角形的判定定理就能帮助你回答。”这一悬念的设置,使学生产生好奇心和浓厚的兴趣,急于释疑,很自然地把学生引入到生机盎然的学习情况中去。

2.2 创设应用情境

例如,在讲授《三角形全等的判定2》时,开始就设置问题:

一块三角形玻璃,不小心打成了两块(如图1),要重新加工同样大小的玻璃,要不要将两块都带去?为什么?如果带去一块的话,应带去哪一块?为什么?这样创设问题情景,能吸引学生注意力,启迪思维,足以激发学生不断追求新知识。

2.3 创设联想情境

在讲授新知识之前,教师要提问本课所用到的旧知识,以达到顺利地完成本课教学任务的目的,也为学生积极思维创造条件,同时又能降低思维的难度。例如在讲梯形中位线定理时,教师首先提问:“三角形的中位线定理的内容是什么?”当提出梯形中位线定理之后,继续问:“能否利用三角形中位线定理使本定理获证?这样以旧引新的联想,引发学生的思维,为梯形中位线定理证明奠定了基础,使学生紧紧围绕三角形中位线的性质积极思考。于是,本定理证明的主要难点——辅助线就很容易被突破。

又例如:学习二次根式的运算时,先让学生回到整式中去,复习其中的有关运算方法,法则及注意事项;这些能否应用到二次根式的运算中去呢?以旧带新就显得很自然,通俗易懂。

2.4 创设猜想情境

在习题的教学中,一些习题难度较大学生思路受阻,往往丧失学习兴趣。如果能在教学中引导学生通过对比、观察、分析和综合,对问题产生猜想,则能开通学生的思路,激发起学生的学习兴趣。

要对a4+a2b2+b4分解因式,学生感到困难,可先让学生用两种方法将a6-b6分解因式:

两种方法,解出两种结果,学生通过对比、观察便可自然产生猜想:

至此,学生情绪激昂,信心十足,就象发现了新大陆,几乎不费力地得出拆项法分解a4+a2b2+b4的方法。

又例如,在讲授《三角形内角和》时,设置问题:(1)任意画一个△ABC,(2)剪下∠A、∠B并与∠C相拼,组成一个什么角?(3)由此你能猜出什么结论?从中悟出证明三角形内角和定理的方法,创设这样的问题情境,便于学生操作,并能引起学生积极猜测,深入思考问题。通过实验观察,猜测出结论;再通过度量计算或说理得出结论,这是数学发现的重要方法。如果按照这个程序创设问题情境,既启发学生积极思维,又使学生尝试到模拟数学家发现结论的方法,增强学习的兴趣。

2.5 创设直观情境

初中学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段,过分抽象的内容他们往往会感到枯燥乏味,难于理解。如果能把抽象的内容通过直观教具来演示,加强直观教学,则有助于兴趣的激发。

垂径定理及其推论是平面几何中的一个重要定理,在讲授这一节时,用硬纸板做一个所示的教具(如图2)。教具沿对称轴折叠演示,使学生从直观上了解到:当直径C D与弦AB垂直时,直径CD就平分弦AB所对的两段弧。在感性认识的基础上,再从理论上加以证明,这样有助于生理解掌握。

菱形的性质及其推论在四边形中是非常重要的,在讲解这个内容时,可引导学生将一张矩形的纸对折再对折(如图3),然后沿着图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个什么图形呢?再通过的展开、合并,就可以直观地得到菱形的所有性质及其推论,创设一个简单的剪纸游戏,让学生在娱乐中掌握了知识。

2.6 创设实验情境

根据初中生“爱动”的一大心理特征,在教学中如果想方法设计,顺应其心理需要,使学生通过实际操作,动手动脑,自己发现真理和论证思路,则会活跃课堂气氛,发展学生的数学思维,促进智力的开发。在学习勾股定理时,课前先让学生用硬纸片做出四个大小一样的直角三角形;课堂上让学生用这四个直角三角形去拼出一个正方形(如图4)模型(1)和(2),并回答下列问题:(1)整个图的面积是多少?(2)直角三角形的面积是多少?(3)里面正方形的面积是多少?(4)这三种图形面积的关系是什么?学生通过品拼拼凑凑,发现了勾股定理,拨动起学生探求新知识的心弦,激起了浓厚的学习兴趣。

学生在动手操作中自然会产生疑问;老师要引导学生的实验朝目标方向去思考。例如:在讲“直径所对的圆周角是直角”这节课时,教师要求学生在纸上划一个圆,假定不知道圆心,这时问学生:“谁能用三角板找到圆心?”通过动手实验,有的学生小声说:“要找到两条直径的交点就好了,单直径怎么找呢?”进一步实验,学生会发现:三角板直角顶点在圆周上,两条直角边与圆的交点连起来就是直径。最后教师提问:这个实验说明了什么道理?学生的思维马上回到本课要讲的内容上。在上述教学过程中,学生可以广泛地调动起来,深深地沉浸在对问题探讨的过程之中。