算经十书数学思想分析论文

内容摘要：关于敦煌写本《算经》的编撰年代，有唐代说、五代说以及唐五代说，笔者结合韩延《夏侯阳算经》，将其编撰年代推定在唐代宗建中元年之后的中晚唐或后唐。《算经》类算书的源流，前人多追溯至晋代的《孙子算经》。今天小编给大家找来了《算经十书数学思想分析论文(精选3篇)》的文章，希望能够很好的帮助到大家，谢谢大家对小编的支持和鼓励。

算经十书数学思想分析论文 篇1：

小学数学教师提升数学史素养的意义与路径

【摘   要】小学数学教师提升数学史素养是理解数学学科育人丰富内涵之本，也是提高课堂教学质量、发展学生数学素养的实践能力之源。教师的数学史素养在知识、史观、能力三个方面的内涵界定是教学实践的指南与教学评价的依据。以“竖式乘法”教学为例，阐述在数学史料学习、数学史融入教学的实践、数学史育人价值观念的形成等方面提升教师数学史素养的具体实施路径。为如何以数学史素养的提升作为教师专业发展的抓手提供参考与启发。

【关键词】数学史;数学史素养;育人价值;竖式乘法

近年来，HPM的理论与实践探索在我国开创了繁荣发展的局面，这源于教育界对于数学学科教育的评价观与育人观念的更新与共识，认可数学史在数学学科育人方面发挥的重要且多维度的价值;在改观数学课堂教学的同时，数学史对于教师数学素养的提升具有明显的促进作用，成为教师专业发展稳定有向的路径之一。教师数学史素养的提升逐渐进入教育者的研究视野以及一线教师或显或隐的需求中。教学实践中，教师需要的数学史“是什么，从哪里来，怎样用”，已成为令人关注的“灵魂三问”。笔者以数学史视野下的“竖式乘法”教学为例，通过实践来尝试回答上述问题，为教师发展自身数学史素养提供启发。

一、教师的数学史素养内涵

教师的数学史素养包含知识、史观、能力三个方面，具体指：数学史知识的储备与增长;辩证、联系、发展的数学史观;数学史的解读、提炼能力;数学史料的运用、加工、评价能力。教师的数学史素养基本维度与内涵如表1所示。

以上从三个维度界定了教师的数学史素养的内涵，这是对教学实践的指南与进行教学评价的依据。

二、提升教师数学史素养的实践

教师数学史素养内涵对教师的数学史知识储备与实践提出要求，相应地，提升教师数学史素养的实践路径包含三个基本环节：数学史（扩展到科学史）的学习、数学史融入教学的实践、数学史育人的价值思考与探索。学习实践的高效方式是通过研修共同体[1]，在交流分享中互鉴互学互促。

（一）数学史料的选择与解读

以“竖式乘法”为例，来谈谈选择什么样的数学史，怎样解读。现今，“竖式乘法”采用笔算形式，用纸笔为工具、依据位值原则、数的组成与分解、运算规律和性质，通过阿拉伯数字和符号书写进行演算[2]。教师在了解“竖式乘法”的历史前，需要确定文献的寻找范畴：五大文明古国（古巴比伦、埃及、希腊、中国、印度）与阿拉伯的数学经典著作（后面随文介绍）中与主题相关的数学史与数学教学的研究文献，从中考察乘法历史、乘法笔算历史、竖式乘法的发展。因为笔算与位值、数的组成分解、运算性质密切相关，所以我们需要关注的问题有：不同的文化中采用的数系系统是什么？依据各自的数系系统发展起来的乘法运算如何进行？采用什么工具、什么方式进行乘法运算？竖式乘法规则在目前各个国家是否统一？

对于古巴比伦、古埃及的乘法发展情况只能从数学通史类著作中寻找[3-5]，古埃及纸草书中记载了乘法的方法——倍乘法。两个数相乘，先将其中较大的数加倍，然后根据较小数组合不同的倍数和，得到结果。比如[32×13=416]的计算过程如图1所示。这种算法在几千年笔算乘法的历史中体现出旺盛生命力。但如果乘数很大时，分解乘数为倍数和的技巧就要高，且计算步骤烦琐。

中国自汉代起已经熟练使用算筹计算，一直沿用至宋元时期算盘出现。在摆放算筹时有横纵两种形式，个位从纵式开始，随位数增加纵横交错摆放，以区分数位。算筹乘法从高位算起，两个乘数分别放在上位和下位，乘积放中位，0用空位表示。比如[32×13=416]的筹算过程如图2所示。高位算起，遇有进位，增添算筹便捷。

印度的乘法是在一块覆盖沙子或面粉的板子或者小黑板上进行演算，被冠以不同名称：格栅（gelosia）算法、格子乘法、四边形乘法等。格栅算法究竟起源何时何地还未知，学者推测印度是可能的起源地，并传到中国和阿拉伯。传至中国时被称为“铺地锦”。两个乘数分别置于格子上方和右侧（也可以是上方和左侧，但内部斜格方向与乘數书写顺序不同），各部分乘积各占一个方格单元，斜排的数字相加，结果从格子的底部和左侧读出。仍以[32×13=416]为例，格栅算法如图3所示。

中世纪时期（529—1436）的数学出现交流传播融合的局面，随着中国 “丝绸之路”与中亚乃至欧洲的学者们进行了活跃的知识交流，中国古代辉煌的数学知识传至印度获得发展后，在中世纪传至欧洲。在12世纪，最重要也最有原创性的欧洲数学家集中于意大利，意大利地区是通向欧洲的丝绸之路的终点，是东西文化的熔炉，代表人物是斐波那契（约1180—1250），他于1202年完成了一部数学史上的经典著作《算盘书》（Liber abaci，也称《计算之书》《算经》），印度-阿拉伯数字在此书中被大力提倡。他的这部著作可以说是中国、印度、希腊、阿拉伯数学的合金[6]。紧随中世纪之后的文艺复兴初期，意大利的帕乔利（1445—1514）在1487年出版的《算术、几何、比及比例概要》成为最有名的数学材料编撰著作，内容涉及算术、代数、欧氏几何、复式簿记。这两部经典著作中的乘法计算方法，都可以看到数学文化交流融合发展的痕迹。如果要了解初等数学在中世纪及文艺复兴时期的发展情况，这两部文献是重要的学习资料。《计算之书》中的乘法计算既有纸笔算，也有手指算，同时有2～9的乘法表，仍以[32×13=416]为例，“对角线法”计算过程见图4，进位用手指辅助记忆;同时，也有格栅算法（同图3，此处略）;帕乔利的著作《算术、几何、比及比例概要》中提出了八种笔算乘法的方法，其中六种方法沿袭发展了斐波那契的方法，另外两种方法有了竖式形式，但是从乘数的高位算起，“分解乘数法”如图5所示。

乘法结果的检验方法“弃九法”（也称“舍九法”），在印度、意大利的著作中均有出现。

从历史中看出不同文明中的乘法算法与算理的异同之处，以[32×13=416]为例说明其中的原理，如表2所示。

表2显示，所有算法体现了两个共同特点：第一，依据乘法分配律;第二，乘数的加法分解（除埃及的乘数按2倍分解为加数外，其余均依十进制分解）。从乘法计算的发展过程中可以看出，计算的困难在于随着乘数位数增多，进位变多容易出错，只有格栅算法保留了计算过程帮助检验步骤，但格子本身画起来十分烦琐，且每一个乘数均要分解，效率不高。在最大程度压缩步骤和尽可能保留过程的需求中平衡，最终形成现代样式的竖式乘法，即便是现代竖式也有细节上的差别。中国筹算改变乘数与积的位置，保留过程中随乘随减相消的数，筹算形式直接转化为阿拉伯数字笔算形式，遇有进位可做标注等，这些变化经历了漫长的时间，而这个过程是人类数学文化的共同创造、交流、借鉴与发展。即便是现代形式的竖式，计算中进位也是易错之处，但斐波那契明确教导我们：“计算要用心用脑！”

历史启发我们，自古以来，计算就是一种人类的活动。中国的位值制的书写方法是计算的基础，再辅以印度-阿拉伯书写数字系统更加方便计算并记录结果。今天学校里学习用纸笔进行加减乘除计算，是人类计算发展到成熟阶段的结果，学生可能出现的各种计算错误与数学每一步的发展是密切相关的，比如位值思想不清晰、十进制转化不灵活、数的分解与组合策略不熟练等，可以说，这些错误根源是不同文明中数学弊端的体现，如果我们了解漫长曲折的计算发展历史，对学生出现的“错误”不会过分苛责，辅以“用心用脑”的训练提高计算力和理解力，以及对于书写不规范的“错误”无错可言，给予一定的时间经过自己的体会“慢慢”规范;另一方面，历史上不同乘法计算能在各自民族中通用很久也有其适用的道理，表2呈现的不同算法，可以用作特殊乘法的巧算原理，比如“对角线法”用来解决[37×37]这类两位乘数相同的乘法，比竖式乘法更为便捷，因此可以通过解读并比较历史算法的适用性来帮助学生理解传统算法蕴含的智慧并启发灵活应用。现今我们笔算的“竖式乘法”带有中国古代数学算法程序化特点的传承，计算工具、计算表、计算法则使得计算变得更加便利。当归结为竖式计算时，最终运算归为20以内加减法，所有乘法归结为表内乘法，重要依据是乘法对加法的分配律——此为“竖式乘法”的数学之“源”;位值制为“竖式乘法”的数学之“本”;而将乘数分解为加数之和的策略多样，若乘数特征突出，选择数的分解策略（数的组成与分解）巧算速算，若乘数并不突出，乘数按位值分解（十进制数的构成方式），前者可以是历史上曾经出现的多样算法，后者是经过发展沉淀为现今竖式乘法的一般形式，更为通用，竖式的重要意义在于算法的程序化、机械化，数学始终在寻找解决问题的一般化、最优化——此为数学发展之“流”。

对教学的数学史进行解读，既要从显性的史料中寻找“人类曾经有什么样的数学”，思考现在所学的数学何以成为这样，又要挖掘不同文化中数学事件蕴含的隐性脉络，思考“人类发展的数学本质是什么，数学演进的规律”，关注历史中的“人”“事件”，遇到的障碍、做出的创新、对数学的情感及观点等，纳入育人的素材库。

（二） 数学史融入课堂教学的实践

课堂教学的设计扎根于对历史的深入解读，正如上文中梳理出丰富的历史启发，教师则需要根据历史，结合数学学科逻辑序、学生认知序进行取舍[7]，精心设计来凸显数学本质与人文性。通过关键性问题设计教学思路，增加数学阅读与审辨性思维和人文情感发展。教学中以“竖式乘法的历史之旅”开展教学，探究代表性文明中的乘法理解与算理探究，通过方法比较，根据笔算“尽可能保留步骤又达到最简洁”原则来“创造”竖式形式。为将上文中获得的育人启发发挥于教学中，教师需要让学生思考以下问题：

（1） 如何理解代表性的古代文明中乘法计算的算理？

（2） 乘法计算从古至今发展到现在竖式形式的过程中，需要哪些数学准备？现在使用竖式乘法是否还有可能再压缩、简练步骤？

（3）课中介绍的古代乘法计算方法现今是否完全弃之不用？除了课中介绍的方法，你还知道乘法计算的其他方法吗？

（4）中国的筹算乘法与现代竖式乘法相比，有何不同与相同之处？算法有什么特点？

（5）五个文明古国出现数学著作的年代都发生了什么重要事件，对数学发展有何影响？有哪些代表性的数学人物？

当然，教师可根据对每一主题的历史的深入解读，设计更能激发学生兴趣、强化拓展数学阅读、问题解决能力及创新应用的问题。

（三）数学史育人的价值思考与探索

教育界学者与教育实践者始终致力于对新时代背景下数学课程承载育人目标与内涵的探索，汪晓勤教授指出，数学史发挥的教育价值体现在知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效六个维度[8]。上文的历史解读可借鉴此六个维度归类分析，发挥数学史的教育价值。诚然，这些价值并非在一节课中全面覆盖，要根据教学目标进行合理取舍。此外，数学史发挥的育人价值在新时代“立德树人”根本要求下，一線教师仍需在数学史的学习及融入教学的实践中不断体会、发掘数学史能够发挥的育人价值维度与内涵。

三、提升教师数学史素养的意义

实践后再重新审视教师提升数学史素养的意义，更加深刻地体会到数学史的学习与实践，对于提升教师数学观、教育观及学生观发挥重要的作用和意义。

首先，教师通过数学史学习，提高自身对数学的洞察力和对数学的了解，增长面向教学的数学知识。从数学之源中体会数学学科的特征：数学的抽象形式，追求高度精确可靠知识、对宇宙和人类社会探索中最大限度追求一般性模式或一般性算法的倾向以及数学在创造性活动中对美的追求。

其次，教师通过应用数学史，改善数学教学观念与行为。从数学历史发展的关键片段中了解数学方法之间的关联与本质、数学与多学科的联系，将学生带到历史经典事件中，通过自己的思考与实践，建构数学意义，创生数学知识，实现学生的“再创造”。

再次，教师通过数学史的学习—实践—反思，更新数学学科的育人观。学生通过数学学科的学习究竟获得什么？在逻辑思维和理性精神之外，还有对人类数学文化的包容理解与尊重以及对数学学科的人文情感等。

值得说明的是，一线小学数学教师常常更期待能有直接融入教学的史料，或有将史料融入教学的“屠龙之技”，但是，数学史融入课堂教学发挥育人价值，需要建立在教师自身对数学史知识有丰富的储备与理解的基础上。将学术形态的数学史转变为教育形态的数学史，研究者始终在路上，只有进行时没有终结时，对数学教育本质的理解将从数学发展的历史中获得启迪。

参考文献：

[1]岳增成，沈中宇，王鑫，等.影响小学数学教师HPM实践的叙事研究[J].数学教育学报，2020，29（6）：74-79.

[2]蔡宏圣.数学史走进小学数学课堂：案例与剖析[M].北京：教育科学出版社，2016.

[3]李文林.数学史概论：第3版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] KATZ V J.数学史通论：第2版[M].李文林，邹建成，胥鸣伟，等译.北京：高等教育出版社，2004.

[5]博耶.数学史[M].秦传安，译.北京：中央编译出版社，2012.

[6]斐波那契.计算之书[M].纪志刚，等译.北京：科学出版社，2008.

[7]潘丽云.数学史视野下小学教师数学素养提升的实践研究[J].课程·教材·教法，2020，40（6）：96-101.

[8]汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师，2017（7/8）：77-83.

（北京教育学院初等教育学院   100120）

作者：潘丽云

算经十书数学思想分析论文 篇2：

敦煌《算经》编撰年代及源流探析

内容摘要：关于敦煌写本《算经》的编撰年代，有唐代说、五代说以及唐五代说，笔者结合韩延《夏侯阳算经》，将其编撰年代推定在唐代宗建中元年之后的中晚唐或后唐。《算经》类算书的源流，前人多追溯至晋代的《孙子算经》。笔者通过对比，认为北大秦简《算书》甲篇是《孙子算经》《算经》的源头，其内容和结构对后世算书的编撰有很大影响;《算经》分门别类的编撰体式，是受北朝《算书》的影响，而北朝《算书》上承《孙子算经》。由此，《算经》类算书的源流和发展脉络愈加明晰。

关键词：敦煌写本;《算经》;《孙子算经》;北大秦简《算书》甲篇;北朝《算书》

On the Codification Era and Origins of the Suan Jing from

Dunhuang Documents

REN Zhanpeng

（Headquarters for Education， Hiroshima University， Higashi Hiroshimashi， Hiroshima 7398511， Japan）

《算经》，史籍未载，作者不明，幸赖敦煌莫高窟藏经洞得以保存了6个卷号的写本，可以缀合为两件，为P.3349+S.5859、S.19+羽37+Дx.3903+

S.5779{1}。缀合后的两件写本的内容依旧残缺，按照现存内容可以分为三部分：一是序文，二是以筹算识位法和乘除法、九九乘法歌、大数法、度量衡制为主的传统基础算学知识，三是“均田法第一”。一直以来学界多围绕《算经》的内容和价值展开探讨，且多涉及与《孙子算经》《夏侯阳算经》《五曹算经》的对比，先后有李俨[1]、那波利贞[2]、李倍始（U.J.Libbrecht）[3]、赵承泽[4]、许康[5]、李并成[6]、王进玉[7]、宫岛一彦[8]、王渝生[9]、李迪[10]、刘钝[11]、邓文宽[12]等先贤的研究成果可供参考。

本文在先贤的基础上，欲就以下两个方面的问题展开讨论：首先是《算经》的编撰年代。李俨、那波利贞、许康、宫岛一彦、郝春文、王进玉虽对此提出了自己的观点，但尚无定论，现在主要有唐代说、五代说以及唐五代说。笔者在校录《算經》写本时，发现识位法中的部分内容源自《夏侯阳算经》，对于缩小编撰年代的范围有重要价值。其次是《算经》类基础蒙书的源流。据先贤研究，《算经》内容多见于《孙子算经》，表明《孙子算经》就是《算经》的源头。2010年北京大学入藏的一批秦简中，有《算书》甲篇210枚[13]，此书内容、结构与《孙子算经》《算经》非常类似。另外，敦煌文献中尚有北朝《算书》一卷，结构与《算经》较为接近。这两件资料对探究《算经》的源流具有重要意义。接下来就以上两个问题进行讨论，以求教于方家。

一 《算经》编撰年代新探

关于《算经》的编撰年代，李俨在1935年《中算书录》中主张是开元、天宝年间[14]，然未说明，1938年在《唐代算学史》一文中称唐代[15]，1955年又在《中算史论丛·宋代民间算学教育》中提及是唐末宋初[16]。那波利贞推断为唐代昭宗大顺二年（891）之前[2]。许康主张《算经》写于唐代或五代[5]。近年来，郝春文[17]、王进玉[18]主张五代说。先贤的认识尚不一致，下面依次对各观点进行分析。

李俨《唐代算学史》一文判断《算经》是唐代著作，主要依据有二：第一，《算经》中“《大唐令》文：诸[度]以北方秬黍中者一黍之广[为分]”一句与《唐律疏议》所载“《杂令》“度以秬黍中者一黍之广为分”及《唐六典》所载“凡度以北方秬黍中者一黍之广为分”的内容相吻合{2};第二，《算经》所载“五尺曰步”，与《旧唐书·职官志》所载“凡天下之田，五尺为步，步二百有四十为亩，亩百为顷”[19]的相关内容一致。从李俨所举材料来看，《算经》的内容符合唐制，那么它编撰于唐代的可能性很高。然而李俨又在《中算史论丛》中提出它是唐末宋初著作，但未说明。许康所依据材料与李俨类似，认识却略有不同。他指出《算经》所载“五尺曰步”与唐代《夏侯阳算经》所载相同，符合唐制，又结合李俨所列第一条材料，认为《算经》写于唐代或五代。的确，五代的度量衡制基本延续自唐代，且后唐也有称“大唐”{1}，所以不能排除《算经》编撰于后唐的可能性。

郝春文先生进一步主张五代说，依据有三：其一，唐人多称《开元令》或《某某年令》，而不称《大唐令》;其二，《算经》量部末尾载“今云：廿粟为一圭”，与《大唐令》中“十粟为一圭”一句不同，透露出其时代在《大唐令》之后;其三，《算经》中量制单位“抄”，唐代成书的《隋书·律历志》中写作“妙”，而成书于后晋的《旧唐书·食货志》即写作“抄”，似乎表明《算经》的时代与《旧唐书》成书时代相近。笔者以为这三条依据皆有值得商榷之处。首先，唐杜佑《通典·职官》载：“大唐令：诸职事官年七十、五品以上致仕者，各给半禄。”[20]此材料可证唐代当朝有称《大唐令》。其次，《算经》中“又据《大唐令》文：诸[度]以北方秬黍中者一黍之广[为分]”一句出现在度制内容末尾，应该是作为度制的补充介绍，而不能认为《算经》所载量制的“十粟为一圭”亦出自《大唐令》。而且“廿粟为一圭”的说法在传世文献中尚未发现，笔者以为它可能出自当时的地方制度，可能是唐代，也可能是五代，所以不能根据这句话得出《算经》的编撰年代在唐代之后的推测。最后，《隋书·律历志》载：“《孙子算术》曰：‘六粟为圭，十圭为秒，十秒为撮，十撮为勺，十勺为合。’”[21]其中作“秒”字，而非“妙”字。《隋书》中作“秒”，可能是“抄”字之讹，而且古籍传本用字不一非常多见，实难据此来推测《算经》的时代。王进玉亦认为是五代，然不知所由。总之，以现有的证据来看，并不能排除《算经》编撰于唐代的可能，还是唐代或后唐时期更为稳妥。

日本学者那波利贞还提出唐昭宗大顺二年（891）之前说。那波氏得出此结果的前提是《算经》和P.2667《算书》是同一本书，P.2667背有题记“大顺二年十一月”（按：该题记为“大顺三年十二月”，那波氏校录有误）。“大顺”是唐昭宗年号，那波氏进而推测出《算书》和《算经》的编撰年代应该早于大顺二年。但是，《算经》和P.2667《算书》不是同一本书，这一点先贤已有论断。如许康主张《算书》可能出自北朝[5];菊池英夫推断《算书》的编撰年代在北朝到唐初之间[22];郭正忠更是经过对《算书》各题内容的详细考证，判断它是北朝著作[23]。王进玉支持郭正忠之说[18]79-80。可见《算书》的编撰年代早于《算经》似乎已成定论，二者实非一书，因此那波氏的立论基础就不成立了。

从先贤所举材料来看，《算经》的编撰年代应该在唐代或后唐，而笔者重新校录P.3349《算经》之后，发现一条资料对于判断其编撰年代上限有帮助。P.3349中识位法紧接在序文之后，仅有三行，行末皆残缺，李俨的录文如下：“凡算者正身端坐，一从右膝而起，先识其位，一纵十横，百立千僵，万百相似，千十相望。六不积聚，五不单张。算 乘之法，十步至十，百步至百，千步至千，万步至万。乘除之法，言十自过，不满自当，相 乘至尽则已。 ”[24]“先识其位，一纵十横，百立千僵”一句，李俨所补应该无误，但是“算乘之法，十步至十，百步至百，千步至千，万步至万”一段的校补，笔者以为值得商榷。依据IDP彩图，可见写本“万步至万”一句之前二字明显作“百见”，结合起来应该作“百，见万步至万”，而与这句话类似的内容出现在《夏侯阳算经》中。《夏侯阳算经·明乘除法》载：“夫乘除之法，先明九九。一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当……言法之上，见十步至十，见百步至百，见千步至千，见万步至万。悉观上数，以安下位。上不满十，下不满一。”[25]据此，笔者把《算经》“五不单张”一句之后的内容校补作：“算 法 □□□，见十步至十，见百步至 百，[见千步至千]，见万步至万。”因此可以推断出《算经》这段话其实出自《夏侯阳算经》。另外，《算经》量制的“十粟为一圭”，与《孙子算经》所载“六粟为一圭”不同，而与《夏侯阳算经》一致，为《算经》有参考《夏侯阳算经》的又一例证。钱宝琮经过考证，认为传世本《夏侯阳算经》是唐人韩延大约在唐代宗建中元年（780）两税法施行以后编撰的[26]。若钱氏考证无误的话，那么《算经》的编撰年代应该在韩延《夏侯阳算经》之后。也就是说，《算经》的具体编撰年代应该是在唐代宗建中元年之后的中晚唐或者后唐时期。

二 《算经》的源流探析

利用北大秦简《算书》甲篇、敦煌写本北朝《算书》，结合《孙子算经》，对《算经》的源流试作探析，以期对唐以前算学蒙书的发展过程有更多认识。

从李俨、那波利贞、许康等学者的论述中，可知《算经》序文、度量衡制、大数法、识位法、九九乘法歌等的内容多源自《孙子算经》。这里对二者内容结构和性质的相同点作一点说明。《孙子算经》的编撰年代大约在公元400年前后[25]275，唐人多有修订[26]104。传世本《孙子算经》分为序、卷上、卷中、卷下，卷上内容依次为度量衡制、大数法、金属比重、识位法和乘除之法、九九乘法歌;卷中和卷下是各种算题。现存《算经》的内容依次为序文、识位法和乘除法、九九乘法歌、大数法、度量衡制、九九乘法歌、田亩算题。可见二者内容结构高度相似。二者都是基础算书。钱宝琮认为：“《孙子算经》卷上首先叙述竹籌记数的纵横相间制和乘除法则，卷中说明分数算法和开平方法，这些不仅在当时达到了普及数学教育的目的……卷中和卷下所选的应用问题大都切于民生日用，解题方法亦浅近易晓。”[25]275-276那波利贞认为《算经》和《孙子算经》的内容都是唐代普通人日常实际生活中最低限度的算术知识，是可以在寺塾、乡学、里学等学校中使用的庶民普通教育的教材[2]。王渝生指出敦煌算书的数学水平与著名的十部算经中的《孙子算经》《五曹算经》和《夏侯阳算经》大致相当[9]。因此从内容结构和性质来看，我们可以断定《算经》上承自《孙子算经》。

除此以外，北大秦简《算书》甲篇内容和结构与《孙子算经》《算经》较为接近，敦煌本《算书》所存部分也与《算经》的“均田法第一”结构类似，对于它们之间的联系，学界尚未充分关注。

（一）北大秦简《算书》甲篇与《孙子算经》《算经》的关联

北京大学入藏的秦简与算学相关的有4卷，即卷3、卷7、卷8和卷4的一部分。卷7和卷8的内容、形式类似，是关于田亩、租税计算的算书，存篇名《田书》。卷3和卷4的一部分是以各种算术和相关算题为主，未存篇名，韩巍拟题作《算书》。卷4中的《算书》又分作甲、乙两篇。甲篇210枚简，可以分为四个部分，依次为《鲁久次问数于陈起》、九九乘法歌、算题汇编、衡制[13]。这些内容让笔者联想到了《孙子算经》《算经》，它们的联系值得深入探究。

对于《算书》甲篇，前人的目光多集中在开头的《鲁久次问数于陈起》，不断探究其文意与其他文献的关系。郭书春和郭世荣的论述涉及了该文与《孙子算经》序文的一些异同点[27]。郭书春认为二者在强调“数”的作用方面有一定相似性。郭世荣认为陈起是从实际出发，论述平实，而《孙子算经》所述比较夸张和张扬。先贤虽然已经论及一些《鲁久次问数于陈起》与《孙子算经》序文的异同点，但是未能说明。下面具体来看看此文与《孙子算经》《算经》序文的关系。

《鲁久次问数于陈起》共32枚竹简，816字，原无篇题，韩巍取其篇首命名，简称为“《陈起》篇”起自“鲁久次问数于陈起”，终于“所求者毋不有也”{1}，包括鲁久次的三次提问和陈起的三次回答;通过问对，论述了数学的起源、作用和意义。鲁久次的三次提问，分别引出三个问题：第一问是“久次读语、计数弗能并撤，欲撤一物，何物为急”，第二问是“天下之物，孰不用数”，第三问是“临官莅政，立度兴事，何数为急”。其中第二问和第三问的部分内容皆可在《孙子算经》《算经》的序文中找到相关内容，见表1。

《算经》序文大部分内容与《孙子算经》相似，经过对比，二者的联系明显有三：

其一，二者都借用天地、日月、四时等宏大又不可缺少的事物来说明数学的重要性。《鲁久次问数于陈起》第二问中“天下之物，无不用数者。夫天所盖之大也，地所生之众也，岁四时之至也，日月相代也，星辰之往与来也，五音六律生也，毕用数”，这段话所论之“天”“地”“四时”“日月”“星辰”等，都能在《孙子算经》序文“夫算者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪”中找到对应的内容，都是从宏观的角度表达“数”的重要意义。

其二，二者都宣扬数学对人们日常生产生活的重要意义。《鲁久次问数于陈起》第二问中“地方三重，天圆三重，故曰三方三圆，规矩水绳、五音六律六闲皆存”这段话对应着《孙子算经》序文的“立规矩，准方圆”。第三问中从“不循昏黑，澡漱洁齿”到“各有所宜，非数无以知之”一大段话，是从现实的角度表达“数”在日常生活、生产、营造、军事等方面不可缺少的。《孙子算经》序文浓缩为“谨法度，约尺丈，立权衡，平重轻，剖毫厘，析黍絫”数语，更为精炼罢了。

其三，两者都有明显的劝学意图。《鲁久次问数于陈起》第三问末尾的“（隶首）者算之始也，少广者算之市也，所求者毋不有也”，这几句话与《孙子算经》序文末尾的“向之者富有余，背之者贫且窭”所表达的含义类似，旨在告诉学习者算学是成功的阶梯。

由此可见，《鲁久次问数于陈起》所表达的算学意义和价值，基本可以在《孙子算经》序文中找到对应的部分，可以说前者是后者的源头。不同的是前者以问答方式展开，解答细致;后者则借用“孙子”之口进行述说，注重简要。从学习者的角度看，后者容易记诵，更为实用。

另外，《鲁久次问数于陈起》第三问中还提道：“民而不知度数，譬犹天之毋日月也。天若毋日月，毋以知明晦。民若不知度数，无以知百事经纪。”这段话让笔者联想到了《算经》序文末尾的“言人不解算者，如天无日月，地无泉源，人无眼目”。二者都强调了算学的重要意义，涉及内容和形式有一定的相似性，说明它们有渊源关系。《孙子算经》的编撰时代在《鲁久次问数于陈起》与《算经》之间，而传世本序文中却没有这段类似的内容，似存在传播过程中亡佚的可能。

总之，可以确定的是《鲁久次问数于陈起》就是《孙子算经》《算经》序文的源头，这对探究《孙子算经》序文的形成具有启示性，而且可知《孙子算经》和《算经》所表达的数学思想早在秦代就已经形成。

《算书》甲篇中《鲁久次问数于陈起》之后的内容，僅韩巍《北大秦简中的数学文献》一文有所介绍，尚未有学者与《孙子算经》《算经》做过对比。

《算书》甲篇的第二部分是九九乘法歌，韩巍称之为“九九术”，共八枚简，上下五栏抄写，起自“九九八十一”，终于“一一而二”，共三十七句，后接算题，其内容和形式与里耶、敦煌、居延等地出土的九九乘法歌基本相同，只是缺了“二半而一”一句。《孙子算经》中的九九乘法歌是在度量衡制、大数法等之后，算题之前。《算经》有两篇九九乘法歌，第一篇在序文和识位法之后、大数法之前;第二篇在度量衡制之后、田亩算题之前。可见三本书中九九乘法歌的位置相似。不过，《孙子算经》《算经》九九乘法歌已经发展为四十五句的“小九九”，且在歌诀后添加了加法、除法、平方运算，内容更为丰富。

《算书》甲篇的第三部分是算题汇编，内容以田亩和田租方面的算题和相应算术为主，现存标题有“田”“租禾”“租枲”“不为实”等，概括了本组算题的内容。算题结构可分三类：一是先以“某某述（术）曰”或“曰某某述（术）”开头，陈述算术，然后列举例题;二是先举例题，然后用“某述（术）曰”说明算术;三是仅有算术而无例题，如“乘分”“合分”“约分”等分数运算。这种内容形式和算题结构为后来的《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《算经》等算书所继承。具体到《孙子算经》《算经》，算题都是以“今有……问……”的形式提出问题，以“答曰……”或“曰……”的形式公布答案，最后用“术曰……”的形式讲述算法和计算过程。

《算书》甲篇的第四部分是衡制，包括石、钧、斤、两、锱、铢等单位的相互换算，如“一石而四钧”“一钧而卅斤”等，形式上与《孙子算经》《算经》的度量衡制相近。不同的是，《算书》甲篇仅有衡制，且其中单位换算用“而”字连接，而后两者度量衡制齐备，单位换算多用“为”字连接。

综上所述，《算书》甲篇中的《鲁久次问数于陈起》其实可以看作是其序文，紧接着是九九乘法歌、算题汇编、衡制。除了衡制的顺序，可以说内容和形式与《孙子算经》《算经》相似度很高，证明了《算书》甲篇就是《孙子算经》《算经》的源头。

（二）北朝《算书》与《孙子算经》《算经》的关联

关于敦煌写本P.2667《算书》，前人已注意到其“营造部第七”“□□部第九”的部名以及算题形式与《算经》“均田法第一”有诸多相似之处，那波利贞便以为它可能是P.3349《算经》的一部分[2]。那么它与《孙子算经》《算经》又有怎样的联系呢？

P.2667《算书》，首尾俱缺。原件无题，李俨最早称之为《算书》。许康[5]、郭正忠[23]皆证明它是北朝著作。故本文称之“北朝《算书》”。那波利贞认为它和《算经》一样，是唐代乡校的俚儒编纂的作为教授普通庶民的一般教科书[2]。宫岛一彦认为它是初级的数学问题集[8]，李并成说它是用于学校或家塾教育的初级数学课本[6]。可见其性质和《孙子算经》《算经》非常类似。

该算书现存计有算题13道，第2题之后有部名“营造部第七”，第10题之后有部名“□□部第九”，各题的结构是以“今有……”开头的题目，然后是以“△问：……”的形式提出问题，接着用“△曰：……”的形式给出答案，最后是“△

术：……”的形式给出算法。这一形式与《孙子算经》《算经》相似。其算题涉及内容包括民食、军需、营造、生产，具体问题有人口食量、马匹食量、堑和堤的营造、建屋用瓦、衣袍制造、城防建设、军队出征、生活物品生产（作枕、燃蜡），与普通人的日常生活关系不大，而是与官吏的行政和军事工作、社会生产的关系更为密切。《孙子算经》卷中也有类似的工程营造（圆窖、方窖、索、堤、沟、筑城、穿渠）、生活物品生产（作枕、织布）等。二者相近的算题对比可见表2。

表2所举算题为建屋用瓦、方木作枕、修建堤坝三题，二者的数据基本相同、算法近似，可以确认北朝《算书》的这些算题源自《孙子算经》。但是《孙子算经》未分部，而《算书》中“营造部第七”和“□□部第九”两个部名的出现表明它更有体系。姜亮夫在《敦煌——伟大的宝藏》中指出：“这种分类编辑法，本是六朝以来类书体式，也是适应当时民间需要而作的。”[29]可见《算书》采用的分类体式，显然顺应时代，受到了类书编撰体式的影响，较之《孙子算经》是进步的体现。

《算书》虽是北朝著作，但敦煌写本的字体是正楷，抄写时代应该是唐代，背面是社司转帖、字迹清晰的三件状稿和《千字文》以及题记“大顺三年（892）十二月”，对比正背面书写情况，正面的《算书》是较为正式的抄写，而背面带有杂写性质，所以推测《算书》的书写年代在前，背面内容在后，那么敦煌本北朝《算书》的书写年代当在唐代大顺三年之前{1}。

北朝《算书》一直到唐代还在敦煌地区流传，它应该对《算经》的编撰产生过一定的影响。下面从内容形式和写本特征两方面分析二者的异同点。

首先，二者的编撰形式具有相似性。北朝《算书》的部名“营造部第七”“□□部第九”与《算经》部名“均田法第一”有一致性，都采用类书的编撰体式而且二者算题的形式也基本相同，都分为题目、提问、答案、算法四部分，前者当是后者体式之滥觞。顺便一提，宫岛一彦根据题目的相关性，推测《算书》的每部皆由4道题构成[8]，即现存第1题和第2题属于“某某部第六”，第3题到第6题属于“营造部第七”，第7题到第10题属于抄写过程中脱掉的“某某部第八”，第11题到第13题属于“□□部第九”。此说颇有道理。但是《算经》“均田法第一”最少有10道算题，与宫岛氏所推测出的《算书》每部由4道题构成的结构不同。

其次，二者的写本特征具有相似性。写本都留有天头地脚，有界栏，行约35字，总的抄写方式类似，但是二者字迹不一，非同一人所抄。

经过对比可知，《算经》中算题分门别类的结构形式非原创，而是承自北朝《算书》。北朝《算书》在唐代还在流行，甚至和《算经》一起流行于敦煌地区，因此不排除《算经》的编撰者直接参考《算书》的可能。遺憾的是，《算书》和《算经》都缺失大半，难以了解它们的全貌。

小 结

《算经》的编撰年代当在唐代或后唐，考虑到其识位法的部分内容引自韩延编撰的《夏侯阳算经》，因此笔者以为将它的具体编撰年代放在唐代宗建中元年之后的中晚唐或后唐更为稳妥。关于《算经》的源流，先贤多追溯到两晋时期的《孙子算经》，笔者通过比对出土秦代简牍，始知早在秦代就已经出现这类算书的先河。《孙子算经》的序文实际脱胎自北大秦简甲篇《算书》甲篇的《鲁久次问数于陈起》，可知其序文所表达的数学思想早在秦代就已经形成;《孙子算经》内容结构也和北大秦简甲篇《算书》非常类似，是知北大秦简《算书》甲篇便是《孙子算经》的源头。敦煌本北朝《算书》继承《孙子算经》而发展，且受到当时类书体式的影响，对算题按照种类进行了分部。唐五代的《算经》可谓博采众长，内容上主要受《孙子算经》影响，而又吸取了《夏侯阳算经》的部分内容，结构上继承北朝《算书》，分门别类。从秦简《算书》甲篇、《孙子算经》、北朝《算书》到《算经》，可以搭建起一条此类基础算书从秦代到唐五代的基本发展脉络。

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作者：任占鹏

算经十书数学思想分析论文 篇3：

浅谈中国数学发展之进程

摘要:中国是人类数学最早的发源地之一。在古代世界四大文明中,中国数学有着光辉的历史,它所持续的繁荣时期也是最为长久的。中国古代在数学方面的许多领域内都取得了辉煌的成就,曾处于世界遥遥领先的地位。本文主要论述中国古代数学的发展史,着重介绍中国古代数学各个时期的发展情况,略带介绍近现代数学的发展。

关键词:中国;古代数学;发展

一、 中国古代数学的起源、发展与衰退

我国数学的早期萌芽与原始社会的形成紧密相连,当时人们的各种实践活动和智力的发展促使了数学的发生。数概念的起源是我国数学起源的开始,可追溯到原始社会。私有制和货物交换的产生,使数与形的概念有了发展。在出土的仰韶文化时期的陶器上面,已刻有表示1、2、3、4的符号,标志文字符号取代结绳记事了。商中期,据《易·系辞》记载:“上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字,从一到十,百、千、万是专用的记数文字。与此同时,殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期;在周代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示8种事物发展为六十四卦,表示64种事物。春秋战国之际,筹算已得到普遍应用。用算筹记数,有纵、横两种方式。表示一个多位数字时,采用十进位值制,各位值的数目从左到右排列,纵横相间,并以空位表示零。这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的,使得这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用。这时期,对于图形也有许多定义与使用,如:半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方,确定平直,人们创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载,夏禹治水时已使用了这些工具。公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。

《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从9岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、御、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,尤其是对于证明和一些命题的争论直接与数学有关,一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。如《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题,例如:圆,“圆,一中同长也”;平,“平,同高也”;方、直、次(相切)、端(点)等等,也给出了数学定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题,强调抽象的数学思想。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

秦汉是封建社会的上升时期,经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系在这个时期正式形成,数学方面的书籍陆续出现。如:汉简《算数书》,成书年代于公元前186年。《周髀算经》,西汉末年编撰。在数学方面的主要贡献有两项:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)测太阳高、远的陈子测日法,是后来重差术(勾股测量法)的先驱。此外,还有较复杂的开方问题和分数运算等。还有《九章算术》,是战国、秦、汉数学发展的总结,是经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作,成书大约在东汉初年。全书采用问题集的形式编写,共收集了246个问题及其解法,分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。在代数方面,《方程》章中引入负数概念及正负数加减法法则。它采用按类分章的数学问题集的形式,算式都是从筹算记数法发展起来的;以算术、代数为主,很少涉及图形性质;重视应用,缺乏理论阐述等。《九章算术》中的数学概念在世界数学史上遥遥领先,对世界数学的进展起到了促进作用。

进入魏晋时期,中国数学在理论上有了较大的发展。三国吴人赵爽注《周髀算经》,在《周髀算经》书中补充“勾股圆方图及注”和“日高图及注”,他是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。汉末魏初徐岳撰《九章算术》注,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注,继承和发展了战国时期名家和墨家的思想,对数学名词及重要的数学概念给以严格的定义,认为对数学知识必须进行“析理”,才能使数学著作简明严密,利于读者。创造割圆术,利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率为157/50和3927/1250。还用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时,刘徽为彻底解决球的体积指出了正确途径。他们的工作,被认为是中国古代数学理论体系的开端。

而祖冲之父子在刘徽注《九章算术》的基础上,把传统数学大大向前推进了一步。据推测,祖冲之在刘徽割圆术的基础上,算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,他又用新的方法得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作,使中国在圆周率计算方面,比西方领先约一千年之久。祖冲之之子总结了刘徽的有关工作,提出“幂势既同则积不容异”,即等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等。这个公理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

隋唐时期,隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题,反映了这个时期数学的情况。656年国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人,由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》,作为算学馆学生用的课本。李淳风等编纂的《算经十书》,对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。

从11～14世纪约300年期间,筹算数学达到极盛,中国古代数学空前繁荣,硕果累累。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作。如贾宪的《黄帝九章算法细草》实现了从开平方、开立方到四次以上的开方,这在认识上是一个飞跃。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”“增乘开立方法”;根据记录可以确定贾宪已发现二项系数表,创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响,其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出六百多年。刘益的《议古根源》,得到了增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法,秦九韶的《数书九章》,是高次方程解法的集大成者,在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。在求根的第二位数时,秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法,这比西方最早的霍纳方法早五百多年。李冶著有《测圆海镜》和《益古演段》,《测圆海镜》是现存最早的天元术著作。(中国数学史上首次引入符号,用天元(相当于x)作为未知数符号,立出高次方程,并用符号运算来解决,古代称之为天元术。)他也对勾股容圆问题进行了详细研究,得到9个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。杨辉著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》,《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷,介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程,是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组,是宋元数学家的一项杰出创造,对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的,他把常数放在中央,四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上,其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法,这是线性方法组解法的重大发展,比西方同類方法早四百多年。在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,补充了《九章算术》的不足。

在宋元时期,中国古代计算技术出现改革。从宋元明的历史文献中可看到,实用算术书目数量远比唐代为多,改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时,穿珠算盘在北宋可能已出现。元代完成了珠算的算法和口诀。

从十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年,中国传统数学的发展出现了停滞的现象,甚至在走向衰落,数学除珠算外出现全面衰弱的局面。在这期间,中国数学非但没有充分发展,连古代数学成就都难以为继,几近失传。明代珠算普及,出现了许多珠算读本,及至程大位的《直指算法统宗》[1592]问世,珠算理论已成系统,标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行,筹算几乎绝迹,建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传,使中国的数学出现长期停滞。还有许多其他原因,使中国数学开始落后于西方。

二、 中国近现代数学及西方数学对中国数学的影响

中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。留学生们回国后成为著名数学家和数学教育家,为中国近现代数学发展作出重要贡献,推动了各地大学数学教育发展。北京大学1912年成立时建立数学系,到1932年,各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年,熊庆来在清华大学首创数学研究部,开始招收研究生,陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。上世纪30年代出国学习数学的还有江泽涵、陈省身、华罗庚等人,他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时,外国数学家也有来华讲学的。1936年,《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世,这些标志着中国现代数学研究的进一步发展。在分析学方面、数论与代数方面、几何与拓扑学方面、概率论与数理统计方面取得了许多成果。新中国成立后,数学研究取得长足进步。上世纪50年代初期出版了华罗庚的《堆栈素数论》、苏步青的《射影曲线概论》、陈建功的《直角函数级数的和》和李俨的《中算史论丛》5集等专著。除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外,还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础等分支有所突破,有许多论著达到世界先进水平,同时培养和成长起一大批优秀数学家。1973年,陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外,中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见。中国的近代数学,受外国影响很大。1582年,意大利传教士利玛窦来到中国,先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷,与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年,在徐光启主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础,希腊的几何学、纳皮尔算筹、伽利略比例規等计算工具,也同时被介绍进来。在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作,绝大部分数学名词都是首创,其中许多至今仍在沿用。它成为明清两代数学家必读的数学书,对他们的研究工作颇有影响。三角学也在这时被介绍到中国,如《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。随后在1646年,波兰传教士穆尼阁来华,跟随他学习西方科学的有薛凤祚、方中通等。薛凤祚据其所学,编成《历学会通》,想把中法西法融会贯通起来。1840年鸦片战争以后,西方近代数学开始大量传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆,介绍西方数学。第二次鸦片战争后,曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”,也主张介绍和学习西方数学,组织翻译了一批近代数学著作,促进了西方数学在我国推广与应用。戊戌变法以后,各地兴办新法学校,组织翻译的近代数学著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,如:李善兰的《尖锥变法解》《考数根法》,夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等,都是会通中西学术思想的研究成果。

由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程,加上清末统治者十分腐败,在太平天国运动的冲击下,在帝国主义列强的掠夺下,焦头烂额,无暇顾及数学研究,所以,直到1919年五四运动以后,中国近代数学的研究才真正开始。

参考文献:

[1]李迪.中国数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社,1984.

[2]钱宝琮.中国数学史[M].北京:北京科学出版社,1966.

(曲阜师范大学运筹与管理学院)

作者：刘 品