面面垂直的判定练习题

面面垂直的判定练习题（精选6篇）

篇1：面面垂直的判定练习题

面面垂直判定与性质循序渐进式练习

二、面面垂直与线面垂直：

1、条件的正确填写：

（1）由线面垂直证明面面垂直的训练：

①如左图：∵PC⊥平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD

②如左图：∵CD⊥平面PCB，∴平面ABCD⊥平面PCB

③如左图：∵⊥平面PCD，∴平面PCB⊥平面PCD

（2）由面面垂直证明线面垂直的训练：

①如左图：由3个条件：平面BAP⊥平面PAD，和可证：BA⊥平面PDA

②如左图：由3个条件：平面PAC⊥平面ABCD，和可证：BD⊥平面PAC

③如左图：由3个条件：，PA⊥AB

和可证：PA⊥平面ABCD

④如上图：∵，和

∴CD⊥平面PAD2、简单的证明题：

(1)底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，（2）底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PC⊥CD，求证：平面PCD⊥平面PCB平面PAC⊥平面ABCD，求证：BD⊥PC3、中档的证明题：

（1）如图，在正方体ABCD-EFGH中（2）如图：VA=VB=VC，∠ACB=90°，求证：平面BED⊥平面AEGC∠CVA=∠CVB=60°

求证：平面ACB⊥平面AVB

（3）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC

求证：PB⊥平面

AEF

篇2：面面垂直的判定练习题

31空间中的垂直关系

1．判断线线垂直的方法：所成的角是，两直线垂直；

垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

PO,O推理模式： PAAaAO。

a,aAP

2．线面垂直

定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都，我们就说直线l和平面αl叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：。

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

3．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

课后练习

1、（2008上海，13）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是异面直线AB1 和A1D的公垂线，则直线l与直线BD1的关系为（）

A．l⊥BD1B．l∥BD1C．l与BD1 相交D．不确定

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE.2、如图，棱柱ABCA1B1C1BCC1B1的侧面是菱形，B1CA1B

证明：平面AB1C平面A1BC13、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。DAB60,AB2AD,PD 底面ABCD，证

明：PABD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

面面垂直的性质

1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.S

A C2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将

沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD 求证：ABDE4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第4题

图)

CBD

篇3：面面垂直的判定练习题

职业教育是指让受教育者获得某种职业或生产劳动所需要的职业知识、技能和职业道德的教育, 培养的是面向基层、生产、建设、服务和管理一线的技术应用型人才, 所以中职数学课程既要满足学生未来生涯发展的基本要求, 也要为他们进一步的学习提供必要的数学预备知识, 更要突出地为学生的专业技术技能学习提供服务。因此, 中职数学教学内容不可能求“全”求“深”, 教师没有必要在理论上作严密、系统的论证, 而是应该选取贴近培养目标的需求和专业课程所需要的内容, 强调以“必需、够用”为基本原则, 这是中职数学与普高数学最大的区别。如果教师能够首先明确这一点, 再结合有效的教学手段, 相信在一定程度上能提升中职数学教学的有效性。

除了上述因素外, 中职学生对数学学习提不起兴趣的一个重要原因就是, 他们看不到数学的实用价值。但职高学生在进校选专业时大多都是选择自己感兴趣的专业, 正所谓“兴趣是最好的老师”, 如果教师根据中职数学的培养目标, 在教学中尽可能地把所学知识与他们的专业相联系, 设计有专业特色的导入、探究、练习, 势必会引起他们的学习兴趣, 激发他们的求知欲。

一、设计课堂前奏, 引发学习兴趣

苏霍姆林斯基说:“思维是从吃惊开始的, 有吃惊, 才有探究, 有悬念, 才有内趋力, 才能主动获取信息。”课堂导入是一节课的开端, 是一堂课成功的关键环节, 一个良好的开端可以激发学生的兴趣, 唤醒学生的思维。因此, 创设一个扣人心弦的课堂前奏, 能迅速集中学生的注意力, 激发学生的兴趣, 进入一个引人入胜的学习情境。

如在“平面与平面垂直的判定与性质”教学设计中, 针对数控班的学生, 通过播放实训车间铣平面的视频并结合仿真软件来创设问题情境 (见图1) 。

教师活动:播放实训车间铣平面的视频和仿真软件。 (把铣刀抽象成直线, 已知铣刀所在的直线与铣好后的平面垂直)

学生活动 (思考并大胆猜测) :经过铣刀所在直线的两个相交平面是什么位置关系?

数学源于生活, 用于生活, 所以利用和学生专业相关的实际生活来创设问题情境, 找准学生兴趣和认识水平的冲突点, 激发学生兴趣, 让数学课堂更精彩。

二、课中探究步步导入, 引人入胜

著名数学家波利亚认为:“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”动手操作是帮助学生掌握知识、发展潜能的法宝。学生在操作过程中获得的东西不是别人硬塞的, 而是自己的, 这才真正称得上是有价值的东西。教师在课堂上应最大限度地留出时间让学生讨论、活动、实践, 引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手, 尽量挖掘学生的潜能, 使学生自己产生对学习的成功体验, 进而主动去探究知识和掌握知识。

如在“平面与平面垂直的判定与性质”的教学设计中, 情境导入后的教学片段 (探究面面垂直的判定方法) :

学生猜测:上例中, 两个相交平面是垂直的关系 (见图2) 。

师生验证:借助教具将实际问题情境抽象出数学模型并进行验证。

具体做法:基准面放在教具的一个平面上, 测量面靠在另一个平面上, 通过观察得到测量面不透光, 二面角的平面角为90°, 即为直二面角, 从而验证学生的猜想。若没有曲尺, 也可以借助人人都有的三角板来体验两个平面是否垂直。

回到情境:带领学生回到铣平面的场景, 学生通过感知、思考, 归纳本情境蕴含的数学原理。

学生归纳:若一条直线垂直一个平面, 那么经过这条直线的平面也和这个平面垂直。

教师活动:提炼学生所归纳的数学原理, 揭示面面垂直的判定方法。

通过师生合作, 动手实践, 从学生专业课中出现的情境中抽象出数学问题, 并且借助模型让学生亲自动手体验与感悟, 原来生活中, 数学无处不在, 边做边学, 做学合一, 融会贯通。学生是学习活动的主体, 一切教育教学的影响只有通过自身的活动才能生效。学生只有经历一次次心动, 他们的内心才会掀起一次又一次的情感波澜, 才会主动探究, 使我们的课堂不断迸发精彩的火花, 达到更有效的教学效果。

三、结合生活实际, 创设个性练习实例

课堂是师生共同创造奇迹的空间, 课堂是点燃学生智慧的火把。教师在课堂上多创设和专业相结合的个性练习, 激发学生的求知欲, 满足学生的表现欲, 鼓励学生勇于创新, 培养学生应用意识, 特别是用数学知识去解决专业中的问题、生活中的问题。

如“平面与平面垂直的判定与性质”的教学设计中, 在学生理解了面面垂直的判定和性质之后, 让学生回到实践中去解决一些问题。

问题1.教师想要检验铣平面后的工件相邻的两个面是否垂直, 只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上, 另一边在工件的另一个面上转动一下, 观察尺边是否和这个面密合就可以了。请同学们用本节课学习的知识来解释教师的这一动作 (见图3) 。

问题2.工人在砌墙时, 通过观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴 (在铅锤处应有空隙) 来判断所砌墙面是否与地面垂直, 为什么? (如图4所示)

陶行知先生指出:“没有生活做中心的教育是死教育, 没有生活做中心的学校是死学校, 没有生活做中心的书本是死书本。”因此, 只有紧密地联系生活、融入专业, 把教科书上的“死”知识激活, 教给学生“活”知识, 把无声的“数学文本”演绎成鲜活的“生活文本”, 使学生在数学课堂上享受精彩, 才能生成智慧, 促进发展, 提升数学的价值。

摘要：以“平面与平面垂直的判定与性质”这一教学片段为例, 在教学设计中有效将数学知识与专业、生活结合起来阐述, 提高课堂教学的有效性。

关键词：中职数学,专业化,生活化,融合,有效教学

参考文献

[1]徐晓光.专业背景下职高数学课程内容改革的探索[J].职业教育研究, 2007 (2) .

篇4：面面垂直的判定练习题

【例１】 如图,四面体ABCD中,M、E、F分别为△BAC,△ACD及△ADB的重心．

求证：(1) 平面MEF∥平面BCD；

(2) 求S△MEF∶S△DBC．

分析 本题考查面面平行的判定以及面面平行的性质。

(1) 根据重心的性质易知应该连接AM,AE,AF,再根据相似比可知△MEF的三边分别与△DBC的三边平行,进而可得结论；

(2) 因为两个三角形所在的平面互相平行,因此,求两三角形面积之比,实质求这两个三角形对应边之比。

解 (1) 连接AM,AE及AF,分别延长使之交BC、CD、BD于G、H、P三点,由E、F、M分别为三角形的重心,

所以AMAG=AEAH=AFAP=23,所以连接GH、HP、PG，后有ME∥GH,EF∥PH,

可证ME∥平面BCD,EF∥平面BCD,

故平面EFM∥平面BCD．

(2) 由(1)知AMAG=AEAH=23,

即ME=23GH=13BD，

同理可证MF=13CD,EF=13BC,

所以△MEF∽△DBC,其相似比为1∶3,

所以S△MEF∶S△DBC=1∶9．

点拨 由于M、E、F分别是三个三角形的重心,从而联想到重心将三角形的三条中线三等分,

由于平行线分线段成比例,由此联想到直线ME∥GH,ME=23GH,进一步可以证明直线ME与平面BCD平行,从而使命题得证。

题型二 面面垂直问题

【例2】 (2011年江苏卷第16题)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.

求证：(1) 直线EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF⊥平面PAD．

分析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,

考察空间想象能力和推理论证能力。要证线面平行可在所

求平面内找一条与已知直线平行的直线。要证面面垂直可在其中一个平面内找一条另一平面的垂线。

证明 (1) 在△PAD中,因为E、F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD．

又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF∥平面PCD．

(2) 连接DB,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形,因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD．

点拨 由于E、F分别是AP、AD的中点,从而可以证明EF∥PD,由此可以证明EF与平面PCD平行。由平面PAD⊥平面ABCD可以得到直线BF⊥平面PAD,进一步可以证明两个平面垂直。

题型三 面面平行与面面垂直的综合问题

【例3】 如右图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E．

(1) 求证：ABBC=DEEF；

(2) 设AF交β于M,AC∥＼DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当h′h的值是多少时,△BEM的面积最大？

分析 本题主要考查面面平行所涉及的综合求解问题,这类问题不仅在平行时存在,同时在垂直时也存在,对同学们综合知识的能力要求比较高。

证明(1) 连接BM、EM、BE.

∵β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF,

∴BM∥CF.∴ABBC=AMMF,

同理,AMMF=DEEF.∴ABBC=DEEF．

(2) 由(1)知BM∥CF,

∴BMCF=ABAC=h′h.同理MEAD=h-h′h.

∴S△BEM=12CF•ADh′h1－h′hsin∠BME.

据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=12,即h′h=12时,y=-x2+x有最大值.∴当h′h=12,即β在α、γ两平面的中间时,S△BEM最大．

点拨 要证明线段之比相等,一般可以转化为平行线问题,而求解面积的最值问题,一般可将面积表示为某一变量的函数,利用函数知识求解最值问题。

牛刀小试

1. 如图,在三棱锥PABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,

D、E分别是BC、AC的中点,F为PC上的一点,且PF∶FC=3∶1．

(1) 求证：PA⊥BC；

(2) 试在PC上确定一点G,使平面ABG∥平面DEF；

(3) 求三棱锥PABC的体积．

2. 如图,在三棱锥VABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ0<θ<π2．

(1) 求证：平面VAB⊥平面VCD；

(2) 试确定角θ的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．

满盈者，不损何为？慎之！慎之！——朱舜水

【参考答案】

1. (1) 在△PAC中,∵PA=3,AC=4,PC=5,

∴PA2+AC2=PC2,

∴PA⊥AC，又AB=4,PB=5,PA=3,

∴在△PAB中,同理可得PA⊥AB，

∵AC∩AB=A,∴PA⊥平面ABC，

∵BC平面ABC,

∴PA⊥BC.

(2) 如图所示，取PC的中点G,连接AG,BG,

∵PF∶FC=3∶1,∴F为GC的中点.

又D、E分别为BC、AC的中点,

∴AG∥EF,BG∥FD,

又AG∩GB=G,EF∩FD=F,

∴面ABG∥面DEF,

即PC上的中点G为所求的点.

(3) VPABC=5394．

2. (1) ∵AC=BC=a,∴△ACB是等腰三角形,又D是AB的中点,∴CD⊥AB,

又VC⊥底面ABC.∴VC⊥AB.

于是AB⊥平面VCD.

又AB平面VAB,∴平面VAB⊥平面VCD．

(2) 过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H,则由(1)知CH⊥平面VAB.

连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.依题意∠CBH=π6,所以在Rt△CHD中,CH=22asinθ；

在Rt△BHC中,CH=asinπ6=a2,∴sinθ=22.

∵0<θ<π2,∴θ=π4．

故当θ=π4时,直线BC与平面VAB所成的角为π6．

篇5：面面垂直的判定导学案用

编写人：吴敏审核人：程琪

【学习目标】

1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单的二面角的大小

2.理解两平面垂直的定义以及判定定理，会用定理进行平面与平面垂直的判定

3.体会数学中的转化思想

重点：对二面角定义和面面判定定理的理解

难点：对二面角定义和面面判定定理的理解

一、复习回顾

二面角及二面角的平面角的定义

二、课前预习

问题1平面几何中两条直线垂直是怎样定义的？能否类比两条直线垂直的定义，如何定义两个平面互相垂直？

问题2 如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？

【探究】两个平面垂直的判定

问题1 判定两个平面互相垂直，除了定义外，能否利用线面垂直进行判定呢？

问题2:教室的门转到任何位置时，门所在的平面是否与地面垂直？门在转动过程中，门轴是否始终与地面垂直？

问题归纳：面面垂直判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条______________，则两个平面互相______________ ． D

B E 请用符号语言描述定理：

三、合作、交流

探究

1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。

变式：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直,为什么？

小结：证明面面垂直的关键是什么？

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

四、当堂检测

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()

A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直

2、如图，在四面体ABCD中，CB＝CDAD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥

面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.3、如图，已知在ABC中，AB

且CE2ADAC,AD//EC EC平面ABC,D。求证：平面BDE平面BCE。E

C

三、课堂小结：

（1）知识与方法方面______________________________________

(2)数学思想及方法方面：_________________________________

B

课后反思：

本节课你的收获有哪些？还有没有需要老师帮助解决的问题？

篇6：面面垂直的判定练习题

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直