平行与垂直的证明方法（共9篇）
篇1：平行与垂直的证明方法
用向量方法证明空间中的平行与垂直
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(C)
A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α
解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：
①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；
③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(A)
A．①③B．①④
C．②③D．②④
→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB
标是(C)
1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)
13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)
→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22
13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选C.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB
4015且BP⊥平面ABC，则实数x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知BPAB
→·→＝3x－1＋y－3z＝0BPBC
4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为
|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE
.证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz
.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4, 0,3)．由题意，得G(0,4,0)．
→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因为OB
设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，→n·OB＝0x＝0则，即，→＝0－4y＋3z＝0OEn·
取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．
→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE
.9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA
＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
(1)求证：PB∥平面EFH；
(2)求证：PD⊥平面AHF
.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．
→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因为PB
→＝2EH→，所以PB
因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因为PD
→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF
→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH
所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.
篇2：平行与垂直的证明方法
例2．（线线垂直）
如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）
如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平CC1的中点．求证：AB1⊥A1M.例3．（线面平行）
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.例4．（线面垂直）
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.第三页
面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）
如图，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，且SAAB平面ABCD.第四页E是SC中点.求证：
平面BDEy，2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：
8．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行
B．垂直C．相交
D．不能确定
9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对
10．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为
11，2，2，则m＝________.11．如右上图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
9.如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三页
10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；
(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.11.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,cos〈DP,AE〉=33
.(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一点F,使EF
⊥平面
PCB
篇3：平行垂直问题的空间向量证明方法
一、平行类问题
1. 直线平行于直线
可证两条直线的方向向量平行.
例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是BC、CC1的中点, M、N分别是AB、C1D1的中点, 求证MN∥EF.
证明:如图1, 分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz, 设正方体棱长为则0) , F (0, 2, 1) .由此有
2. 直线平行于平面
对于平面外的一条直线,
(1) 可证直线的方向向量平行于平面内的一个向量.
(2) 可证直线的方向向量可用平面内的两个不共线的向量线性表示.
(3) 可证直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.
例2如图2, 三个正方形ABCD、ADEF、CDEG, P在DF上, Q在AC上, 且DP=DF, CQ=CA, 求证PQ∥面CDEG.
证明:以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系D—xyz, 设各正方形边长为1, 则P
方法1:显然= (1, 0, 0) 是平面CDEG的一个法向量.而在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEF.
方法2:在平面CDEF内取两个不共线的向量DC= (0, 1, 0) , = (0, 0, 1) .
因此, PQ∥面CDEF.
方法3:取DE中点M (0, 0, ) , 知
则在平面CDEG内, 在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEG.
点评:本例用到了证明直线与平面平行的三种方法.其中方法2用的是待定系数法;方法3中取DE中点M是关键, 这需要一定的观察探索能力.
3. 平面平行于平面
(1) 可证一个平面内有两个不共面的向量都平行于另一个平面.
(2) 可证两个平面的法向量共线.
例3正方体ABCD—A1B1C1D1中, M、N、P、Q是相应各棱的中点, 求证面ACNM∥面BPQ.
证明:建立如图3的空间直角坐标系.
设正方体棱长为2, 则A (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , M (1, 0, 2) , B (2, 2, 0) , P (2, 1, 2) , Q (1, 2, 2) .则有
方法2:设平面ACNM的法向量是n= (x, y, z) , 则由n⊥
取z=1, 则n= (2, 2, 1) .
同样可求得平面BPQ的一个法向量是m= (1, 1, ) .
由n=2m, 知n∥m,
所以面ACNM∥面BPQ.
二、垂直类问题
1. 线与线垂直
可证两条直线的方向向量互相垂直.
例4已知正三棱锥P—ABC, 求证AB⊥PC.
由正三棱锥知PA=PC=PB,
所以AB⊥PC.
评注:本例是利用基向量法进行运算.本例也可以用坐标向量法进行运算, 但建系、设坐标都较麻烦.因此, 应会根据题目的情况, 选择恰当的向量方法进行求解.
2. 线与面垂直
(1) 可证直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直.
(2) 可证直线的方向向量与平面的法向量平行.
例5在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 底边长是, 高是1, M是AB中点, 求证AB1⊥面MCA1.
证明:如图4, 取AB中点M, 建立空间直角坐标系M—xyz, 知
所以B1A⊥面MCA1.
3. 面与面垂直
(1) 可证某平面内的一个向量是另一个平面的法向量.
(2) 可证两个平面的法向量互相垂直.
例6正方体ABCD—A1B1C1D1中, M是CC1的中点, 求证面A1BD⊥面MBD.
证明:如图5, 建立坐标系D—xyz.
设平面A1BD的法向量为n= (x, y, z) , 则
取x=1, 得n= (1, -1, -1) .
又设平面MBD的法向量为m= (p, q, r) , 则
取q=1, 得m= (-1, 1, -2) .
知n⊥m, 所以面A1BD⊥面MBD.
评注:本例也可以取BD中点O, 证明是平面MBD的法向量.
篇4：平行与垂直的证明方法
类型1：直线与平面平行的判定
【例１】 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证：
(1) 四边形EFGH是平行四边形；
(2) AC∥平面EFGH.
分析 （1） 通过一组对边平行且相等,证明是平行四边形；(2) 只要在平面EFGH中找到与AC平行的直线。
证明 (1) 连接AC,BD,∵E,F分别是△ABC的边AB,BC的中点,
∴EF∥AC,同理,HG∥AC,∴EF∥HG,同理EH∥FG．
所以，四边形EFGH是平行四边形．
(2) 由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,所以E,F,G,H在同一平面上．
又HG∥AC,AC平面EFGH,HG平面EFGH,
所以，AC平面EFGH．
点拨 问题(2)是常见问题。通过找到“与平面内的直线平行”这一个关键步骤而得证。
【例１】 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,
求证：AB1∥平面DBC1．
分析 在平面DBC1上找到一条与AB1平行的直线即可,连接BC1与B1C交于点P,连接DP,则DP∥AB1。
证明 连接BC1与B1C交于点P,连接DP,
∵△ACB1中,D、P是相应边的中点,
则DP∥AB1,AB1平面DBC1,DP平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.
点拨 本题的关键是在平面DBC1中找出与AB1平行的直线,利用中位线与对应底边平行的性质。
类型2：直线与平面平行的性质
【例2】 已知空间四边形ABCD中,AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,
证明：四边形EFGH是平行四边形．
分析 要证平行四边形,可证一组对边平行且相等,或证两组对边平行,本题可以选用第二种方式。
证明 因为AC∥平面EFGH,AC面ABC,平面EFGH∩面ABC=EF,
∴EF∥AC,又因为AC∥平面EFGH,AC面ADC,平面EFGH∩平面ADC=GH,
∴GH∥AC,∴GH∥EF,同理：EH∥FG．
所以,四边形EFGH是平行四边形．
点拨 本题看似很显然的结论,在严格证明时,要有理有据,本题就是线面平行的性质定理的一个很好的例子,与例1有联系又有区别。
类型2：线面垂直的判定与性质
【例2】 在正四面体ABCD中,E是边CD的中点，求证：CD⊥面ABE.
分析 要证CD⊥面ABE,只要证CD⊥BE,CD⊥AE即可。
证明 在正四面体ABCD中,AC=AD,BC=BD,E是CD的中点,
∵CD⊥AE,CD⊥BE,
AE∩BE=E,
AE、BE面ABE,
∴CD⊥面ABE．
点拨 证明线面垂直的关键是要找到该线与该平面的两相交直线垂直。
【奇思妙想1】 在空间四边形ABCD中,BC＝AC,AD＝BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证：AH⊥平面BCD．
分析 一方面,要证AH⊥平面BCD,已有AH⊥BE,必须再证AH与平面BCD中的另一条直线垂直。另一方面,等腰三角形底边上的中线也是高,故一般常将底边中点取出,并与顶点连接。
证明 因为BC＝AC,AD＝BD,在AB取中点F,连接FD,FC，
则FD⊥AB,FC⊥AB,又FD∩FC=F，FD、FC面FDC,所以AB⊥面FDC，
又CD面FDC,所以AB⊥CD,因为BE⊥CD,AB∩BE=B，AB、BE面ABE，
所以CD⊥面ABE，AH面ABE,所以CD⊥AH,
又已知BE⊥AH,BE∩CD=E，
BE、CD面BCD,所以AH⊥面BCD．
点拨 本题进行了多次线线垂直得到线面垂直,线面垂直再得到线线垂直的循环。这也是本题的一个难点,反复使用判定和性质,是本题的关键。
【奇思妙想2】 如图,已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°,AD1=4,点P是AD1上的动点,试判断不论点P在AD1上的任何位置,是否都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1？并证明你的结论.
分析 从问题考察,应该研究动平面和定平面始终垂直,而动平面的一条定直线与定平面垂直即可。
解 不论点P在AD1上的任何位置,都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1．
证明如下：由题意知,B1A1⊥A1D1,B1A1⊥A1A，
又∵AA1∩A1D1=A1,∴B1A1⊥平面AA1D1，
又A1B1平面B1PA1,
∴平面B1PA1⊥平面AA1D1．
点拨 找出动中之静是非常重要的一种能力,也是同学们容易忽视的地方。
【奇思妙想3】 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在A1B1棱上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,AE=x,DQ=y,DＰ＝ｚ（x,y,z大于零）,则四面体PEFQ的体积与 .
①与x,y,z都有关
②与x有关,与y,z无关
③与y有关,与x,z无关
④与z有关,与x,y无关
分析 四面体的体积与哪些因素有关,怎么把变量转化为定量是本题的关键。
解 应该是④。四面体PEFQ的体积计算公式是V=13Sh,S看作△EFQ的面积,
则EF=1,Q到EF的距离就是CD与AB的距离是22,
而P到平面EFQ的距离就是P到平面EFCD的距离,它随着P的移动而变化着,
所以,只与ｚ有关.
牛刀小试
1. 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面．
2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD且PA=AB,点E是PD的中点．
(1) 求证：AC⊥PB；
(2) 求证：PB∥平面AEC.
3. 空间四边形ABCD中,AB=2,AC=BC=2,正△ADB以AB为轴转动.
(1) 当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长.
(2) 当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
【参考答案】
1. 证明：连接BD，AC.
∵AE=EB,AF=FD,
∴EF∥BD（三角形中位线的性质），
EF平面BCD,BD平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
2. (1) ∵PA⊥平面ABCD,
∴AB是PB在平面ABCD上的射影.
又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.
(2) 连接BD与AC相交于O,连接EO.
∵ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点，
又E是PD的中点,∴EO∥PB.
又PB平面AEC,EO平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
3. （1） 取AB的中点E,连接DE,CE.
∵△ADB是正三角形,∴DE⊥AB,
当平面ADB⊥平面ABC时,
∵平面ADB∩平面ABC=AB,
∴DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE，
由已知可得DE=3,EC=1,
在Rt△DEC中,CD=DE2+EC2=2.
（2） 当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下：
当D在平面ABC内时,
∵AC=BC,AD=BD,
∴C,D都在线段AB的垂直平分线上,
则AB⊥CD．
当D不在平面ABC内时,
由（1）知DE⊥AB,又AC=BC,
∴CE⊥AB.
又DE,CE为相交直线,∴AB⊥平面CDE.
由AB⊥平面CDE,得AB⊥CD.
综上可得,AB⊥CD．
篇5：平行与垂直的证明方法
一、选择题
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．
A．l1∥l2B．l1⊥l
2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确
2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()
A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)
B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)
C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)
D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)
35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222
2992A.B.C．－D．－ 322
34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)
B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．
62636065A.B.C.D.7777
7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()
A．(1，－1,1)3B.1，3，2
C.1，－3，2
二、填空题
D.－1，3，－
2
8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则
l1与l2的位置关系是_______．
9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→
＝0的_______．
→
12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．
三、解答题
13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
→
11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．
→
→
→
→
→
10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC
a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：
MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直
线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1
则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→
1
1于是MN＝，0，2
2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得
x＋y＝0.→
→
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →
11
又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→
∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝
1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面
BCC1B1.→→
证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．
→→
→→→→
所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→
→→
2
则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3
→→
由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→
因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →
→
又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→
所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22
，0、(0,0,1)．
22→22∴NE＝－，－1.22
2
2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1
22
→
22∴AM＝－，－1.22
→→
∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22
(2)由(1)知AM＝－，－1，22
→
∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→
篇6：证明平行与垂直
平行与垂直
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共35分)
1.已知空间三点A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a
a分别与AB,AC垂
直，则向量a为
A.1，1，1
B.－1，－1，－1
C.1，1，1或－1，－1，－1
D.1，－1，1或－1，1，－1,2.已知a＝1，1，1，b＝0，2，－1，c＝ma＋nb＋4，－4，1.若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－
23.已知a＝1,,，b＝3,,
A352215满足a∥b，则λ等于 22992.B.C.－D.－ 32234.已知AB＝1，5，－2，BC＝3，1，z，若AB⊥BC，BP＝x－1，y，－3，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为A.15401533，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是,A.a＝1，0，0，n＝－2，0，0
B.a＝1，3，5，n＝1，0，1
C.a＝0，2，1，n＝－1，0，－1
D.a＝1，－1，3，n＝0，3，1
二、填空题每小题6分，共24分
6.设a＝1，2，0，b＝1，0，1，则“c＝(的条件.7.若|a|
b＝1，2，－2，c＝2，3，6，且a⊥b，a⊥c，则a＝.,8.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为
212,,)”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”33
39.设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件AM·n=0的点M的轨迹
是.三、解答题共41分
10.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量.
11．(14分)如图，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正
方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
2(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，3垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.12．(14分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平
面互相垂直，AB2，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.答案
1.C2.A3.B4.B5.D
6.充分不必要7.118118,2,或，2,8.1 555
5.9.过A点且以n为法向量的平面
10.解 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则A1，0，0，M(1，1，11)，N(0，1)).2211∴AM1,0,,AN0，1设平面AMN的一个法向量为n＝x，y，z, 22
1nAMyz02 1nANxyz0
2令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．
∴(－3,2，－4)为平面AMN的一个法向量．
11.证明 建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．
→→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．
又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．
(2)如图，设M(0,0，z)，2→0，－z，而BF＝(0，3，2)，GM＝3
得z＝1.→2由题设得GMBF=3z20，3因为M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．
→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 ，0、(0,0,1)．
22
∴NE＝－1.22
又点A、M的坐标分别是2，2，0)、2222→，AM＝－，1.，1，2222→∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F2，2，1)，22
DF＝(0，2，1)．
篇7：空间线面平行与垂直的证明
本考点以空间几何体为载体，既考查几何体的概念和性质，又考查空间线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，还可结合一些简单的计算进行考查，是每年高考的必考内容，也是重点考查的内容.该部分试题难度适中，一般都可用几何综合法解决，少部分不易证明的才通过建立空间直角坐标系用坐标法求解.（1）掌握线面平行、垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行与垂直，会用性质定理解决线面平行与垂直的问题.（2）通过线面平行、垂直的证明，培养同学们的空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力.该知识点的重点、难点是：线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的灵活转化；同时要注意推理表达的规范与完整.（1）证明平行或垂直问题，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明；而无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直.可见，转化是证明平行、垂直问题的关键.（2）在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，再从结论中分析所要证明的关系，从而架起已知与未知之间的桥梁.增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂足等特殊点，用中位线、高线转化；有面面垂直的条件，则作交线的垂线，等等.例1 如图12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心.图12
（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；？摇
（2）求证：PM∥平面AFC.破解思路 对于第（1）问，将证明面面垂直转化为证明线面垂直；
（2）根据面面平行的性质定理，将线面平行的问题转化为面面平行来证明.答案详解（1）因为矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？摇 又AF？奂平面ABEF，所以CB⊥AF.又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF.又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB.因为AF？奂平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？摇
（2）连结OM并延长交BF于H，则H为BF的中点.又P为CB的中点，所以PH∥CF.又因为CF？奂平面AFC，所以PH∥平面AFC.连结PO，则PO∥AC.因为AC？奂平面AFC，所以PO∥平面AFC.又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC.因为PM？奂平面POH，所以PM∥平面AFC.？摇
例2 如图13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，且AB=2，点F，G分别是BC，AE的中点.（1）求三棱锥F-ABE的体积；
（2）求证：BG∥平面EFD；
（3）若点P在线段DE上运动，求证：BG⊥AP.图13 图14
破解思路 对于第（1）问，求出三棱锥F-ABE的高后可直接求解.对于第（2）问，根据线面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出与BG平行的直线即可证明.对于第（3）问，可通过证明线面垂直来转化.答案详解（1）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE.因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE?BF= ? ?AE?BG?BF= ×2× ×1=.（2）如图14，取DE的中点M，连结MG，FM.因为MG AD，BF AD，所以MG BF，所以四边形FBGM是平行四边形，所以BG∥FM.又因为FM？奂平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.（3）因为DA⊥平面ABE，BG？奂平面ABE，所以DA⊥BG.又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE.又AP？奂平面DAE，所以BG⊥AP.1.如图15，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.图15
（1）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（2）求证：AF∥平面BDE；
（3）求四面体B-CDE的体积.2.如图16，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点.图16
（1）求证：MD⊥AC；
篇8：平行与垂直的证明方法
1 中点用于平行问题的证明
在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.
例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.
分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.
证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.
例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.
证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.
又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.
又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.
本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.
例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.
分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.
证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.
又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.
本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.
2 中点用于垂直问题的证明
在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.
例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.
分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.
证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.
又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.
又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.
又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.
上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.
例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.
分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.
证明取BC中点O，连结AO，PO.
因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.
又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.
本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.
例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.
分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.
证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.
又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.
又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.
要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.
例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.
分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.
证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.
又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.
又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.
又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.
又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.
又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED
所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.
本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.
由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.
参考文献
[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.
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[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.
[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.
篇9：“平行与垂直”说课
“平行与垂直”是《苏教版小学数学》四年级上册的内容,它是在学生认识了直线的基础上安排的,是深入学习空间与图形的重要基础。考虑到学生已有的认知结构和心理特征,这一课时,我将例1的认识平行线和例3的认识垂直线进行整合教学。
教学目标
1.感知生活中的垂直与平行现象,初步认识平行线和垂直线的本质,理解它们是同一平面内线与线的位置关系。2.引导学生观察、操作、讨论、辨析,培养主动探究的意识,发展空间想象能力。3.创设有序有趣有效的课堂,激发学生的学习热情。
难点:理解看似不相交而实际上相交的现象。
教学过程
一、在生活情境中引入
生活中,我们经常要在墙上贴挂东西,而往往会喊人站在远处帮忙看着正不正,我将这一生活情境再现课堂:“老师要贴一张画在黑板上,同学们帮我看看贴正没有?”接着我抛出一个问题:你是怎么判断这幅画贴“正”了?在学生一番交流后引导他们道出其中的奥秘:原来我们是在参照黑板边线,看画的边线到黑板边线两头的宽窄是不是一样。我将宽窄相同与不同两种情况抽象成图:
“这两组直线到底有什么本质的区别呢?今天我们就来研究同一平面内线与线的位置关系。”在这里我把“同一平面”板书出来并加以直观演示,让学生建立异面直线和平面直线的不同概念。
【设计意图】我这样巧设生活情境,引导学生运用已有的知识和经验进行观察讨论,把生活问题逐步抽象到数学研究的对象上来,唤起学生探究新知的欲望。
二、在自主探究中发现
这一环节是本课的重点,在这里要捋顺两层关系:即同一平面内的直线只有相交和不相交两种情况,关系是对立的;而相交中又有成直角与不成直角两种现象,垂直与相交属于包含关系;并弄清“相交、垂直、平行”三个概念。为此我搭建了三个活动平台:
扔一扔 摆一摆
首先是探究这两组直线的区别,先让学生通过想象延长和操作延长有一个感性认识:一组永不相交,一组会相交。再由学生通过自学去了解平行的定义,解决学生存在的疑问,重点理解互相平行中“互相”的意思。
接着我通过扔一扔,摆一摆的活动,引导学生进行深入探究。
扔一扔:把两根小棒当直线,随意扔在桌面上,判断其可能的位置关系并分析讨论。
经过小组交流,集中汇报以后,形成结论:同一平面内的直线如果不平行就会相交,如果不相交就一定平行。
摆一摆:既然随意扔出平行线的概率很小,那我们就摆一组平行线,在组内介绍摆的好方法,看看别人摆的有什么不同。
总结:直线平行要满足两个条件,即:同一平面,不相交。
【设计意图】这里我抓住重难点和疑点,进行多层次、多方位的设问,把问题引向纵深,启发学生积极思考,有效巩固和深化新知。
画一画 分一分
首先我让学生每人画一组不平行的直线,选择各种有代表性的作品展示出来,组织学生进行分类。最后引导学生观察思考:“到底哪种分法比较合理呢?”由学生自己争辩,达成共识:直线相交时有成直角和不成直角两种情况。
这时我将垂直的基本图形画在黑板上,让学生说说像什么。帮助学生建立表象以后,再让他们自学垂直的定义,了解垂直符号和垂足。
【设计意图】分类活动是开放的,分类结果也是多样的,引导学生在画、分、辩中达成一致,加深了对概念的理解。
说一说 看一看
生活中平行与垂直的现象无处不在,你能说说吗?学生各抒己见以后,我再引领他们进行欣赏。
三、在操作练习中拓展
这一环节,我设计的练习是一折二找三摆。
折,是让学生折出互相平行与垂直的折痕;找:在平面图形中找平行线段与垂直线段;摆:把两根小棒都摆成与第三根小棒互相平行,这两根小棒互相平行吗?把两根小棒都摆成与第三根小棒互相垂直,这两根小棒有什么关系?
【设计意图】这些活动都是学生喜欢的,这样一环接一环,层层深入,使学生进一步巩固了新知,发展了空间观念。
板书:
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