《相似三角形的判定(角角)》的案例

本节课教学主要模式为问题式教学与探索性学习。从简单的问题引入, 以三角形全等判定条件为情形, 过渡到三角形相似的判定条件的探索。学生按教师所提出的问题进行思考, 并在教师的启发下进行自主探索与合作交流。最后总结得出:两角对应相等的两个三角形相似的判定条件。通过练习, 学会用此结论去解决简的实际问题。

教学实录:

师:同学们, 我们在学习全等三角形的内容时知道, 三角对应相等, 三边对应相等的两个三角形全等。你们还记得三角形全等的判定条件吗?

生1:知道。有角边角、边角边、边边边、角角边等判定方法。

生2: (补充) 如果是直角三角形还有“斜边、直角边”判定方法。

师:以上两位同学回答的很全面。同学们上节课我们学习了相似三角形的定义, 你们能把它口述出来吗?

生:三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

[点评:情境导入的目的是设疑激趣。这里从学生已有的体验开始, 从直观的和容易引起想象的问题出发, 让数学背景包含在学生熟悉的事物和相关联的情景之中。]

师:根据这个定义, 判定两个三角形相似, 要求三个角对应相等, 三边对应成比例, 这个过程显然较复杂。请同学们类比一下, 我们能不能像判定两个三角形全等的条件那样, 用较少的条件去判定两个三角形相似呢?若能, 你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件呢?

生1: (用迟疑的口语) 可能是有三角对应相等就满足了吧?

生2:至少需要有三边对应成比例吧?

……

[点评:在这里, 教师依据学生的心理特点, 培养学生的问题意识, 不把结论过早的告诉学生, 引起学生去发现问题、提出问题、解决问题, 做到多问多思, 主动参与。]

师:刚才同学们不能作出肯定地回答是很正常的, 因为这个内容我们还没学到。这也就是我们这节课所要探究的问题 (板书:探索三角形相似的条件) 。我们首先从角开始探索, 请每位同学在准备好的一张纸上, 画出一个△ABC, 使得∠BAC=60°, 并与同伴交流一下, 你们所画的三角形相似吗?

生: (通过观察自己和同学画的) 不一定相似, 因为我们之间画出的一个角对应相等的两个三角形形状明显不相同。

师:那我们由此可得出一个什么样的结论?

生1:两个三角形中有一个角对应相等, 不能作为判定这两个三角形相似的条件。

生2:我认为一个角对应相等的两个三角形不一定相似。

[点评:这里降低了探索问题的难度, 尽量让有不同意见的学生发表见解, 这样可以避免不动脑筋被动听课的现象。]

师:通过刚才的操作和探索, 我们发现:仅有一个角对应相等不能判定两个三角形相似。请同桌的两位同学分工, 一人画△ABC, 使∠A=30°, ∠B=70°, 另一人画△A′B′C′, 使∠A′=30°, ∠B′=70°, 然后比较你们画的两个三角形, ∠C与∠C′相等吗?

生:相等。∵∠C=180°-30°-70°=80°, ∠C′=180°-

师:请各小组成员合作一下, 用刻度尺测量一下各线段的长度, 并计算对应边的比的值。

生: (在操作中发现) 老师, 我们度量的线段的长度的值是近似的, 对应边的比值计算出来也是近似值。

师:用刻度尺测量线段长度存在误差是正常的, 所以你们小组计算出来的比值也只是近似的其他小组情况如何?

生:我们的结果与前面小组的结果一样。

[点评:这里, 学生在合作学习交流过程中, 通过相互表达与倾听, 不仅使自己的想法、思路更好的表现出来, 而且还可以了解他人对问题的不同理解, 使学生的理解逐步加深。]

师:同学们, 你们在计算对应边的值后发现了什么?

生:经过测量和计算, 发现它们这些线段的比是近似相等的。

师:通过刚才探究、合作交流的过程, 你们能得出△ABC与△A′B′C′相似吗?

生:能得出△ABC∽△A′B′C′, 这是因为它们满足三角对应相等, 三边对应成比例的条件。

师:这个探索过程得到的结果说明了什么问题?

生:有两个角对应相等的两个三角形相似。

师:上面的结论是否成立呢?还是按前面的分组:请一位同学再画一个△ABC使∠A=15°, ∠B=95°, 另一位同学画△A′B′C′, 使∠A′=15°, ∠B′=95°, 画完后再互相比较一下。

生: (学生操作后) 同上面的结论一样。

[点评:这里通过动手操作来验证结论, 比较直观和比较形象, 既加深了学生对两角对应相等的两个三角相似的结论的理解和记忆, 又培养了学生学习数学的兴趣, 同时也使学生意识到数学规律的发现离不开验证这一过程。]

师:今天因时间关系, 我们不能再继续操作下去, 请你们课后把∠A与∠A′、∠B与∠B′的度数再改变一下试一试。通过上面的反复操作, 发现判定△ABC∽△A′B′C′只需要有两个角对应相等即可。从此以后我们可以把这个结论作为判定两个三角形相似的一个条件了。结合图形可以写成如下的推理过程 (板书) :∵∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∴△ABC∽△A′B′C′。

下面我们看一组题目, (出示投影, 呈现课本P119例题) (略)