两直线垂直与平行的判定教学设计

2024-04-12

两直线垂直与平行的判定教学设计（共14篇）

篇1：两直线垂直与平行的判定教学设计

§3.1.2两直线平行与垂直的判定

授课类型：新授课

授课对象：高二（1）班教学目标：

1、充分掌握判定两直线平行的条件，能判断两直线是否为重合或平行

2、能利用两直线平行的判定条件解决一些简单的平面解析几何问题

3、掌握判定两直线垂直的判定条件，能利用判定条件解决一些平面解析几何问题

4、在探究斜率与两直线位置关系的过程中，体会分类讨论的重要思想，感受数学的严谨性

教学重点、难点：

1、当两直线的斜率都不存在时，两直线平行，且前提为两直线不重合2、两直线垂直的判定条件的推导

3、渗透分类讨论的重要数学思想

教具：多媒体课件三角板

教学方法：讲授法探究法

教学进程：

一、知识回顾导入新课

1、倾斜角（定义、范围）

2、斜率kktan(90)

3、斜率公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)k0y2y1(x1x2)x2x

1问：平面上两条直线有几种位置关系呢？

①平行②相交③重合（）

平行与垂直是两直线的特殊的位置关系，那这节课我们就来学习“两条直线平行与垂直的判定”

二、新课讲授

1、两直线平行的判定

已知一条直线倾斜角，不能确定这条直线的位置，可以任意平移直线l1，任意作直线l2，得到

l1//l2问：不重合的两直线，倾斜角相等，两直线有什么位置关系呢？（平行）

两条不重合的直线因此，我们得到：当l1和l2是，12l1//l

2问：如果两条直线互相平行，它们的倾斜角满足什么关系呢？（用PPT展示动态图画）

我们得到：若两直线平行，它们的倾斜角相等。也即12l1//l2

两条不重合的直线※结论：当l1和l2是

时，12l1//l2（互为充要条件），由12我们可以得到什么？

两条不重合的直线问：若没有前提条件l1和l2是

（学生回答平行或重合，这里要强调两直线重合的位置关系，并且和学生说明如果没有特殊说明，说两条直线l1和l2时，一般指两条不重合的直线）问：若两直线平行时，它们的斜率满足什么关系呢？

（这时要反复演示直线转动过程

ppt，让学生注意到当）

l1和l2同时垂直于x轴时的特殊情形

学生会注意到当1290时，l1//l2，而此时直线的斜率k不存在在时呢？l1//l2,斜问：那当两直线斜率k1,k2存率k1,k2满足什么关系呢

此时，l1//l212tan1tan2k1k2？

问：反过来，由k1k2能否得到l1//l2的位置关系？我们首先要考虑什么？

（先排除两直线l1和l2重合的可能），当两条不重合的直线的斜率k1k2时，k1k2tan1tan212l1//l2

※结论：两条直线不重合且斜率都存在时，l1//l2k1k2（充要条件）

练习

1、判断题⑴l1//l2是

12的充要条件（×）

⑵若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行（×）⑶l1//l2是k1

k2的充要条件（×）

例

1、已知直线l1的倾斜角是450，且过定点（1,1），l2是经过两点A（x,1）,B(4,3)的直线，满足l1//l2,求x的值

分析：由题设可知，两直线的斜率k1和k2都存在，且l1和l2是两条不重合的直线，要满足l1//l2，只要使k1k2成立即可。

解：

设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,有k1tan451,k2则

x8

2两直线垂直的判定

刚刚讨论了两直线平行时的情况，那两直线垂直又怎么样

问：类比平行的情况，我们是从倾斜角1和2出发的，进而讨论平行的情况。那这里我们是否也可以从倾斜角

1、2出发呢？那我们首先要找到这两条直线的倾斜角

（讨论垂直判定的时候，要让学生类比平行的情况，思考从何入手，启发学生思考如何找到垂直判定的条件）

· 由图我们可看到直线l1,l2与x

关系式

314

4因为l1//l2,则有k1k2,即1 4xx4x4

2

1900

问：那它们的斜率呢？首先要考虑它们的斜率是否存在？

（学生可能会忽视斜率的存在性这一重要条件，虑斜率是否存在，强调分类讨论的思想）

◎ 当一条直线的斜率不存

在，一条直线的斜率为0时，即

k1不存在，k20或k10,k2不

存在时，满足l1l

2问：那当两条直线的斜率都存在时呢？（首先来看看特殊情况）

学生分小组分别计算直线l1和l2的斜率k1、k

2k11,k2

1k1,k2

3k13,k2

问：你们发现了什么？

(学生们会发现k1k21)

问：猜想一下，当两条直线的斜率都存在时，如果l1l2,那么它们的斜率会满足什么关系呢？

（学生会猜想k1k21）

·为了验证这一猜想，我们来看看一般情况：不妨设01900，则90021800，直线l1的斜率为k1tan1,直线l2的斜率为k2tan2

因

为

当

l1l2

时有

21900，所以

sin(1900)cos11

k2tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

则有k1k2tan1()1 tan1

所以我们有当两条直线的斜率都存在时，l1l2k1k21

问：那么反过来，当两条直线的斜率满足k1k21时，此时l1与l2又有怎么样的位置关系呢？

（鼓励学生自己动手进行探究）

当k1k21时，即tan1tan21，则有tan2，而我们已推导公式tan1

sin(1900)cos11，所以有tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

tan(1900)，因为902180，0190，结合正切函数在0,上的函数图象，可得到

21900

即l1l2

所以当两条直线的斜率之积为1时，我们可以推出这两条直线垂直

※结论：当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k21 练习：

1、判断题

⑴若两条直线的斜率之积为1，则这两条直线一定垂直（√）

⑵l

1l2是k1k2的充要条件（×）

例

2、已知A（5，1）,B（1,1），C（2,3）三点，试判断

分析：首先在平面直角坐标系中画出图形，由图进行猜想ABBC,即为直角三角形

在学习本节课内容前，学生们可能会想到：①平面向量法

0即可证明ABBC

②余弦定理（勾股定理）（ABBCcosB

ABC的形状

AC

BCABAC

2BCAB

· 用今天这节课的内容又怎么做呢？

要证明两直线AB 和直线BC垂直，只要求出这两条直线的斜率，它们的斜率之积等于1 解：

设直线AB斜率为kAB,直线BC斜率为kBC，1113

1,kBC251221以kABkBC1，即有ABBC所

kAB

所以ABC为直角三角形

课堂小结：

1、两直线平行的判定条件

12l与l

l1//l

2合2重

l1//l2k1k2的前提条件是两条直线的斜率都存在，且两条直线不重合2、两直线垂直的判定条件

当一条直线的斜率不存在，一条直线的斜率为

时，即

k1不存在，k20或k10,k2不存在时，这两条直线垂直

当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k2

1作业:教材P896

P907、8、1、2、6

板书设计：

§3.1.2 两直线平行与垂直的判定

一、两直线平行的判定

1、12l1//l2或l1和l2重合例

12、l1与l2是两条不重合直

线



当

k1、k2不存在时，12

l1//l21

21//l2

当 k1、k2都存在时，k1k2tan1tan2l1//l2k1k2

二、两直线垂直的判定

当k10,k2不存在时

l1l2

当k1和k2都存在且不为

0时k2tan2tan(1900)

l1

sin(0190)1l2k1k2cos(0cos1

 190)sin1



1tan1

k1k2

例2

篇2：两直线垂直与平行的判定教学设计

授课时间：第八周一、教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点

重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法

篇3：两直线垂直与平行的判定教学设计

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则,适当运用多媒体辅助教学手段,借助实物模型,通过直观感知,操作确认,合情推理,归纳出直线与平面平行的判定定理,将合情推理与演绎推理有机结合,让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中,揭示直线与平面平行的判定,养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式,课堂上一定要注意各项环节,确保课堂的气氛进度,保证学生上课的激情,有一个良好的学习效果.

【教学过程】

一、知识准备,新课引入

提问1:根据公共点的情况,空间中直线a和平面α有哪几种位置关系?

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外,用符号表示为aα.

提问2:根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗? 谈谈你的看法,并指出是否有别的判定途径.

二、判定定理的探究过程

1. 直观感知. 提问 :根据同学们日常生活的观察 ,你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?

生1:列举日光灯与天花板、竖立的电线杆与墙面.

生2:门转动到离开门框的任何位置时,门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前做演示),然后教师用多媒体动画演示.

2. 动手实践. 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动,观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉,而当把直角腰放在桌面上并转动, 观察另一边与桌面给人的印象就不平行. 又如老师直立讲台,则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行,如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行,如老师向左、右倾斜,则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上做上述情形的演示).

3. 探究思考:

(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同 ?关键是什么因素起了作用呢? 通过观察感知发现直线与平面平行,关键是三个要素:1平面外一条直线;2平面内一条直线;3这两条直线平行.

(2) 如果平面外的直线a与平面α内的一条直线b平行,那么直线a与平面α平行吗?

4. 归纳确认:(多媒体幻灯片演示)

直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线和这个平面平行.

简单概括……

三、定理运用,问题探究

1. 想一想:

(1)判断下列命题的真假? 说明理由:

1 如果一条直线不在平面内, 则这条直线就与平面平行.( )

2 过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行.()

3 一直线上有两个点到平面的距离相等, 则这条直线与平面平行.()

(2)若直线a与平面α内无数条直线平行 , 则a与α的位置关系是 ().

A. a∥αB. aαC. a∥α或aαD. aα

2. 作一作:设a、b是二异面直线,则过a,b外一点P且与a、b都平行的平面存在吗? 若存在,请画出平面;不存在,说明理由.

先由学生讨论交流,教师提问,然后教师总结,并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程,最后借多媒体展示作图的动画过程.

3. 证一证:

例题:已知空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求证:EF∥平面BCD.

变式一:空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA中点 ,连接EF,FG,GH,HE,AC,BD,请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况. (共6组线面平行)

变式二:在变式一的图中如作PQ∥EF,使P点在线段AE上,Q点在线段FC上,连接PH,QG,并继续探究图中所具有的线面平行位置关系. (在变式一的基础上增加了4组线面平行)并判断四边形EFGH,PQGH分别是怎样的四边形,说明理由.

4. 练一练:

练习1:见课本6页练习1,2.

练习2:将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起,设M,N分别为AC,BF中点,求证:MN∥平面BCE.

变式:若将练习2中M,N改为AC,BF分点且AM = FN,试问结论仍成立吗? 试证之.

四、总结

先由学生口头总结,然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示):

1. 线面平行的判定定理 :平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与这个平面平行.

2. 定理的符号表示:

简述:(内外)线线平行则线面平行.

3. 定理运用的关键是找 (作 )面内的线与面外的线平行 ,途径有:取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等.

【教学反思】

1. 本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言, 加强各种语言进行互译. 比如上课开始时的复习引入,让学生用三种语言进行表达,动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达,对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达.

2. 本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证、练一练等环节,能从易到难、由浅入深地强化对定理的认识,特别是对“证一证”中采用一题多解、一题多变的变式教学,有利于培养学生思维的广阔性与深刻性.

篇4：两条直线平行与垂直的判定

1.1教材的地位和作用

本节课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教A版数学《必修2》的第三章第一节第二小节，介绍的是平面解析几何的知识.通过本章知识的学习可以让学生重新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用.本节课内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系.只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习后面的理论知识.

1.2教学重点与难点

教学重点：根据直线的斜率判定两条直线平行和垂直的位置关系

教学难点：两条直线平行与垂直的判定方法

2课标分析

《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：

将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法.

从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代.在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等.可以让学生既对几何产生兴趣，又让学生可以轻松的学习几何.在教学中应注意引导学生将所学知识与现实实际联系，提高学生解决问题的能力.

3学情分析

3.1学生的知识、技能的基础

学生已经知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对（x，y）表示，但没有系统接受过解析几何研究问题的思想方法，因此要对本章内容作简要说明，我要研究的是什么？用什么样的方法来研究？在第一节的教学中学生学习了直线的倾斜角和斜率，奠定了一定的知识、技能和心理基础，但学生对解析几何的分析能力、思维能力、探究能力有待进一步培养和提高.学生在初中已经学习过一些一次函数的知识，在教学中应多加考虑新旧知识的相互衔接.

3.2学生认知心理特点及认知发展水平

高一学生对几何有很高兴趣，尤其对直线的位置关系很感兴趣，因此创设教学情境，激发学习兴趣显得尤为重要，但学生的动机水平往往较低，意志力不强，学习主动性还有待于调动.

3.3学生的社会背景

我们的学生数学的学习基础较差，学生中还有一些中考数学成绩不高，没有形成好的学习习惯，还有的初中没有培养成良好的数学思维，给教学上带来一定困难.在教学中要多注重培养学生良好的数学思维.

4教学目标的设计

4.1知识与技能目标

4.1.1让学生掌握直线与直线的位置关系

4.1.2让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直

4.2过程与方法目标

4.2.1利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，得到了两直线平行的判定方法，即l1∥l2k1=k2，并且对特殊情况进行了研究

4.2.2利用两直线垂直时，倾斜角的关系满足“α1=α1+90°”，得到了两直线垂直的判定方法，即l1⊥l2k1k2=-1，并且对于特殊情况进行了研究

4.3情感态度和价值观

4.3.1通过本节课的学习让学生感到了几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识

4.3.2通过本节课的学习，培养了学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣

4.3.3通过课堂上的启发教学，培养了学生勇于去探索、创新的精神

5教学媒体的选择

课堂教学中，教学媒体的选择和使用是否合理，直接影响到各个知识点的教学目标达到程度，从而影响到整个课堂的教学质量，因此，必须重视教学媒体使用方法的设计.本节课教学通过课件、板书、投影等多媒体的综合运用，使知识呈现方式更直观、更形象具体.

6教学模式的选择

本节课是直线间的位置关系知识课型，新课程强调要以数学问题为基础，通过问题预设→知识生成的建构过程学习知识，使学生亲历知识的生成过程，体验学习知识的方法，使学生的情意和能力得到和谐的发展.因此，本节课的教学模式设计如下：

7教学过程

活动环节师生活动设计意图一、复习回顾

（1）直线的倾斜角是怎样定义的？其取值范围是怎样的？

（2）直线的斜率是怎样定义的？它随直线的倾斜角是怎样变化的？

（3）经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)( x1 ≠x2)的直线的斜率公式是怎样的？学生思考并回答（找三名中等成绩的学生分别回答），教师点评，并作补充复习旧知，并为本节课做铺垫二、引入（情境展示）

问题：平面内两条直线的位置关系有哪几种？学生思考并回答（找一名学生在黑板上画出来），

教师点评，并作补充创设情境，激发学生学习兴趣三、新课（板书课题）

【探究1】

（1）若两条直线l1和l2互相平行，则其倾斜角α1和α2的关系如何？（多媒体演示两条平行的直线）

（2）若两条直线l1和l2互相平行，则当斜率都存在时，斜率k1和k2的关系如何？

（3）当两条直线l1和l2 的斜率都不存在时，两条直线l1和l2位置关系如何？

（4）直线l1和l2的斜率k1=k2，在两条直线可能重合的情况下，两条直线位置关系怎样？学生分小组讨论、动手实践操作，总结汇报，教师给出指导、评价，并且整理、板书知识点让学生通过主动探究、合作学习获取知识，并且让学生学会用分类的思想解决相关数学问题，培养学生思考、交流、表达能力【知识点1应用】

例1

例2学生利用【探究1】得出的结论，自主完成例1、例2，并找两位学生在黑板上写出解题过程，教师对学生的解题过程进行点评、强调规范解题的重要性培养学生审题、解决问题的能力，并且检查学生对知识点的掌握程度活动环节师生活动设计意图【探究2】

（1）若两条直线l1和l2互相垂直，则其倾斜角α1α2的关系如何？（多媒体演示两条垂直的直线）

（2）若两条直线l1和l2互相垂直，则当斜率都存在时，斜率k1和k2的关系如何？

（3）两条垂直的直线（斜率可能不存在）斜率有怎样的关系？学生根据【探究1】中解决问题的思想方法，分小组讨论、动手实践操作，总结汇报，教师给出指导、评价，并且整理、板书知识点让学生通过主动探究、合作学习获取知识，并且让学生学会用分类的思想解决相关数学问题，培养学生思考、交流、表达能力【知识点2应用】

例3

例4学生利用【探究2】得出的结论，自主完成例3、例4，并口头表述解决问题的思想方法和解题过程，教师对学生的回答进行点评、整理（投影学生的解题过程）培养学生审题、解决问题的能力，并且检查学生对知识点的掌握程度四、归纳总结

1.两条直线平行的判定方法：

（1）直线斜率存在的情况

（2）直线斜率不存在的情况

2.两条直线垂直的判定方法：

（1）直线斜率存在的情况

（2）直线斜率不存在的情况学生思考、交流，表述自己的想法和体会，教师评价、肯定，并作补充使学生对直线的位置关系的理解有一个整体、全面的认识五、布置作业

教材89页习题3.1第3，4题学生整理本节课的知识点，教师巡视、答疑巩固课堂上所学的知识和思想方法8教学评价

通过本节课的学习，学生在学习方式上有所变化，课堂上能积极主动参与学习活动，提高了对解析几何问题的解决能力，能从教学目标的要求出发，较顺利地完成学习任务.

9教学反思

新课程改革倡导学生主动参与、乐于探究、培养学生分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力.本节课从学生已有的立体几何学习经验和一次函数的图像出发，认识解析几何和代数的关系，培养学生的学习解析几何的方法,同时通过以问题探究活动，促进学习方式的转变，在学习中锻炼了学生的学习数学的方法和技能，提高了学生的创新思维和利用所学知识解决数学问题的能力.

篇5：《直线平行与垂直的判定》说课稿

课题：§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修（二）第三章第一节第二部分内容

课时：1课时

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析：

1、学习任务分析：

直线与方程是平面解析几何初步的第一章，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线。学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。核心内容是两条直线平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。因此，我认为本节课的教学重点为：根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直。

用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。因此体会数形结合的数学思想也是本节课的教学任务之一。

2、学情分析：

在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定。对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力。但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。按说要学好本节内容，学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备。尤其是对诱导公式的认识是有一定困难的。因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难。因此，我以为本节课的教学难点为：探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系。

二、教学目标设计：

《课程标准》指出本节课的学习目标是：能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我把本节课的教学目标确定为：

1、能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

2、体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的.关系解释几何含义即初步体会数形结合思想。

3、感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。

三、课堂结构设计：

本节课从总体上讲是一节原理及简单的应用教学，诱思探究教学理论认为高中的数学课堂应该是学生在自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。结合本节课知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

即先让学生回顾上节课学习的内容创设问题情景，通过学生自主探究，归纳和抽象得出两条直线平行与垂直的判定条件。然后通过例题和练习使学生巩固判定条件，接着通过拓展提升，使学生进一步加深对判定条件的理解，最后通过课堂小结提高学生的认识，形成知识体系。

四、教学媒体设计：

根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体的设计如下：

1、多媒体辅助教学：

制作高效实用的多媒体课件。其一，在探索两条直线垂直的判定条件时，利用几何画板展示探究的过程，让学生直观感知、操作确认自己的猜想是正确的,加深学生对判定条件的理解。其二，改变相关内容的呈现方式，节约课时，增加课堂容量。

2、设计科学合理的板书：为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书，如：

§3.1.2两条直线平行与垂直的判定

结论1：结论2、例1、例2、变式训练1：变式训练2：

五、教学过程设计：

下面我就课堂教学的各个环节的设计做简单的说明。

（一）创设情景，引入新课：

活动一：

1、什么叫倾斜角？它的范围是什么？

2、什么叫斜率？如何计算呢？

3、已知直线经过A（1，3）、B（－1，－1），直线经过C（2，2）、D（1，0）①计算直线的斜率； ②在直角坐标系中画出直线。

给学生约30秒的时间思考问题1、2，请学生口述答案，老师强调注意的条件。通过解决问题3，学生发现k1= k2，并观察出是平行的，学生很自然发现两条直线的斜率与位置有着某种联系，从而引出本节课的课题。

设计意图：一方面通过回顾，巩固上节课的教学内容，并为本节课做好知识方面的准备。另一方面也为引出本节课的课题。同时也是为了培养学生发现问题，提出问题的能力，激发学生运用旧知探求新知的欲望。也是为了体现由特殊到一般的认知规律。

（二）新知的探究与应用：

1、两条直线平行的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线不重合且有斜率存在。

（1）设置问题，归纳结论

设两条直线与的斜率分别为与。

活动二：

1、当时，与满足怎样的关系？

给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演。

归纳：。

2、反之，当时，两条直线与有怎样的位置关系？

学生通过思考，很快得出直线，但要明确其中的原理势必受到三角函数基础知识的限制，教师可给予适当的讲解。

归纳：

结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

设计意图：（1）培养学生运用已有知识解决新问题的能力；（2）培养学生自主探究问题的习惯；（3）让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件。

（2）应用举例：

例1、已知A（2，3），B（－4，0）P（－3，2），Q（－1，3），试判断直线AB与直线PQ的位置关系,并证明你的结论.给学生约1分钟的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练1：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（-7，0）、B（2，－3）、C（5，6）、D（-4，9），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.在做完此题时，细心的学生会发现它可能还是一个正方形，如何判断呢？引出下一个探究的问题：斜率之间有何关系时两条直线垂直？

设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。（2）为了发现问题，提出问题。也为下一环节做好铺垫。

2、两条直线垂直的判定：

说明：为了降低难度，设定两条直线的斜率是存在。

（1）设置问题，归纳结论

活动三：

1、当时，它们的斜率k1与k2有何关系？

探究：(1)直线且的倾斜角为300，的倾斜角为1200，k1与k2的关系.(2)直线且的倾斜角为600，的倾斜角为1500，k1与k2的关系

由学生自主探究，得出。

猜想：任意两条直线垂直时，此时老师利用几何画板直观演示任意两条相互垂直时直线斜率之积为-1.，验证猜想的可靠性。

提出问题：我们能否证明上述结论呢？

该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生无法完成。教师通过分析、讲解，完成证明过程。

归纳：

2、反之，当时，直线与有怎样的位置关系？

学生思考后得出与是垂直的。由于结论的证明涉及三角函数的相关知识，完成证明很困难，老师利用几何画板直观演示，验证两条直线的斜率之积为-1，它们是相互垂直的即可。

归纳：

结论：如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

设计意图：（1）为了更容易突破本节课的教学难点，更好的理解两直线垂直的条件。（2）为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。（3）充分渗透了数形结合的数学思想。

（2）应用举例：

例2：已知A（－6，0）、B（3，6）、P（0，3）、Q（6，－6），试判断直线AB与直线PQ的位置关系。

给学生约30秒的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。接着与学生一同解决变式训练1提出的判断平行四边形ABCD是否是正方形，前后呼应，给学生留下一个完整的影响。

设计意图：直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

变式训练2：判断下面两条直线的位置关系：

直线经过两点A（3，1），B（－2，0）,直线经过点P（1，－4），且斜率为－5，则 __。（学生思考，口答即可）。

变式训练3：已知A（5，－1）、B（1，1）、C（2，3）三点，试判断△ABC的形状。

由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导.设计意图：（1）培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。(2)体会用代数方法解决几何问题的思想方法。

（三）拓展提升：

1、若直线的斜率不存在，则直线的斜率为多少时？直线和：

（1）平行；（2）垂直。

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师在黑板上画出相应结论的图像。

归纳（一般情况）：

2.若直线与的斜率相等，则与一定平行吗？

给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师出示结果。

（此结论是利用斜率证明三点共线的）

变式训练3：

已知A（1，－1）、B（2，1）、C（0，－3），这三点是否在同一条直线上，为什么？

设计意图：对特殊情况做出补充：即直线的斜率不存在时，两条直线平行与垂直的判定方法。使得学生对平行与垂直的判定有更全面的认识。拓宽学生的知识面，使所学的知识系统化。

（四）课堂小结：

1、本节课我们学习了哪些新知识？新方法？

2、在应用这些新知识时应注意哪些问题？

3、在本节课的学习中运用了哪些数学思想？

学生发言,相互补充,教师点评,然后师生共同概括总结：

知识：

1.两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

2.如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即

方法：代数方法研究几何问题。

思想：数行结合思想。

设计意图：通过对所学内容进行小结，使学生既学习了知识又培养了能力，并对所学内容有一个更全面的认识。

（五）、布置作业：

1、课本p89习题3.1 a组 6、72、思考题：

已知三个点A（2，2），B（－5，1），C（3，－5），试求第四个点d的坐标，使这四个点构成平行四边形。

设计意图：（1）作业1是直接应用，模仿练习。

（2）作业2是供学有余力的学生选做。旨在培养学生创造性的能力。

六、教学评价设计：

评价方式的转变是课程改革的一大亮点。课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、通过学生的自主探究、合作交流、以及与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、合作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过应用来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

以上是我对本节课的一些说明，不妥之处，敬请各位老师批评指正。谢谢﹗

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篇6：两条直线平行与垂直的判定学案

学习目标：1.探究两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.探究两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.重点：两直线平行、垂直的充要条件，会判断两直线是否平行、垂直.难点：斜率不存在时两直线垂直情况讨论.导入新课：1.倾斜角和斜率的概念.2.倾斜角的范围.3.已知直线上两点坐标，求直线的斜率.学习过程：

一．自主学习（阅读教材P86----89）

探究问题一：

1.回想初中所学平面内两条直线的位置关系有哪些？

2.设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，当l1∥l2时，k1与k2有什么关系？

例1．已知A(2,3)，B(–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2, –1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.探究问题二：

1.设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,当l1l2时，k1与k2有什么关系？

2.两直线垂直的判定条件.例3.已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例4.已知A(5, –1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.二.课堂检测

1.判断下列各题中直线l1与l2的位置关系.(1)l1的斜率为1,l2经过点A(2,2)、B(3,3).(2)l1经过点A(0,2)、B(2,0),l2经过点M(2,3)、N(3,2).(3)l1的斜率为-5,l2经过点A(10,4)、B(20,6).(4)l1经过点A(4,3)、B(4,100),l2经过点M(-1,4)、N(1,4).2.已知过A(—2，m)和B(m，4)的直线与斜率为—2的直线平行，则m的值是（）A、—8B、0C、2D、10

3.已知A(a,2)、B(3,b+1)且直线AB的倾斜角为90度，则a,b的值为_________________

4.已知平行四边形ABCD中，A（1，1）B（-2，3）C（0，-4）,求点D坐标

三.课堂小结：

篇7：两直线垂直与平行的判定教学设计

“直线谷平面垂直的判定”由三位教师执教。我们采取比较的方式，在分阶段回顾三堂课的基础上，对教学设计和实施进行反思。在不改变愿意的前提下，我们对教师的语言做了适当精简。

一、课题的引入。

三位教师采用了个不相同的引入方式。

1、教师甲的引入。

教师：同学们，空间一条直线与平面有哪几种位置关系?

学生1边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。

教师：直线与平面内，得到直线与平面平行已研究过，直线与平面相交的位置关系成为今天要研究的问题。在日常生活中，你见过哪些可以抽象成直线与平面相交的位置关系(的形象)?请举例说明。

学生：日光灯的掉线与天花板相交;房子的柱子与天花板相交;插在碗里的筷子与(平的)碗底相交。

教师：同学们想象力非常丰富，在生活中确实有许多可以抽象成直线与平面相交的例子。再比如，教室中的墙角线(两个墙面的交线)与地面。(展示图片)小区中的某些建筑，撑船师傅的竹竿与水平面都给我们以直线与平面相交的形象。古诗词中描写某些自然景观，如“大漠孤烟直”，“一行鹭上青天”的诗句，这些都给我们以直线与平面相交的形象。(展示操场上旗杆图片)旗杆与地面所在的平面也相交。在直线与平面相交的模型中(位置关系中)，你认为哪种相交最特殊?

学生：直线与平面垂直。

教师：今天我们就研究这种关系(板书出示课题)

2、教师乙的引入。

教师：(用PPT呈现龙卷风图片)同学们刚进教室看到这样一副壮丽的图片，我不禁想到唐代诗人王维的诗句“大漠孤烟直”。在广袤无垠的沙漠上一般炊烟冲天而起给沙漠带来无限生机。欣赏这一美妙画面之后是否想到立体几何中什么与什么的关系。学生：(齐声)线与面垂直。

教师：线与面垂直，很好。说明同学们既有丰富的想象力又有很好的理性思维。请想一想在日常生活中，有没有这种线与面垂直的其他例子。

学生：看电视时，视线与画面;电线干直立与地面垂直。

教师：这样的例子很多，比如大桥桥柱与水面。正是因为生活中有许多线与面垂直

关系，所以，在几何中有必要对线面垂直做进一步研究。这堂课就来学习直线与平面垂直(板书出示课题)

3、教师丙的引入。

教师：前面我们研究了直线与平面平等的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。展示天安门广场上的国旗及旗杆。这里先请大学看一幅图片，天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一幅图片，一桥飞架南北，天堑变通途。请大学回答下面问题。

问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系?

学生众：垂直。

教师：从数学的角度看，就是什么与什么的垂直。学生众：线与面。

教师：你还能举出一些类似的例子吗?想一想(教师同时出示课题)。

学生1：音箱的边缘与地面。

学生2：立竿见影，竿与地面垂直。教师又展示跨栏与跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面、跳高架立竿与地面是垂直关系。

请大家将旗杆与地面这种位置。

关系画出相应的几何图形。

学生画图，教师在图板上画出图。

教师：为什么画成这样呢?这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。

教师：接着前面内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。

4、不同引入方式的比较与思考。

篇8：直线与平面平行的判定

教学重点难点

教学重点在于判定定理的引入与理解, 难点在于判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

教学过程设计

一、知识准备, 新课引入

提问1:根据公共点的情况, 空间中直线a和平面有哪几种位置关系?并完成下表:

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外, 用符号表示为a

二、判定定理的探求过程

1.直观感知。提问:根据日常生活的观察, 同学们能感知到直线与平面平行的具体事例吗?

生1:例举日光灯与天花板, 树立的电线杆与墙面。

生2:门转动到离开门框的任何位置时, 门的边缘线始终与门框所在的平面平行 (由学生到教室门前作演示) , 然后教师用多媒体动画演示。

2.动手实践。取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动, 观察另一边与桌面位置给人的平行感觉, 把直角腰放在桌面并转动时, 观察另一边与桌面给人的印象就不平行。

3.探究思考。 (1) 上述演示的直线与平面位置关系为何如此不同?其关键因素是什么?通过观察, 感知发现直线与平面平行的三个要素: (1) 平面外一条线 (2) 平面内一条直线 (3) 该两直线平行。 (2) 如果平面外的直线a与平面内的直线b平行, 那么直线a与平面平行吗?

4.归纳确认。直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线和这个平面平行。

简单概括: (内外) 线线平行线面平行

符号表示:略

三、定理运用, 问题探究

1.想一想: (1) 判断下列命题的真假?说明理由: (1) 如果一条直线不在平面内, 则该直线就与平面平行 () 。 (2) 过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行 () 。 (3) 一直线上有二个点到平面的距离相等, 则这条直线与平面平行 () 。 (2) 若直线a与平面b内无数条直线平行, 则a与b的位置关系是 ()

A.a||b B.a⊥b C.a||b或a⊥b D.无法确定

2.做一做:

设a、b是二异面直线, 则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面, 不存在则说明理由?

先由学生讨论交流, 教师提问, 然后教师总结, 并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程, 最后借多媒体展示作图的动画过程。

3.证一证:

例:如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是棱BC与C1D1中点, 求证:EF||平面BDD1B1

图:略。

分析:根据判定定理, 必须在平面BDD1B1内找 (作) 一条线与EF平行, 联想到中点问题找中点解决的方法, 可以取BD或B1D1中点而证之。

思路一:取BD中点G连D1G、EG, 可证D1GEF为平行四边形。

思路二:取D1B1中点H连HB、HF, 可证HFEB为平行四边形。

4.练一练:

练习1:见课本6页练习1、2

变式:若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM=FN, 试问结论仍成立吗?试证之。

四、总结

先由学生口头总结, 然后教师归纳总结 (由多媒体幻灯片展示) :

1.线面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线与这个平面平行。

2.定理的符号表示:简述: (内外) 线线平行则线面平行

3.定理运用的关键是找 (作) 面内的线与面外的线平行, 途径有:取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

教学思考

本课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程, 注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动, 从多角度认识直线和平面平行的判定方法, 让学生通过自主探索、合作交流, 进一步认识和掌握空间图形的性质, 积累数学活动的经验, 发展合情推理、发展空间观念与推理能力。同时注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言, 加强各种语言的互译。比如课前的复习, 让学生用三种语言的表达, 动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达, 对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。

篇9：两直线垂直与平行的判定教学设计

一、教学内容分析

本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。任何定义都有充分必要性，线面垂直的定义既是线面垂直最基本的判定方法，又是它的重要性质，也是探究线面垂直判定定理的前提。线面垂直作为空间垂直关系转化的纽带，是后续学习面面垂直的基础，是证明异面直线垂直关系的重要方法，也是构建线面角、二面角的平面角的重要因素。所以，本节课在高中立体几何教学中具有重要的地位和作用。

根据课程标准，线面垂直判定定理的严格证明不在本节课进行，而是安排在选修系列2中进行，这样既降低了教学难度，又符合学生的认知规律。在遵从教材主体内容结构不变的情况下，为了增加课堂容量，节省课时，我对课本中的一些细节做了如下

调整：

拓展了“折纸实验”的作用，在教师引导下，学生用课前自制的三角形纸片做“折纸实验”，发现事实后，进入第一道例题的

教学。

例1：如图，AD是△ABC的高，沿AD将△ABC折起，求证：AD⊥平面BCD.

“折纸实验”是教材内容的一部分，教材是用它来发现线面垂直的判定定理，而我把它设计成先发现线面垂直的事实，后重点运用判定定理来证明。有模型的支撑，大大降低了题目难度，且使学生初步感受到“翻折类问题”的特点。

改编了课本中的习题，渗透证明“异面直线垂直”的重要方法。

原题：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.

例2（改编）：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，点O是AC的中点，求证：（1）AC⊥平面VOB.（2）VB⊥AC.

题目由课本P67练习1改编而来，原题直接要求证明异面直线垂直，学生没有学习经验，无论是思路还是辅助线学生都不易想到。鉴于此，我以增加设问的方式降低难度台阶，在进一步巩固判定定理运用的基础上，最终达到渗透证明“异面直线垂直”的

方法。

调整了例题的呈现顺序，深化学生对“平行线传递性”的理解。

例3：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.

题目选自课本上的例1，表面看似简单，实际上既可以用判定定理来证明，又可以用定义来证明，题目重在体现平行线的传递性，有一定难度，所以调整为最后一道例题。

基于以上分析，我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、学生情况分析

学习本节课之前，学生已经学习了空间点、直线、平面的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，有一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证的能力，基本具备了学习本节课的知识、方法和能力。

可是，完全理解线面垂直的定义有一定难度，同时，学生不易自我发现线面垂直的判定定理。鉴于此，我将本节课的教学难点确立为：线面垂直定义的理解与判定定理的发现。

为了突破上述第一个难点，我将平面内的直线以是否过垂足分为两类，利用平行线的传递性很好地解释了平面的垂线与平面内不过垂足的直线的垂直关系。为了突破第二个难点，直接切中要害来分析利用定义证明线面垂直的弊端，需要涉及平面内所有直线很难实现，那么探究的方向自然是选“直线中的代表”，减少所需直线的条数，从一条直线开始探究。多媒体辅助教学在突破难点上起着不容忽视的作用。

三、教学目标设计

根据课程标准给出的学习目标，再结合学生的实际情况，确立本节课的三维教学目标为：

1.能抽象概括出直线与平面垂直的定义，并正确理解该定义；能归纳总结出直线与平面垂直的判定定理，并掌握运用该定理证明一些空间位置关系的简单命题。

2.经历从“形象到抽象”的认知过程，从“简单到复杂”的探究过程，体会过程中所蕴含的化归转化、分类讨论、类比等数学思想方法。

3.进一步感受“欧氏几何”学解决问题的特点。

四、教学策略设计

根据本节课的教学内容，我选择以学生熟悉的生活现象创设情景导入，激发学生对即将学习知识的兴趣；然后以探究线面垂直的判定定理为最终目标，设置大量层层递进的“问题串”，引领学生通过选择性学习（听老师的点拨，同学的表达）、参与性学习（亲自参与活动）、合作性学习（与同学、老师交流）等活动逐步领会线面垂直的定义并发现判定定理。知识的运用通过自主性学习（自己解决例题）活动完成，而非完全模仿性练习。整个教学过程中，以引导探究和教师讲授相结合的教学方法为主，穿插讨论法、演示法等其他教学方法。

以上是我对本节课部分重要环节的认识，在这样的认识和分析的支撑下我将完成本节更重要的一部分，即教学设计。

参考文献：

[1]黄跃华.导研式教学在高中数学教学中的实践应用探究[J].新课程（中学），2014（6）：56-57.

篇10：两直线垂直与平行的判定教学设计

两条直线平行的判定方法有两类：一是用平行线的定义进行判定，但更主要的是用平行的条件平行判定。在利用平行的条件判定两条直线平行时，涉及到等角的转化，为了帮助大家复习，本文就等角的转化问题举例分析。

一、根据角平分线的条件及定义进行等角转化，创造出平行的条件：

例1．如图1，直线AB、CD被直线EF所截，MP平分∠EMB，NQ平分∠END，且∠EMP=∠QND，求证：①MP∥NQ，②AB∥CD。

分析：本例由∠EMP=∠QND和MP平分∠EMB，NQ平分 ∠END，的条件可以进行等角的转化，进而证明直线的平行。证明：①因为NQ平分∠END（已知），所以∠ENQ=∠QND（角平分线的定义），又因为∠EMP=∠QND（已知），所以∠EMP=∠ENQ（等量代换）所以MP∥NQ（同位角相等，两直线平行）。②因为MP平分∠EMB（已知），所以∠EMP=11∠EMB（角平分线的定义），同理得∠QND=∠END，2211∠EMB=∠END（等式的性质），即∠EMB=∠END 22又∠EMP=∠QND（已知），所以所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。

点评：这类题目中，给出的条件一般不能直接推证结论，必须进行代换、转化，常见的转换应用的知识有：对顶角相等；邻补角互补；角的平分线的定义与性质等。

二、利用互余条件进行等角的转化，创造出平行的条件：例2．如图2，已知∠1与∠D互余，CF⊥DF，求证：AB∥CD

分析：由于已知∠1与∠D互余，CF⊥DF，所以∠C与∠D互余，1 所以∠1与∠C相等，可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。证明略。

点评：通过同角或等角的余角相等，进行等角的转化，也是证明两直线平行时常用的转化方式。本例还可以探索其他的证明方法。

三、利用三角形的内角和进行等角的转化，创造出平行的条件：例3．如图3，AB⊥BF，CD⊥BF于D且∠GBF+∠G=90。求证：AB∥EG。

分析：由于∠GBF+∠G=90，根据三角形的内角和可知： ∠GFB=90。AB⊥BF，可知∠ABF=90，所以AB∥EG（内错角相等，两直线平行）。证明略。

点评：本例通过三角形的内角和进行等角的转化，也是证明两直线平行时常用的转化方式。在此CD⊥BF于D是多余的条件，不要让这样多余的条件干扰正常的解题思路。

四、利用角的和、差条件进行等角转化，创造出平行的条件：

例4．如图4，∠B=∠C，∠DAC=∠B+∠C，AE平分∠DAC，求证：AE∥BC。

分析：由于∠B=∠C，∠DAC=∠B+∠C，所以有∠DAC=2∠B，而AE平分∠DAC，即∠DAC=2∠DAE，于是∠B=∠DAE，所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）。0

篇11：直线与平面垂直的判定的教学反思

一、复习引入部分

在复习回顾过程中，我首先提出了一个问题：问直线和平面有几种位置关系。我们研究了直线和平面平行，直线在平面内是平面几何的内容，今天我们来研究直线和平面相交的一种特殊情况，同学们都一起回答是：垂直。这样激发了学习的兴趣。

新课标提倡数学教学应当注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生，在数学课堂学习中，精心创设问题情景，诱发学生思维的积极性，用卓有成效的启发引导，促使学生的思维活动持续发展。学生对学习有无兴趣和求知欲，是能否积极思维的重要的动机因素。要引起学生对数学学习的兴趣和求知欲望，行之有效的方法是创设合适的问题情景，引起学生对数学知识本身的兴趣。在数学问题情景中，新的需要和学生原有的数学水平之间产生了认知冲突，这种认知冲突能诱发学生数学思维的积极性。因此，合适的问题情景，成为诱发和促进学生思维发展的动力因素。在本节课的设计中，我引入了生活中的场景，如教室的门与地面、立在桌上的课本和桌面的关系、旗杆和地面等等，来激发学生学习数学的兴趣。

二、判定定理讲解过程

在直线与平面垂直的性质定理讲解设计中，我让学生先观察实例，再从实际情境中抽象出数学模型，通过两个数学小实验，让学生动一动手，学生自主探究得出判定定理。在这里，我仍然要求学生会用三种语言来表达这个判定定理，并和学生一起去分析定理中的三个条件。讲解后，我设计了几道判断题，主要目的是希望学生自己去发现判定定理中的三个条件都是不能少的，缺少一个结论均不成立。这个设计得到了老师们的肯定，课后也给我提出了更好的处理意见。比如说，可以充分利用多媒体技术，不妨直接将三个条件投影出来，然后依次擦去一个或者两个条件，让学生自己去证明结论是否仍然成立。我觉得在以后的教学中，我可以尝试采用这样的处理方式，在此过程中，让学生通过实践体验知识形成的过程，自主完成知识的建构，让学生体会知识获得的喜悦，自己做出来的才是印象最深刻的。

三、反思例题讲解与随堂练习部分

在例题讲解中，我选取的是教材中的例1，先给学生分析了题意，再板书了证明过程。但是，在分析过程中，但板书不够详细。这是一个不足，虽然有紧张的原因，但是作为一名老师，应该给学生做好榜样，起到示范的作用。最后，由于时间不够，例2讲解非常详细，如果平面中没有现成的直线，那么需要我们自己去做两条辅助线。例3不仅充分应用判定定理去证明线面垂直，而且还应用例2的结果，过度自然。

篇12：两直线垂直与平行的判定教学设计

一、教学目标

1.会找出平行的直线和平面

2.会应用判定定理证明线面平行

3.逐步学会逆向思维

4.归纳证明线线平行的方法：中位线，相似，平行四边形

二、教学重点：应用判定定理证明线面平行（给学生足够时间练习板书）

教学难点：利用中位线作辅助线（详细分析板书）

三、教学方法：讨论式，讲练结合

四、教学过程

（一）引入：课前提醒大家不要翻书。老师拿一本书一支笔（笔稍微斜一点点）问：笔所在直线与书本所在平面什么关系？老师：有人说平行，有人说相交。其实都有道理，因为平行向下偏一点点肉眼分辨不出来的，那么怎么判断线面平行更可靠呢？这就是这节课咱们要探寻的奥秘。

（二）新课：

1.实例感受：请大家观察门框的一边和门板什么关系？书本封面边缘和书本面什么关系？长方体下底边与上底面什么关系？这三个实例有个共同点，有同学发现了吗？

（10秒后提示：门框对边平行）

所以，可以怎么判断线面平行呢？同桌之间互相讨论一下。

2.定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（给大家1分钟时间，尝试用符号表示此定理）

$a ∥ b, a ⊄ α, b \subset α \Rightarrow a ∥ α$

画图表示

请大家齐声朗读定理3遍，尝试背诵

练习1：判断正误：

（1）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α

（2）若平面外的直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α

练习2：如图，长方体 $ABCD - A B C D$ 中

（1）与AB平行的平面是？

（2）与平面ABCD平行的直线是？

通过这个练习咱们应该初步感受逆向思维。

练习3：在长方体 $ABCD - A B C D$ 中， $AA ∥ BB$ ,可得哪条直线平行哪个平面？（同样体现了逆向思维）

3.用定理证明线面平行

例：如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB，AD的中点。求证：EF∥平面BCD

思考：为什么想到连接BD？

答：因为E是AB中点，故A,B是三角形的顶点；F是AD中点，故A,D是三角形的顶点，所以EF是△ABD的中位线。故连接BD

练习：如图所示，在正方体 $ABCD - A B C D$ 中，S,E,G分别是 $B D$ ,BC,SC的中点，求证： $EG ∥ 平面 BDD B$

思考：书本56页练习2如何做辅助线？

备用练习1:大本61页基础小测（只说思路，不用写过程）

备用练习2：如图，长方体中，已知E,F分别为AB,CD的中点，求证 $A E ∥ 平面 DCC C$ （只说思路，不用写过程）

思考：由以上练习总结，证明线线平行的方法有哪些：中位线，平行线分线段成比例，平行四边形

小结：本节课学习了线面平行的判定。还学习了逆向思维，是做立体几何综合问题的利剑。最后学习了证明线面平行，注意板书，做辅助线。如果满分为5颗星，你给自己打几颗星呢？

作业布置：书本56页练习2

五、板书设计：

三个实例

学生板书

标题

1.定理：

2.逆向思维

3.证明线面平行

例题：

学生板书

篇13：两直线垂直与平行的判定教学设计

下面我想谈谈我在必修2立体几何部分关于垂直的教学及辅导中,指导学生操作的几个触手可及的几何直观对学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理以及面面垂直所起的作用.

首先谈谈人教A版必修2第二章2.3.1直线和平面垂直的判定这一节内容的教学. 教参上关于这节所设定的教学重点是:直观感知,操作确认,概括出直线和平面垂直的定义及判定定理. 课本上关于直观感知和操作确认方面设计了两个实例,一是通过旗杆和它的影子的例子来概括定义,二是通过折纸来探究判定定理. 我觉得这两个实例, 学生不容易操作,理解起来比较困难. 于是,我自己设计了几个便于学生操作和理解的几何直观,简单易行,说出来和大家共享.

一、关于直线和平面垂直的定义的理解

建议学生每人拿出一个三角板(或一把格尺,只要带一个直角的尺子即可),把其中一个直角边贴在桌面上,另一个直角边竖直立在桌面上,感受到直线(即竖直的直角边)与平面(桌面所在的平面 ) 垂直 , 且平面内有一条与之垂直的直线(即桌面上的直角边 ). 将该贴在桌面的直角边绕竖直的直线旋转一周,就知道竖直的直线和桌面上所有过垂足的直线垂直. 桌面上其他位置的任何一条直线一定会与过垂足的某一条直线平行,于是,直线就与桌面上任一直线都垂直了. 经过这样的操作确认,学生们就真切地感受到如果直线和平面垂直,则该直线就和平面上任一直线都垂直,没有一条例外. 因此,可以这么定义:如果一条直线与平面内的任一直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. 通过这样的直观感知和操作确认,学生对线面垂直的定义的理解就会较为深刻了.

二、对直线与平面垂直的判定定理的探究

如果用定义判定直线与平面垂直, 需要判定直线与平面内任一直线垂直,麻烦,使用起来很困难,于是,我们就希望被判定的直线的条数越少越好. 探究:1.如果直线与平面内的一条直线垂直,能判定这条直线和这个平面垂直吗? 学生容易回答说,不能. 要求举反例说明的时候,学生就容易举平面内的一条直线. 进而引导学生思考,如果直线和平面相交,但不垂直,平面内能找到与这条直线垂直的一条直线吗? 如果学生抽象地去想,那么他们得出正确的结论很困难. 这时,指导学生用带直角的尺去操作一下. 有的同学能找到, 按如下操作方式:其一直角边贴在桌面上当直线,另一直角边与桌面相交但不垂直,这样学生就理解了:在平面内能找到平面的斜线的垂线. 再让每名同学动手操作一下体会体会. 平面内存在平面的斜线的垂线,这是学生对垂直概念理解的一个难点. 通过这种操作,能加深学生的理解和认识. 2.如果直线与平面内的两条直线垂直,能判定这条直线和这个平面垂直吗? 如果是两条平行线,不行. 由探究1知,有一条,通过平行,就会有两条,进而有无穷多条. 这样,也理解了定义中不能把“任一条”换为“无穷多条”,因为有一条,通过平行,就会有无穷多条. 如果是两条相交直线, 行. 设计这样一个操作:请同学们随意拿一本书,从某页翻开,立在桌面上. 由于每页都是矩形, 书脊所在的直线垂直于桌面上的两条相交直线,书脊所在的直线就和桌面垂直. 学生能直观感知书脊所在的直线与桌面上的两条相交直线垂直, 就与桌面垂直. 如何理解呢? 如果把打开的两页书在桌面上绕书脊旋转一周,就会导出和任一条直线垂直了, 从而用定义可以解释了. 关于此定理的严格证明,课本不要求,以后可以用空间向量来证.

在辅导答疑时,学生对有些问题想不明白的时候,我也时常设计一些触手可及的几何直观帮助他们来理解相关的问题. 比如学生问了这样一个问题: 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是 ().

A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不一定

此题抽象地思考不容易得到解答,我设计了这样一个几何直观:在教室内很容易找到三个互相垂直的墙面,其中一个墙面是窗户所在的平面,一个是地面,一个是黑板所在的平面. 取地面和黑板所在的平面形成一个二面角1, 打开窗户,窗户和它所在的墙面形成一个二面角2,这样两个二面角符合题目条件:一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,二面角1的大小是90°,二面角2的大小随着窗户的开合,大小是不同的,可能互补,可能相等,也可能既不互补也不相等,因此选D.这个几何直观把窗户所在的平面换成门所在的平面也可以. 通过这个几何直观, 学生理解起来就容易多了.

几何直观是立体几何最本质的优势, 在教学和辅导中,教师要有意识地引导学生从他们的生活经验出发,把几何图形与所学内容联系起来,使他们充分利用触手可及的几何直观,有效地发展他们的空间观念,从而形成应用意识,加深对所学内容的理解. 学生手中的笔和尺,教室中的墙面、地面、桌面等都可以作为立体几何的几何直观.

摘要：立体几何的教学中,我们往往会忽视几何直观,而强调其他方面.几何直观是立体几何最本质的优势,我们要重视对学生进行几何直观的应用意识的培养.本文是针对直线与平面垂直、平面与平面垂直的几何直观方面的教学研究.

篇14：两直线垂直与平行的判定教学设计

【例１】如图,四面体ABCD中,M、E、F分别为△BAC,△ACD及△ADB的重心．

求证：(1) 平面MEF∥平面BCD；

(2) 求S△MEF∶S△DBC．

分析本题考查面面平行的判定以及面面平行的性质。

(1) 根据重心的性质易知应该连接AM,AE,AF,再根据相似比可知△MEF的三边分别与△DBC的三边平行,进而可得结论；

(2) 因为两个三角形所在的平面互相平行,因此,求两三角形面积之比,实质求这两个三角形对应边之比。

解 (1) 连接AM,AE及AF,分别延长使之交BC、CD、BD于G、H、P三点,由E、F、M分别为三角形的重心,

所以AMAG=AEAH=AFAP=23,所以连接GH、HP、PG，后有ME∥GH,EF∥PH,

可证ME∥平面BCD,EF∥平面BCD,

故平面EFM∥平面BCD．

(2) 由(1)知AMAG=AEAH=23,

即ME=23GH=13BD，

同理可证MF=13CD,EF=13BC,

所以△MEF∽△DBC,其相似比为1∶3,

所以S△MEF∶S△DBC=1∶9．

点拨由于M、E、F分别是三个三角形的重心,从而联想到重心将三角形的三条中线三等分,

由于平行线分线段成比例,由此联想到直线ME∥GH,ME=23GH,进一步可以证明直线ME与平面BCD平行,从而使命题得证。

题型二面面垂直问题

【例2】 (2011年江苏卷第16题)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.

求证：(1) 直线EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF⊥平面PAD．

分析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,

考察空间想象能力和推理论证能力。要证线面平行可在所

求平面内找一条与已知直线平行的直线。要证面面垂直可在其中一个平面内找一条另一平面的垂线。

证明 (1) 在△PAD中,因为E、F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD．

又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF∥平面PCD．

(2) 连接DB,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形,因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD．

点拨由于E、F分别是AP、AD的中点,从而可以证明EF∥PD,由此可以证明EF与平面PCD平行。由平面PAD⊥平面ABCD可以得到直线BF⊥平面PAD,进一步可以证明两个平面垂直。

题型三面面平行与面面垂直的综合问题

【例3】如右图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E．

(1) 求证：ABBC=DEEF；

(2) 设AF交β于M,AC∥＼DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当h′h的值是多少时,△BEM的面积最大？

分析本题主要考查面面平行所涉及的综合求解问题,这类问题不仅在平行时存在,同时在垂直时也存在,对同学们综合知识的能力要求比较高。

证明(1) 连接BM、EM、BE.

∵β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF,

∴BM∥CF.∴ABBC=AMMF,

同理,AMMF=DEEF.∴ABBC=DEEF．

(2) 由(1)知BM∥CF,

∴BMCF=ABAC=h′h.同理MEAD=h-h′h.

∴S△BEM=12CF•ADh′h1－h′hsin∠BME.

据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=12,即h′h=12时,y=-x2+x有最大值.∴当h′h=12,即β在α、γ两平面的中间时,S△BEM最大．

点拨要证明线段之比相等,一般可以转化为平行线问题,而求解面积的最值问题,一般可将面积表示为某一变量的函数,利用函数知识求解最值问题。

牛刀小试

1. 如图,在三棱锥PABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,

D、E分别是BC、AC的中点,F为PC上的一点,且PF∶FC=3∶1．

(1) 求证：PA⊥BC；

(2) 试在PC上确定一点G,使平面ABG∥平面DEF；

(3) 求三棱锥PABC的体积．

2. 如图,在三棱锥VABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ0<θ<π2．

(1) 求证：平面VAB⊥平面VCD；

(2) 试确定角θ的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．

满盈者，不损何为？慎之！慎之！——朱舜水

【参考答案】