正余弦定理习题课

正余弦定理习题课（精选14篇）

篇1：正余弦定理习题课

习题课 正弦定理和余弦定理

一、基础过关

1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为

A．无解B．两解C．一解()D．解的个数不确定

()π2．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC3时，sin C等于3

213B.13 132393213D.13

3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2，b6，B＝120°，则a等于()

6B．23D.2

()4．若△ABC的内角A、B、C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B等于

1543B.43151611D.16

5．在△ABC中，AB＝2，AC6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B2，则角A的大小为________．

7．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是

A．锐角B．钝角

()C．直角D．60°()8．在△ABC中，已知a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C为

A．30°B．60°C．45°或135°D．120° 9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．

10．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.(1)求A的大小；(2)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积S的大小．

batan Ctan C11．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，求＋abtan Atan B的值．

312． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cos B若b＝4，5

求sin A的值；(2)若△ABC的面积为4，求b、c的值．

13．在△ABC中,a，b，c分别为内角A,B,C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

14．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.(1)求A的大小；(2)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积S的大小．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2的度数．(2)若a3，b＋c＝3，求b和c的值．

B＋C7cos 2A＝(1)求A2

2答案

1．B 2.A 3.D 4.D 5.3 6.π6

7．证明 sin Acos B－cos Asin B

sin C＝sin Asin B

sin C·cos B－sin C·cos A

＝aa2＋c2－b2bb2＋c2－a2

c2ac－c2bc＝a2－b2

c＝左边．

a2－b2sinA－B

c＝sin C8．解(1)由已知，根据正弦定理得

2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A12，故A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．

9．A 10.C 11.12

12．解(1)∵m·n＝0，∴bsin C＋2csin Bcos A＝0.∵b

sin Bc

sin C∴bc＋2bccos A＝0.∵b≠0，c≠0，∴1＋2cos A＝0.∴cos A＝－12.∵0＜A＜π，∴A2π3(2)在△ABC中，∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴12＝b2＋4－4bcos 2π3∴b2＋2b－8＝0.∴b＝－4(舍)或b＝2.∴△ABC的面积S＝12bcsin A13．解 由baab＝6cos C得b2＋a2＝6abcos C.①

tan Ctan Csin Ccos Acos B化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将切化弦，得(＋tan Atan Bcos Csin Asin B

sin Csin C＝cos Csin Asin B

sin2C＝cos Csin Asin B

根据正、余弦定理得

sin2C2c2

＝4.cos Csin Asin B322－c2

tan Ctan C故＋＝4.tan Atan B

篇2：正余弦定理习题课

正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点

篇3：正余弦曲线的一个余弦定理

定理:设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A >0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, ∠MPN = θ, π是圆周率, 则

证明:因为正余弦曲线的形状和周期性相同, 故将点M平移至坐标原点O, 由函数y = Asinωx (A > 0, ω > 0) 的性质得M (0, 0) , P (π/2ω, A) , N (π/ω, 0) , 故由对称性得, | MN | =π/ω, 由余弦定理得

推论1 :设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A> 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, ∠MPN = 90°, π是圆周率, 则ωA =π/2.

证明:由题意和上述定理得

推论2:设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A> 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, △MPN是正三角形, π是圆周率, 则

证明:由题意得∠MPN = 60°, 和上述定理得

有了这几个结论, 我们可很方便地编拟三角函数的一些创新题目.

例1设正弦曲线y = Asinωx (A > 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若∠MPN = 90°, 求 (sinωA) 2012+ (cosωA) 2013的值.

解:由题意和推论1知ωA =π/2, 所以

例2设正弦函数y = 2sinωx (ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若∠MPN = 60°, 求该函数的最小正周期.

解:因为A = 2, θ = 60°, 由本文推论2得

故知该函数的最小正周期

例3设函数f (x) = Acosωx (A > 0, ω > 0) 的图象和x轴的两个相邻的交点是M和N, P是曲线上且位于M和N之间的最高点或最低点, 若△PMN是边长为2的正三角形.

(1) 求函数f (x) 的解析式;

(2) 求f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + … + f (2012) +f (2013) 的值.

解: (1) 因为三角形PMN是边长为2的正三角形, 故| MN | = 2, 故函数f (x) 的半周期

例4设正弦函数y = Asinωx (A, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若| MN | = 2π, ∠MPN = 45°, 求该函数的解析式.

篇4：应用正、余弦定理别“任性”

一、审题不细致误

例1在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2

错解：∵a20.

则cosA=b2+c2-a22bc>0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数，

且cos90°=0，∴A<90°.又∵A为△ABC的内角，∴0°

剖析：错因是审题不细，已知条件弱用.题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误.

正解：由上面的解法，可得A<90°.又∵a为最大边，∴A>60°.

因此得A的取值范围是（60°，90°）.

二、方法不当致误

例2在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=3，求a+b+csinA+sinB+sinC的值.

错解：∵A=60°，b=1，S△ABC=3，

又S△ABC=12bcsinA，

∴3=12csin60°，解得c=4.

由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA

=1+16-8cos60°=13.

又由正弦定理，得sinC=639，sinB=3239.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=13+1+432+3239+639.

辨析：如此复杂的算式，计算困难.其原因是公式不熟、方法不当造成的.

正解：由已知可得c=4，a=13.

由正弦定理，得2R=asinA=13sin60°=2393.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=2393.

三、忽视制约条件致误

例3在△ABC中，c=6+2，C=30°，求a+b的最大值.

错解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°，

∴a=2（6+2）sinA，

B=2（6+2）sin（150°-A）.

又∵sinA≤1，sin（150°-A）≤1，

∴a+b≤2（6+2）+2（6+2）=4（6+2）.故a+b的最大值为4（6+2）.

剖析：错因是未弄清A与150°-A之间的关系.这里A与150°-A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin（150°-A）不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的.

正解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°.

因此a+b=2（6+2）·[sinA+sin（150°-A）]=（8+43）·cos（A-75°）≤8+43.

∴a+b的最大值为8+43.

四、未挖掘隐含条件致误

例4在△ABC中，若C=3B，求cb的取值范围.

错解：由正弦定理可知

cb=sin3BsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB

=cos2B+2cos2B=4cos2B-1.

由0≤cos2B≤1，得-1≤4cos2B-1≤3，故-1≤cb≤3.

剖析：上述解法中，忽视了B的取值范围及a，b，c均为正的条件而致错.

正解：cb=4cos2B-1.（过程同错解）

又∵A+B+C=180°，C=2B，

∴0

∴1<4cos2B-1<3，故1

评注：在解决解三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误.同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”，否则极容易产生错解.

五、用错逻辑联结词致误

例5在△ABC中，acosA=bcosB，判断△ABC的形状.

错解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，

由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，

∴sin2A=sin2B.∴2A=2B且2A+2B=180°.

∴A=B且A+B=90°.故△ABC为等腰直角三角形.

剖析：对三角公式不熟，不理解逻辑联结词“或”、“且”的意义，导致结论错误.

正解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，

由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，

∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A+2B=180°.

∴A=B或A+B=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

六、解题不完整致误

例6若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.

错解：不妨设0

cosθ=（a）2+（b）2-（c）22ab=a+b-c2ab.

由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a+b>c，

即cosθ>0.∴长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.

剖析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角.显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件.

正解：由错解可得cosθ>0.

又∵a+b-c=（a+b-c）（a+b+c）a+b+c

=（a+b）2-ca+b+c=a+b-ca+b+c+2aba+b+c>0.

篇5：正余弦定理课后反思

后

反

思

关于正余弦定理是高考必考内容，分值在5—15分之间，并且该内容并不是很难，高考考察难度也不高，是学生高考得分点。所以本节内容的教学力求学生掌握并能应用。本节内容主要题型包括（1）利用正余弦定理解斜三角形；（2）利用正余弦定理判断三角形形状；（3）与三角形面积有关问题；（4）正余弦定理的综合应用。本节课主要解决（1）、（2）两个问题。

本节课的感觉还可以，首先，学生的基础知识掌握还好，上课提问了两个学困生，对于基础知识的回答完全正确，说明上节课的复习有成效：其次，学生对于课上问题的解答基本能解答清楚，并且部分学生有不同思路和解答；再次，学生课堂气氛较活跃，回答问题较积极，体现了较好的学习积极性。不足之处，教师备课不是很充分，对于学生的反应估计不足，以至于例2的讲解不是很充分，时间太仓促。所以想到，1、今后每节课较好的解决一个问题就行，要多给学生留消化时间，不要满堂灌；

2、要把握好细节，对学生的思路，解题过程要详细、认真辨析，增强总结；

篇6：正余弦定理考试大纲

解三角形考试大纲

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

篇7：正余弦定理章节练习及答案

一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.已知3,,sin,则tan（）542

11A.B.7C.D.7 77

2.函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（）

A.2B.4C.D.2

43.等式sin()sin2成立是，，成等差数列的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分条件也不必要条件 4函数f(x)sinxcos(x

6)的最小值为（）

A.-

2B.C.1A.5.在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a2b22c2,则cosC的最小值为（）

B.11C.D. 222

26.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若acosA=bsinB，则sinAcosA+cosB=

（）

A.11B.C.-1D.1 22

27.设tan,tan是方程x3x20的两根，则tan()的值为（）

A.-3B.-1C.1D.38.若ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB=()

311B.D.4169.把函数y=cos2x+1的图像上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变0，然后向

左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（）

10.已知

为第二象限角，且cos1的值（）22cossin22

1C.1D.2 2

1211.已知f(x)sin(x若af(lg5),bf(lg则（）45A.-1B.A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=1

12.已知函数f(x)2sin(x),xR,其中0,.若f(x)的最小正周期为6，且当x

2时，f(x)取得最大值，则（）

A.f(x)在区间-2,0上是增函数B.f(x)在区间-3,-上是增函数

C.f(x)在区间3,5上是增函数D.f(x)在区间4,6上是增函数

二、填空题：本大题共4小题，没小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.cos43cos77sin43cos167的值为________________.0000

14.在ABC中，若b=5,B=

15.设a为锐角，若cos(a

04,tanA2,则sinA=_____,a______ 4),则sin(2a)的值为__________ 651216.在ABC中，B60，ACAB2BC的最大值为______

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，asinAcsinCCbsinB.(1)求B;（2）若A=75，b=2,求a,c

18.（12分）已知函数f(x)2sin(x

(1)求f(0136),xR.5)的值； 4

106(2)设,0,,f(3a),f(32),求cos()的值.21352

19.（12分）已知函数f(x)Asin(,yf(x)32的部分图像如图所示，P,Q分别为该图像的最高点和最低点，点

P的坐标为（1，A）.2(1)求f(x)的最小正周期及的值；（2）若点R的坐标为（1,0）PRQ=，求

A3x),xR,A0,0

20.（12分）已知函数f(x)Asin(x),xR(其中A0，0,0图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

（,2）.(1)求f(x)的解析式;(2)当x

21.(12分)已知向量m=(sinx,1),n

cosx,的最大值为6.（1）求A 2)的，且图像上一个最低点为M223,时，求f(x)的值域.122Acos2x)(A>0),函数f(x)= m n2

个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为12

15原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)在[0,]上的值域.224(2)将函数y=f(x)的函数图像向左平移

22.在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被称为警戒水域，点E正北55n mile处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A

相距mile的位置B，经过40min又测得该船已行驶到点A北偏东45+（其

中sin90）且与点A

相距的位置C（1）求该船的行驶速度；

（2）若不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.答案：ADBBCDADACCA

填空：13.-1；；

16.；

2解答题：17.（1）B=45;（2）

a=

c18.(1)f(5

16cos() 465

19.T=6，=,A=6

20.f(x）2sin(2x).f(x)1,2 6

21.(1)A6,g(x)3,6

22.（1）会进入警戒水域

篇8：正、余弦定理的五大命题热点

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具, 其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.在近年高考中主要有以下五大命题热点:

一、求解斜三角形中的基本元素

是指已知两边一角 (或二角一边或三边) , 求其它三个元素问题, 进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线) 及周长等基本问题.

例1 (2009年高考广东文科) 已知△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c, 若$a=c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$且∠A=75°, 则

$\begin{array}{l}b=()\\ (\text{A})2(\text{B})4+2\sqrt{3}\\ (\text{C})4-2\sqrt{3}(\text{D})\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{array}$

分析:已知两边一对角的关系, 可考虑用正弦定理.

解:$\sin A=\sin 75°=\sin (30°+45°)=\sin 30°\cos 45°+\sin 45°\cos 30°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$, 由$a=c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$可知, ∠C=75°, 所以$\angle B=30°,\sin B=\frac{1}{2}$.由正弦定理得$b=\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}\cdot \sin B=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}\times \frac{1}{2}=2$, 故选 (A) .

点评:正弦定理通常运用于:①已知两角及任一边, ②已知两边一对角;余弦定理通常运用于:①已知两边及其夹角, ②已知三边.

二、判断三角形的形状

给出三角形中的三角关系式, 判断此三角形的形状.

例2 (2009年高考上海文科) 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c, 设向量$\overrightarrow{m}=(a,b)‚\overrightarrow{n}=(\sin B,\sin A),\overrightarrow{p}=(b-2,a-2).$

(1) 若$\overrightarrow{m}//\overrightarrow{n}$, 求证:△ABC为等腰三角形; (2) 若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{p}$, 边长c = 2, 角$C=\frac{\text{π}}{3}$, 求△ABC的面积 .

分析:先将向量关系转化为三角函数关系, 再利用正、余弦定理来解决.

解: (1) 因为$\overrightarrow{m}$//$\overrightarrow{n}$, 所以asinA=bsinB,

即$a\cdot \frac{a}{2R}=b\cdot \frac{b}{2R}$, 其中R是三角形ABC外接圆半径, 即a=b, 所以△ABC为等腰三角形.

(2) 由题意可知$\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{p}=0$, 即a (b-2) +b (a-2) =0, 所以a+b=ab.

由余弦定理可知, 4=a2+b2-ab= (a+b) 2-3ab, 即 (ab) 2-3ab-4=0.

所以ab=4 (舍去ab=-1) , 所以$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sin \frac{\text{π}}{3}=\sqrt{3}.$

评注:判断三角形形状, 通常用两种典型方法:⑴统一化为角, 再判断, ⑵统一化为边, 再判断.

三、 解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理, 并结合三角形的面积公式来解题.

例3 (2009年高考北京卷) 在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为$a,b,c‚B=\frac{\text{π}}{3},\cos A=\frac{5}{4},b=\sqrt{3}.$

(Ⅰ) 求sinC的值;

(Ⅱ) 求△ABC的面积.

分析:本题只需由面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$, 再结合正、余弦定理, 即可解决.

解: (Ⅰ) 因为A、B、C为△ABC的内角, 且$B=\frac{\text{π}}{3}‚\cos A=\frac{4}{5}$,

所以$C=\frac{2\text{π}}{3}-A,\sin A=\frac{3}{5},$

所以$\sin C=\sin (\frac{2\text{π}}{3}-A)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}.$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知$\sin A=\frac{3}{5}‚\sin C=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}.$

又因为$B=\frac{\text{π}}{3}‚b=\sqrt{3},$

所以在△ABC中, 由正弦定理, 得

$a=\frac{b\text{s}\text{i}\text{n}A}{\text{s}\text{i}\text{n}B}=\frac{6}{5}.$

所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times \frac{6}{5}\times \sqrt{3}\times \frac{3+4\sqrt{3}}{10}=\frac{36+9\sqrt{3}}{50}.$

四、求值问题

主要指在三角形中, 给出一些条件等式, 求三角形中有关角、边的值.

例4 (2009年高考天津卷) 在△ABC中, $BC=\sqrt{5},AC=3,\sin C=2\sin A$

(Ⅰ) 求AB的值.

(Ⅱ) 求$\sin (2A-\frac{\text{π}}{4})$的值.

分析:对于第 (1) 小题, 可用正弦定理直接求得;对于第 (2) 小题, 先由余弦定理, 得到sinA, 再用二倍角的正弦和余弦, 两角差的正弦求解.

解: (1) 在△ABC中, 根据正弦定理, $\frac{AB}{\text{s}\text{i}\text{n}C}=\frac{BC}{\text{s}\text{i}\text{n}A},$

于是$AB=\sin C\times \frac{BC}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=2BC=2\sqrt{5}.$

(2) 在△ABC中, 根据余弦定理, 得$\cos A=\frac{AB{}^2+AC{}^2-BC{}^2}{2AB\cdot AC}.$

于是$\sin A=\sqrt{1-\cos {}^{2}A}=\frac{\sqrt{5}}{5},$

$\begin{array}{l}\text{从}\text{而}\sin 2A=2\sin A\cos A=\frac{4}{5},\cos 2A=\cos {}^{2}A-\sin {}^{2}A=\frac{3}{5}.\\ \sin (2A-\frac{\text{π}}{4})=\sin 2A\cos \frac{\text{π}}{4}-\cos 2A\sin \frac{\text{π}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{10}.\end{array}$

评注:解斜三角形问题常常是正弦定理, 余弦定理与三角公式综合应用.

五、应用问题

是指利用正、余弦定理解决实际问题, 如测量问题、航海问题等.

例5 (2009年高考辽宁文科卷) 如图1, A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内, B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°, 30°, 于

水面C处测得B点和D点的仰角均为60°, AC=0.1 km.试探究图中B, D间距离与另外哪两点距离相等, 然后求B, D的距离 (计算结果精确到0.01 km, $\sqrt{2}\approx 1.414‚\sqrt{6}\approx 2.449)$

分析:解此类问题, 首先要把实际问题化归为三角形的边角关系, 进而结合正、余弦定理解此三角形.

解:在△ACD中, ∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, ,

所以CD=AC=0.1,

又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

故CB是△CAD底边AD的中垂线, 所以BD=BA .

在△ABC中, $\frac{AB}{\sin \angle BCA}=\frac{AC}{\sin \angle ABC},$

即$AB=\frac{AC\text{s}\text{i}\text{n}60°}{\sin 15°}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}$

因此, $BD=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{20}\approx 0.33$km, , 故B、D的距离约为0.33 km.

江苏省射阳职业教育中心校

篇9：正余弦定理的运用“两连发”

正弦定理是解三角形的重要工具，也广泛用于球的截面问题.但用其解题时可能会出错.本文就对此类问题错因及应对策略加以探讨.

例1 在△ABC中，A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况是（）

A?郾 无解B. 有一解

C. 有两解D. 不能确定

错解 =，得sinB=，又0

正解一 =，得sinB=>1，所以B无解，故答案为A.

正解二 cosA==，得c2－3c+3=0，所以c无解，故答案为A.

例2 在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B= .

错解 =，得sinB=，又0

正解一 =，得sinB=，又0b，得A>B，所以B=45°.

正解二 cosA==，得c2－4c－16=0，又c>0，所以c=2（+）.

所以cosB==，所以B=45°.

例3 在△ABC中，C=2A，a+c=10，cosA=，求b的值.

错解 C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，又cosA=，且=，所以c=a.

又a+c=10，得a=4，c=6.又cosA==，得b=4或5.

正解一 由上法求出b=4或5.

当b=4时，a=b，则A=B，故A+B+C=4A=π，得A=，与cosA=矛盾.

经检验，b=5符合题意.

正解二 由上法求出a=4，c=6.

又cosC=cos2A=2cos2A-1==，得b=－4（舍去）或5.

例4 ?摇（2009年全国Ⅱ卷）在△ABC中，cos（A－C）+cosB=，b2=ac，求B的大小.

错解 由cos（A－C）+cosB=，得cos（A－C）－cos（A+C）=，得sinAsinC=.

又由b2=ac及==，得sin2B=sinAsinC=，得sinB=，所以B=60°或120°.

正解一 由上法得B=60°或120°.

又cosB===>0，所以B=60°.

正解二 由上法得B=60°或120°.

b2=ac，得a≥b或者c≥b，即b不是唯一最大的边，与B=120°矛盾，所以B=60°.

根据以上四例错解分析，可看出运用正弦定理时产生错误的原因主要是忽略了以下两点：（1） 在△ABC中，a>b?圳A>B?圳sinA>sinB；（2） sinα∈（0，1］（α为三角形内角）.

根据以上四例正解分析，可看出为了避免因运用正弦定理而出错，要把握以下两点：（1） 对所求结果要进行检验（验证上述两点）；（2） 能用余弦定理解决的问题，可选择余弦定理.

用透余弦定理

引例 求cos270°+cos250°+cos70°cos50°的值.

解 原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°.

由===2R（20°+40°+120°=180°），得sin20°=，sin40°=，sin120°=.

故原式=（a2+b2+ab）=（a2+b2－c2+ab+c2）=（2abcos120°+ab+c2）==sin2120°=.（此解法属于下文中的构造应用.）

点评 这里通过构造三角形，运用正、余弦定理，求得了一个三角函数式的值.是怎么想到构造三角形的呢？答案是：题目中出现了形如“x2+y2－xy”的式子，由此自然想到△ABC中的余弦定理2bccosA=b2+c2－a2.实际上，遇见此类式子时，构造余弦定理解题是一种很好的方法.本文就对此类问题进行探究.

例1 在△ABC中，已知a2+b2－ab=c2，求C的大小.

解 由a2+b2－c2=ab，得2abcosC=ab，得C=60°.

例2 在△ABC中，若△ABC面积S=，求C的大小.

解 S==，又S=absinC，得C=45°.

例3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC面积S=c2－（a－b）2，求tan的值.

解 S=c2－（a－b）2=c2－a2－b2+2ab=－2abcosC+2ab=2ab（1－cosC），又S=absinC，得4（1－cosC）=sinC，得8sin2=2sincos，所以tan=.

例4 ?摇（2009年全国Ⅰ卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b的值.

解 由a2－c2=2b，得b2+a2－c2=2b+b2，得2abcosC=2b+b2，得2acosC=2+b.

由sinAcosC=3cosAsinC，得acosC=3ccosA.所以b=acosC+ccosA=acosC.

所以=，得b=4.

例5 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=80°，a2=b（b+c），求C的大小.

解 由a2=b（b+c），得c2+a2－b2=bc+c2，得2accosB=bc+c2，即b+c=2acosB，得sinB+sinC=2sinAcosB，得sinB=sin（A－B），得B=40°，所以C=60°.

例6 设正数x，y，z满足x2++xy=25，+z2=9，x2+z2+xz=16， 求xy+2yz+3xz的值.

解 ?摇x2++xy=25，+z2=9，x2+z2+xz=16?圯x2+?摇2－52+xy=0，?摇2+z2－32=0，x2+z2－42+xz=0?圯2x?摇cos150°+xy=0，2z?摇cos90°=0，2xzcos120°+xz=0.

可构造如右图的形状，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠AOB=120°，∠BOC=90°，∠AOC=150°，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，即×3×4=xzsin120°+zsin90°+x·sin150°，即xy+2yz+3xz=24.

篇10：高一数学家教正余弦定理2

A．(1,2)B．(13)D．(2，3)()C．2，2)

2．在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是()

A．等边三角形C．等腰三角形B．直角三角形 D．等腰直角三角形

13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝a2＋b2－c2)，4

则角C的度数是________．

4．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．

5．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C

6．在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝

篇11：正余弦定理习题课

朱梦独

我对教学所持的观念是：数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想和方法，要在思维能力、与价值观等多方面得到进步和发展。数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。”现代教育应是开放性教育，师生互动的教育，探索发现的教育，充满活力的教育。

可是这些说起来容易，做起来却困难重重，平时我在教学过程中迫于课堂任务完不成的担心，总是顾虑重重，不敢大胆尝试，畏首畏尾，放不开，走不出以知识传授为主的课堂教学形式，教师讲的多，学生被动的听、记、练，教师唱独角戏，师生互动少，这种形式单一的教法大大削弱了学生主动学习的兴趣，压抑了学生的思维发展，从而成绩无法大幅提高。要改变这种状况，我想在课堂上多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生总想在老师面前同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流。

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题有三种题型：解三角形、判断三角形形状及求三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的易错点。这节课我试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生在接受式学习中融入问题、解决问题，把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目的充分认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，除了给学生的常规方法外，还应给出关于三角形个数的方法，致少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④有位学生展示的结论有一个角应是1050，他给出的是750，而我没有发现，这是我在教学过程中的一个很大失误。⑤本来准备了一道练习题，但没能很好把握时间，而放弃了，说明了对这堂课准备不足，缺乏对学生很好的了解。

篇12：正弦定理余弦定理练习

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

篇13：利用正、余弦定理判断三角形形状

第一, 当条件中有边角关系, 均为一次, 且角的关系都是余弦时, 一般情况下两种方法都可以, 如例1:

即sin2A=sin2B, 又A、B为△ABC的内角。

∴2A=2B或2A+2B=π

所以, △ABC为等腰或直角三角形。

∴a2 (b2+c2-a2) =b2 (a2+c2-b2)

即 (a2-b2) (c2-a2-b2) =0

∴a=b或c2=a2+b2。

所以, △ABC为等腰或直角三角形。

第二, 当条件中一边是角的余弦, 一边是角的正弦, 其余是边的关系, 则常用方法一, 如例2:

∴B=45°, C=45°。

所以, △ABC为等腰直角三角形。

规律总结:在△ABC中, 若sin B=cos B, 则B=45°。

第三, 当条件中有平方时常用方法二, 如例3、例4:

例3, 在△ABC中, sin2A+sin2B

解:Qsin2A+sin2B

∴C为钝角。

所以, △ABC为钝角三角形。

例4, 在△ABC中, 2B=A+C, b2=ac, 则判断△ABC的形状。

篇14：第17讲 正、余弦定理及其应用

正余弦定理及其应用的重点内容为正弦、余弦定理及三角形面积公式，是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.本讲内容主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，也可能会涉及立体几何的空间角以及解析几何中的有关角等问题.对考生的运算能力，逻辑推理能力，对数形结合，函数与方程的思想，分类与整合的思想，转化与化归等重要数学思想进行了重点考查.选择题、填空题考查1～2题（分值5～10），位置应该比较靠前，以考查用正、余弦定理解三角形为主，题型基础，难度不大，容易得分；解答题1题（分值10～12），在16～17题位置，主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题（测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题等），难度中等.

命题特点

1.基础题型一般是考查直接用正余弦定理解斜三角形.正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、两解或无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角求第三边和其它两角；（2）已知三边，求各角.这类型题题型稳定，得分较易.

2.中档题型一般是考查正余弦定理与三角函数的综合应用，这类题重点是正余弦定理，侧重点还是三角函数的转化，最后落脚点是三角函数的相关知识，如：三角函数的周期性、对称性、单调性、最值等.题型较活，要求学生活中求稳，利用扎实的基本功解决问题.

3.中难档题多数是与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，对学生的运算能力，逻辑推理能力，数形结合的思想，函数与方程的思想，分类与整合的思想要求较高，该题型既新又活，能很好的区分学生的能力层次.

备考指南

1.利用正余弦定理解三角形是重点题型，解题时有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化.所以需要学生熟记正余弦定理的形式及其各种变式，并熟练转化.

2. 与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，备受命题者的青睐.这种题型灵活性强，涉及知识面广，正余弦定理是解决整个题目的基本工具，备考时多注意与相关知识的衔接.

限时训练

1.在锐角中[△ABC]，角[A，B]所对的边长分别为[a，b].若[2asinB=b3]，则角[A]等于 （ ）

A.[π12] B.[π6]

C.[π4] D.[π3]

2.在[△ABC]中，若[sinCsinA=3，b2-a2=52ac]，则[cosB]的值为 （ ）

A.[13] B.[12]

C.[15] D.[14]

3.在[△ABC]中，[a=3，b=5]，[sinA=13]，则[sinB=] （ ）

A.[15] B.[59]

C.[53] D.[1]

4.在[△ABC]中，[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[acosC，bcosB，ccosA]成等差数列，则[B]= （ ）

A. [π6] B. [π4]

C. [π3] D. [2π3]

5.在[△ABC]中，[a2=b2+c2+bc]，则[A]等于 （ ）

A.60° B.120°

C.30° D.150°

6.在[△ABC]中，内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，]c，且[2c2=2a2+2b2+ab]，则[△ABC]是 （ ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 锐角三角形 D. 等边三角形

7.在[△ABC]中，[a，b，c]分别为角[A，B，C]所对的边，[a，b，c]成等差数列，且[a=2c]，[S△ABC=3154]，则[b]的值为 （ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

8.在等腰直角三角形[ABC]中，[AB=AC=4]，点[P]是边[AB]上异于[A，B]的一点，光线从点[P]出发，经[BC]，[CA]发射后又回到原点[P]（如图）.若光线[QR]经过[△ABC]的重心，则[AP]等于 （ ）

A.2 B.1

C. [83] D. [43]

9.对于下列命题，其中正确命题的个数是 （ ）

①在[△ABC]中，若[cos2A=cos2B]，则[△ABC]为等腰三角形；

②在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a=2，b=5，A=π6]，则[△ABC]有两组解；

③设[a=sin2014π3，b=cos2014π3，c=tan2014π3]，则[a

④将函数[y=2sin（3x+π6）]的图象向左平移[π6]个单位，得到函数[y=2cos（3x+π6）]的图象.

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

10.如图，半径为2的半圆有一内接梯形[ABCD]，它的下底[AB]是[⊙O]的直径，上底[CD]的端点在圆周上.若双曲线以[A，B]为焦点，且过[C，D]两点，则当梯形[ABCD]的周长最大时，双曲线的实轴长为 （ ）

A. [3+1] B. 2[3+2]

C. [3-1] D. 2[3-2]

nlc202309032007

11. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为[30°]，由此点向塔沿直线行走[20]米，测得塔顶的仰角为[45°]，则塔高是__________米.

12. 已知[P]为三角形[ABC]内部任一点（不包括边界），且满足[PB-PA?PB+PA-2PC=0]，则[△ABC]的形状一定为___________.

13. 已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]棱长为1，点[M]是[BC1]的中点，[P]是[BB1]一动点，则[（AP+MP）2]的最小值为___________.

14.设函数[f（x）=ax+bx-cx]其中[c>a>0，c>b>0].若[a，b，c]是[△ABC]的三条边长，则下列结论正确的是_________.（写出所有正确结论的序号）

①[?x∈（-∞，1），f（x）>0]；

②[?x∈R]，使[ax，bx，cx]不能构成一个三角形的三条边长；

③若[△ABC]为钝角三角形，则[?x∈（1，2）]，使[f（x）=0].

15.在[△ABC]中，角[A，B，C]所对的边分别是[a，b，c]，已知[csinA=3acosC].

（1）求[C]；

（2）若[c=7]，且[sinC+sin（B-A）=3sin2A]，求[△ABC]的面积.

16.已知向量[a=（12，12sinx+32cosx）]，[b=（1，y）]，[a∥b]，且有函数[y=f（x）].

（1）求函数[y=f（x）]的周期；

（2）已知锐角[△ABC]的三个内角分别为[A，B，C]，若有[f（A-π3）=3]，边[BC=7]，[sinB=217]，求[AC]的长及[△ABC]的面积.

17.已知[a，b，c]分别为[△ABC]三个内角[A，B，C]的对边，[A]为[B，C]的等差中项.

（1）求[A]；

（2）若[a=2]，[△ABC]的面积为[3]，求[b，c]的值.

18.如图，海上有[A，B]两个小岛相距10km，船[O]将保持观望[A]岛和[B]岛所成的视角为60°，现从船[O]上派下一只小艇沿[BO]方向驶至[C]处进行作业，且[OC=BO].设[AC=xkm].

（1）用[x]分别表示[OA2+OB2]和[OA?OB]，并求出[x]的取值范围；

（2）晚上小艇在[C]处发出一道强烈的光线照射[A]岛，[B]岛至光线[CA]的距离为[BD]，求[BD]的最大值.