正余弦定理说课稿

2024-04-28

正余弦定理说课稿（通用12篇）

篇1：正余弦定理说课稿

余弦定理说课稿

各位评委各位同学，大家好！我是数学（）号选手，今天我说课的题目是余弦定理，选自高中数学第一册(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的第二节。我以新课标的理念为指导，将教什么、怎样教，为什么这样教，分为教材与学情分析、教法与学法、教学过程、板书设计四个方面进行说明：

一、教材与学情分析

这节课与初中学习的三角形的边和角的基本关系及判定三角形的全等有密切联系，是高考的必考内容之一，在日常生活和工业生产中也应用很多。因此，余弦定理的知识非常重要。这堂课，我并不准备将余弦定理全盘托出呈现给学生，而是采用创设情境式教学，通过具体的情景激发学生探索新知识的欲望，引导学生一步步探究并发现余弦定理。

根据教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，我制定如下三个教学目标：

（1）知识目标：掌握余弦定理两种表示形式，解决两类基本的解三角形问题。

（2）能力目标：通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系。

（3）情感目标：面向全体学生，创造轻松愉快的教学氛围，在教学中体会形数美的统一，充分调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习数学的兴趣。

我将本节课的教学重点设为掌握余弦定理，教学难点设为初步应用余弦定理解三角形问题。

二、教法与学法

1、教法选择：根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知特点，我选择创设情境教学法、探究教学法和引导发现法相结合。以学生自主探究、合作交流为主，教师启发引导为辅。

2、教学组织形式：师生互动、生生互动。

3、学法指导：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的东西”，因此学之有法，才能学之有效，学之有趣。根据本节课的特点，我在学法上指导学生：

①如何探究问题②遇到新的问题时如何转化为熟悉的问题③做好评价与反思。

4、教学手段

根据数学课的特点，我采用的教具是：多媒体和黑板相结合。利用多媒体进行动态和直观的演示，辅助课堂教学，为学生提供感性材料，帮助学生探索并发现余弦定理。对证明过程和知识体系板书演示，力争与学生的思维同步。学具是：纸张、直尺、量角器。

三、教学过程

为了实现本节课的教学目标，在教学中注意突出重点、突破难点，我将从

创设情境、导入课题；

引导探究、获得性质；

应用迁移、交流反思；

拓展升华、发散思维；

小结归纳、布置作业

五个层次进行教学，具体过程如下：过程省略。

四、板书设计：

板书是课堂教学必不可少的组成部分，为了再现本节课的知识体系，渗透结构思想，突出本节课的重点，我将这样设计板书。性质的证明和习题解答是学生完成的，让学生写到黑板上，发现错误可及时纠正；我将本节课的知识体系展示到黑板上，利于学生理清思路。

篇2：正余弦定理说课稿

一．教材分析

1．地位及作用 “余弦定理”是人教A版数学必修5主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用。

2．课时安排说明

参照教学大纲与课程标准，以及学生的现实情况，本节内容安排两课时，本次说课内容为第一课时。3．教学重、难点

重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。二．学情分析

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度.三．目标分析

根据新课程标准突出学生综合素质培养的特点,确定了本节课三位一体的教学目标：

知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。情感目标：从实际问题出发,体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的积极性。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验。养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.四．教学方法

1．教法分析：

数学课堂上首先要重视知识的发生过程，既能展现知识的获取，又能突出解决问题的思维。在本节教学中，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生探究、归纳、推导，引导学生逐个突破难点，使学生在各种数学活动中掌握各种数学基本技能。

2．学法分析：

教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是要让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。本节教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“现实问题转化为数学问题”的过程，并通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力.五．教学过程

教学环节：温故知新—探究新知—巩固提高—反思体验。

1.在第一环节中,我提出问题:正弦定理及正弦定理解决的解三角形问题。并引导学生思考正弦定理没有解决的解三角形问题。

设计意图：温故旧知，为学习新知识,做准备。

2.在第二个环节中：通过铁路规划的实际问题，建立数学模型.设计意图：通过实际问题，引发学生思考,激发学生的学习兴趣,在给出技术人员的方法后,提出问题,激起学生求知欲.然后我将全班同学分为三个队,以小组合作的形式分别利用平面几何法,向量法,解析法探究余弦定理.设计意图: 从各个不同的方向探索得到余弦定理，发散学生的思维;让全班同学参与其中,成为学习的主人,共同感受知识的产生过程,体验成功的快乐.通过学生的自主学习,合作交流,得出余弦定理公式,归纳总结定理特点,树立知三求一的思想.3.在第三个环节中,首先带领学生解决之前的实际问题,树立学生信心,使学生有一种跃跃欲试的感觉.然后设置了三道例题: 例1:已知两边及夹角,巩固新知

例2:已知三边求最大角;由学生思考得出余弦定理推论,带动学生思考,观察推论,再次明确知三求一的思想;例3:已知两边及一边对角;引导学生发出此类问题可以通过正,余弦定理两种方法求解.这样设计由浅入深,层次分明,符合学生的认识规律,最后加以总结.接下来通过一道口答题,使学生回忆起勾股定理可以解直角三角形,引发学生思考勾股定理与余弦定理的关系.设计意图:加深学生对余弦定理的认识，强化特殊与一般的对立统一关系。通过知识的外延拓展学生思维，培养学生创造力。

通过抢答环节,调动学生的积极性,通过课堂练习巩固所学知识,加强学生数学知识应用能力的培养.4.在最后一个环节中,通过知识树的形式总结本节课内容,使学生对知识有一个系统的回顾与认识，培养学生归纳概括能力。六．教学理念

篇3：正余弦曲线的一个余弦定理

定理:设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A >0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, ∠MPN = θ, π是圆周率, 则

证明:因为正余弦曲线的形状和周期性相同, 故将点M平移至坐标原点O, 由函数y = Asinωx (A > 0, ω > 0) 的性质得M (0, 0) , P (π/2ω, A) , N (π/ω, 0) , 故由对称性得, | MN | =π/ω, 由余弦定理得

推论1 :设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A> 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, ∠MPN = 90°, π是圆周率, 则ωA =π/2.

证明:由题意和上述定理得

推论2:设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A> 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, △MPN是正三角形, π是圆周率, 则

证明:由题意得∠MPN = 60°, 和上述定理得

有了这几个结论, 我们可很方便地编拟三角函数的一些创新题目.

例1设正弦曲线y = Asinωx (A > 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若∠MPN = 90°, 求 (sinωA) 2012+ (cosωA) 2013的值.

解:由题意和推论1知ωA =π/2, 所以

例2设正弦函数y = 2sinωx (ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若∠MPN = 60°, 求该函数的最小正周期.

解:因为A = 2, θ = 60°, 由本文推论2得

故知该函数的最小正周期

例3设函数f (x) = Acosωx (A > 0, ω > 0) 的图象和x轴的两个相邻的交点是M和N, P是曲线上且位于M和N之间的最高点或最低点, 若△PMN是边长为2的正三角形.

(1) 求函数f (x) 的解析式;

(2) 求f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + … + f (2012) +f (2013) 的值.

解: (1) 因为三角形PMN是边长为2的正三角形, 故| MN | = 2, 故函数f (x) 的半周期

例4设正弦函数y = Asinωx (A, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若| MN | = 2π, ∠MPN = 45°, 求该函数的解析式.

篇4：应用正、余弦定理别“任性”

一、审题不细致误

例1在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2

错解：∵a20.

则cosA=b2+c2-a22bc>0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数，

且cos90°=0，∴A<90°.又∵A为△ABC的内角，∴0°

剖析：错因是审题不细，已知条件弱用.题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误.

正解：由上面的解法，可得A<90°.又∵a为最大边，∴A>60°.

因此得A的取值范围是（60°，90°）.

二、方法不当致误

例2在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=3，求a+b+csinA+sinB+sinC的值.

错解：∵A=60°，b=1，S△ABC=3，

又S△ABC=12bcsinA，

∴3=12csin60°，解得c=4.

由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA

=1+16-8cos60°=13.

又由正弦定理，得sinC=639，sinB=3239.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=13+1+432+3239+639.

辨析：如此复杂的算式，计算困难.其原因是公式不熟、方法不当造成的.

正解：由已知可得c=4，a=13.

由正弦定理，得2R=asinA=13sin60°=2393.

∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=2393.

三、忽视制约条件致误

例3在△ABC中，c=6+2，C=30°，求a+b的最大值.

错解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°，

∴a=2（6+2）sinA，

B=2（6+2）sin（150°-A）.

又∵sinA≤1，sin（150°-A）≤1，

∴a+b≤2（6+2）+2（6+2）=4（6+2）.故a+b的最大值为4（6+2）.

剖析：错因是未弄清A与150°-A之间的关系.这里A与150°-A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin（150°-A）不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的.

正解：∵C=30°，∴A+B=150°，B=150°-A.

由正弦定理，得asinA=bsin（150°-A）=6+2sin30°.

因此a+b=2（6+2）·[sinA+sin（150°-A）]=（8+43）·cos（A-75°）≤8+43.

∴a+b的最大值为8+43.

四、未挖掘隐含条件致误

例4在△ABC中，若C=3B，求cb的取值范围.

错解：由正弦定理可知

cb=sin3BsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB

=cos2B+2cos2B=4cos2B-1.

由0≤cos2B≤1，得-1≤4cos2B-1≤3，故-1≤cb≤3.

剖析：上述解法中，忽视了B的取值范围及a，b，c均为正的条件而致错.

正解：cb=4cos2B-1.（过程同错解）

又∵A+B+C=180°，C=2B，

∴0

∴1<4cos2B-1<3，故1

评注：在解决解三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误.同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”，否则极容易产生错解.

五、用错逻辑联结词致误

例5在△ABC中，acosA=bcosB，判断△ABC的形状.

错解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，

由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，

∴sin2A=sin2B.∴2A=2B且2A+2B=180°.

∴A=B且A+B=90°.故△ABC为等腰直角三角形.

剖析：对三角公式不熟，不理解逻辑联结词“或”、“且”的意义，导致结论错误.

正解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，

由正弦定理，得2RsinAcosA=2RsinBcosB，

∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A+2B=180°.

∴A=B或A+B=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

六、解题不完整致误

例6若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.

错解：不妨设0

cosθ=（a）2+（b）2-（c）22ab=a+b-c2ab.

由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a+b>c，

即cosθ>0.∴长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形.

剖析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角.显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件.

正解：由错解可得cosθ>0.

又∵a+b-c=（a+b-c）（a+b+c）a+b+c

=（a+b）2-ca+b+c=a+b-ca+b+c+2aba+b+c>0.

篇5：余弦定理说课稿

尊敬的各位评委、老师，大家好！

今天我说课的题目是：余弦定理，下面我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法、教学过程、教学反思等方面对本课题进行分析说明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

余弦定理是人教版普通高中课程标准实验教科书第一章第一节的内容，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据.二、学情分析

基于高二学生的理解能力、思维特征和生理特征，在课堂教学中，一方面要充分利用多媒体，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

三、教学目标

基于以上对教材的认识，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：

1.知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；

2.过程与方法:掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；

3.情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识.四、教学重难点

1、教学重点：余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；

2、教学难点：余弦定理的发现及证明；

五、教学过程

为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业。具体过程如下：

1.创设情境，引入课题利用多媒体引出如下问题：

A地和B地之间隔着一个水塘（如图所示）现选择一地点C，可以测得∠C的大小及BC=，AC=，求 A、B两地之间的距离c.【设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望.2.探索研究、构建新知

(1)由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先带领学生从特殊情况△ABC为直角三角形（∠C=90°）时考虑。此时使用勾股定理，得c2=a2+b2.(2)从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三角形中构造直角即作BC边的高AD，从而在构造的直角三角形中利用勾股定理列出边之间的等式关系.(3)考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能否推广到△AB为钝角三角形（∠C>90°）中.通过解决问题可以得到在任意三角形中都有c2=a2+b2-2ab cosC，之后让同学们类比出a2、b2.这样我就完成了对余弦定理的引入，之后总结给出余弦定理的内容及公式表示.【设计意图】通过创设情景、引导学生探究出余弦定理这一数学体验，既可以培养学生分析问题的能力，也可以加深学生对余弦定理的认识.在学生已学习了向量的基础上，考虑到新课改中要求使用新工具、新方法，我会引导同学类比向量法证明正弦定理的过程尝试使用向量的方法证明余弦定理.之后引导学生对余弦定理公式进行变形，用三边值来表示角的余弦值，给出余弦定理的第二种表示形式，这样就完成了新知的构建.根据余弦定理的两种形式，我们可以利用余弦定理解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；

(2)已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他两个角.3.例题讲解、巩固练习

本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握使用余弦定理解决问题的方法。其中例题先以学生自己思考解题为主，教师点评后再规范解题步骤及板书，课堂练习请同学们自主完成，并请同学上黑板板书，从而巩固余弦定理的运用.例题讲解：

例1 在中，(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;(2)已知a=4,b=5,c=6，求A.【设计意图】例题1分别是通过已知三角形两边及其夹角求第三边，已知三角形三边求其夹角，这样余弦定理的两个形式分别得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的运用.例2 对于例题1(2)，求,BC的大小.【设计意图】已经求出了A的度数，学生可能会有两种解法：运用正弦定理或运用余弦定理，比较正弦定理和余弦定理，发现使用余弦定理求解角的问题可以避免解的取舍问题.例3 使用余弦定理证明：在中，当C为锐角时，a2+b2>c2；当C为钝角时，a2+b2

练习1 在中，(1)已知b=4,c=7,A=60°,求a;(2)已知a=7,b=5,c=3，求A.【设计意图】检验学生是否掌握余弦定理的两个形式，巩固学生对余弦定理的运用.练习2 若三条线段长分别为5，6，7，则用这三条线段（）.A．能组成直角三角形

B.能组成锐角三角形

C.能组成钝角三角形

D.不能组成三角形

【设计意图】与例题3相呼应.练习3 在 △ABC中，a2+b2+ab=c2，试求C的大小.【设计意图】要求灵活使用公式，对公式进行变形.4．课堂小结，布置作业

先请同学对本节课所学内容进行小结，教师再对以下三个方面进行总结：

(1)余弦定理的内容和公式；

(2)余弦定理实质上是勾股定理的推广；

(3)余弦定理的可以解决的两类解斜三角形的问题.通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力.布置作业

篇6：余弦定理优秀说课稿

一、说教材

（一）教材地位与作用

《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”与“几何”产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

（二）教学目标

根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：

⒈知识与技能：

掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形

⒉过程与方法：

在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

⒊情感、态度与价值观：

培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；

（三）本节课的重难点

教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。

教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。

下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

二、说学情

从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

三、说教法和学法

贯彻的指导思想是把“学习的主动权还给学生”,倡导“自主、合作、探究”的学习方式。让学生自主探索学会分析问题，解决问题。

四、说教学过程

下面为了完成教学目标，解决教学重点，突破教学难点，课堂教学我准备按以下五个环节展开：

环节⒈复习引入

由于本节课是余弦定理的第一课时，因此先领着学生回顾复习上节课所学的内容，采用提问的方式，找同学回答余弦定理的内容及公式，并且让学生回想公式推导的思路和方法，这样一来可以检验学生对所学知识的掌握情况，二来也为新课作准备。

环节⒉应用举例

在本环节中，我将给出两道典型例题

△ABC的顶点为A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精确到）。

已知三点A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各内角的大小。

通过利用余弦定理解斜三角形的思想，来对这两道例题进行分析和讲解；本环节的目的.在于通过典型例题的解答，巩固学生所学的知识，进一步深化对于余弦定理的认识和理解，提高学生的理解能力和解题计算能力。

环节⒊练习反馈

练习B组题，1、2、3;习题1-1A组，1、2、3

在本环节中，我将找学生到黑板做题，期间巡视下面同学的做题情况，加以纠正和讲解；通过解决书后练习题，巩固学生当堂所学知识，同时教师也可以及时了解学生的掌握情况，以便及时调整自己的教学步调。

环节⒋归纳小结

在本环节中，我将采用师生共同总结-交流-完善的方式，首先让学生自己总结出余弦定理可以解决哪些类型的问题，再由师生共同完善，总结出余弦定理可以解决的两类问题：⑴已知三边，求各角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。本环节的目的在于引导学生学会自己总结；让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程。

环节⒌课后作业

必做题：习题1-1A组，6、7;习题1-1B组，2、3、4、5

选做题：习题1-1B组7,8,9.

基于因材施教的原则，在根据不同层次的学生情况，把作业分为必做题和选做题，必做题要求所有学生全部完成，选做题要求学有余力的学生完成，使不同程度的学生都有所提高。本环节的目的是让学生进一步巩固和深化所学的知识，培养学生的自主探究能力。

五、说板书

篇7：正、余弦定理及其应用

正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点

篇8：正、余弦定理的五大命题热点

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具, 其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.在近年高考中主要有以下五大命题热点:

一、求解斜三角形中的基本元素

是指已知两边一角 (或二角一边或三边) , 求其它三个元素问题, 进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线) 及周长等基本问题.

例1 (2009年高考广东文科) 已知△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c, 若 $a = c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ 且∠A=75°, 则

$\begin{array}{l} b = () \\ (A) 2 (B) 4 + 2 \sqrt{3} \\ (C) 4 - 2 \sqrt{3} (D) \sqrt{6} - \sqrt{2} \end{array}$

分析:已知两边一对角的关系, 可考虑用正弦定理.

解: $\sin A = \sin 75 ° = \sin (30 ° + 45 °) = \sin 30 ° \cos 45 ° + \sin 45 ° \cos 30 ° = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ , 由 $a = c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ 可知, ∠C=75°, 所以 $∠ B = 30 °, \sin B = \frac{1}{2}$ .由正弦定理得 $b = \frac{a}{s i n A} \cdot \sin B = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}} \times \frac{1}{2} = 2$ , 故选 (A) .

点评:正弦定理通常运用于:①已知两角及任一边, ②已知两边一对角;余弦定理通常运用于:①已知两边及其夹角, ②已知三边.

二、判断三角形的形状

给出三角形中的三角关系式, 判断此三角形的形状.

例2 (2009年高考上海文科) 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c, 设向量 $\vec{m} = (a, b) ‚ \vec{n} = (\sin B, \sin A), \vec{p} = (b - 2, a - 2) .$

(1) 若 $\vec{m} / / \vec{n}$ , 求证:△ABC为等腰三角形; (2) 若 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{p}$ , 边长c = 2, 角 $C = \frac{π}{3}$ , 求△ABC的面积 .

分析:先将向量关系转化为三角函数关系, 再利用正、余弦定理来解决.

解: (1) 因为 $\vec{m}$ // $\vec{n}$ , 所以asinA=bsinB,

即 $a \cdot \frac{a}{2 R} = b \cdot \frac{b}{2 R}$ , 其中R是三角形ABC外接圆半径, 即a=b, 所以△ABC为等腰三角形.

(2) 由题意可知 $\vec{m} \cdot \vec{p} = 0$ , 即a (b-2) +b (a-2) =0, 所以a+b=ab.

由余弦定理可知, 4=a2+b2-ab= (a+b) 2-3ab, 即 (ab) 2-3ab-4=0.

所以ab=4 (舍去ab=-1) , 所以 $S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin \frac{π}{3} = \sqrt{3} .$

评注:判断三角形形状, 通常用两种典型方法:⑴统一化为角, 再判断, ⑵统一化为边, 再判断.

三、解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理, 并结合三角形的面积公式来解题.

例3 (2009年高考北京卷) 在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为 $a, b, c ‚ B = \frac{π}{3}, \cos A = \frac{5}{4}, b = \sqrt{3} .$

(Ⅰ) 求sinC的值;

(Ⅱ) 求△ABC的面积.

分析:本题只需由面积公式 $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ , 再结合正、余弦定理, 即可解决.

解: (Ⅰ) 因为A、B、C为△ABC的内角, 且 $B = \frac{π}{3} ‚ \cos A = \frac{4}{5}$ ,

所以 $C = \frac{2 π}{3} - A, \sin A = \frac{3}{5},$

所以 $\sin C = \sin (\frac{2 π}{3} - A) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A + \frac{1}{2} \sin A = \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10} .$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 $\sin A = \frac{3}{5} ‚ \sin C = \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10} .$

又因为 $B = \frac{π}{3} ‚ b = \sqrt{3},$

所以在△ABC中, 由正弦定理, 得

$a = \frac{b s i n A}{s i n B} = \frac{6}{5} .$

所以△ABC的面积 $S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \times \frac{6}{5} \times \sqrt{3} \times \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10} = \frac{36 + 9 \sqrt{3}}{50} .$

四、求值问题

主要指在三角形中, 给出一些条件等式, 求三角形中有关角、边的值.

例4 (2009年高考天津卷) 在△ABC中, $B C = \sqrt{5}, A C = 3, \sin C = 2 \sin A$

(Ⅰ) 求AB的值.

(Ⅱ) 求 $\sin (2 A - \frac{π}{4})$ 的值.

分析:对于第 (1) 小题, 可用正弦定理直接求得;对于第 (2) 小题, 先由余弦定理, 得到sinA, 再用二倍角的正弦和余弦, 两角差的正弦求解.

解: (1) 在△ABC中, 根据正弦定理, $\frac{A B}{s i n C} = \frac{B C}{s i n A},$

于是 $A B = \sin C \times \frac{B C}{s i n A} = 2 B C = 2 \sqrt{5} .$

(2) 在△ABC中, 根据余弦定理, 得 $\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B \cdot A C} .$

于是 $\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A} = \frac{\sqrt{5}}{5},$

$\begin{array}{l} 从而 \sin 2 A = 2 \sin A \cos A = \frac{4}{5}, \cos 2 A = \cos^{2} A - \sin^{2} A = \frac{3}{5} . \\ \sin (2 A - \frac{π}{4}) = \sin 2 A \cos \frac{π}{4} - \cos 2 A \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{10} . \end{array}$

评注:解斜三角形问题常常是正弦定理, 余弦定理与三角公式综合应用.

五、应用问题

是指利用正、余弦定理解决实际问题, 如测量问题、航海问题等.

例5 (2009年高考辽宁文科卷) 如图1, A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内, B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°, 30°, 于

水面C处测得B点和D点的仰角均为60°, AC=0.1 km.试探究图中B, D间距离与另外哪两点距离相等, 然后求B, D的距离 (计算结果精确到0.01 km, $\sqrt{2} \approx 1.414 ‚ \sqrt{6} \approx 2.449)$

分析:解此类问题, 首先要把实际问题化归为三角形的边角关系, 进而结合正、余弦定理解此三角形.

解:在△ACD中, ∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, ,

所以CD=AC=0.1,

又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

故CB是△CAD底边AD的中垂线, 所以BD=BA .

在△ABC中, $\frac{A B}{\sin ∠ B C A} = \frac{A C}{\sin ∠ A B C},$

即 $A B = \frac{A C s i n 60 °}{\sin 15 °} = \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{20}$

因此, $B D = \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{20} \approx 0.33$ km, , 故B、D的距离约为0.33 km.

江苏省射阳职业教育中心校

篇9：正余弦定理的运用“两连发”

正弦定理是解三角形的重要工具，也广泛用于球的截面问题.但用其解题时可能会出错.本文就对此类问题错因及应对策略加以探讨.

例1 在△ABC中，A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况是（）

A?郾无解B. 有一解

C. 有两解D. 不能确定

错解 =，得sinB=，又0

正解一 =，得sinB=>1，所以B无解，故答案为A.

正解二 cosA==，得c2－3c+3=0，所以c无解，故答案为A.

例2 在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B= .

错解 =，得sinB=，又0

正解一 =，得sinB=，又0b，得A>B，所以B=45°.

正解二 cosA==，得c2－4c－16=0，又c>0，所以c=2（+）.

所以cosB==，所以B=45°.

例3 在△ABC中，C=2A，a+c=10，cosA=，求b的值.

错解 C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，又cosA=，且=，所以c=a.

又a+c=10，得a=4，c=6.又cosA==，得b=4或5.

正解一由上法求出b=4或5.

当b=4时，a=b，则A=B，故A+B+C=4A=π，得A=，与cosA=矛盾.

经检验，b=5符合题意.

正解二由上法求出a=4，c=6.

又cosC=cos2A=2cos2A-1==，得b=－4（舍去）或5.

例4 ?摇（2009年全国Ⅱ卷）在△ABC中，cos（A－C）+cosB=，b2=ac，求B的大小.

错解由cos（A－C）+cosB=，得cos（A－C）－cos（A+C）=，得sinAsinC=.

又由b2=ac及==，得sin2B=sinAsinC=，得sinB=，所以B=60°或120°.

正解一由上法得B=60°或120°.

又cosB===>0，所以B=60°.

正解二由上法得B=60°或120°.

b2=ac，得a≥b或者c≥b，即b不是唯一最大的边，与B=120°矛盾，所以B=60°.

根据以上四例错解分析，可看出运用正弦定理时产生错误的原因主要是忽略了以下两点：（1）在△ABC中，a>b?圳A>B?圳sinA>sinB；（2） sinα∈（0，1］（α为三角形内角）.

根据以上四例正解分析，可看出为了避免因运用正弦定理而出错，要把握以下两点：（1）对所求结果要进行检验（验证上述两点）；（2）能用余弦定理解决的问题，可选择余弦定理.

用透余弦定理

引例求cos270°+cos250°+cos70°cos50°的值.

解原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°.

由===2R（20°+40°+120°=180°），得sin20°=，sin40°=，sin120°=.

故原式=（a2+b2+ab）=（a2+b2－c2+ab+c2）=（2abcos120°+ab+c2）==sin2120°=.（此解法属于下文中的构造应用.）

点评这里通过构造三角形，运用正、余弦定理，求得了一个三角函数式的值.是怎么想到构造三角形的呢？答案是：题目中出现了形如“x2+y2－xy”的式子，由此自然想到△ABC中的余弦定理2bccosA=b2+c2－a2.实际上，遇见此类式子时，构造余弦定理解题是一种很好的方法.本文就对此类问题进行探究.

例1 在△ABC中，已知a2+b2－ab=c2，求C的大小.

解由a2+b2－c2=ab，得2abcosC=ab，得C=60°.

例2 在△ABC中，若△ABC面积S=，求C的大小.

解 S==，又S=absinC，得C=45°.

例3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC面积S=c2－（a－b）2，求tan的值.

解 S=c2－（a－b）2=c2－a2－b2+2ab=－2abcosC+2ab=2ab（1－cosC），又S=absinC，得4（1－cosC）=sinC，得8sin2=2sincos，所以tan=.

例4 ?摇（2009年全国Ⅰ卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b的值.

解由a2－c2=2b，得b2+a2－c2=2b+b2，得2abcosC=2b+b2，得2acosC=2+b.

由sinAcosC=3cosAsinC，得acosC=3ccosA.所以b=acosC+ccosA=acosC.

所以=，得b=4.

例5 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=80°，a2=b（b+c），求C的大小.

解由a2=b（b+c），得c2+a2－b2=bc+c2，得2accosB=bc+c2，即b+c=2acosB，得sinB+sinC=2sinAcosB，得sinB=sin（A－B），得B=40°，所以C=60°.

例6 设正数x，y，z满足x2++xy=25，+z2=9，x2+z2+xz=16，求xy+2yz+3xz的值.

解 ?摇x2++xy=25，+z2=9，x2+z2+xz=16?圯x2+?摇2－52+xy=0，?摇2+z2－32=0，x2+z2－42+xz=0?圯2x?摇cos150°+xy=0，2z?摇cos90°=0，2xzcos120°+xz=0.

可构造如右图的形状，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠AOB=120°，∠BOC=90°，∠AOC=150°，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，即×3×4=xzsin120°+zsin90°+x·sin150°，即xy+2yz+3xz=24.

篇10：正余弦定理课后反思

后

反

思

关于正余弦定理是高考必考内容，分值在5—15分之间，并且该内容并不是很难，高考考察难度也不高，是学生高考得分点。所以本节内容的教学力求学生掌握并能应用。本节内容主要题型包括（1）利用正余弦定理解斜三角形；（2）利用正余弦定理判断三角形形状；（3）与三角形面积有关问题；（4）正余弦定理的综合应用。本节课主要解决（1）、（2）两个问题。

本节课的感觉还可以，首先，学生的基础知识掌握还好，上课提问了两个学困生，对于基础知识的回答完全正确，说明上节课的复习有成效：其次，学生对于课上问题的解答基本能解答清楚，并且部分学生有不同思路和解答；再次，学生课堂气氛较活跃，回答问题较积极，体现了较好的学习积极性。不足之处，教师备课不是很充分，对于学生的反应估计不足，以至于例2的讲解不是很充分，时间太仓促。所以想到，1、今后每节课较好的解决一个问题就行，要多给学生留消化时间，不要满堂灌；

2、要把握好细节，对学生的思路，解题过程要详细、认真辨析，增强总结；

篇11：正余弦定理测试题

一、选择题

1.已知三角形三内角之比为1：2：3，则它们所对边之比为（）

A.1：2：3B.1:2:C.1::2D.2:3:

22.有分别满足下列条件的两个三角形：（1）B30,a14,b7（2）B60,a10,b9

那么下面判断正确的是（）

A．（1）只有一解（2）也只有一解B．（1）有两解（2）也有两解

C．（1）有两解（2）只有一解D．（1）只有一解（2）有两解

3．在△ABC

中，已知角B450,cb，则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）

A．90° B．120° C．135° D．150°

5．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（）

A．－1 4B．1 4C．－ 2 3D．2

36．△ABC中，∠A=60°，a

A．有一个解

7.6,b4，那么满足条件的△ABC（）C．无解 D．不能确定 B．有两个解(abc)(abc)3ab，则c边所对的角等于（）

A．45B．60C．30D．150

8.锐角三角形的三边长分别为x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（）

A．150°B．120°C．60°D．75°

9．在中，则三角形的形状为（）2

2A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

10.三角形三条边如下：（1）3，5，7（2）10，24，26（3）21，25，28，其中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的顺序依次是（）

A．（3）（2）（1）B．(1)(2)(3)C．(3)(1)(2)D．（2）（3）（1）

11.三角形ABC周长等于20，面积等于3,A60，则a为（）

A.5B.7C.6D.8

正余弦定理测试题

12．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么

x的值为

A．3

二、填空题（）C．2或D．3B．2

313．在△ABC中，a2,b6,A30,则C

14．在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___。

15．在△ABC中，(sinAsinC):(sinCsinA):(sinAsinB)4:5:6，则最大角的度数是___

16．在△ABC 中，A=3°，b=12，S△ABC =18，则sinAsinBsinC 的值_______。abc

三、解答题

17．已知钝角△ABC 的三边a=k,b=k+2,c=k+4, 求k的取值范围。

18．根据所给条件，判断△ABC的形状.

（1）acosA=bcosB；(2)

19．在△ABC中,已知C60,AB31,线段AC上有一点D，AD=20，BD=21，求BC长。

20.a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=123,bc=48,b－c=2,求a.21.已知a2b2c2bc,2b3c,a，求ABC的面积。

22.（2011.陕西）叙述并证明余弦定理。

篇12：正余弦定理的多种证明方法

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

（1）（正弦定理）==；

（2）（余弦定理）

c2=a2+b2-2abcos C,b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A。

证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：

C=（bcos A,bsin A），以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))

=C′（-acos B,asin B）。

根据向量的运算：

=（-acos B,asin B），=-=（bcos A-c,bsin A）,（1）由=：得

asin B=bsin A,即

=。

同理可得：=。