正余弦定理的应用(精选6篇)
篇1:正余弦定理的应用
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正、余弦定理及其应用
作者:夏志辉
来源:《数学金刊·高考版》2013年第10期
正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容,是高考必考知识点之一,也是解三角形的重要工具,常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点
在高考中,本部分知识所考查的有关试题大多为容易题.在客观题中,突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算;在解答题中,通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查,常见的有证明、判断、求值(求解斜三角形中的基本元素:角、面积等)及解决实际问题等题型.重点:①正确理解正、余弦定理的概念,了解正、余弦定理之间的内在联系,掌握公式的一些常用变形;②判断三角形的形状;③解斜三角形;④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.难点:①解三角形时解的情况的讨论;②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.
篇2:正余弦定理的应用
正、余弦定理是解三角形强有力的工具,关于这两个定理有好几种不同的证明方法,[1]人教版中等职业教育国家规划教材《数学》(提高版)是用向量的数量积(内积)给出证明的,如是在证明正弦定理时用到:作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积,这种构思方法过于独特,不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义,利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明,方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。
定理:在△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,则
(1)(正弦定理)==;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A。
证明:建立如下图所示的直角坐标系,则A=(0,0)、B=(c,0),又由任意角三角函数的定义可得:
C=(bcos A,bsin A),以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′,则∠BAC′=π-∠B,∴C′(acos(π-B),asin(π-B))
=C′(-acos B,asin B)。
根据向量的运算:
=(-acos B,asin B),=-=(bcos A-c,bsin A),(1)由=:得
asin B=bsin A,即
=。
同理可得:=。
∴==。
(2)由=(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A,又||=a,∴a2=b2+c2-2bccos A。
同理:
c2=a2+b2-2abcos C;
篇3:浅谈正余弦定理的应用
在△ABC中, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c.
正弦定理
推论1把边转化为角a=sin A·2R, b=sin B·2R, c=sin C·2R.
余弦定理
类型一:正、余弦定理在三角形求值问题中的应用
解三角形的问题, 本质就是求三角形的边或角的问题, 应充分利用正、余弦定理, 恰当进行边与角的互化.
例1 (2012高考浙江文18) 在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且
(1) 求角B的大小;
(2) 若b=3, sin C=2sin A, 求a, c的值.
解 (1) ∵由正弦定理可得
(2) ∵sin C=2sin A, 由正弦定理得c=2a, 由余弦定理
类型二:正、余弦定理在三角形求取值范围问题中的应用
有些三角形问题虽然在题中没有明确说明, 但我们在做题时可以用的隐含条件是时时存在的, 比如内角和是π、大边对大角等.
例2在△ABC中, 已知AB=1, BC=2, 求角C的取值范围.
类型三正、余弦定理在判断三角形形状问题中的应用
三角形的形状既可以从边的角度去考虑, 也可以从角的角度去考虑, 注意正确应用定理的变形.
例3 (2012高考上海文17) 在△ABC中, 若sin2A+sin2B
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.不能确定
解根据正弦定理, 由sin2A+sin2B
类型四正、余弦定理在求三角形面积问题中的应用
求三角形的面积问题主要是正弦定理面积推论的应用
例4 (2012高考山东文17) 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知sin B (tan A+tan C) =tan Atan C.
(Ⅰ) 求证:a, b, c成等比数列;
(Ⅱ) 若a=1, c=2, 求△ABC的面积S.
解 (Ⅰ) 由已知得:
sin B (sin Acos C+cos Asin C) =sin Asin C, sin Bsin (A+C) =sin Asin C, sin2B=sin Asin C, 再由正弦定理可得:b2=ac, 所以a, b, c成等比数列.
(Ⅱ) 若a=1, c=2, 则b2=ac=2,
类型五正、余弦定理在解决实际问题中的应用
篇4:应用正、余弦定理别“任性”
一、审题不细致误
例1在不等边△ABC中,a为最大边,如果a2 错解:∵a2 则cosA=b2+c2-a22bc>0,由于cosA在(0°,180°)上为减函数, 且cos90°=0,∴A<90°.又∵A为△ABC的内角,∴0° 剖析:错因是审题不细,已知条件弱用.题设是a为最大边,而错解中只把a看做是三角形的普通一条边,造成解题错误. 正解:由上面的解法,可得A<90°.又∵a为最大边,∴A>60°. 因此得A的取值范围是(60°,90°). 二、方法不当致误 例2在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=3,求a+b+csinA+sinB+sinC的值. 错解:∵A=60°,b=1,S△ABC=3, 又S△ABC=12bcsinA, ∴3=12csin60°,解得c=4. 由余弦定理,得a=b2+c2-2bccosA =1+16-8cos60°=13. 又由正弦定理,得sinC=639,sinB=3239. ∴a+b+csinA+sinB+sinC=13+1+432+3239+639. 辨析:如此复杂的算式,计算困难.其原因是公式不熟、方法不当造成的. 正解:由已知可得c=4,a=13. 由正弦定理,得2R=asinA=13sin60°=2393. ∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=2393. 三、忽视制约条件致误 例3在△ABC中,c=6+2,C=30°,求a+b的最大值. 错解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A. 由正弦定理,得asinA=bsin(150°-A)=6+2sin30°, ∴a=2(6+2)sinA, B=2(6+2)sin(150°-A). 又∵sinA≤1,sin(150°-A)≤1, ∴a+b≤2(6+2)+2(6+2)=4(6+2).故a+b的最大值为4(6+2). 剖析:错因是未弄清A与150°-A之间的关系.这里A与150°-A是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA与sin(150°-A)不能同时取最大值1,因此所得的结果是错误的. 正解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A. 由正弦定理,得asinA=bsin(150°-A)=6+2sin30°. 因此a+b=2(6+2)·[sinA+sin(150°-A)]=(8+43)·cos(A-75°)≤8+43. ∴a+b的最大值为8+43. 四、未挖掘隐含条件致误 例4在△ABC中,若C=3B,求cb的取值范围. 错解:由正弦定理可知 cb=sin3BsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB =cos2B+2cos2B=4cos2B-1. 由0≤cos2B≤1,得-1≤4cos2B-1≤3,故-1≤cb≤3. 剖析:上述解法中,忽视了B的取值范围及a,b,c均为正的条件而致错. 正解:cb=4cos2B-1.(过程同错解) 又∵A+B+C=180°,C=2B, ∴0 ∴1<4cos2B-1<3,故1 评注:在解决解三角形问题时,经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误.同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”,否则极容易产生错解. 五、用错逻辑联结词致误 例5在△ABC中,acosA=bcosB,判断△ABC的形状. 错解:在△ABC中,∵acosA=bcosB, 由正弦定理,得2RsinAcosA=2RsinBcosB, ∴sin2A=sin2B.∴2A=2B且2A+2B=180°. ∴A=B且A+B=90°.故△ABC为等腰直角三角形. 剖析:对三角公式不熟,不理解逻辑联结词“或”、“且”的意义,导致结论错误. 正解:在△ABC中,∵acosA=bcosB, 由正弦定理,得2RsinAcosA=2RsinBcosB, ∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A+2B=180°. ∴A=B或A+B=90°.故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 六、解题不完整致误 例6若a,b,c是三角形的三边长,证明长为a,b,c的三条线段能构成锐角三角形. 错解:不妨设0 cosθ=(a)2+(b)2-(c)22ab=a+b-c2ab. 由于a,b,c是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有a+b>c, 即cosθ>0.∴长为a,b,c的三条线段能构成锐角三角形. 剖析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系;②最长线段的对角是锐角.显然错解只验证了第二个条件,而缺少第一个条件. 正解:由错解可得cosθ>0. 又∵a+b-c=(a+b-c)(a+b+c)a+b+c =(a+b)2-ca+b+c=a+b-ca+b+c+2aba+b+c>0. 1.在ABC中,若 sinAcosBa b,则B的值为() A.30B.45C.60D.90 2.在ABC中,已知角B=60,C=45,BC=8,AD⊥BC于D,则AD长等于()A.4(31)B.4(31)C.4(33)D.4(33)3.在ABC中,bc21,C=45,B30,则() A.b1,c2B.b 2,c1 C.b 2,c12D.b12 2,c22 4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A= π a=3,b=1,则c等于()A.1B.2C.-3 5.在△ABC中,三内角A、B、C分别对三边a、b、c,tanC=4 3,c=8,则△ABC外 接圆半径R为()A.10B.8C.6D.5 6.已知△ABC的三个内角A,B,C,Bπ 3且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________. 7.在ABC中,已知b3,c33,B30,则a___________. 8.若一个锐角三角形的三边分别为2、3、x,则x的取值范围是_______________ 9.在ABC中,已知A30,B120,b5,求C及a、c的值; 10已知△ABC中,∠B=45°,AC=10,cosC=25 解三角形考试大纲 (1)掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 【正余弦定理的应用】相关文章: 正、余弦定理的证明----方法种种05-01 正余弦定理习题课04-10 正余弦定理教学设计04-25 正余弦定理说课稿04-28 必修五正余弦定理小结10-13 余弦定理的证明05-07 余弦定理教学反思05-02 “余弦定理”教学设计05-04 勾股定理的应用04-11篇5:正、余弦定理练习2
篇6:正余弦定理考试大纲