八大定理范文

第一篇：八大定理范文

正弦定理,余弦定理

正弦定理、余弦定理(4)

教学目的：

1进一步熟悉正、余弦定理内容;

2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;

3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;

4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向

教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学方法：启发引导式

1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等;

2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余 弦定理的边角互换作用

教学过程：

一、复习引入：

正弦定理：

余弦定理：

，

二、讲解范例：

例1在任一△ABC中求证：

证：左边=

= =0=右边

例2 在△ABC中，已知 ， ，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：

∵B=4590 即ba ∴A= 60

第二篇：正弦定理和余弦定理

正弦定理(Sine theorem)

1.内容：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)

2.正弦定理的应用领域

在解三角形中，有以下的应用领域：

(1)已知三角形的两角与一边，解三角形

(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

1.余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——

a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2a^2) / (2·b·c)

(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cos B， b=c·cosA+a·cos C， c=a·cosB+b·cos A。

正弦定理的变形公式

(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;(条件同上)

在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

(3)相关结论：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)

(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形

sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a

第三篇：正弦定理、余弦定理和射影定理的三种统一证法

近年来，许多数学刊物都载文证明正弦定理、余弦定理与射影定理的等价性，阐明它们是可以相互推出的，但在探讨它们三者的统一证明方面的文章较少。下面分别通过构造向量、建立直角坐标系和作三角形的高，巧妙给出统一证明正弦定理、余弦定理和射影定理的三种方法，这又从另一个侧面说明了它们的统一性。

方法

一、构造向量法

如图1，在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边。构造向量AB、BC、AC，则|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a。

方法

二、建立直角坐标系法

方法

三、作高法

如图3，在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边。过点C作CD⊥AB，垂足为点D。

第四篇：正弦定理与余弦定理的证明

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆的半径)

正弦定理(Sine theorem)

(1)已知三角形的两角与一边，解三角形

(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

余弦定理的证明：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

第五篇：《正弦定理和余弦定理》测试卷

《正弦定理和余弦定理》学习成果测评

基础达标：

1. 在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为()

A. 一个解B. 二个解C. 无解D. 无法确定

2.在△ABC

中，若a2,bcA的度数是 ()

A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°

2223.ΔABC中，若a=b+c+bc，则∠A=()

A. 60B. 45C. 120D. 30

4.边长为

5、

7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ()

A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°

5.在△ABC中，已知a3，b2，B=45.求A、C及c.06.在ABC中，若B

45，c

bA. 7. 在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形.

8.在ABC中，若a2b2c2bc，求A.

能力提升：

AB的取值范围是() AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2) 9.锐角ΔABC中，若C=2B，则

10. 已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值为() A. 

14B. 1

422ABC. D. 锐角ΔABC中，若C=2B，则的取值范围是 33AC

11. 等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为()

12.在ABC中，已知三边a、b、c满足abcabc3ab，则C=()

A.15B.30C.45D.60

13.钝角ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为()。

A、

1、

2、3B、

2、

3、4C、

3、

4、5D、

4、

5、6 

sinC2(61)，则∠A=_______. sinB

5abc_____. 15. 在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，则sinAsinBsinC14.在ΔABC中，BC=3，AB=2，

16. 在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，则a，c长为_____.综合探究：

17.已知钝角ABC的三边为：ak,bk2,ck4,求实数k的取值范围.

a2b2sin(AB)18.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，证明:. 2sinCc

参考答案：

基础达标：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45解法1：由正弦定理得：sinA b22

∴∠A=60或120

bsinC2sin7562当∠A=60时，∠C=75 ，c; sinB2sin45

bsinC2sin1562当∠A=120时，∠C=15，c. sinB2sin45

解法2：设c=x，由余弦定理bac2accosB 将已知条件代入，整理：xx10 解之：x222262 2

22222)3bca132 当c时，cosA2bc2622(1)22222(

从而∠A=60 ，∠C=75; 2时，同理可求得：∠A=120 ，∠C=15. 2

bc6.∵，

sinBsinC当c

csinBsin45∴sinC， b∵0C180，∴C60或C120

∴当C60时，A75; 

当C120时，A15，;

所以A75或A15.

7.由余弦定理的推论得： 

b2c2a287.82161.72134.62

0.5543,cosAA56020;

c2a2b2134.62161.7287.82

 cosBB32053;

 C1800(AB)1800(5602032053)

8.∵bcb2c2a2，0.8398,

b2c2a21∴由余弦定理的推论得：cosA ∵0A180，

∴A60.

能力提升：

9.C10.A11.C

12.D.由abcabc3ab，得ab2abc3ab 222

a2b2c21， ∴由余弦定理的推论得：cosC2ab2

∵0C180，

∴C60.

13.B;只需要判定最大角的余弦值的符号即可。

选项A不能构成三角形; 

22324210，故该三角形为钝角三角形; 选项B中最大角的余弦值为2234

324252

0，故该三角形为直角三角形; 选项C中最大角的余弦值为：243

42526210，故该三角形为锐角三角形. 选项D中最大角的余弦值为2458

14.120

1516.4综合探究：

17.∵ABC中边ak,bk2,ck4，

∴ak0，且边c最长，

∵ABC为钝角三角形

∴当C为钝角时 a2b2c2

0， ∴cosC2ab

∴abc0, 即abc

∴k2(k2)2(k4)2, 解得2k6,

又由三角形两边之和大于第三边：k(k2)k4,得到k2， 故实数k的取值范围：2k6.

18.证法一:由正弦定理得： 222222

a2b2sin2Asin2Bcos2Bcos2A c2sin2C2sin2C

=2sin(BA)sin(BA)sinCsin(AB)sin(AB)==. 222sinCsinCsinC

222证法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA， a2b2c22bccosA2b1cosA， 则22ccc

又由正弦定理得bsinB， csinC

a2b22sinBsinC2sinBcosA1cosA∴ 2csinCsinC

sin(AB)2sinBcosA sinC

sinAcosBsinBcosAsin(AB). sinCsinC

sin(AB)sinAcosBsinBcosA证法三: . sinCsinC

sinAasinBb,， 由正弦定理得sinCcsinCc

sin(AB)acosBbcosA∴， sinCc

又由余弦定理得

a2c2b2b2c2a2absin(AB) sinCc

(a2c2b2)(b2c2a2) 22c

a2b2

. c2