“余弦定理”教学设计

“余弦定理”教学设计（共8篇）

篇1：“余弦定理”教学设计

《正弦定理、余弦定理》教学反思

我对教学所持的观念是：数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想方法，要在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。”现代教育应是开放性教育，师生互动的教育，探索发现的教育，充满活力的教育。可是这些说起来容易，做起来却困难重重，平时我在教学过程中迫于升学的压力，课堂任务完不成的担心，总是顾虑重重，不敢大胆尝试，畏首畏尾，放不开，走不出以知识传授为主的课堂教学形式，教师讲的多，学生被动的听、记、练，教师唱独角戏，师生互动少，这种形式单一的教法大大削弱了学生主动学习的兴趣，压抑了学生的思维发展，从而成绩无法大幅提高。今后要改变这种状况，我想在课堂上多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生总想在老师面前同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流。

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，致少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④ 00

篇2：“余弦定理”教学设计

一、内容及其解析

1.内容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等”。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。

二、目标及其解析

目标：

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。解析：

1、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同 方法，从而培养学生的发散思维。

2、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

三、教学问题诊断分析

1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：

①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而

本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

四、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

五、教学过程

（一）教学基本流程

教学过程：

一、创设情境，引入课题

问题1：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生1：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD

= ab2abcos1cos22absin1sin2=ab2abcos(12)ab2abcosC

A

D图

4学生2：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。

A

图

5则：cADBD

2bCD(aCD)ab2aCDab2abcosC

学生3：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。

教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？

【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。

学生4：如图6，记ABc,CBa,CAb则cABCBCAab2

2（c）（ab）

22

ab2ab222

即cab2abcosCcab2abcosC

A

图6

【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。

学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），则 cAB

(acosCb)(asinC)

ab2abcosC

【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空

间的深度和广度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2bc2bccosA,bac2accosB,cab2abcosC

余弦定理推论： cosA

bca

2bc，cosB

acb

2ac

222，cosC

abc

2ab

222

解决类型：（1）已知三角形的三边，可求出三角；

（2）已知三角形的任意两边与两边的夹角，可求出另外一边和两角。

三、例题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。

四、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小结

本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。

【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以

兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。

学案

1．2 余弦定理

班级学号

一、学习目标

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

二、例题与问题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作业

一、基础题(A组)

1.在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC3:2:4，那么cosC（）

A.4B.3C.

D.

3.在△ABC中，已知a2，b3，C=120°，则sinA的值为（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a5，则此三角形的最大边长为。5.△ABC中，如果a6，b63，A=30°，边c。

二、巩固题(B组)

6.在△ABC中，化简bcosCccosB（）

bc

ac

ab

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三边长分别为a、b、aabb，则三角形的最大内角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x7x60的根，则另一边长为（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则∠B的大小是。

三、提高题(C组

tanB

2acc

10.在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且tanCabc，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2ac

11.在△ABC中，a,b,c分别是A、B、C的对边，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b

篇3：“球面余弦定理的证明”教学设计

1. 教学设计背景

教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标、建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程.新课程是否能够顺利实施关键在于教师.为此, 笔者对来自贵州省四十多个县市70名高中数学教师、贵州两所师范院校数学教育专业127名在校本科生共197人进行问卷调查, 他们的平均教龄为0年到25年不等.通过对196份有效答卷进行分类整理、统计得到如下的调查结果.如下表:

注:A.没有学习过, 不了解;B.没有学习过, 只是从一些书籍和媒体中了解过一些;C.初步学习过, 印象不深;D.学习过, 基本掌握;E.学习过, 掌握较好.

从表中可知, 球面几何的内容只有7.1%的老师学习过, 基本掌握, 3.1%的老师学习过, 掌握较好, 但高达73.7%的老师没有学习过, 而16.1%的老师虽学习过但印象不深.由此可见, 如果广大的数学教师没有先“充电”, 新课标的课程开设, 必成空中楼阁.

高师学生是未来教师的生力军, 是参加课改的重要力量.高中课改对他们以后的教学提出了挑战.要想当好先生, 就得先当好学生.让高师生在走出校门之前掌握好球面几何的相关知识以便他们走出校门后能更好地适应新课改.所以对高师学生作“球面上的几何”教学设计非常必要.

球面三角形余弦定理是球面几何的一个重要定理, 它在球面几何中起到球面几何代数化的作用.通过教学设计理论的指导, 笔者根据学习者的学习需要, 对球面余弦定理进行内容、教学目标分析, 实验、总结得出以下教学设计方案.

2. 教学方案设计

教学目标能掌握向量法证明球面三角形余弦定理; (2) 能理解为什么球面三角公式中边用弧度制来表示; (3) 能说明球面三角形余弦定理与平面三角形余弦定理的区别与联系.

教学重点: (1) 球面余弦定理的证明; (2) 应用球面三角形余弦定理解球面三角形.

教学难点: (1) 理解球面三角形的边用弧度来表示; (2) 用向量表示球面三角形的边角.

教学媒体:幻灯片、黑板、粉笔、自编校本教材.

教学过程:

(1) 导入新课

师:在平面三角形中, 已知两角边及夹角或三边可用余弦定理来求其他的边与角.同学们来回忆一下平面三角形的余弦定理.

生:设■ABC的三条边分别是a, b, c, 它们的对角分别是∠A, ∠B, ∠C, 则

师:现在我们来看球面三角形, 已知两边及夹角或三边, 怎样来求其他的边和角呢?实际上, 球面三角形也有余弦定理.来看定理4. (展示幻灯片)

(2) 探索新知

从公式看, 它们的关系和平面三角形余弦定理一致, 只是形式不一样而已. (公式中a, b, c是边, 但是用它所在大圆的角来表示.如图1, a实际上是∠BOC, b表示∠AOC, 这是因为同一球面上, 半径一样长.所以可用圆心角表示弧长了)

这些公式的证明, 我们只需证其一.另外两个轮换即可.要证明书上这个恒等式, 先看预备知识. (展示幻灯片)

师:在立体几何的证明中, 我们常用到向量法, 向量法往往使证明变得更简单, 那么这个定理的证明能不能也用向量法来证明呢?

生:能.

师:如果能, 那么我们首先得把公式中的边和角转换成向量对吧?a, b, c, A, B, C是球面三角形六个元素.这六个元素怎样用三个元素来表示呢?

A, B, C是单位球面上的三点, 是单位向量, 则球面的三个角A, B, C的弧度数和三条边a, b, c的边长 (也用弧度表示) 分别可以用空间向量表示如下:

其中a就是之间夹角的弧度, 由向量数量积 (内积) 的几何意义知:, 同理有

师:三边已经用表示了, 现在再来思考以下三角怎样用来表示

生:翻开书, 思考, 但还是答不上来.

师:A=∠CAB就是“向量所张的平面”和“向量所张的平面”之间的夹角, 所以角A也等于之间的夹角, 即

同理有

有了以上的预备知识, 可以证明球面三角形余弦定理了.

生:我看出来了, 公式右边的sincsinbcosA和预备知识有联系, 所以证明可以从右边入手. (跟着学生的思路证明, 必要的时候作说明)

证明

亦即cosa=cosbcosc+sinbsincsinA.

同理可以证明其他恒等式.

生:这个定理的证明是在假设是单位球面的情况下证明的.当R≠1时, 这个定理是否成立?

师:这名同学问得好, 会提问题比解决问题更重要.若a表示弧长, 公式中在R≠1时, 应变为:

(3) 讨论反思

生:定理证明用到空间解析几何知识, 高中生没有学这方面知识, 在高中教学应该怎样处理呢?

师:高中确实是没有学习空间解析几何知识, 若要用向量法讲解, 只能直接告诉学生某些结论.比如说, 湘教版的处理就是直接告诉学生拉格朗日恒等式, 两平面夹角就是两平面法向量的夹角.求法向量, 又涉及法向量的计算, 这些知识点只有程度好的学生才能接受.

生:哦, 那能不能用综合法证明?

师:可以, 你们下去先试着用综合法证明, 下次课大家来讨论.

师:当称为球面直角三角形, 于是cosc=cosa·cosb.这个公式称为勾股定理, 这与平面三角形勾股定理形式差别很大.实际上, 当球面半径很大, 而三角形面积很小时, 球面三角公式可用相应平面三角公式来代替.

应用例题:设球面的三边分别为求角A, B, C的大小.

解:利用球面三角形边的余弦定理cosa=cosbcosc+sinbsinccosA, 可以求得求得A=125.3°.

生:同样称为余弦定理, 球面三角形余弦定理和平面三角形余弦定理有什么联系?

师:从外形看这两个定理实在是找不到什么联系, 但仔细分析, 它们是有联系的.大家先找一下.

生1:这两个定理都是为了解决三角形已知两边以及夹角, 求其他三角形的边和角问题.

生2:都可以解决已知三角形三边求其他三角的问题. (没人回答)

师:这两个定理的内在本质是一致的.球面三角形当半径无限大, 而范围很小时, 球面三角形余弦定理可以近似地用平面三角形余弦定理代替.很多球面三角公式也有类似结论.

3. 教学反思

本案例是关于球面三角形余弦定理的证明, 由于证明涉及的知识点较多, 学生接受起来感到困难, 但因为采用逐步分化知识点的方法, 符合学生心理的发展, 学生容易接受.学生学习这块内容是为了以后到高中教学, 因而学习目的性强.课前鼓励他们提问, 所以学生根据自己的需要提出了一些很好的问题.比如, 问:用向量法教给高中生他们能接受吗?当R≠1时, 余弦定理还成立吗?等.现在高师课堂上都是满堂灌, 学生鲜有发言机会.而本案例教学中, 学生积极参与进来, 师生交往融洽.学生通过这个定理的学习, 可以巩固以前学过的知识, 如空间解析几何的相关知识等.学生提到用综合法处理是否可行的问题, 实际上可用综合法, 证明如下:

证明在单位球面上, 设球心为O, 连接OA, OB, OC, 则过点A作弧AB的切线交直线OB于D, 过点A作弧AC的切线交直线OC于E, 连接DE (如图2) .

显然, AD⊥AO, AE⊥AO, 在中,

在

在中, 利用平面三角形的余弦定理

在中,

因为 (1) 式与 (2) 式左端相等, 所以右端也相等, 经化简整理, 即得cosa=cosbcosc+sinbsinccosA.类似地可以得到另外两式.

参考文献

[1]乌美娜.教学设计[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2]项昭等.高中选修课专题研究[M].贵阳:贵州人民出版社, 2007.

篇4：创设情境教学余弦定理

关键词：余弦定理；解三角形；数学情境

“余弦定理”作为高中数学的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓。它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题等他数学问题以及解决生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

一、设计思路

布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

依据建构主义学说，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。我采用“情境—问题”教学模式，以“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”为主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”。

二、教学过程

1．设置情境

自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°，AC的长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。

2.启发思考

能否把这个实际问题抽象为数学问题？（数学建模）

在三角形ABC，已知AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°＝66°，求BC的长。这个问题的实质是在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3．解决问题

我们以前遇到这种一般问题时，是从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。据此可先在直角三角形中试探一下：直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理，角C为直角）斜三角形ABC中，过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）

讨论：在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC，CD＝ACcosC，即AD＝bsinC，CD＝bcosC。

又BD＝BC－CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C），CD＝ACcos（π－C），即AD＝bsinC，CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB

同理可证a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

4．反思应用

余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，那么余弦定理能够解决哪些问题？

知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。

请同学们用余弦定理解决开始提出的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）

解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA

＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′

＝3.571

∴BC≈1.89（m）

答：顶杆BC约长1.89m。

三、教学反思

篇5：余弦定理教学案

教学目的

1．使学生掌握余弦定理及其证明方法．

2．使学生初步掌握余弦定理的应用．

教学重点与难点

教学重点是余弦定理及其应用；

教学难点是用解析法证明余弦定理．

教学过程设计

一、复习

师：直角△ABC中有如下的边角关系(设∠C=90°)：

(1)角的关系 A+B+C=180°．

A+B=90°．

(2)边的关系c2=a2+b2．

二、引入

师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．

如图1，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．

如图2，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．

经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考．

如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．

所以，AB2=AD2+BD2化为

c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．

我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系．

从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．

下面请同学们自己动手推导结论．

如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．

△ACB是两个直角三角形之差．

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．

在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．

BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．

所以AB2=AD2+BD2化为

c2=(AC+CD)2+BD2

=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2

=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)

=b2+2abcos(π－C)+a2．

因为cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．

这里∠C为钝角，cosC为负值，－2abcosC为正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．

从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都满足

c2=a2+b2－2abcosC．

这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到

a2=b2+c2－2bccosA． b2=c2+a2－2accosB．

三、证明余弦定理

师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．

我们仍就以∠C为主进行证明．

如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

请同学们分析B点坐标是怎样得来的．

生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？

生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．

师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：

a2=b2+c2－2bccosA． c2=a2+b2－2abcosC． b2=a2+c2－2accosB．

若用三边表示角，余弦定理可以写为

四、余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．

解 由余弦定理可知

Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA

所以BC=7．

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．

五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是

c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．

六、应用举例

例1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．

师：请同学们先做几分钟．

生甲：如图6，作CD⊥AB于D．

在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以

c=bcosA+acosB．

师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．

生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD－DB．

师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？

生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．

师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了．

请大家借用余弦定理证明．

生：因为 acosB+bcosA

所以 c=acosB+bcosA．

师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？

生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．

例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．

师：我们通常求三角形的面积要用公式

这个题目，我们应该如何下手呢？

生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．

解 因为a=4，b=3，c=2，所以

由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得

例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长．

请同学们先设计解题方案．

生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．

师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．

解 设D为AB中点，连CD．

在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得

生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解决．

已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解决，但我不知怎样求cos∠CBE．

师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．

(学生开始议论．)

生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得AC∥BE，∠CBE与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互补关系解出cos∠CBE．

师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．

解 延长CD至E，使DE=CD．

因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以

BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．

在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得

在△CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．

七、总结

本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．

余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．

余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)范围内余弦值和角的一一对应性．若cos A＞0，则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．

另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．

八、作业

5．已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状．

课堂教学设计说明

1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．

篇6：《余弦定理》教学反思

教学中，引导学生从已学知识进行多角度分析问题，从而培养了学生思考问题的灵活性，在得到定理猜想后，找出证明定理的办法，揭示了蕴含在处理问题中的数学思想方法，不仅知其然，而且知其所以然．在引导学生推导出公式《余弦定理》，培养学生善于观察，归纳，发现特点，总结规律的好习惯．通过和勾股定理的比较，得出勾股定理是余弦定理的特殊情况，使学生加深了对余弦定理的理解，思维问题更加深入，提高了思维能力．

常言说：要学以致用。余弦定理的应用是本节教学的重要一环．所以，例题的选择和讲解是学习本节课的重要一环．例1、例2是余弦定理的简单应用，目的在于巩固余弦定理知识，加深对定理的理解；练习是余弦定理的变形应用，通过本题的训练，使学生更灵活地应用余弦定理，使定理的应用提高到了新的高度；通过解题比较，加深了对正、余弦定理的理解，体现了两者的联系，训练了学生从多角度、多方面思考问题的习惯．

本节课的教学设计是在吸取传统教学模式下的优点，结合新课改的要求进行改进设计的，以引导为主，重在发展学生的数学思维能力，培养其提出问题、解决问题的能力．

1、余弦定理是解三角形的重要依据。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．

2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理．

篇7：《余弦定理》教学反思

命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。所以，例题的精选、讲解是至关重要的。设计中的例1、例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，巩固余弦定理知识。例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的联系，深化了对两个定理的理解，培养了解决问题的能力。本课在继承了传统数学教学模式优点，结合新课程的要求进行改进和发展，以发展学生的数学思维能力为主线，发挥教师的设计者，组织者作用，在使学生掌握知识的同时，帮助学生摸索自己的学习方法。

本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既兼顾前后知识的联系，又使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型(模型、类型)，质(实质、本质)，思(思维、思想方法)上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。

篇8：“余弦定理”的探究式教学

一、创设问题环境

众所周知, 问题是探究性教学的载体与核心, 我们所有的学习活动都是在问题的基础上展开的. 所以, “问题环境”包含的不仅仅是针对问题自身的设计, 另外还应该包括问题的引入方式、预先假想课堂所可能出现的问题以及解决方法、连锁引发的新问题和解决方法. 所以, 怎样合理的创设问题环境应该是进行教学设计的重点及难点.

教师活动:如图1, 在△ABC中, a = 3, b= 5, ∠C = 120°, 能否求出边c的长度?若能, 该如何求 ?若不能, 请说明理由.

学生活动:学生通过讨论、交流之后, 得到如下结论:

(1) 根据三角形全等的“边角边”判定定理可知, 边c的长度是唯一确定的, 并且可以由a, b, ∠C来确定.

(2) 正弦定理是解决不了这个问题的.

(3) 过点B作BD⊥AC, 垂足为D, 然后利用勾股定理即可解决问题.

(4) 由结论 (1) 可知, 既然边c可以由a, b, ∠C唯一确定, 那么对于该问题是不是也和我们前面的讲的正玄定理一样, 存在某个定理公式可以解决这种类型的问题? (通过学生的探讨, 引出所要讲解的主要问题)

二、开放课堂———引导学生主动探究

教师活动:我们知道直角三角形满足勾股定理, 即在Rt△ABC中, 设∠A, ∠B, ∠C所对的边分别为a, b, c, 那么当∠C= 90°时, 则有a2+ b2= c2. 那么, 对于任意的∠C, a, b, c三条边之间又满足什么关系呢?我们这一节课就来探究这一问题, 我们知道直接求a, b, c之间的关系可能比较困难, 但是我们以前在讲不等式的时候, 讲过三角形三条边之间的不等式关系, 也即是a, b, c之间的不等关系, 下面有哪位同学能说一说这一不等关系?

学生活动:在三角形中, 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 即a - b < c < a + b.

教师活动:回答的很好. 那么, 我们现在观察边与边之间的不等式关系并且与直角三角形的勾股定理相比较, 能发现什么问题呢?

学生活动:我认为∠C = 90°应该是∠C为一般角的特例, 因此, 在一般情况下, 应该是a2, b2, c2之间满足某种关系.

教师活动:有道理, 那么下面我们该如何处理这样的关系呢?

学生活动: 这个应该与∠C有关.

教师活动: 那你是怎样判断的呢?

学生活动: 当a, b同时固定, ∠C的变化导致c边的变化, 从而引起该比值的变化, 因此:a2+ b2- c2/2ab应该是∠C的三角函数.

教师活动:分析的很好, 那么我们知道∠C的三角函数中最简单的三个有:sinC, cosC及tanC, 那么大家可以观察一下, 应该是哪一个三角函数呢?

学生活动: 余弦函数.

教师活动: 为什么呢?

学生活动:正弦、正切函数均不能, 因为当∠C = 90°时, tan C不存在, 因此, 只能为余 弦函数.

教师活动:分析的很好, 但是, 这是不是就说明一定为余弦函数呢?

我们可以做一下几组试验, 具体如下:任意取一个三角形, 量出所给的边长a, b, c及∠C, 借助计算器完成表1.

其后, 学生分组积极地进行试验操作, 最后我们多媒体来展示其中的一个小组的成果.

教师活动:从以上小组实验研究可以得出 (在一定的误差范围内) :

三、探究结果的简单证明

教师活动:根据以上我们的探究, 我们得到三角形的余弦定理, 那么我们现在就来探讨一下有关它的证明方法. 其证明方法主要有三种: (1) 利用勾股定理的方法. (2) 利用向量的方法. (3) 利用正弦定理的方法. 此处由于时间的局限, 我们就以方法 (1) 为例进行讲解.

即证. 同理, 可以证明其他两个公式.

回过头来, 再看一看我们刚开始的那个题目, 现在该怎么求解呢?

学生活动: 利用我们刚刚用过的余弦定理来进行求解.

教师活动: 那好, 你们就来做一下吧.

在△ABC中, a = 3, b = 5, ∠C = 120°, 能否求出边c的长度?若能, 该如何求?若不能, 请说明理由.

四、总结

余弦定理是我们初中所学“勾股定理”知识点的延伸, 也是解决与三角形这一知识点相关问题的一个重要方法, 它揭示了在一般情况下, 三角形中边与角的关系. 同时, 三角形的余弦定理与平面几何知识、向量等相关知识点都有着密切的联系. 因此, 做好“余弦定理”的教学, 使学生掌握新的有用的知识点, 同时又能复习巩固旧的知识点, 这有利于学生在加深所学知识点的基础上体会新旧知识点之间的联系、培养学生观察、创新的能力.