垂径定理

2024-04-30

垂径定理（精选7篇）

篇1：垂径定理

垂径定理教学反思

本节课的教学目标是使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点。这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，采用了类比，启发等教学方法。

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。这点学生理解的很好。

根据这个性质先按课本进行合作学习

1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD;

2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.

提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合?

在学生探索的基础上，得出结论：(先介绍弧相等的概念)

①EA=EB;②AC=BC，AD=BD.

理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，

∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.

然后把此结论归纳成命题的形式：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的`弧。

垂径定理的几何语言

∵CD为直径，CD⊥AB(OC⊥AB)

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.

在学生掌握了垂径定理后，及时应用定理画图和解决实际问题，练习由基础到提高，层层深入，学生很有兴趣。做完题目后总计解题的主要方法：

(1)画弦心距是圆中常见的辅助线;

(2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长

本节课不足之处是在处理垂径定理的推论时，应归纳相关垂径定理的五个元素：直径、弦中点、垂直、优弧中点、劣弧中点的规律：“知二得三”。鼓励学生积极探讨符合垂径定理以外的所有推论，以增长学生的知识面及提高学生的探究水平。

篇2：垂径定理

在教学方法与教材处理方面，根据现在的教材特点，教学内容以及在新课标理念的指导下，最后决定让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。

同时，在教学中，我充分利用教具和投影仪，提高教学效率。在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，培养学生直觉思维能力，结合学生实际情况作适当的拓广。

我参加这次教学技能大赛，获益良多主要体现在以下几个方面：

(1)在数学教学中，一些结论的表述是很重要的，而我在这节课上有些表述确实不是很正确;而且我在课堂上，尤其是知识点的联系方面的引导词，更加需要再努力钻研。今后我将在这方面下工夫，在去听其他数学老师的课时，要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句。

(2)一些该让学生知道的知识点，讲得不够透彻。如CD是直径，其实应该可以拓展为过圆心的直线(要多强调，而不是一笔带过);不能够用数量关系求的，应该要适当地引导学生设未知数。而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数。同样在已知一条边，不够条件求解时，也要引导学生利用未知数来解题的这种题目，引导得不够，或者话引导得不够深刻，学生就会觉得是老师直接将知识倒向他，而他不一定能接受。

(3)在学案设计方面，在时间上把握得不够准确，设计的学案内容太多，在这节课上如果估计过量已经足够的话，垂径定理的推论其实可以放在下节课。这样就不会使得后面讲推论的时间太短，太仓促。前面复习用的时间太长，在复习的部分应该多加些关于勾股定理的计算的题目，使学生在后面解直角三角形时能够更加快，更熟练;而学案中练习题的量太少，而且是题型太单一，可以再做多些找相等的量的基础训练，对B班的学生更加熟悉垂径定理，基础题目的掌握对B班大有好处。

(4)其实这节课还有个作图思想要灌输比学生，即是教学生如果见到弦心距，弦，那么直接连半径构成直角三角形;如果就是只知道一条弦的题目，就要边弦心距都要作出来，而这两种题目我的训练都不到位。

(5)还有其他很多问题：例题的讲解不够详细，深刻。给学生思考的时间不够;题目的梯度设计得不是很好……

篇3：垂径定理例题的变式拓展

一、定理的拓展

垂径定理是这样阐述的:垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的弧.写成数学符号语言就是:如图1, ∵CD⊥AB, CD是直径, ∴AM=BM、A⊥C=B⊥C、A⊥D=B⊥D.而在具体问题中, 直径不一定完整, 可以是半径或过圆心的线段, 下面是几种常见的垂径定理基本图形的变式图, 根据以下变式图形可以写出相应的符号语言:

如图2, ∵OC⊥AB, OC是半径, ∴AM=BM, A⊥C=B⊥C.

如图3, ∵DM⊥AB, DM经过圆心, ∴AM=BM, A⊥D=B⊥D.

如图4, ∵OM⊥AB, OM经过圆心, ∴AM=BM.

二、例题的拓展

苏科版教材第114页例2:

已知:如图5, 在以点O为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦AB交小圆于C、D两点.AC与BD相等吗?为什么?

解:AC=BD.理由:过点O作OP⊥AB, 垂足为P.

∵OP过圆心, OP⊥AB, ∴PA=PB, PC=PD, ∴PA-PC=PB-PD, 即AC=BD.

方法归纳:圆心到弦的距离叫做“弦心距” (如图4中的线段OM) , 它也是圆中十分重要的辅助线.我们经常通过作弦心距, 构造垂径定理的基本图形来解决问题.

变式1:如图6, ⊙O交△OAB的边AB于点C、D.如果OA=OB, 那么AC与BD是否相等?为什么?

变式2:如图7, AB、CD是⊙O的两条平行弦.A⊥C与B⊥D相等吗?为什么?

【分析】变式1的第一问相当于是在例题基础上少了一个大圆, 但相应又增加了OA=OB这个条件, 这两个条件其实是等同的, 所以方法也是一样的, 过圆心作弦心距构造垂径定理的基本图形即可.变式2与例题相比, 前者是同一个圆中两条弦平行, 通过作弦心距无法说明, 但只要过圆心作垂直于这两条弦的半径或直径利用垂径定理就可以解决, 也就是说, 垂径定理不仅能推导出线段相等也能推出弧相等.

变式3:如图8, (1) 在⊙O中, 弦AB的长为8, 圆心O到AB的距离为3, 求⊙O的半径、弓形高CD的长.

(2) 在⊙O中, 半径为5, 圆心O到AB的距离为3, 求弦AB的长、弓形高CD的长.

(3) 在⊙O中, 半径为5, 弦AB的长为8, 求圆心O到AB的距离、弓形高CD的长.

(4) 在⊙O中, 弦AB的长为8, 弓形高CD的长为2, 求⊙O的半径、圆心O到AB的距离.

【分析】解决圆内半径 (或直径) 、弦长、弦心距、弓形高的问题时, 常见辅助线是作弦心距、连接半径, 构造“垂径三角形”, 即图中的△OAC, 它的边AO是半径、边OC是弦心距、边AC是弦AB的一半, 已知半径 (或直径) 、弦长、弦心距、弓形高中的任意两个量就能求出另外两个量, 尤其要注意在已知弦长、弓形高求半径时, 要用方程思想解决.

练习: (1) 如图9, 已知∠C=90°, ⊙C与AB相交于点D, AC=5, CB=12, 求AD的长.

(2) 如图10, 圆内一弦CD与直径AB相交成30°, 且分直径为1 cm和5 cm, 则圆心到这条弦的距离为多少?CD长为多少?

【分析】练习 (1) 中已知半径, 要求弦长, 根据常用思路, 作弦心距构造“垂径三角形”的方法, 只需要求出弦心距即可, 利用面积法可求直角三角形斜边上的高即可求出弦心距, 已知半径和弦心距, 便可求出弦长.练习 (2) 的条件较为隐蔽, 直径、弦心距均未直接告知, 这也正是本题难点所在, 但细心观察可以发现直径较易求, 过圆心向CD作垂线, 连接OD, 仍可构造“垂径三角形”, 但如何求出弦心距是关键, 这里需要同学们发现含30°角的直角三角形, 已知斜边, 可求对边, 对边即弦心距, 最终也就转化为在“垂径三角形”中, 已知直径 (半径) 和弦心距, 可以求弦长.

变式4:如图11, 已知:AB和CD是⊙O内的两条平行弦, AB=6 cm, CD=8 cm, ⊙O的半径为5 cm.

(1) 两条平行弦所夹的弧相等吗?为什么?

(2) 求出AB与CD间的距离.

【分析】如果在同一个圆中同时出现两条平行弦, 根据上述变式2, 可以说明这两条平行弦所夹的弧相等, 那么如何求这两条平行弦之间的距离呢?我们已经知道已知半径和弦长可求弦心距, 如果在同一个圆中同时出现两条平行弦, 那情况又有两种:一种是两条弦位于圆心同侧, 两弦距离即两弦心距之差;一种是位于圆心异侧, 两弦距离即两弦心距之和.

篇4：如何妙学垂径定理

关键词：垂径定理；积极性；理解；记忆；运用

学好垂径定理是学好圆的关键，对农村学生来说，要学好垂径定理，所花费的时间和精力就要比别人多得多。他们不能通过大量的资料查找，只能仔细地观察生活，从生活中提炼有关垂径定理的知识，并用于指导他们学会更好地生活。通过多次的学习与交流，我总结出了农村学生学好垂径定理的小小妙招。

一、激发学生的学习积极性

观察现实生活中与垂径定理有关的事物，组织编题，并提问，从而激发学生的学习兴趣，让他们愿意思考，勇于探索。例如，某地（当地地名）有一石拱桥是圆弧形，正常水位下水面宽是50 m，水面到桥拱的距离为12 m，每年端午节可能涨水，涨水时，水面到拱桥的距离不能低于2 m，否则就要采取应急措施，如果今年涨水时水面宽为25 m，请问是否要采取应急措施。这是学生生活中可能会遇到的问题，所以许多学生都会思考到底用什么知识来解答。遇到这样的问题可以让学生积极地交流、讨论。经过讨论，学生得出好几种实用的解决办法。

比如，（1）在拱桥中央用一根2 m长的竹竿去测。（2）在拱桥中央吊一根2 m的绳索去测，绳索接近水面的一端固定重物。学生各抒己见，与此同时我们要考虑拱桥足够高时又该怎么办，因此我也和学生交流一下我的方法（可以利用这个理论知识解决半径足够长时的圆的问题）：要求当涨水时，水面宽为25 m时是否采取应急措施，只要求出桥拱到水面的距离。当这距离小于25 m时，则无需采取应急措施，因此只有求出桥拱的半径R，然后运用几何代数式解求R。解：不需要采取应急措施。设桥拱的半径为R，则：R-（R-12）=25，解得R=32。当拱桥与水面距离为2 m时，水面宽应为2×32-（32-2）=24。∵25>24∴当水面宽为25 m时，水面与桥拱距离大于2 m，无需采取应急措施。

二、引导学生正确理解垂径定理

垂径定理是由圆具有对称性引申而来的。讲解垂径定理要先让学生复习弦、弧、直径、轴对称图形的性质，特别是对称轴垂直平分对应点的连线段。由对称轴垂直平分对应点的连线段引申到弦、弧、直径的关系。具体操作如下：①在纸上画一圆，标明直径AB；②沿AB对折，在两半圆上任找一重合点记为C与D；③打开，连接C、D；④把AB和CD的交点记作E，圆心记为O，根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD，通过实际操作得AC与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合，由此可得出：若AB是直径，且AB⊥CD，则AC=AD，BC=BD，CE=DE。描述为：垂直于弦的直径平分弦所对的两弧（优弧和劣弧）。题设：圆的直径垂直于弦。结论：弦被直径平分，弦所对的两条弧也被平分。

三、巧妙记忆，推出垂径定理的推论

垂径定理包含五点内容：①过圆心的直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。其中任取两个作为题设，另外三个作为结论都是成立的。例如，已知平分于弦的直径，垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧。

四、运用所学解决问题

在运用垂径定理解决问题时，我们往往会发现：

1.图形在变化，因此我们就必须掌握它有哪些变式？

①求平行弦之间的距离（弦在直径的同侧或异侧）。例如，把两根很直的木棍平行放在簸箕里，已知木棍的长度分别是1.2 m和0.8 m，而簸箕的半径为1 m。问：这两根木棍之间的距离是多少？这是现实生活中同学们常见的两样东西，所以他们会很快想出有两种方法，把簸箕看成一个圆。一种方法是把木棍放在直径的同侧；另一种是放在直径的两侧。方法想出后，请同学把实际问题抽象化，求出两根木棍间的距离。本题容易忽略第二种方法，本题体现了数学中常用的分类讨论思想，由于圆是轴对称图形，涉及圆内两平行弦的几何问题，在解题时一定要考虑全面，分类求解不能漏解。②垂径定理往往要与勾股定理结合。作图时常常要构造直角三角形，再利用勾股定理计算。

2.解题时，还需作辅助线，那就需要提供正确的添加辅助线的位置。

篇5：《垂径定理》说课稿

张小飞

一、教材分析

1、内容地位：从知识体系上看，《垂径定理》是义务教育新课程标准人教版九年级（上册）第三章内容，是在学生学习了《旋转与中心对称》之后，对特殊的中心对称图形圆的深度学习的过程，是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探究。是中考的必考考点之一。

2、学习目标：

（1）利用圆的对称性探究垂径定理。（2）能运用垂径定理解决问题。（3）全心投入，细心认真。

3、重点难点：

学习重点：垂径定理的探究及运用。学习难点：利用垂径定理解决问题。

二、学情分析

1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。

2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础.三、教法学法分析

教法分析：针对学生的认知水平和心理特征，在本节课，我将指导学生在小组合作的学习氛围中开展小组展示，有组织、有目的、有针对性的引导学生积极参与教学活动，并鼓励学生采用自主探索、合作交流的学习方式，在观察、思考、运用的过程中，养成全面、有序的思考问题的习惯

学法分析：作为一节展示课，学生将在教师的带领下经历明确目标、温故知新、准备展示、展示所学、巩固提升等过程，培养学生独学静思、有效交流、积极合作、大胆展示的良好学习习惯。

四、教学过程及大致时间分配（1）明确目标、（1分钟）

目标出示在黑板上，教师引导学生理解（2）温故知新（3分钟）

采用个别提问的方式，复习基本知识点，为扎实做充分准备（3）分配任务，准备展示（5分钟）

教师分配展示的任务，并指导学生做展示的前期准备。（4）小组展示，变式训练（20分钟）

学生分组有序展示，在展示中鼓励提问，可做变式训练。要求展示者书写规范，过程完整，声音洪亮，表达流利，衔接紧凑。（5）归纳梳理、整理学案（3分钟）

学生将错误的题目整理，补充不完整的解题过程，要求用双色笔。（6）反馈检测、巩固提高（12分钟）

完成学案反馈检测部分，力争按下课能够完成。

五、教后反思垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中阶段圆中有关计算方面比较重要的一节。本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：

（1）让学生拿出自己手中的圆形图片对折圆，找出圆心。（学生很感兴趣，有些同学折的是两条互相垂直的直径得出圆心，有些同学折的是两条斜交的直径得出圆心，但方法都很好。）

（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。

（3）让学生在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，问学生会发现什么结论？（平分弦，也平分弦所对的两条弧）

（4）问学生在什么样条件下得出这些结论的？

（5）最后引导学生归纳出垂经定理的内容，教师再补充、强调并板书。通过这一探究过程，大部分学生参与到课堂中去，并培养了学生动手操作和创新的能力，也激发了学生探究问题的兴趣，学生就在这种轻松、愉快的活动中掌握了垂径定理，实现了教学的有效性，这是在这节课中我感觉最成功的地方。

当然，整节课也有许多不足之处。例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在：（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。比如：已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。

（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。

篇6：垂径定理评课稿

授课人：窦德辉

评课人：袁小波

窦老师上了一节出色的公开课很牛，体现在：

一、从教学目标上看

这节课的知识目标是求解圆的标准方程，能熟练运用待定系数法解题．能力目标是通过具体习题培养学生分析问题解决问题的能力及数形结合的思想法．首先，从教学目标制订来看，窦老师能根据本班的学情及课标的要求，合理用教材，精心选题，整堂课脉络清晰，容量适当，题型层次分明，重点突出，对教材的处理，还有例题、练习难易程度设置我觉得都是比较得当的。只有解决了求解圆方程的问题学生才能更进一步的判断直线与圆的位置关系，才能用方程利用代数方法解决一些简单的问题。其次，从目标实现来看，教学过程都紧密地围绕用待定系数法解题，步骤强调到位，重点内容的教学时间得到了保证，求解方法得到了巩固和强化。

二、师生活动的积极性

这节课总的来说课堂的气氛比较宽松，比较有序，整堂课师生始终处于积极的、主动的状态，学生无论回答老师提出的问题，还是回答练习都是比较踊跃与主动的。

三、从处理教材上看

对教材的处理上窦老师能突出重点，突破难点，抓住关键。用了两道例题，两道练习，对圆方程的求解作了讲解，讲解中能引导学生寻求解题思路，而不是直接告诉方法，体现了“学生为主体的教学思想”，讲解中能一题多解，例1判断四点共圆能灵活进行变式，开阔了学生的思路，尤其是练习1不仅开拓了思路并更好的为学生提出了应考的策略。

四、从教学程序上分析看

教学过程各部分的确立，顺序适当，教学环节齐全，有必要的复习回顾，温故知新，例题精讲，合理的巩固练习，必要的归纳小结。但在个别习题的处理上有点足。例1的讲解可稍微慢点，因为三元二次方程组的求解对学生来说还是有点困难，可以引导学生共同去完成，讲完后让学生去归纳待定系数法求解方程的四步骤，即：设，列，解，得，这样会更顺畅，并强调二元方程组是三个，有利于例2的更好处理。例2的引入不够干脆，且对为什么要找中垂线强调不到位。练习1可以留更多的时间让学生思考，特别在用两种方法讲解完练习1后，问学生有没有其它方法？其实除了代入法，直接法，还有数形结合的思想方法，由答案只解一元等，因为这种题目对学生思维能力的培养很有好处，并及时的提出合理化的应试技巧，这也应该是这堂课的升华所在。

五、这节课也有几个值得探讨的地方 1．没有用尺规作图，不利于规范学生的书写格式。2．书写字迹过大，整个版面不够合理，黑板的利用率不高 3．例二的引导还不够到位，关键是确定圆心的坐标，如何确定圆心的位置呢？是线段的中垂线和已知直线的交点。此处应该点明用的是垂径定理篇二：垂径定理说课稿

垂径定理

一、教材分析：

（1）教材的地位和作用：本节选自人教版数学九年级第二十四章第一节，本节研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。

（2）教学重点、难点与关键：本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一；

本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

二、目标分析：（板书并用投影仪显示教学目标）

1、认知目标：首先使学生理解圆的轴对称性，进而掌握垂径定理，最终学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

2、能力目标：培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

3、情感目标：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。

三、教学方法与教材处理：

关于教材的处理：

(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。(2)对于垂径定理的应用，我是先补充一个例题1,讲完后总结出作辅助线和解题方法：求弦长,先求弦的一半，遇见“半径、半弦、弦心距”，联想直角三角形中的三边关系，利用勾股定理，用算术或方程的方法求解。(3)紧接着设计了一组练习题，要求学生演板完成。

四、教学程序：

整个教学过程分六个环节来完成。

（一)创设情境，提出问题

赵州桥求半径问题

（二）动手操作，探究圆的对称性

教师演示：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你得到什么结论？

结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（三）、讲解新课---探求新知：

首先通过刚才让学生实验、观察得出猜想：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。然后让学生小组合作讨论上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，接下来再引导学生写出已知、求证。由于在分清定理的题结论教学时作好了铺垫，从而达到解决难点的目的。最后师生共同演示、验证猜想的正确性。

（四）、定理的应用：

为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用，讲完定理及变式后，我依据本班学生的实际情况及他们的心理特点，首先设计了一个补充例题1，（出示例1）

例题1：如图所示，在⊙o中，oc⊥ab于c，oa= 2cm，oc=1cm，求弦ab的长。

练习：（学生演板）

（1）、如图（1），在⊙o中，弦ab的长为8，圆心o到ab的距离为3，求⊙o的半径。

（2）、如图（2），ab为⊙o的弦，⊙o的半径为5，oc⊥ab于点d，交⊙o于点c，cd=1，求弦ab的长。

（3）、在求赵州桥主桥拱半径问题时关键是根据实物图画出几何图形，理解“跨度”就是弦长，前边有2题做铺垫，此时应让学生尝试自己完成。

（五）、反馈检测：

为了检测学生对本课教学目标的达成情况，我设计了分别用代数和几何方法进一步加强定理的应用训练反馈题，针对学生解答情况，及时查漏补缺。

1、如图，圆弧形桥拱的跨度ab=12米，拱高cd=4米，求拱桥的半径。

3、如图，在⊙o中，ab、ac是互相垂直的两条弦，od⊥ab于d，oe⊥ac于e，且ab=8cm，ac=6cm，那么⊙o的半径oa长为

4、如图所示，⊙o中，弦cd交直径ab于点p，ab=12cm，pa：pb=1：5，且∠bpd=30°，求cd的长．

（六）、课堂小结：

至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结。

五、几点说明

1、板书设计：为了使本节课更具理论性、逻辑性，我将板书设计分为三部分，第一部分为圆的轴对称性，第二部分为垂径定理，第三部分为测评反馈区（学生板演区）。

2、由于垂径定理在圆一章中的重要性，所以这节课只讲了定理而没有涉及定理的推论——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧。篇三：《垂径定理》说课稿

《垂径定理》案例分析

张小飞

一、教材分析

2、学习目标：

（1）利用圆的对称性探究垂径定理。

（2）能运用垂径定理解决问题。

（3）全心投入，细心认真。

3、重点难点：

学习重点：垂径定理的探究及运用。

学习难点：利用垂径定理解决问题。

二、学情分析 1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础.三、教法学法分析

四、教学过程及大致时间分配

（1）明确目标、（1分钟）

目标出示在黑板上，教师引导学生理解

（2）温故知新（3分钟）

采用个别提问的方式，复习基本知识点，为扎实做充分准备

（3）分配任务，准备展示（5分钟）

教师分配展示的任务，并指导学生做展示的前期准备。

（4）小组展示，变式训练（20分钟）

学生分组有序展示，在展示中鼓励提问，可做变式训练。要求展示者书写规范，过程完整，声音洪亮，表达流利，衔接紧凑。

（5）归纳梳理、整理学案（3分钟）

学生将错误的题目整理，补充不完整的解题过程，要求用双色笔。

（6）反馈检测、巩固提高（12分钟）

完成学案反馈检测部分，力争按下课能够完成。

五、教后反思

垂直于弦的直径也叫垂经定理，是初中阶段圆中有关计算方面比较重要的一节。本节课主要经过了三个环节：第一个环节是让学生通过折自制的圆形图片得出圆是轴对称图形，每条经过圆心的直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴。第二个环节是让学生通过探究得出垂经定理的内容。第三个环节是利用垂经定理解决有关方面的计算。其中，第二个环节是本节课的重点，也是我这节课的一个亮点。具体经过以下5个步骤：

（2）让两条互相垂直的直径其中一条不动，另一条直径向下平移，变成一条普通的弦，并且和原来的一条直径仍然保持垂直关系。

（3）让学生在自己的图片上画出与直径垂直的弦，并让他们把圆形图片沿直径对折，问学生会发现什么结论？（平分弦，也平分弦所对的两条弧）

（4）问学生在什么样条件下得出这些结论的？

当然，整节课也有许多不足之处。例如，在对垂经定理有关计算方面的安排上欠妥，具体表现在：

（1）把课本中赵州桥的问题作为第一个练习题让学生解决稍微偏难，应该先解决一些简单的类型题。比如：已知弦的长度和圆心到弦的距离，求圆的半径这类题，这样的话学生不但巩固了垂经定理，而且也能体会到成功的喜悦，等再处理赵州桥的问题就变成水到渠成的事情了。

（2）垂经定理中平分弦的证明过程尽量给学生留点时间让学生板书出来，这样可以防止学生缺少主动性，并且会有更多的学生参与到课堂中去。

（3）应该给学生渗透一些情感教育，让学生知道数学来源于生活，又应用于生活。

总之，在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机会，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习的主人。篇四：垂径定理的说课稿

课题 : 垂径定理

——揭秘圆的轴对称美

宁乡县实验中学唐亚军*** 教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册（2013年人教版）

一．教学背景分析

1、学习任务分析

“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版2013版）九年级上册第24章《圆》第一节第二课时的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。

“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。

2、学生情况分析

学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化

层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。

3、重点难点的定位

教学垂点：垂径定理及其推论。

教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，（2）领悟垂径定理中的对称美。

二．教学目标设计: 1.知识与技能目标：

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。2.过程与方法目标：

教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。3.情感、态度与价值观：

对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。

三．课堂结构设计：

《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对

教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：

1、欣赏美——营造问题情境

2、探究美——揭秘核心问题

3、徜徉美——问题变式发散

4、品味美——重建知识体系

课堂教学应以学生为主体，教师为主导。在本节课的教学过程中我充分尊重学生已有的知识和方法，以培养能力为目的，让学生在“赏美”中进入，在“探美“中发展，在”品美“中提高。以发展学生的思维为中心，以问题为载体，使学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握垂径定理，并将知识转化为能力。四．教学资源运用心理学研究表明，在学生接受知识方面，视听结合能记住86。3％，效果最佳。因此，根据初中学生的心理特征和认知规律，我对教学媒体的利用进行了如下设计：

1、利用多媒体辅助教学

在欣赏美的环节中，我利用多媒体让学生观察圆的实物图片，充分让学生获得感性认识；在探究美时，我利用多媒体在动漫中演示图形的折叠过程；在徜徉美中，帮助学生利用感官理解图形及其变式的联系，在激发学生思维的同时，获得美的享受。品味美时，我让学生上网查阅相关资料，利用网络平台加强学生对所学知识的理解, 拓宽学生视野，培养学生的创新能力。

2、常规媒体仍起主导作用

垂径定理及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。因为数学是思维的体操，数学课是丰富多彩的动态生成而非僵硬不变的简单预设。

3、充分利用学生身旁现有的教学资源：

如组织学生玩找对称点游戏；看谁折得好；寻找身旁的轴对称图形等。这些贴近学生认知领域而又充满情趣的活动，很好地活跃了学习气氛，使学生真正地融入到数学学习中来。板书设计: 为使本课更具逻辑性和直观性，力争达到“简约而不简单“的境界，我将板书设计作了如下侧向处理：

活

课

应

题

用

区篇五：垂径定理说课稿

垂径定理说课稿

一、教材分析

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

二、目的分析：

新课标下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。新数学课程数理念下的数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此根据本节课教材的地位和作用，结合我所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：

知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

过程与方法：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。情感态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育

三、教学方法与教材处理：

鉴于教材特点及我所教班级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中我还注重用不同图片的颜色对比来启发学生。

关于教材的处理：(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。(2)补充例题1（即练习1）讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式.注意前后知识的链接，将补充例题例2作为例1的延伸，并动态演示弦ab的位置变化，结合学生实际情况作适当的拓广。(3)课本第88页练习题2，要求学生课堂完成。

四、学法指导：

通过本节课的教学，我应引导学生学会观察、归纳的学习方法。培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论。鼓励他们合作交流、发扬集体主义精神。

五、教学程序：

整个教学过程分七个环节来完成。

1、复习提问---创设情境

教师演示：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你得到什么结论？

结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、引入新课---揭示课题：

在引入新课的同时，然后再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦 ab；(2)过圆心作ab的垂线得直径cd且交ab于e。（出示教具演示）引导学生分析直径cd与弦ab的垂直关系，说明cd是垂于弦的直径，并设问：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？这样就很自然地导出本节课的课题，此时板书课题 24.1.2 垂直于弦的直径。这样通过全体学生参与实验，逐步导出新课。

3、讲解新课---探求新知：

首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫，从而达到解决难点的目的。接下来再对学生引导分析，让学生合作讨论，展示成果。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，同时利用动画得出证明方法，从而解决本节课的又一难点——叠合法的证题方法。此时再板书垂径定理的内容，强调“垂”与“径”缺一不可，最后进行定理变式为了强调定理及定理变式中的条件，我出示训练一，让学生抢答。

4、定理的应用：

为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用，讲完定理及变式后，我依据本班学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括补充例题1及求赵州桥主桥拱半径问题在内的有梯度的，循序渐进的与代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。

5、巩固练习----测评反馈：

为了检测学生对本课教学目标的达成情况，进一步加强定理的应用训练，我设计了与代数、相关的反馈题组训练三，针对学生解答情况，及时查漏补缺。

6、课堂小结---深化提高：

至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，这时，利用提问形式，师生共同进行小结

7、布置作业

六、板书设计为了使本节课更具理论性、逻辑性，我将板书设计分为三部分，第一部分为圆的轴对称性，第二部分为垂径定理及其变式，第三部分为测评反馈区（学生板演区）。

七、设计要突出的特色：