解直角三角形专题总结

解直角三角形专题总结（精选9篇）

篇1：解直角三角形专题总结

2021年中考数学压轴题：解直角三角形

分类综合专题复习练习

1、图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°.（1）求车位锁的底盒长BC．

（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？

(参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈l.07)

2、吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地—一安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑的高度，小明在纪念碑前处用测角仪测得顶端的仰角为，底端的俯角为；小明又在同一水平线上的处用测角仪测得顶端的仰角为，已知，求该纪念碑的高度．（，结果精确到）

3、美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°．若AB＝114米，求观景亭D到南滨河路AC的距离（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）．

4、如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交汇的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼高，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端点测得的仰角为，在顶端点测得的仰角为，（1）求两楼之间的距离；

（2）求发射塔的高度．

5、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：3≈1.7，2≈1.4．

6、如图，某楼房AB顶部有一根垂直于地平面的5G信号塔BE，为了测量信号塔的高度，在地平面上点C处测得信号塔顶端E的仰角为550，从点C向点A方向前进5米到点D。从点D测得信号塔底端B的仰角为400,，已知楼房的高度为25米.求信号塔BE的高度(结果精确到0.1米)・

(参考数据血cos55°=0.82,cos55°=0.57,tan55°=1.43,sin40°=0.64,cos40°=0.77,tan40=0.84)

7、如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上．

（1）求∠ACB的度数；

（2）已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．（参考：≈1414、≈1.732）

8、如图1是一插着吸管的酸奶杯子，图2是它的截面图（截面经过杯口和杯底的圆心）。其中杯壁长AB=10cm，AB与桌面EF的夹角∠ABF=83°，吸管NC经过点A且与桌面EF的夹角∠NCF=45°，求杯子的高AM和杯底的直径BC。

（结果精确到0.1cm，参考数据：

sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）

9、如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交汇处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，其主楼BC是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，其高度为332米，在楼DE底端D点测得A的仰角为71.5°，在高楼DE的顶端E点测得B的仰角为37°，B，E之间的距离为200米．

（1）求九龙仓国际金融中心主楼BC的高度（精确到1米）；（2）求发射塔AB的高度（精确到1米）；

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00）

10、2020年11月10日，“雪龙2”起航中国第37次南极考察队从上海出发，执行南极考察任务．已知“雪龙2”船上午9时在市的南偏东方向上的点处，且在岛的北偏东方向上，已知市在岛的北偏东方向上，且距离岛．此时，“雪龙2”船沿着方向以的速度运动．请你计算“雪龙2”船大约几点钟到达岛？（结果精确到．参考数据：，，11、如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离4米的点处，测得古树顶端的仰角（古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留两位小数）（参考数据：，12、为保护师生健康，新都某中学在学校门口安装了红外测温通道，对进校师生进行体温监测，测温装置安装在处．某同学进校时，当他在地面处，开始显示测量体温，此时在其额头处测得的仰角为，当他走到地面处，结束显示体温，此时在其额头处测得的仰角为，已知该同学脚到额头的高度为，且米，米，求测温装置距地面的高度约为多少米？（保留小数点后两位有效数字，13、如图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图2.已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝.（1）求点M离地面AC的高度BM；

（2）设人站立点C与点A的水平距离AC

=55cm，求铁环钩MF的长度.14、如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架的长为，支架与地面的夹角，的长为，篮板部支架与水平支架的夹角为，、垂直于地面，求篮板顶端到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，，，15、近年来，共享单车服务的推出（如图1），图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半

径约为30cm），其中BC∥直线l，∠BCE＝71°，CE＝54cm．

（1）求单车车座E到地面的高度；（结果精确到1cm）

（2）根据经验，当车座E到CB的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm，现将车座E调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm）

（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）

16、筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图1，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，如图2，筒车与水面分别交于点A，B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上？（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）

17、如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角a＝37°，光路AB长m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点C）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．求上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

18、测量金字塔高度

如图1，金字塔是正四棱锥S-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，SO垂直于地面，是正四棱锥S-ABCD的高．泰勒斯借助太阳光，测量金字塔影子△PBC的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量，甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S-ABCD表示．

（Ⅰ）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔甲的影子是△PBC，PC=PB=50m，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为_________m．

（Ⅱ）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔乙的影子是△PBC，∠PCB=75°，PC=m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．

（Ⅲ）测量丙金字塔高度：如图3，是丙金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为56m，金字塔丙的影子是△PBC，PC=60m，PB=52m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算丙金字塔的高度．（精确到0.1）（）

篇2：解直角三角形专题总结

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0

100033 m , 则cos∠CAB= 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:///

篇3：怎样解直角三角形

1.明确解直角三角形的依据和思路

在直角三形中, 我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此, 锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系, 这是解直角三角形的基础.

如图1, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c (以下字母同) , 则解直角三角形的主要依据是

(1) 边角之间的关系:

undefinedundefinedundefined

(2) 两锐角之间的关系:

A+B=90°.

(3) 三条边之间的关系:

a2+b2=c2

以上每个边角关系式都可看作方程, 解直角三角形的思路, 就是根据已知条件, 正确地选择直角三形中边角间的关系式, 通过解一元方程来求解.

2.解直角三角形的基本类型和方法

我们知道, 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形, 而在直角三角形中, 除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素, 那么什么样的直角三角形才可解呢?如果已知两个锐角能否解直角三角形呢?

事实上, 解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系, 因为已知两个元素 (至少有一个是边) 可以判定直角三角形全等, 也可以作出直角三角形, 即此时直角三角形是确定的, 所以这样的直角三形是可解的.由于已知两个锐角的直角三形是不确定的, 它们是无数多个相似的直角三形, 因此求不出各边的长.所以, 要解直角三角形, 给出的除直角外的两个元素中, 必须至少有一个是边.这样, 解直角三角形就分为两大类, 即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形.其基本类型和解法列表如下:

3.要正确地选择关系

例1 如图2, 在Rt△ABC中, undefined解这个直角三角形

分析条件:

undefined

从条件 (3) 可以求∠A, 然后可从条件 (2) 中求∠B, 那么怎样求a, b, c呢?观察条件, 我们可以得到方程组

undefined

解这个方程组比较繁, 有没有更好的解法?

观察关系 a+c=6, 联想a, c, ∠A有关系undefined,

可以得方程组

undefined

比较①②, 选用②比选用①好, 原因是②可化为二元一次方程组, 解二元一次方程组比解三元二次方程组自然简单明了.

解: (1) 因为tgundefined, 所以∠A=60°.

undefined

解之得undefined

所以undefined

4.适当地引入字母 (参数) 表示边长

例2 如图3, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AD是BC边上中线, 且AC=BC, 求sin∠DAC.

分析:在Rt△ACD中, undefined, 要找DC, AD之间的关系, 就必须用同一个字母的代数式表示DC, AD.

解:设CD=a, 因为AD是BC边上中线,

所以AC=BC=2a.所以undefined

所以undefined

5.适当引入辅助线

例3 如图4, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AD是∠A的平分线, 且undefined, 求△ABC的三边长.

分析:AD是∠CAB的平分线, 不仅使我们联想到角相等, 还可以联想对称性, 过D作DE⊥AB, 垂足为E, 则DE=CD, 从Rt△BDE中求∠B, 然后求△ABC的三边.

解:过D作DE⊥AB, 垂足为E.

因为AD平分∠CAB, 且∠C=90°,

所以undefined

在Rt△BDE中, undefined,

篇4：解直角三角形不可忽视的问题

一、 忽视正弦、余弦的有界性

例1 计算 - cos40°+.

【错解】原式=-cos40°+sin50°-1

=sin50°-sin50°-

=-.

【分析】应注意锐角三角函数的取值范围，即：

00. 且在0<α<45°内，cosα>sinα；在45°<α<90°内，cosα

【正解】原式=cos40°-+1-sin50°

=sin50°-sin50°+

=.

二、 函数值与边长大小无关

例2 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大100倍，那么锐角A的正弦值（ ）.

A. 扩大100倍

B. 缩小为原来的

C. 没有变化

D. 不能确定

【错解】A.

【分析】误认为锐角的三角函数值随着各边长扩大100倍，其也扩大100倍. 实际上，锐角A的三角函数值只与它的度数有关，与其所在的直角三角形的大小无关，即只要锐角A的度数确定，其三角函数值也随之确定.

【正解】C.

三、 概念理解不清

例3 如图1，甲在60米高的大楼上A点看地面C点的乙的俯角为30°，则乙到大楼的距离CB为______米.

【错解】∵从A点看地面C点的乙的俯角为30°，

∴∠CAB=30°，

∴CB=ABtan30°=20（米），即乙到大楼的距离CB为20米.

【分析】在上面的解题过程中，由于对俯角的概念不清楚，错将俯角认为是∠CAB，而实际上俯角的定义是视线和水平线的夹角，即∠DAC=30°，故正确答案是60米.

四、 勾股数的误用

例4 在直角三角形中，∠B=90°，a=3，b=4，求边长c的值.

【错解】由勾股定理得，c===5.

∴c=5.

【分析】在上面的解题过程中，习惯于3，4，5是一组勾股数，c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中，而本题∠B=90°，∴b是斜边，故正确答案是c==.

五、 忽视双直角三角形

例5 已知在△ABC中，∠A=30°，AB=40，BC=25，则S△ABC=______.

【错解】如图2，过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D，

∵∠A=30°，AB=40，

∴BD=20，AD=20，

又BC=25，∴CD=15，∴AC=20-15，

∴S△ABC=×20-15×20=200-150.

【分析】因为已知条件是“角、边、边”，根据学过的全等三角形的知识，我们知道，只具备“角、边、边”不能确定一个三角形，也就是说还有另一个三角形，即如图3的情况.

易知此时S△ABC=200+150，

正确答案为S△ABC=200±150.

篇5：学生解三角形方法总结

接下来，寻找题目中的关键词：平分，2倍，以及所求中的，角的正弦比，我们可以回想，此题可能会用到正弦定理以及三角形的面积公式，至于余弦定理是否能用到，目前还不好说!不过，下面跟小数老师一起回顾一下这3个定理吧!

1、正弦定理

对于这个公式，我相信绝大多数同学都会，关键是正弦定理的灵活运用

(1) 最常考察的就是，边角互化，即：若一个等式或者分式中是关于边的齐次式，或者是角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行转化;

(2) 已知两边一对角时，求解其他的边与角，一般用正弦定理;

(3) 已知两角和任一边，求解其他的边与角，一般用正弦定理

2、余弦定理

(其他的角可以采用轮换制)

变形：

应用：

(1)已知三边，求解其他角;

(2)已知两边与一夹角，求解其他的边与角;

(3)边角互化，此种应用较少，因为计算量比较大，如果计算能力强，也可以使用。

3、三角形面积公式

注意：在高中阶段的解三角形(斜三角形)运算中，用到面积的.，基本都采用此公式。

4、其他关系

(1) 边的关系(或满足：两条较短的边长之和大于较长边)

(2)角的关系

总结

解三角形的题目比较简单，同学们多注意细节就好，但是一定要注意速度!这道题最多用10分钟时间，如果你能6分钟做出来，那是最好的!加油吧!

解三角形练习题

一、选择题

1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

答案 D

2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

答案 B

解析 由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，

tanA=tanB=tanC，A=B=C.

3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是()

A.152，+B.(10，+)

C.(0,10) D.0，403

答案 D

解析 ∵csinC=asinA=403，c=403sinC.

4.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案 A

解析 由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，

sin(B+C)=2sin Bcos C，

sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，

sin(B-C)=0，B=C.

5.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于()

A.6∶5∶4 B.7∶5∶3

C.3∶5∶7 D.4∶5∶6

答案 B

解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，

b+c4=c+a5=a+b6.

令b+c4=c+a5=a+b6=k (k0)，

则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.

sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

6.已知三角形面积为14，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()

A.1B.2

C.12D.4

答案 A

解析 设三角形外接圆半径为R，则由，

得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，abc=1.

二、填空题

7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.

答案 23

解析 ∵cosC=13，sinC=223，

12absinC=43，b=23.

8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60，a=3，b=1，则c=________.

答案 2

解析 由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60=1sinB，

sinB=12，故B=30或150.由ab，

得AB，B=30，故C=90，

由勾股定理得c=2.

9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.

答案 7

解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2，

asinA=bsinB=csinC=2R=2，

asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

10.在△ABC中，A=60，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.

答案 12 6

解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

∵S△ABC=12absinC=126312sinC=183，

sinC=12，csinC=asinA=12，c=6.

三、解答题

11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

证明 因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，

所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.

所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.

解 设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA

a2sinBcosB=b2sinAcosA

4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

sinAcosA=sinBcosB

sin2A=sin2B

2A=2B或2A+2B=

A=B或A+B=2.

△ABC为等腰三角形或直角三角形.

能力提升

13.在△ABC中，B=60，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为()

A.45B.60C.75D.90

答案 C

解析 设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120，

sinCsinA=sin120-AsinA

=sin120cosA-cos120sinAsinA

=32tanA+12=3+12=32+12，

tanA=1，A=45，C=75.

14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=4，

cosB2=255，求△ABC的面积S.

解 cosB=2cos2B2-1=35，

故B为锐角，sinB=45.

所以sinA=sin(-B-C)=sin34-B=7210.

由正弦定理得c=asinCsinA=107，

所以S△ABC=12acsinB=12210745=87.

1.在△ABC中，有以下结论：

(1)A+B+C=

(2)sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C;

(3)A+B2+C2=

(4)sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.

篇6：解直角三角形专题总结

[第8讲 三角恒等变换与解三角形]

(时间：45分钟)

π31．已知α∈π，sin αtan 2α＝()52

24242424A.B.C．－D．－ 725257

312.＝()cos 10°sin 170°

A．4B．2C．－2D．－4

1π3．已知sin αα∈0，则sin 2α＝()3222 24 24 2A.B．－C.D．－3399

4．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶7，则△ABC()

A．一定是锐角三角形

B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝120°，c，则()

A．a>bB．a

C．a＝bD．a与b的大小关系不能确定

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝5，c＝8，则△ABC的面积等于()

A．10B．10 3

C．20D．20 3

7．在△ABC中，内角A，B，Cb，c，若a6，b＝2，且1＋2cos(B＋C)＝0，则△ABC的BC边上的高等于()

6A.22

6＋23＋1 22

8．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于()

34A.B.43

43CD．－ 34

29．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若b＝1，c3，C＝π，3

则S△ABC＝________．

3510．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos Acos Bb＝3，513C.则c＝________．

11．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若(2a＋c)·cos B＋b·cos C＝0，则B的值为________．

π

12．在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2 3.设内角B＝x，周长为y，则y＝f(x)的最大值是________．

π

13．已知函数f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x＋m在区间0，上的最大值为2.3

(1)求常数m的值；

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△3

ABC的面积为a.AA

π－＋14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝2cos 22

AAsin2cos2.22

(1)求函数f(A)的最大值；

5π

(2)若f(A)＝0，C＝a＝6，求b的值．

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B5

(1)求cos(A＋C)的值；

π

(2)求sinB的值；

6→→

(3)若BA·BC＝20，求△ABC的面积．

专题限时集训(八)

π343

1．D [解析] 因为α∈，π，sin α＝cos α＝－，tan α＝－.所以tan 2

5542

－32×2tan α424

α22731－tanα1－

4

2．D [解析]

3131

－＝－＝

cos 10°sin 170°cos 10°sin 10°

3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°

＝

2sin（10°－30°）2sin（－20°）－2sin 20°

4，故选D.1sin 10°cos 10°sin 10°cos 10°°2

π

3．D [解析] ∵α∈(－0)，∴cos α＝sin 2α＝2sin αcos α＝－9

122 1－－3

16k2＋25k2－49k21

4．C [解析] 由正弦定理可设a＝4k，b＝5k，c＝7k，则cos C＝<0，52·4k·5k因此三角形为钝角三角形．

5．C [解析] 因为sin 120°＝3sin A，所以sin A＝，则A＝30°＝B，因此a＝b.249＋25－641

6．B [解析] 因为cos C，sin C72×7×5

＝10 3.314 3＝所以S＝×7×5×49727

π136

7．C [解析] 由1＋2cos(B＋C)＝0得cos A＝sin A，A＝2233

2π5π22ππ2

＝，sin B＝B＝C因此BC边上的高为2×sin C＝2×sin＋＝2(sin B24122466＋221×)＝2222

8．C [解析] 由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab

222a＋b－cabsin C－2absin C2222

－c，则absin C－2ab＝a＋b－c，又因为cos C＝1，所以

2ab2ab2

C2tan

22×2sin CCCCC4

cos C＋1＝，即2cos2＝sin，所以＝2，即tan C＝＝.2222223C1－21－tan

bc119.[解析] 因为b

sin3

ππ2ππ11

＝2，由B是三角形的内角知，B＝，于是A＝π－＝S△ABC＝bcsin A＝×3

663622

13×.24

1435410.[解析] 因为cos A＝cos Bsin A＝，55135

12aba313

sin B＝由正弦定理得＝，即a＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－

13sin Asin B4125

513

16914

2accos B，即9c2－2c，解得c＝(负值舍去)．

2552π

11.[解析] 由正弦定理可将(2a＋c)cos B＋bcos C＝0转化为2sin A·cos B＋sin C·cos

B＋sin Bcos C＝0，即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，得2sin Acos B＋sin A＝0，又由A为△ABC2π1

内角，可知sin A≠0，则cos B＝－，则B.23

π2π

12．6 3 [解析] △ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝，B>0，C>0得0

33BC2 3BC2π

用正弦定理知AC＝·sin x＝4sin x，AB＝＝4sinx.因为y＝

sin Asin A3π

sin

3AB＋BC＋AC，所以y＝4sin x＋4sin2π2ππ

＋2 3，即y＝4 3sinx＋＋2 3

3x0

ππππ5ππ



π

13．解：(1)f(x)＝2 3sin x·cos x＋2cos2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1.6ππ5ππ

因为x∈0，所以2x＋∈，.6663πππ5π

因为函数y＝sin t在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，6226

πππππ

所以当2x＋，即x＝时，函数f(x)在区间0，上取到最大值．此时，f(x)max＝f62636＝m＋3＝2，得m＝－1.π

(2)因为f(A)＝1，所以2sin2A＋＝1，6ππ1

即sin2A＋＝，解得A＝0(舍去)或A＝.362abc

因为sin B＝3sin C，＝，所以b＝3c.①

sin Asin Bsin C

π3 33 311

因为△ABC的面积为S△ABCbcsin A＝bcsinbc＝3.②

42234

由①和②解得b＝3，c＝1.π

因为a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×

所以a＝7.πAAAA

14．解：(1)f(A)＝2cos＋sin2－cos2＝sin A－cos A2sinA.22224ππ3π

因为0

ππ3π

当AA时，f(A)取得最大值，且最大值为2.424ππ

(2)由题意知f(A)＝2sinA＝0，所以sinA＝0.44ππ3πππ

又知－

5π7ππ

因为C＝A＋B＝B＝.12123

π6·sin

3abasin B

由，得ab＝＝＝3.sin Asin Bsin Asin A

15．解：(1)在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.44

∵cos B，∴cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cos B＝－.55

42342(2)在△ABC中，∵cos B＝sin B＝1－cosB1－5

55πππ33143 3＋4

∴sin(B＋＝sin Bcos＋cos Bsin.666522510→→→→

(3)∵BA·BC＝20，即|BA|·|BC|cos B＝20，∴c·a·＝20，即ac＝25.11315

篇7：解直角三角形

1.知识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2.重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数(或余切函数)的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图)

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

;

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

(3)连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

(4)如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6. 要善于把某些实际问题转化为问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的(如图).螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分?

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为 .

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

篇8：解直角三角形不可忽视的问题

一、忽视正弦、余弦的有界性

【分析】应注意锐角三角函数的取值范围,即:

二、函数值与边长大小无关

例2在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大100倍,那么锐角A的正弦值( )

A. 扩大100倍

B. 缩小为原来的1/100

C. 没有变化

D. 不能确定

【错解】A.

【分析】误认为锐角的三角函数值随着各边长扩大100倍,其也扩大100倍. 实际上,锐角A的三角函数值只与它的度数有关,与其所在的直角三角形的大小无关,即只要锐角A的度数确定,其三角函数值也随之确定.

【正解】C.

三、概念理解不清

例3如图1,甲在60米高的大楼上A点看地面C点的乙的俯角为30°,则乙到大楼的距离CB为 ______ 米.

【分析】在上面的解题过程中,由于对俯角的概念不清楚,错将俯角认为是∠CAB,而实际上俯角的定义是视线和水平线的夹角,即∠DAC=30°,故正确答案是米.

四、勾股数的误用

例4在直角三角形中,∠B=90°,a=3,b=4,求边长c的值.

【错解】由勾股定理得,

∴c=5.

【分析】在上面的解题过程中,习惯于3,4,5是一组勾股数,c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中,而本题∠B=90°,∴b是斜边,故正确答案是.

五、忽视双直角三角形

例5已知在△ABC中,∠A=30°,AB=40,BC=25,则S△ABC=______.

【错解】如图2,过点B作AC的延长线的垂线,垂足为D,

【分析】因为已知条件是“角、边、边”,根据学过的全等三角形的知识,我们知道,只具备“角、边、边”不能确定一个三角形,也就是说还有另一个三角形,即如图3的情况.

篇9：解直角三角形的应用教学设计

根据新课标的指导思想，结合注重开放与生成，构造充满生命活力的课堂教学体系的思想。改变课堂过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化。在教学过程中由学生主动去发现、去思考，留有足够的时间让他们去操作，体现以学生为主体的原则；而教师为主导，采用启发探索法、讲授法、讨论法相结合的教学方法。这样，使学生通过讨论、实践，形成深刻印象，对知识的掌握比较牢靠，对难点也比较容易突破，同时也培养了学生的数学能力。

二、教学分析

1.地位与作用

解直角三角形的知识，可以被广泛地应用于测量、工程技术和物理中，主要是用来计算距离、高度和角度。教科书中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值，解决这类问题需要进行运算，但三角中的运算和逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常需要先选择公式并进行变换，同时，解直角三角形的应用题和课题学习也有利于培养学生空间想象的能力，即要求学生通过对实物的观察，或根据文字语言中的某些条件画出适合它们的图形，总之，解三角形的应用题与课后学习可以培养学生的三大数学能力和分析解决问题的能力。

本章内容属于三角学，中学数学把三角学内容分成两部分，第一部分归入义务教育初中阶段，就是本章的解直角三角形。这主要是因为解直角三角形的知识有较多的应用，它的基础仅仅是锐角三角函数，这在学生学过相似三角形后不难接受。后一部分是三角内容的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和三角方程，将归入义务教育后的高中阶段。前一部分是后一部分的必要基础，只有学好锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习三角函数和斜三角形的解法。

同时，解直角三角形还有利于数形结合。通过这一章的学习，学生才能对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外，有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章的知识加以处理。以后学生学习斜三角形的余弦定理、正弦定理和任意三角形的面积公式时，也要用到解直角三角形的知识。本节内容在这起到承上启下的作用。承上使学生对锐角三角形函数有更深的理解，更好地掌握。启下，通过对本节的学习为高中的知识打下基础。所以说，本节课的教学有着不可忽视的地位。

2.学情分析

学生在小学就接触过直角三角形，前几节已经学习了锐角三角函数，所以这节课内容学生可以接受。本节的学习使学生初步掌握解直角三角形的方法，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。同时让学生通过观察、思考、操作，体验转化过程，真正学会用数学知识解决实际的问题。

3.教学方式和教学手段

从学生最熟悉的实际生活创设问题情境，采用“引导—探究—解决—扩展”的教学方式，从学生活动出发，结合实物和多媒体教学，强调实用性。

4.技术准备

多媒体，三角板，半圆仪。

三、目标分析

学会用数学问题来解决实际问题，既是我们教学的目的，也是我们教学的归宿。本部分安排三节课，本节是第一节。根据课标的要求，要尽量把解直角三角形与实际问题联系，减少单纯解三角形的习题。在实际问题中，要使学生养成“先画图，再求解”的习惯，还要引导学生合理地选择所要用的边角关系。

1.知识目标：会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

2.能力目标：培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力，进而提高学生的形象思维能力，渗透转化的思想。

3.情感目标：培养学生理论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神。

重点：实际问题与数学问题之间的转化。

难点：如何把实际问题转化为数学问题。

四、教学过程

（一）创设情境，导入新课

在天安门广场的升旗仪式上，当嘹亮的中华人民共和国国歌响起，鲜艳的五星红旗高高飘扬的时候，心情激动的同时，你可曾想过，升起的国旗有多高呢？你能测量和计算它的高度吗？通过这节课的学习，我们又掌握了一种测量国旗高度的方法……

（教学意图：数学的教学要紧密联系生活实际，而学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。呈现给学生现实生活实际的问题是为了激发学生主动探索的热情与兴趣，让学生有探索、解决问题的欲望。）

（二）新知导学

1.仰角和俯角的概念

我们站在低层的看台上，仰望升到顶端的国旗，视线在水平线的上方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为仰角（如图）。

站在高层的看台上，俯视升到顶端的国旗，视线在水平线的下方，这时视线与水平线所成的夹角，称为俯角（如图1）。

学生：通过看电脑展示结合图形理解仰角、俯角的概念。

老师：板书仰角和俯角的图形定义。

问题1：如图4，学生甲站在第1层看台的地面上，仰望升到顶端的国旗，已知他的双眼距地面1.5米，他的双脚距旗杆底部18米，看国旗的仰角为29°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）如果这名学生继续往看台的上方走呢？

问题2：如图5，学生甲站在某一高层看台的地面上，俯视升到顶端的国旗，已知他的双眼距台阶1.5米，现在他的双脚距地面16米，距旗杆底部的水平距离为34米，看国旗的俯角为10°，你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）

学生：根据所给图形，分析并列出式子。

1.5+18tan29°≈11.5（米）

问题3：学生甲站在看台的某层台阶上，请问：需要测量或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？

问题4：现在为了美观，旗杆AB下面摆设一些盆栽作装饰，即不能直接测量出人的双脚到旗杆底部B点的距离，当人站在C点时，测得旗杆顶A的仰角是16°，向旗杆的方向前进18米，在D处测得旗杆顶A的仰角为30°，求国旗的高度AB为多少米？（结果保留到0.1米）

1.5+16-34×tan10°≈11.5（米）

应用概念直接解题已知一个锐角和一个边和两个边的直角三角形的直角三角形都可解。加深问题的研究，扩展学生的思路，培养学生分析问题解决问题的能力，归纳总结出在直角三角形中已知一边和一个锐角，已知两边这样的直角三角形都是可解的。

（三）总结

解直角三角形的关键是找到与已知、未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。

（四）巩固练习

如图8，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高（结果保留到0.1米）

解：设AG=x，在Rt△AFG中，FG=AG/tan∠AFG=x/tan30°=x

Rt△AEG中，tan∠AEG=x/（x+18）x≈10.3

AB=AG+GB≈10.3+1.5=11.8m

板书设计：基础知识：

例3

例4

五、教学反馈，评价分析

本课设计中先安排一个引例，激发学生的兴趣，再设计有梯度的例题，让学生体验由实际问题转化为数学问题的过程。注重学生的思维过程，站在学生的角度思考问题，才能知道学生的问题出在哪里，这样不仅能让学生体验学习的乐趣，培养学生解决问题的能力。在活动的过程中，学生确实体验到数学在日常生活中无处不在，也让学生感悟到数学是有用的。在探索与交流中，让学生互问互检。注意学生的相互评价的作用，整节课学生都保持着较高的学习热情。