三角形证明直角三角形

第一篇：三角形证明直角三角形

三角形的证明

全等三角形的证法

1：(SSS或“边边边”) 证明三条边相等的两个三角形全等

在两个三角形中，若三条边相等，则这两个三角形全等。

几何语言：在三角形中因为ab=AB, ac=AC, bc=BC所以三角形abc全等于三角形ABC

2. (SAS或“边角边”)证明有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等

在两个三角形中，若有两条边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

几何语言：在三角形中因为ab=AB，bc=BC, ∠b=∠B，则三角形abc全等于三角形ABC

3. (ASA或“角边角”)证明有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

在两个三角形中，若有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

几何语言：在三角形中∠a=∠A,∠b=∠B,ab=AB, 则三角形abc全等于三角形ABC

4. (AAS或“角角边”)证明有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等

在两个三角形中 ，若两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等

几何语言：在三角形中∠a=∠A,∠b=∠Bac=AC则三角形abc全等于三角形ABC

5. (HL或“斜边，直角边”)证明斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等 在两个直角三角形中，若斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等

几何语言：在三角形中因为ab=AB 直角c=直角C 则三角形abc全等于三角形ABC

所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形.

提醒：在证明的 图中 可能出现，两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角相等

两直线平行，对顶角相等

通常在混合题，混合图，等等

第二篇：初一数学三角形证明

已知：CE是三角形ABC外角ACD的角平分线，CE交BA于E，求证：角BAC大于角B

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.

根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

过D点做BC上的高交BC于O点.

过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.则X=DO,Y=HY,Z=DJ.

因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD同理可证FP=2DJ。

又因为FQ=FP,EM=EN.

FQ=2DJ，EN=2HD。

又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN

又因为

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明;如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=()

3°

因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点。且角PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ

延长CB到M，使BM=DQ，连接MA

∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

∵∠MAP=∠PAQ

AM=AQAP为公共边

∴三角形AMP≌三角形AQP

∴MP=PQ

∴MB+PB=PQ

∴PQ=PB+DQ

5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于点P,求证DP⊥NP

∵直角△BMP∽△CBP

∴PB/PC=MB/BC

∵MB=BN

正方形BC=DC

∴PB/PC=BN/CD

∵∠PBC=∠PCD

∴△PBN∽△PCD

∴∠BPN=∠CPD

∵BP⊥MC

∴∠BPN+∠NPC=90°

∴∠CPD+∠NPC=90°∴DP⊥NP

例1： (基础题) 如图,AC//DF , GH是截线.

∠CBF=40°, ∠BHF=80°.

求∠HBF, ∠BFP, ∠BED.∠BEF

例2： (基础题)

①在△ABC中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A =(度)

②：、。如图，△ABC中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD =。 ③已知，在△ABC中， ∠A + ∠B = ∠C，那么△ABC的形状为()

A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、以上都不对

④下列长度的三条线段能组成三角形的是()

A.3cm，4cm，8cmB.5cm，6cm，11cmC.5cm，6cm，10cm

D.3cm，8cm，12cm

⑤如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是。 ⑥小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是

_.______.⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为

⑧在△ABC中，AB = AC，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B =，

∠C =。BD=______,CD=________

⑨如图，AB = AC，BC ⊥ AD，若BC = 6，则BD =。

⑩画一画如图，在△ABC中：

(1).画出∠C的平分线CD

(2).画出BC边上的中线AE

(3).画出△ABC的边AC上的高BF

例3： (提高)

①△ABC中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A=，∠B=

③在等腰三角形中，一个角是另一个角的2倍，求三个角?

_______________________

④：在等腰三角形中，，周长为40cm,一个边另一个边2倍，求三个边?

_________________

例4 如图，D是△ABC的∠C的外角平分线与BA

的延长线的交点，求证：∠BAC>∠B

例5：(15，)

例6.ABC为等边三角形，D是AC中点，E是BC延长线上一点，且CE =BC 求证： BD = DE

一、选择题：

1. 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为()

A.150°B.80°C.50°或80°D.70°

2. 在△ABC中， ∠A=50°， ∠B，∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是()

A.65°B.115°C.130°D.100°

3.如图，如果∠1=∠2=∠3，则AM为△的角平分线，

AN为△的角平分线。

二、填空题：

1. 。

2.3.

4. 已知△ABC中，则∠A + ∠B + ∠C =(度)

5. 。若AD是△ABC的高，则∠ADB =(度)。

6. 若AE是△ABC的中线，BC = 4，则BE ==

7. 若AF是△ABC中∠A的平分线，∠A = 70°，则∠CAF = ∠=(度)。

8. △ABC中，BC = 12cm，BC边上的高AD = 6cm，则△ABC的面积

为。

9. 直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为。

10. 等腰三角形的一个角为45°，则顶角为。

11. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C = 1:2:3，∠C =。

12. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中共有个直角三角形;

13. △ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB若∠A=70°，则∠BOC=;若∠BOC=120°，∠A=。

三、解答题：

14、如图4，∠1+∠2+∠3+∠4=度;

15、如图;ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD

上钉上一根木条，现量得AB=80㎝，BC=60㎝，

CD=40㎝，AD=50㎝，试问所需的木条长度至少要多长?

16有一天小明对同学说：“我的步子大，一步能走三米(即两脚着地时的间距有三米”。有的同学将信将疑，而小颖说：“小明，你在吹牛”。你觉得小颖的话有道理吗?

17. 图1-4-27，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∠ABC的平分线BD交AC于D.求：∠ADB和∠CDB的度数.

.18。已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4。

求等腰三角形各边的长。

19.已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，

求证：AB=AC

.20。.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，

CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。

21.、如图，P、Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。

.22。如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别

在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。

23.、如图，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线。试探求∠F与∠B、∠D之间的关系，并说明理由。

例

1、填空：

。

(6)正二十边形的每个内角都等于。

(7)一个多边形的内角和为1800°，则它的边数为。

(8)n多边形的每一个外角是36°，则n是。

(9)多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有条。

(10)如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是。

(11)一多边形除一内角外，其余各内角之和为2570°，

则这个内角等于。

例

5、给定△ABC的三个顶点和它内部的七个点，已知这十个点中的任意三点都不在一条直线上，把原三角形分成以这些点为顶点的小三角形，并且每个小三角形的内部都不包含这十个点中的任一点，求证：这些小三角形的个数是15。

1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论。

解：

当B在BC的中点时四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°证明;在△ADC和△BFC中BF=DC,BC=AC,∠B=∠ACD∴△ADC△≌BFC∴AD=FC,∠DAC=∠BCF=30°∵△AED是等边三角形∴ED=FC，∵∠EAB=∠ BAD=60°∴AD垂直平分ED∴∠BDE=∠DCF=30°

∴ED‖FC∴CDEF是平行四边形且∠DEF=30°

第三篇：证明一、证明二、证明三_解直角三角形小结

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

证明

(一)

1、本套教材选用如下命题作为公理：

(1)、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (2)、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 (3)、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 (4)、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 (5)、三边对应相等的两个三角形全等。 (6)、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理。

2、平行线的判定定理

公理两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。

3、平行线的性质定理

公理两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。定理两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。 定理两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180

。

5、三角形内角和定理的推论

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

证明

(二)

一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

b

2

180A

22、等腰三角形的判定方法

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。 (2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.

三、等边三角形

性质：(1)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 (2)三线合一 判定方法：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形

(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形

(一)、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a

2b2

c2

其它性质：

1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

2、常用关系式：由三角形面积公式可得：

两直角边的积=斜边与斜边上的高的积(等面积法)

(二)、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a

2b2

c2

，那么这个三角形是直角三角形。

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

(三)直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)

五、角的平分线及其性质与判定

1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点(三角形的内心)，并且这一点到三条边的距离相等。

3、角的平分线的判定定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

六、线段垂直平分线的性质与判定

1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点(三角形的外心)，并且这一点到三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

七、反证法

八、互逆命题、互逆定理

1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

证明

(三)

一、平行四边形

1、平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等。 (2)平行四边形相邻的角互补，对角相等 (3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长×高=ah

二、矩形

1、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

(1)矩形的对边平行且相等 (2)矩形的四个角都是直角

(3)矩形的对角线相等且互相平分

(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 (2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 (3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab

三、菱形

1、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

(1)菱形的四条边相等，对边平行 (2)菱形的相邻的角互补，对角相等

(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)定理1：四边都相等的四边形是菱形

(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

四、正方形(3~10分)

1、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

(1)正方形四条边都相等，对边平行 (2)正方形的四个角都是直角

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证它是菱形。 先证它是菱形，再证它是矩形。

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

Sb

2正方形=a2

2

五、等腰梯形

1、等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2、等腰梯形的性质

(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行。

(2)等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。 (3)等腰梯形的对角线相等。

(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3、等腰梯形的判定

(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

(2)定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和填空题可直接用)

六、三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

七、有关四边形四边中点问题的知识点：

(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形; (2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形; (3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形;

(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形;

(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形; (6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形;

(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形;

解直角三角形 知识点总结

考点

一、直角三角形的性质(3~5分)

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°可表示如下：

BC=

1

2AB∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=

1AB=BD=ADD为AB的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a

2b2

c2

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90CD2ADBD

AC2ADAB

CD⊥BC2BDAB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC

北师大版证明一，证明二，证明三，解直角三角形知识点总结

考点

二、直角三角形的判定(3~5分)

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a

2b2

c2

，那么这个三角形是直角三角形。 考点

三、锐角三角函数的概念(3~8分)

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即

sinA

A的对边斜边a

c

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即

cosA

A的邻边斜边b

c

③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA

A的对边A的邻边a

b

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

4、各锐角三角函数之间的关系 (1)互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) (2)平方关系

sin2Acos2A

1(3)倒数关系 tanAtan(90°—A)=1 (4)弦切关系 tanA=

sinA

cosA

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 考点

四、解直角三角形(3~5)

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c (1)三边之间的关系：a2

b2

c2

(勾股定理) (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系：

sinA

ac,cosAbc,tanAab,sinBbabc,cosBc,tanBa

第四篇：全等三角形证明题

1B

E

5.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG.

求证：BEDG.

A B

G F

AB∥ED，ABCE，BCED.C为BE上一点，1.已知：如图，点A，D分别在BE两侧.求

证：ACCD.

2.如图，在正方形ABCD中，CEDF.求证：△CBE≌△DCF.E B

F

C

A

D

C

6.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

D

(1)求证：△ADE≌△CB′E;(2)若AB=8，DE=3，试求BC的长.

AD

′

E

C

B

3.如图，ABCD是正方形.G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG 于 F.(1)求证：△ABF≌△DAE;(2)DEEFFB.

A

B

D

全等三角形证明题

21.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CF∥AB. 求证：ADCF.

A

E

C

2.已知：如图，在矩形ABCD中，AF=BE.求证：DE=CF.

4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.求证：△ABE≌△ACE.

F G

C

B

E

A

C

B

C

，AD，AD的延长线交3.把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结 BE

BE于点F.(1)求证：△BEC≌△ADC;(2)说明：AF⊥BE.

全等三角形证明题

31.如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF. 求证：AB=DE.

D

C

B E C

F

4.已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，

AE=CF. 求证：(1)△ADF≌△CBE;(2)EB∥DF.2.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB∠DCE90，D为AB边上一点.求证：(1)△ACE≌△BCD;(2)ADAEDE.

D

E

B

5.如图，将一等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E.请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全

A

等的过程.

C

3.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线

BC上，且PE=PB.求证：(1)PE=PD ;(2)PE⊥PD.的位置，连结EF、CF. 求证：(1)△ABE≌△CBF;(2)FC⊥AC.

D

D

E

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE

交BC的延长线于点F.求证：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.

4.如图，正方形ABCD中，E是对角线AC或延长线上一点，把BE绕点B顺时针旋转90°到BF

DEF

AB C

E

B

C

F

第五篇：全等三角形的证明

1.翻折

如图(1)，BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的;

旋转

如图(2)，COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的;

平移

如图(3)，DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到

的。

2. 判定三角形全等的方法：

(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边(直角三角形中)公理

(2) 推论：角角边定理

3. 注意问题：

(1)在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等;

(2)不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA;b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

(1) 证明线段(或角)相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

(2)证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

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(3)证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2。求证：AB=AC+CD.

.

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。

例6. 如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

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