解直角三角形专题训练

解直角三角形专题训练（共6篇）

篇1：解直角三角形专题训练

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0

100033 m , 则cos∠CAB= 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:/// 初中数学辅导网http:///

篇2：解直角三角形专题训练

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．cos 300°的值是()

1133A.B．－C.D 222

2π22．已知α∈(0，π)，cosα＝－tan 2α＝()23

33A.B．－3或－ 3

33CD3 3ππ3．下列函数中，周期为π，且在，上为增函数的是()42

ππA．y＝sinxB．y＝cosx－ 22C．y＝－sin(2x－π)D．y＝cos(2x＋π)

π4．将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图像向左平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式

4可以是()

A．y＝cos 2x＋sin 2xB．y＝cos 2x－sin 2x

C．y＝sin 2x－cos 2xD．y＝sin xcos x

5．如图Z3－1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图像，此函数的解析式是（）

πA．y＝2sin2x＋ 3

2πB．y＝2sin2x 3πC．y＝2sinx－ 23

πD．y＝2sin2x－ 3

π6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)3cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，其图像相邻的两条对称轴方2

π程为x＝0与x＝()2

A．f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递增函数

B．f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递减函数

πC．f(x)的最小正周期为π，且在0，上为单调递增函数 2

π

D．f(x)的最小正周期为π，且在0，上为单调递减函数

2

7．函数y＝xsin x在[－π，π]上的图像是（图Z3－2

ππ

8．将函数f(x)＝sin2x＋的图像向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图像，则

43g(x)的单调递增区间为()

π

A.2kπ－，2kπ＋k(k∈Z)

63

π5π

B.2kπ，2kπ＋(k∈Z)

36

ππ

C.kπkπ(k∈Z)

63

π5π

D.kπkπ(k∈Z)

66

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝________．

10．在△ABC中，若2sin A＝sin C，a＝b，则角A＝________．

π

11．在△ABC中，BC＝2，AC＝7，BABC的面积是________．

12．已知函数f(x)3sin 2x－cos 2x，x∈R，给出以下说法：

π

①函数f(x)的图像的对称轴是x＝kπ＋k∈Z；

7π

是函数f(x)的图像的一个对称中心；

12，0

π

1③函数f(x)在区间π

22

②点P

π

④将函数f(x)的图像向右平移g(x)＝sin 2x－3cos 2x的图像．

2其中正确说法的序号是________．

三、解答题(共40分)

13．(13分)在△ABC中，若sin A＝2sin B·cos C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

4．(13分)已知函数f(x)＝sin(π－2x)＋2 3cos2x，x∈R.π(1)求f；

6(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

→→

15．(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2S△ABC＝3 BA·BC.(1)求角B；

(2)若b＝2，求a＋c的取值范围．

专题综合训练(三)

1．A [解析] cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.π5π11π23

2．C [解析] 由cos(α＋＝－α＝α＝tan 2α＝－.3212123

ππ

3．D [解析] 排除A，B；对于C，y＝sin(π－2x)＝sin 2x，在，上单调递减，排除

42

C.ππ

4．B [解析] y＝sin 2x＋cos 2x→y＝sin 2x＋＋cos 2(x＋)＝cos 2x－sin 2x.442ππ5ππ2

5．B [解析] T＝＋×2＝π，ω＝＝2，当x＝－时，可得A＝2，φ＝.T1231212

22x＋.∴y＝2sin3

π

6．C [解析] 由其图像相邻的两条对称轴方程为x＝0与x＝，知周期T＝π，排除A，2B.ππππ

f(x)＝2sin2x＋φ－，sinφ－＝1，显然φ＝－f(x)＝2sin2x－＝－2cos 2x，6332

π

在0，上为单调递增函数． 2π

7．A [解析] y＝xsin x为偶函数，排除D.当x＝±π时，y＝0，排除C.当x＝y>0，排除B.ππππππ

8．C [解析] g(x)＝sin2x－＋＝sin2x，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)

262364

ππ

得单调递增区间为kπ－kπ(k∈Z)．

63

9．－ [解析] 因为α是第二象限角，所以x<0.又因为cos α＝x3544

＝－3，所以tan α.x3

πa2）2－a2π2

10.[解析] 因为c＝2a，b＝a，所以cos A＝＝A＝.4242a·2aπ3 311.[解析] 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·7＝AB2＋4－2AB，23π1

所以AB－2AB－3＝0，解得AB＝3或AB＝－1(舍去)．所以△ABC的面积是S＝·BC·sin

3＝3×2×＝.222

xx＋16，解得x

ππ

12．①②④ [解析] f(x)＝2sin2x－，将x＝kπ∈Z)代入得到y＝2，①正确；

365ππ11π

当x∈，π时，2x－，ymax＝1，③错误．再依次验证②④正确．

6662

a2bc22213．解：由sinA＝sinB＋sinC得2R＝(2＋(2，2R2R

π

则a＝b＋c，即A＝.a2＋b2－c2a

由sin A＝2sin B·cos C2×，则b＝c.综上可知，该三角形为等腰直角三

b2ab

角形．

π

14．解：(1)f(x)＝sin(π－2x)＋2 3cos2x＝sin 2x＋3cos 2x3＝2sin2x＋3，3

πππ3

则f＝2sin＋3＝2×＋3＝2 3.2633

2ππ

(2)f(x)＝2sin2x＋3的最小正周期T＝π，23

πππ5ππ

又由2kπ－2x2kπ＋kπ－≤x≤kπ∈Z)，故函数f(x)的单调递增

23212125ππ

区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．

1212

15．解：(1)由已知得acsin B3accos B，π

则tan B＝3，∵0

(2)方法一，由余弦定理得4＝a＋c－2accos，a＋c2

则4＝(a＋c)－3ac≥(a＋c)－3(当且仅当a＝c时取等号)，22

解得0b，则2

方法二，由正弦定理得a＝sin A，csin C，33

2ππ444

∵A＋C＝，∴a＋c(sin A＋sin C)[sin A＋sin(A＋B)]＝[sin A＋sin(A＋)]

33333π41313

＝＋sin Acos A)＝4(＋＝4sin(A＋．

222622πππ5ππ1

篇3：怎样解直角三角形

1.明确解直角三角形的依据和思路

在直角三形中, 我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此, 锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系, 这是解直角三角形的基础.

如图1, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c (以下字母同) , 则解直角三角形的主要依据是

(1) 边角之间的关系:

undefinedundefinedundefined

(2) 两锐角之间的关系:

A+B=90°.

(3) 三条边之间的关系:

a2+b2=c2

以上每个边角关系式都可看作方程, 解直角三角形的思路, 就是根据已知条件, 正确地选择直角三形中边角间的关系式, 通过解一元方程来求解.

2.解直角三角形的基本类型和方法

我们知道, 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形, 而在直角三角形中, 除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素, 那么什么样的直角三角形才可解呢?如果已知两个锐角能否解直角三角形呢?

事实上, 解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系, 因为已知两个元素 (至少有一个是边) 可以判定直角三角形全等, 也可以作出直角三角形, 即此时直角三角形是确定的, 所以这样的直角三形是可解的.由于已知两个锐角的直角三形是不确定的, 它们是无数多个相似的直角三形, 因此求不出各边的长.所以, 要解直角三角形, 给出的除直角外的两个元素中, 必须至少有一个是边.这样, 解直角三角形就分为两大类, 即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形.其基本类型和解法列表如下:

3.要正确地选择关系

例1 如图2, 在Rt△ABC中, undefined解这个直角三角形

分析条件:

undefined

从条件 (3) 可以求∠A, 然后可从条件 (2) 中求∠B, 那么怎样求a, b, c呢?观察条件, 我们可以得到方程组

undefined

解这个方程组比较繁, 有没有更好的解法?

观察关系 a+c=6, 联想a, c, ∠A有关系undefined,

可以得方程组

undefined

比较①②, 选用②比选用①好, 原因是②可化为二元一次方程组, 解二元一次方程组比解三元二次方程组自然简单明了.

解: (1) 因为tgundefined, 所以∠A=60°.

undefined

解之得undefined

所以undefined

4.适当地引入字母 (参数) 表示边长

例2 如图3, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AD是BC边上中线, 且AC=BC, 求sin∠DAC.

分析:在Rt△ACD中, undefined, 要找DC, AD之间的关系, 就必须用同一个字母的代数式表示DC, AD.

解:设CD=a, 因为AD是BC边上中线,

所以AC=BC=2a.所以undefined

所以undefined

5.适当引入辅助线

例3 如图4, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AD是∠A的平分线, 且undefined, 求△ABC的三边长.

分析:AD是∠CAB的平分线, 不仅使我们联想到角相等, 还可以联想对称性, 过D作DE⊥AB, 垂足为E, 则DE=CD, 从Rt△BDE中求∠B, 然后求△ABC的三边.

解:过D作DE⊥AB, 垂足为E.

因为AD平分∠CAB, 且∠C=90°,

所以undefined

在Rt△BDE中, undefined,

篇4：课本题改编题训练一(解三角形)

1-1. (改编)在△ABC中,A=105°,C=30°,AC=1,则AB=.

2. (苏教版必修5第一章习题1.1第10题)在已知两边a,b和一边的对角A,求角B时,如果A为锐角,那么可能出现以下情况:

如果A为钝角,那么可能会出现哪几种情况?试画出草图加以说明.

2-1. (改编)在△ABC中,已知a=16,b=16,B=45°,则A等于.

2-2. (改编)在△ABC中,已知a=16,b=16,A=30°,则B等于.

2-3. (改编)在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于.

3. (苏教版必修5第一章1.1“正弦定理”例3)如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000m后到达D处,又测得山顶仰角为65°,求山的高度BC(精确到1m).

3-1. (改编)如图,在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物CD的顶端对于山坡的斜度为15°,向坡顶前进100m后到达点B处,又测得建筑物顶端对于山坡的斜度为45°.设建筑物的高为50m,求此山坡对于地平面的斜度θ.

4. (1) (苏教版必修5第一章1.1“正弦定理”例4)在△ABC中,已知==,试判断△ABC的形状.

(2) (苏教版必修5第一章习题1.1第5题)在△ABC中,已知==,试判断△ABC的形状.

4-1. (改编)在△ABC中,若sinAsinB

4-2. (改编)在△ABC中, 已知=,且sinAsinB=sin2C,试判断△ABC的形状.

5. (苏教版必修5第一章习题1.2第6题)在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,求A的度数.

5-1. (改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设==,求cosA.

5-2. (改编)在△ABC中,已知cosA=,sinB=,则cosC=.

5-3. (改编)在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求A,B,C的大小.

6. (苏教版必修5第一章习题1.3第1题)在△ABC中,求证:a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

6-1. (改编)在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,证明:=.

6-2. (改编)在△ABC中,求证:-=-.

6-3. (改编)如图,设D是△ABC的边AB上的一点,∠ACD=α,∠BCD=β,且CD为AD和BD的等比中项,求证:sinAsinB=sinαsinβ.

7. (苏教版必修5第一章1.3“正余弦定理的应用”例4)如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC.问:点B在什么位置时,四边形OACB面积最大?

7-1. (改编)在△ABC中,若a=2,b=2,且三角形有解,则A的取值范围是.

7-2. (改编)已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是.

7-3. (改编)在锐角三角形ABC中,已知A=2B,试求的取值范围.

1-1. . 2-1. 30°. 2-2. 45°或145°.

2-3. 15°或105°.

3-1. 在△ABC中,有AB=100m,∠BAC=15°,∠ABC=180°-45°=135°,故∠ACB=30°.由正弦定理,得BC=m.

而在△BCD中,有CD=50m,BC=m,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ.由正弦定理,得=,得cosθ=-1,得θ=42.94°.

4-1. 由sinAsinB0,故0

4-2. 由=,得=,b2-a2=ab.

由sinAsinB=sin2C,得ab=c2.

所以a2+c2=b2,所以△ABC是以B为直角的直角三角形.

5-1. 法一 由==,得==,得tanB=tanA,tanC=tanA.

于是tanA=-tan(B+C)=-

=-.

又tanA≠0,所以tan2A=11,所以cos2A=.

易得cosA>0,故cosA=.

法二 由==,得==,解得a=c,b=c.

所以cosA===.

5-2. 先求得sinA=,cosB=±.再说明cosB=

-不可能.

5-3. 由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即sinB(sinA-cosA)=0.

因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以sinA-cosA=0,得tanA=1,A=,故B+C=.

由sinB+cos2C=0,得sinB+cos2-B=0,得sinB-sin2B=0,即sinB(1-2cosB)=0.

因为sinB≠0,所以cosB=,B=,故C=.

6-1.==•cosB-•cosA=•-•==.

6-2. -=-=--2-=-.

6-3. 在△ACD中,AD=,在△BCD中,BD=,故AD•BD=.

由CD为AD和BD的等比中项,得AD•BD=CD2.

所以=1,即sinAsinB=sinαsinβ.

7-1. (0,45°]. 7-2. (,).

7-3. 由题意,知0<2B<,0

而===2cosB.

篇5：解直角三角形专题训练

最新考纲

考情考向分析

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题

求AB

图形

需要测量的元素

解法

求

竖

直

高

度

底部

可达

∠ACB＝α，BC＝a

解直角三角形

AB＝atan

α

底部不可达

∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a

解两个直角三角形

AB＝

求

水

平

距

离

山两侧

∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a

用余弦定理

AB＝

河两岸

∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a

用正弦定理AB＝

河对岸

∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a

在△ADC中，AC＝；

在△BDC中，BC＝；

在△ABC中，应用

余弦定理求AB

知识拓展

实际问题中的常用术语

1．仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

2．方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

3．方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．坡度(又称坡比)

坡面的垂直高度与水平长度之比．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)

(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(√)

题组二　教材改编

2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50

m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________

m.答案　50

解析　由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．

3．[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝______米．

答案　a

解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，∴＝，∴PB＝a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin

γ＋asin

β

＝a×sin

60°＋asin

15°＝a.题组三　易错自纠

4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于()

A．10°

B．50°

C．120°

D．130°

答案　D

5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.答案　a

解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20

km/h；水的流向是正东，流速是20

km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________

km/h.答案　60°　20

解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos

120°＝1

200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一　求距离、高度问题

1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30

m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案　10

解析　如图，OM＝AOtan

45°＝30(m)，ON＝AOtan

30°＝×30

＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝

＝＝10

(m)．

2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝________.答案

解析　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin

β＝.故山高CD为.3．(2018·日照模拟)一船以每小时15

km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4

h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________

km.答案　30

解析　如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得＝，∴BC＝30(km)．

思维升华

求距离、高度问题的注意事项

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

题型二　求角度问题

典例

如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos

θ的值为________．

答案

解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos

120°＝2

800，得BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cos

θ＝cos(∠ACB＋30°)

＝cos∠ACBcos

30°－sin∠ACBsin

30°＝.思维升华

解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义；

(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

跟踪训练　如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．

答案　北偏西10°

解析　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．

题型三　三角形与三角函数的综合问题

典例

(2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos

B－bcos

C＝0.(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)＝2sin

xcos

xcos

B－cos

2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．

解(1)因为(2a－c)cos

B－bcos

C＝0，所以2acos

B－ccos

B－bcos

C＝0，由正弦定理得2sin

Acos

B－sin

Ccos

B－cos

Csin

B＝0，即2sin

Acos

B－sin(C＋B)＝0，又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin

A.所以sin

A(2cos

B－1)＝0.在△ABC中，sin

A≠0，所以cos

B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为B＝，所以f(x)＝sin

2x－cos

2x＝sin，令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.思维升华

三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．

跟踪训练　设f(x)＝sin

xcos

x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

解(1)由题意知f(x)＝－

＝－＝sin

2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)；

单调递减区间是(k∈Z)．

(2)由f＝sin

A－＝0，得sin

A＝，由题意知A为锐角，所以cos

A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos

A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．

因此bcsin

A≤.所以△ABC面积的最大值为.函数思想在解三角形中的应用

典例

(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

思想方法指导　已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．

规范解答

解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]

S＝

＝＝.[3分]

故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分]

(2)设小艇与轮船在B处相遇．

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，[8分]

故v2＝900－＋.∵0

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]

1．(2018·武汉调研)已知A，B两地间的距离为10

km，B，C两地间的距离为20

km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()

A．10

km

B．10

km

C．10

km

D．10

km

答案　D

解析　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×

cos

120°＝700，∴AC＝10.2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东80°

D．南偏西80°

答案　D

解析　由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．10

海里

B．10

海里

C．20

海里

D．20

海里

答案　A

解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得

＝，解得BC＝10.4．(2018·广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60

m，则河流的宽度BC等于()

A．240(＋1)m

B．180(－1)m

C．120(－1)m

D．30(＋1)m

答案　C

解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60

m，在Rt△ACD中，CD＝＝

＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝

＝60(2－)m，∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.5.如图，两座相距60

m的建筑物AB，CD的高度分别为20

m，50

m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

答案　B

解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝

＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()

A．5

B．15

C．5

D．15

答案　D

解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.故选D.7．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25

n

mile/h,15

n

mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n

mile.答案　70

解析　设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos

120°＝4

900，∴d＝70，即两船相距70

n

mile.8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100

m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案　100

解析　设坡底需加长x

m，由正弦定理得＝，解得x＝100.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．

答案　10

解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．

10.如图，在山底A点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1

000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．

答案　1

000

解析　由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1

000，∴BC＝＝1

000.11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．

答案　50

解析　如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos

60°＝17

500，解得OC＝50.12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin

α的值．

解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos

120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为＝14(海里/小时)．

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin

α＝＝＝.13.(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60

m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________

m.答案　　45

解析　设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan

α，BB1＝60tan

2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，∴AA1·BB1＝900，∴3

600tan

αtan

2α＝900，∴tan

α＝，tan

2α＝，则BB1＝60tan

2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600

km处的热带风暴中心正以20

km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450

km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.答案　15

解析　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1

575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15.15.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?

解(1)∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理，得

＝＝，所以AN＝sin

θ，AM＝sin(120°－θ)．

(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)

＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4

＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋

＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米．

16．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；

(2)若b＝，求a＋c的取值范围．

解(1)∵m＝(cos

B，cos

C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cos

B＋bcos

C＝0，由正弦定理，得cos

B(2sin

A＋sin

C)＋sin

Bcos

C＝0，∴2cos

Bsin

A＋cos

Bsin

C＋sin

Bcos

C＝0，即2cos

Bsin

A＝－sin(B＋C)＝－sin

A.∵A∈(0，π)，∴sin

A≠0，∴cos

B＝－.∵0

b2＝3＝a2＋c2－2accos

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号．

篇6：解直角三角形专题训练

临考专题训练：三角形

一、选择题

1.下列命题是假命题的是

()

A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.同角(或等角)的余角相等

C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分

2.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()

A.2

cm，3

cm，5

cm

B.7

cm，4

cm，2

cm

C.3

cm，4

cm，8

cm

D.3

cm，3

cm，4

cm

3.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为

()

A.1

B.2

C.D.1+

4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝()

A.35°

B.95°

C.85°

D.75°

5.在△ABC中，∠A，∠C与∠B处的外角的度数如图所示，则x的值是()

A．80

B．70

C．65

D．60

6.如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()

A.50°

B.51°

C.51.5°

D.52.5°

7.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为

()

A.118°

B.119°

C.120°

D.121°

8.若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是()

A．75°

B．90°

C．105°

D．120°

二、填空题

9.如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．

10.如图，已知AB，CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D＝________°.11.如图所示，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝________°.12.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=　　　　°.13.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．

14.定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为48°，那么“特征角”α的度数为____________．

15.在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD.若△ACD

为直角三角形，则∠BCD的度数为________．

16.如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，E是BC延长线上一点，∠DBE＝∠ABE，∠DCE＝∠ACE，则∠D的度数为________．

三、解答题

17.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝35°，∠BAD＝30°，求∠C的度数．

18.如图，四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别交的延长线于点，求证：

19.某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数;

(2)求这个正多边形的边数.20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；

(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

21.如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A和∠ACE的度数.22.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝25°，∠E＝30°，求∠BAC的度数．

23.如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求∠C的度数．

24.如图，梯形中，对角线相交于点，分别是的中点，求证：是等边三角形

2021中考

临考专题训练：三角形-答案

一、选择题

1.【答案】A

2.【答案】D　【解析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行判断，A中2＋3＝5不能构成三角形；B中2＋4＜7不能构成三角形；C中3＋4＜8不能构成三角形；只有D选项符合．

3.【答案】A

4.【答案】C　【解析】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠A＋∠B＝∠ACD，∠B＝35°，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°.5.【答案】B

6.【答案】D　【解析】∵AC＝CD，∠A＝50°，∴∠ADC＝50°，∵DC＝DB，∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°，∴∠B＝∠BCD＝25°，∴∠BDC＝130°，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝77.5°，∴∠CDE＝∠BDC－∠BDE＝130°－77.5°＝52.5°，故答案为D.7.【答案】C　[解析]

∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵∠ABC,∠ACB的平分线分别为BE,CD,∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.故选C.8.【答案】C　[解析]

∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.∴7x＝105°.二、填空题

9.【答案】13　【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AE＋EC＝8，∴EC＋BE＝8，∴△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝13.10.【答案】64　[解析]

由三角形内角和定理可知∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∠B＋∠C＋∠BOC＝180°.∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C.∴∠D＝64°.11.【答案】60　[解析]

∵六边形ABCDEF的内角和为(6－2)×180°＝720°且每个内角都相等，∴∠B＝＝120°.∵AD∥BC，∴∠DAB＝180°－∠B＝60°.12.【答案】68　[解析]

∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°.∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°.∵∠B=∠C，DE⊥AB，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°.∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.13.【答案】4∶3　【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则＝＝.14.【答案】48°或96°或88°　[解析]

当“特征角”为48°时，即α＝48°；

当β＝48°时，则“特征角”α＝2×48°＝96°；

当第三个角为48°时，α＋α＋48°＝180°，解得α＝88°.综上所述，“特征角”α的度数为48°或96°或88°.15.【答案】60°或10°　[解析]

分两种情况：

(1)如图①，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°－30°＝60°；

(2)如图②，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－50°＝100°.∴∠BCD＝100°－90°＝10°.综上，∠BCD的度数为60°或10°.16.【答案】24°　[解析]

∠D＝∠DCE－∠DBE＝∠ACE－∠ABE＝(∠ACE－∠ABE)＝∠A＝×36°＝24°.三、解答题

17.【答案】

解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°.∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－35°－60°＝85°.18.【答案】

连结，取中点，连结，由条件易得分别是的中位线，所以，且，因为，所以，所以，由可得：，同理可得，所以

19.【答案】

解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x°，则与其相邻的外角度数是x°+12°.由题意，得x+x+12=180，解得x=140.即这个正多边形的一个内角的度数是140°.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是=9.20.【答案】

解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°.∴∠CBD＝130°.∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.21.【答案】

解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高，∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.22.【答案】

解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD＝55°.∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.23.【答案】

解：∵∠NBC＝60°，∠NBA＝∠BAS＝45°，∴∠ABC＝∠NBC－∠NBA＝60°－45°＝15°.又∵∠BAC＝∠BAS＋∠SAC＝45°＋30°＝75°，∴在△ABC中，∠C＝180°－(75°＋15°)＝90°.24.【答案】