高三数学复习解三角形

第一篇：高三数学复习解三角形

不等式 向量解三角形复习

一、不等式的解法：

1.一元一次不等式：Ⅰ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

Ⅱ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

2.一元二次不等式：a0时的解集与有关(数形结合:二次函数、方程、不等式联系) 3. 高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线(奇穿偶不穿)，定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式; ⑴f(x)g(x)0

;⑵f(x)g(x)0

⑶

f(x)g(x)

0;⑷

f(x)g(x)

0

5.解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为x1,x2x1x

2、x1x

2、x1x2讨论。

例：解关于x的不等式： ax

2(a1)x10

(aR))

例：实系数方程

f(x)x2

ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b2a

1;

(a1)2

(b2)

2ab3 

二、不等式的性质(几个重要不等式) (1)若aR,则|a|0,a20 (2)若a、bR,则a

2b

22ab(或a

2

b

2

2|ab|2ab)(当仅当

a=b时取等号)

(3)如果a,b都是正数，那么

ab时取等号)

2

.(当仅当

a=b极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

○

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小;②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

常用的方法为：拆、凑、平方;

例1:设x,a(a

21a2)1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则b的取值范围是___。

1b2

例2:若abc，且

1ab



1kbc



ac

恒成立，k的最大值为。

14.函数y=log12a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则m



n

的最小值为______________.例3:已知a0,b0且ab

4。

例4:已知a0,b0且a

2

b

2

2



1，。

(5)若ab0,则

ba(当仅当a=b时取等号)

ab2

(6)a0时，|x|ax2

a2

xa或xa;|x|ax2a2

axa

(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b| (4)几个著名不等式

(1)平均不等式：如果a,b都是正数，那么

2b(当仅当a=b时取等号)即：

1

a

2

a1b平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：特别地，ab(

ab2

2ab2

(当a = b时，a2b2

2)

2

(

ab2

2

)

2

ab)

二、不等式的证明不等式证明的常用方法

2

2比较法、综合法、已知a>0，b>0ba

ab

≥a+b.平面向量

㈠向量

AB①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

|AB|

);②平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b， 规定零向量和任何向量平行。

注意:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平

行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(有0); ④三点A、B、C共线AB、

AC共线 ㈡向量的表示方法坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单



位向量i，j

为基底，则平面内的任一向量a可表示为

axiyjx,y

，称

x,y为向量a的坐标，

a=x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。



22

abaaaa,a①abab0; ②当a，b同向时，ab=，特别地，

;

㈢.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的

当a与b反向时，ab



b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件; 当为锐角时，ab>0，且a、

任一向量a，有且只有一对实数

1、

2，使a=1e1+2e2。如

(1)若

a(1,1),b(1,1),c(1,2)



，则c______(答：132a

2b);

㈣.平面向量的数量积：



⒈平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos

叫做a与b



的数量积(或内积或点积)，记作：ab，即ab=abcos

。规定：零向量与任一向量的数量积是

0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。







(1)△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________ (答：-9);

11a(1,),b(0,),

(2)已知22cakb,dab

，c与d的夹角为4，则k等于____(答：1);

(

325,ab3等于____

); 



(4)已知

a,b

，则a与ab的夹角为____(答：30

)

⒉.b在a

，它是一个实数，但不一定大于0。





已知

|a|3



，

|b|

5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______(答：

125

)



⒊.ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|

与b在a上的投影的积。

⒋.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：



当为钝角时，ab<0，且a、

b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件; 

③非零向量a，b夹角

的计算公式：cos

;④

|ab||a||b|

。





(1)已知a(,2)，b(3,2)

，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

(答：>—

43或>　0且

13

);

(2)已知OFQ面积为S，且OFFQ1，若

13

2

,则OF,FQ夹角的取值范围是_________

(五)坐标运算：





设

a(x1,y1),b(x2,y2)，则：向量的加减法运算：ab(x1x2

，

y1y2)

实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。平面向量数量积：abx1x2y1y2

向量的模：|a|a2

|a|2x2y

。



已知

a,b

均为单位向量，它们的夹角为60

，那么

|a3b|

=_____

);

Ax

两点间的距离：若

1,y1,Bx2,y2

，则

|AB|(六)向量的运算律：

交换律：abba，



a

a

，abba;

结合律：abcabc,abcabc，ababab



;

分配律：

aaa,ab

ab

，

ab

cacbc。























如下列命题中：① a(bc)abac;② a(bc)(ab)c;③ (ab)|a|









||a|b|||a|b|a||b|(这些和实数比较类似).2|a||b||b|;④ 若ab0，则a0或b0;⑤若





abcb,



a

则ac;⑥

2a

;⑦

Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3(3)在ABC中，①若，则其重心的坐标为



abb

a

2ab)a2b2ab)a22abb2

a;⑧(2;⑨(2

。其中正确的是______(答：①⑥⑨ (七)重要结论

向量平行(共线)的充要条件：

a//bab(ab)2(|a||b|)2

x1y2y1x2=0



(1)若向量a(x,1),b(4,x)



，当x=_____时a与b共线且方向相同(答：2);





(2)已知a(1,1),b(4,x)

，ua2b，v2ab，且u//v，则x=______(答：4);



(3)设

PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)

，则k=_____时，A,B,C共线(答：-2或11)

向量垂直的充要条件：



abab0|ab||ab|x1x2y1y20

如：AB

ACAB

AC。



OA(1,2),OB(3,m)



(1)已知

，若OAOB，则m答：(3

);

(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________(答：(1,3)或(3，-1)); 





(3)已知

n(a,b),

向量nm，且nm

，则m的坐标是________ (答：(b,a)或(b,a))

向量中其他常用的结论：

(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用; 

(2)

||a||b|||ab||a||b|



，特别地，当a、

b同向或有0|ab||a||b| ||a||b|||ab|;当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a|b|||a|

b;当a、

b不共线

3Gx1xx,y3

y21y23

133。如①PG3

(PAPBPC)

G为ABC的重心，特别地

PAPBPC0P为ABC的重心;②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心;

③向量AB

AC((0))所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线);



④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心;





MPMP

(3)若P分有向线段

P1P

2所成的比为，点

M为平面内的任一点，则

MP

12

1，特别地P为

P1P2



MP的中点MP

1MP

2;



(4)向量PA、

PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1. 



平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,则点C的轨迹是_______(答：直线AB)

解三角形

1.斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和：A+B+C=π。

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

asinA



bsinB



csinC

2R

。(R为外接圆半径)

(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a

，b2， c

2。

cosAcosBcosC。

3.三角形的面积公式： (1)S1absinC==4R2

sinAsinBsinC=

abcABC2

4R

(2)Ss(sa)(sb)(sc)

ABC=

;;

(3)SABC=r·s其中s

abc

(4)射影定理：在△ABC 中，abcosCccosB，b，c。4.两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，

5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

主要方法：三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换

在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。 sin

ABB

2cos

C2,cos

A2

sin

C2;

(2)边角转化，判定三角形形状时，利用正余弦定理实现边角转化，统成边的形式或角的形式 例1(正、余弦定理判断三角形形状)

在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等边三角形

例2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若ab

，sinCB，则A=()

(A)300

(B)600

(C)1200(D)1500

例3：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、

c

，已知a2c2

2b，且

sinAcosC3coAs

sCin 求b

c2

分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2b左侧是二次的右

侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sinAcosC3cosAsinC,过多关

注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在ABC中则

siAn

cCos

A3coC由正弦定理及余弦定理

有:a

abc

c2

a

角化边) 化简并整理得：2(a2

c2

)b

2ab

3c

b(.又由已知

2bc

a2c22b4bb2

.解得b4或b0(舍).

第二篇：第一章_直角三角形的边角关系_解直角三角形及其应用复习(含答案)

http://

解直角三角形及其应用

1. 定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2. 直角三角形的边角关系：如图:

(3)边角之间的关系：

3. 解直角三角形的四种基本类型：如下图：

- 1

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典型例题

例1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，解直角三角形： (1)a=8，b=6 (2)c=16，∠A=32° 解：

例2. 如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度(精确到1cm)。

- 3

http://

又DC=BD-BC=100

例4. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝高23米，坝面宽BC=6米，根据条件求： (1)斜坡AB的坡角α;

(2)坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1米)。

解：分别过B、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BCFE为矩形 ∴BE=CF，BC=EF (1)在Rt△BAE中，i=1：3

(2)在Rt△ABE中，i=1：3，BE=23 ∴AE=3BE=3×23=69(米)

在Rt△CDF中，i=1：2.5，CF=BE=23 ∴DF=2.5×23=57.5(米)

例5.

45°，DC=6，求∠BAD的正切值。

- 5

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模拟试题

一、填空题。

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，

，则∠A=__________，sinA=__________。

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，∠A=45°，则a=__________，b=__________，∠B=__________。

3. 如果等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm，这个三角形的面积为__________。 4. 如图Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，则AC=__________。

，

5. 若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高________ m。 6. 如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个正东，一个正西，那么它们之间的距离为__________。

二、选择题。

1. Rt△ABC中，∠C=90°，

，则

(

)

A. 4

B. 8

C. 1

D. 6 2. 在Rt△ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA=(

)

- 7

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2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，6cm，求AB、AD的长。

，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=

3. 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m，从A点测得C点的仰角为60°，测得D点的俯角为30°，求建筑物甲的高CD。

4. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长。

- 9

第三篇：中考数学压轴题：三角形分类综合专题复习练习

2021年中考数学压轴题：三角形

分类综合专题复习练习

1、已知为直线上一点，为直线上一点，

，设

.

(1)如图，若点在线段上，点在线段上.

①如果

那么

，

.

②求

之间的关系式.

(2)是否存在不同于以上②中的之间的关系式?若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由.

2、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点(点M不与A，B重合)，且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x.

(1)试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC;

(2)是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由;

(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.

3、在中，，于点，于点，连接，将沿直线翻折得到(点与点为对应点)，连接，过点作交于点.

(1)如图1，求证：四边形为平行四边形;

(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出图2中所有正切值等于2的角.

4、如图①，和中，，，.

(1)则的长为　　(直接写出结果);

(2)如图②，将绕点顺时针旋转至△，使恰好在线段的延长线上.

①求的长.

②若点是线段的中点，求证：.

5、如图1，在△ABC中，AB=AC=20，tanB=，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.

(1)求证：△ABD∽△DCE;

(2)当DE∥AB时(如图2)，求AE的长;

(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF?若存在，求出此时BD的长;若不存在，请说明理由.

6、如图，在等边△ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t(s).过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.

(1)当t为何值时，△BPQ为直角三角形;

(2)是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上?若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由;

(3)求DE的长;

(4)取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小?并求出最小值.

7、在中，，点、分别是、的中点，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度，连接、.

观察猜想

(1)如图①，当时，填空：

①　　;

②直线、所夹锐角为　　;

类比探究

(2)如图②，当时，试判断的值及直线、所夹锐角的度数，并说明理由;

拓展应用

(3)在(2)的条件下，若，将绕着点在平面内旋转，当点落在射线上时，请直接写出的值.

8、将等边三角形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为，连接.取边的中点，连接.

(1)如图1，当时，的度数为　　，连接，可求出的值为　　.

(2)当且时，

①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明;如果不成立，请说明理由;

②当，，三点共线时，请直接写出的值.

9、问题提出：

(1)如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD=3，则AE的最小值为

;

(2)如图②，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE=1cm，求△ABD的周长;

问题解决：

(3)如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC=90°，点A到BC的距离为2km.为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值(路宽忽略不计).

10、如图，在△ABC中.AB=AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG=AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D.

(1)求证：△ABE≌△GFE;

(2)若GD=3，CD=1，求AB的长度;

(3)过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C=45°，在(2)的条件下，求△AFP周长的最小值.

11、阅读下面材料，完成(1)﹣(3)题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在BC上，AD=AB，AB=kBD(其中

小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等.”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系.”

……

老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H(如图2)，可以求出的值.”

(1)求证：∠BAE=∠DAC;

(2)探究线段BG与AC的数量关系(用含k的代数式表示)，并证明;

(3)直接写出的值(用含k的代数式表示).

12、如图1，是正方形边上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点.

(1)求证：;

(2)猜想线段，和之间的数量关系，并说明理由.

(3)当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点.

①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明;

②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度.

13、在中，，，点在射线上运动.连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接.

(1)如图1，点在点的左侧运动.

①当，时，则　　;

②猜想线段，与之间的数量关系为　　.

(2)如图2，点在线段上运动时，第(1)问中线段，与之间的数量关系是否仍然成立?如果成立，请说明理由;如果不成立，请求出它们之间新的数量关系.

(3)点在射线上运动，，设，以，，，为顶点的四边形面积为，请直接写出与之间的函数关系式(不用写出的取值范围).

第四篇：小学六年级数学总复习解方程练习题

小学六年级数学总复习解方程练习题 姓名： 成绩：

(0.5+ X)+ X =9.8÷2 2(X+X+0.5)=9.8 25000+ X =6 X

3200=450+5 X + X

7.5+2 X =15

91÷X=1.3

30÷X+25=85

5×3- X÷2=8 4(X -5.6)=1.6

150×2+3 X =690

X-0.8X=6 X +5.6=9.4 7(X -2)=2 X +3 1.4×8-2 X =6

1/3 X+5/6 X=1.4 312 X -8 X =4.8 X -0.7X =3.6 18(X -2)=270 6 X -12.8×3=0.06 7(6.5+ X)=87.5 /7+6/20 X=5 1

0.7(X+0.9)=42 1.3 X+2.4×3=12.4 X+(3-0.5)=12 3 X + 7 X +10 = 90 3(X4)+3(X - 2)= 2 X +6

12 X+8 X-12=28 3(2 X-1)+10=37 1.6 X+3.4 X-X-5=27

2(3 X-4)+(4-X)=4 X (3 X+5)÷2=(5 X-9)÷3

第五篇：六年级数学总复习一：解方程练习(含答案)

总复习一：解简易方程练习

一、填空.

1.使方程左右两边相等的()，叫做方程的解.

2.被减数=差○减数，除数=()○().

3.求()的过程叫做解方程.

4.小明买5支钢笔，每支a 元;买4支铅笔，每支b 元.一共付出( )元.

二、判断.

1.含有未知数的式子叫做方程.( )2.4x+5 、6x=8 都是方程.( )

3.18x=6 的解是x=3.( )4.等式不一定是方程，方程一定是等式.( )

三、选择.

1.下面的式子中，()是方程.

①25x②15-3=12③6x+1=6④4x+7<9

2.方程9.5-x =9.5的解是().①x=9.+5②x=19③x=0

3.x =3.7是下面方程()的解.

①6x +9=15②3x =4.5③14.8÷x =4

四、解方程.

1.52-0.5x =152. 91÷3.5x =1.33. 0.4 X+8.3=10.74.15x =

3五、用方程表示下面的数量关系，并求出方程的解.

1. x 的3倍等于8.4.2.7除x 等于0.9. 3.x 减42.6的差是3.4.

(二)

一、解方程.

1.X+3.2=4.62.x-1.8=43. x-2=154.x÷7=0.35.1.6x=6.

4二、列方程并求解.

1.一个数减去8，差是10求2.一个数乘0.7的积，积是0.21，求这个数?

这个数

三、计算.

1.当x等于什么数时，x-6的值等于18?

四、思考题.

如果x-8=16，那么4x+3=().