第一章 解三角形

第一章 解三角形（共8篇）

篇1：第一章 解三角形

解三角形复习课

（一）沅陵七中 黄有圣

2016.12.3 ●教学目标

知识与技能：1.梳理解三角形的知识点，及时查找知识点的漏洞，建立知识之间的联系，形成知识体系。

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确解三角形，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

●教学重点

1.正弦定理，余弦定理的掌握。

2.应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。

●教学难点

让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。●教学过程（课件上课）【复习导入】 1． 正弦定理: abc2R（2R可留待学生练习中补充）sinAsinBsinC111absinCbcsinAacsinB.222 S余弦定理 ：a2b2c22bccosA b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

222222a2b2c2bcaacb求角公式：cosA cosB cosC

2ab2bc2ac 2．思考：各公式所能求解的三角形题型？

正弦定理: 已知两角和一边、两边和其中一边的对角，求其他边角

余弦定理 ：已知两边和夹角、已知三边、两边和其中一边的对角，求其它边角

注意：由公式出发记忆较为凌乱，解题往往由条件出发。【合作探究】 5 注：求三角形的边角时，应注意挖掘隐含的条件上。如第3题的角A只能是锐角这个隐含条件。【战高考】

【一题多变】

【归纳小结】

1． 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题，要注意公式及题目的隐含条件。2． 解三角形问题要注意结合图形，特别是三角形的相关性质(内角和、边角关系)3.正确选择正弦定理和余弦定理是解决问题的关键。

【课后练习】（难度取舍不同，各班可按实际情况安排）、在 ＡＢＣ中，AC=3,A45,C75,则BC A.2,B.3,C.2，D.5.ＡＢＣ中，a,b,c分别为A、B、C的对边，如果 a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积 3 2，那么b等于

1３为23,D.23 2 abc4.在ABC中，若,则ABC是conAconBconC

A.直角三角形，B.等边三角形，A.3,C.13,B.12C.钝角三角形，D.等腰直角三角形

9.在ABC中，已知（abc)(abc)3ab，且2cosAsinBsinC,试确定ABC的形状

10.tanC37 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，（）求1cosC

5（2）若CACB，且ab9，求c2

课后反思：时间安排上考虑不太周到，知识梳理时间过长，尤其是正弦、余弦定理的语言表示要求过高，课堂上花了太多时间，解三角形中角的关系的辨析是关键，尤其是正弦化余弦时要明确角是否可以为锐角和钝角。解三角形时应注意正弦定理和余弦定理的选择，注意转化与化归。过后还需加强训练，提升学生角三角形的能力。

篇2：第一章 解三角形

（一）、知识总结：

知识梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：

（1）形式一：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC 222222222bcaacbabc形式二：cosA，cosB，cosC，（角到边的转换）2bc2ac2ab

1(Sa)(Sb)(Sc)3.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△=S=Sr abcabc

2(S=,r为内切圆半径)=4R(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式 CAB

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2, CAB

sin2=cos2……

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型

abc

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinA=sinB=sinC，可求出角C，再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA=sinB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，acab

求出c，再由sinA=sinC求出C，而通过sinA=sinB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判

断方法，如下表：

8.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.（二）巩固练习

一

单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

S

1.△ABC中，b8，cABC，则A等于

（）





30603015060120ABC 或D 或

abc



2.△ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是（）

A 直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形

3.已知△ABC中，A30，C105，b8，则等于（）A4B4.△ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于（）

ABC2D





5.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()

A90°B120°C135°D150°



26.△ABC中，B60，bac，则△ABC一定是（）

A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形

7.△ABC中，∠A=60°6 , b=4, 那么满足条件的△ABC()

A有 一个解B有两个解C无解D不能确定

abc



8.△ABC中，若A60，asinAsinBsinC等于（）

1A 2B2

9.△ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（）11

3ABCD 0 32

410.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）

A锐角三角形 B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A.4003400

米B.米C.200米D.200米

312 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()

A.10 海里B.5海里C.56 海里D.5 海里

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）



13.在△ABC

中，已知b，c150，B30，则边长a。

14.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC等于。15.在钝角△ABC中，已知a1，b2，则最大边c的取值范围是。

16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为。

三、解答题：（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）



17（本题12分）在△ABC中，已知2abc，sinAsinBsinC，试判断△ABC的形状。

cosAb

4cosBa3，求边a、b 的长。18（本题10分）在△ABC中，已知边c=10, 又知

19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23 x+2=0的两根，角A、B满足： 2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

参考答案

一、选择题（510）

二、填空题（44）

13、或14 15c316、4三、解答题

17、（本题8分）

abcab

解：由正弦定理，sinB，2R得：sinA

sinAsinBsinC2R2R

c

。sinC2R2sinAsinBsinC可得：(a)2bc，即：a2bc。所以由

2R2R2R

又已知2abc，所以4a2(bc)2，所以4bc(bc)2，即(bc)20，因而bc。故由2abc得：2abb2b，ab。所以abc，△ABC 为等边三角形。

18、（本题8分）

cosAbsinBbcosAsinB

解：由 ,可得，变形为sinAcosA=sinBcosB ，

cosBasinAacosBsinA

∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B,∴A+B=由a2+b2=102和

b

4，解得a=6, b=8。a

3

.∴△ABC为直角三角形.219、（本题9分）

解：由2sin(A+B)3 =0，得sin(A+B)=,∵△ABC为锐角三角形

2∴A+B=120°,C=60°, 又∵a、b是方程x2－3 x+2=0的两根，∴a+b=23 , ∴c=6 ,SABC

31absinC= ×2×。

222

2a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=6 ,SABC

20、（本题9分）

1331

absinC= ×2×。

2222

解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击

出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，ABv

t。

在△AOB中，由正弦定理，得

OBAB

sinOAB

sin15

∴sinOAB

OBvtABsin15

篇3：第一章宏观环境分析

“稳、进、好”的2013年

2014年1月20日,国家统计局局长马建堂在举办的2013年国民经济运行情况新闻发布会上表示, 2013年经济运行的成绩来之不易,国民经济的表现可以用“稳、进、好” 3个字概括。但2013年的GDP数据仍是自1999年GDP同比增长7.6% 以来最低增速。

“稳”字是为经济运行总体平稳。具体表现是经济增长平稳、物价平稳、就业稳定和农业稳固。2013全年国内生产总值568 845亿元,比2012年增长7.7%, 增长速度与上年持平;CPI全年上涨2.6%,完全达到调控目标;城镇新增就业超过1 000万,超额完成了全年目标; 粮食总产量更是突破12 000亿斤大关。

“进”字是为结构调整取得积极进展。马建堂用4个主要指标进行说明:一是第三产业2013年占比提高到46.1%,首次超过第二产业;二是中西部地区GDP占比为44.4%,比2012年提高0.2个百分点;三是城镇化率为53.73%,比上年提高1.16个百分点; 四是2013年城乡居民收入倍数为3.03。

“好”字是为效益回升、质量好转、民生改善。马建堂用5组数据说明:2013年最终消费对GDP增长贡献率为50%;资本形成总额对GDP增长贡献率为54.4%;货物和服务净出口对GDP增长贡献率为-4.4%;全部就业人口生产的GDP比前年提高了7.3%; 单位GDP能耗也下降了3.7%。这些数据表明我国劳动生产率正在稳步提高, 经济正在稳步向好。

另外,拉动经济增长的“三驾马车”总体呈现出“两降一稳”的格局。 2013年全年固定资产投资增长19.6%, 创下10年来的新低;而受收入增速放缓等因素影响,2013年我国消费增速也明显下降,同比仅增长13.1%,增速较2012年的14.3% 回落了1.2个百分点;此外,2013年全年出口增长7.9%, 增速与2012年持平。

房地产市场低开高走

据统计数据显示,2013年全年全国房地产开发投资8 6 013亿元,比上年名义增长19.8%(扣除价格因素实际增长19.4%), 其中住宅投资增长19.4%。房屋新开工面积201 208万m2,比上年增长13.5%,其中住宅新开工面积增长11.6%。全国商品房销售面积130 551万m2, 比上年增长17.3%,其中住宅销售面积增长17.5%。全国商品房销售额81 428亿元, 增长26.3%,其中住宅销售

额增长26.6%。 全年房地产开发企业土地购置面积38 814万m2, 比上年增长8.8%。12月末,全国商品房待售面积49 295万m2,同比增长35.2%。全年房地产开发企业到位资金122 122亿元,比上年增长26.5%。其中,国内贷款增长33.1%,自筹资金增长21.3%,利用外资增长32.8%。

正如我们在2013年上半年总结提到的一样,可以说本年度房地产市场呈现出“一冷四热”的局面,“一冷” 为为::22001133年年初初的的““国国五五条条””调调控控政政策策在出台后全面遇冷;而“四热”则为: 行业投资环境全面回暖、城市住宅市场成交量持续回升、重点城市房价普涨、土地市场量价齐升。

政策方面,2013年2月,政府出台“国五条”限购政策。2月,北京、 上海、重庆、济南、大连、合肥等城市均发布了楼市调控地方版细则。2013年 “调控”字眼在公开场合消失,行业政策面趋于平缓。新一届政府在2013年以来历次重要会议中,均未提及“调控”二字。在三中全会最终公布的决定中,对房地产行业虽无明确扶持表态, 但诸如“处理好政府和市场的关系, 使市场在资源配置中起决定性作用”、 “建立城乡统一的建设用地市场”、 “完善城镇化健康发展体制机制、“推进以人为核心的城镇化”等内容均毫无悬念地将对未来行业发展起到巨大推动作用。反观地方上,10月以来, 在深圳、北京、上海相继推出进一步严格执行国家房地产市场调控政策相关措施后,作为一线城市中没有颁布新政策的广州,也于11月18日下午果断地发布了“穗六条”。至此,北上广深四个一线城市全部升级了房地产调控政策,进一步抑制房价过快上涨态势。从调控内容上来看,“限购、 限贷、限价”的思路依然明显。限购上, 上海与广州增加了非户籍居民家庭购房缴纳税收或社保的年限;限贷方面, 上海、广州、深圳3个城市均将二套房贷款首付比例提至7成。限价方面, 北京则通过“限房价、竞地价”方式, 加大自住型商品住房供应力度,并提出将确保2年供应7万套,约占市场供应量一半。

土地供应方面,2013年以来,随着楼市成交走势的不断上扬,全国土地市场也迎来了成交高峰。数据显示, 2013年全年,全国房地产开发企业土地购置面积38 814万m2, 比上年增长8.8%;土地成交价款9 918亿元, 增长33.9%,增速提高2.4个百分点。 2013年房企的融资环境相对宽松,销售业绩大幅提升、现金充裕,因而高总价地块成交不断,总价和单价“地王” 的门槛也被抬升。此外,重点城市土地出让底价逐年提升,土地价值随时间推移而不断增长,加之2013年北京、 上海等城市的核心区域地块供应较多, 也使单价门槛节节攀升。

住宅市场方面,2013年,“日光盘”、“地王”等现象屡见不鲜,甚至多到让人感到疲惫。但值得注意的是,依然有不少地方房价犹如股市般惨跌。因此,2013年房地产市场的真实写照是:一边是一线城市连续20余月的高涨,一边是温州等城市连续26月下降;一面是“地王”迭出频遭哄抢, 一面却是无人问津。

商业地产方面,2013年全国商品房销售面积130 551万m2,比上年增长17.3%,比2012年提高15.5个百分点。 其中,办公楼销售面积增长27.9%,商业营业用房销售面积增长9.1%。商品房销售额81 428亿元, 增长26.3%, 比2012年提高16.3个百分点;其中, 办公楼销售额增长35.1%,商业营业用房销售额增长18.3%。2013年商业用房开发投资的年增速有望连续第5年超过住宅开发投资。相关数据显示,截至2013年年底,全国20大城市商业地产总存量已达到6 461万m2,预计在2014年,20城市总体新增供应还将增加1 500万m2。尤其是在沈阳、天津、 成都等二线城市,购物中心、商业综合体等的商业项目入市规模有1 000万m2以上。

节能环保政策频出,促使行业加快节能步伐

虽然国家倡导绿色、低碳已经多年,但对空气治理的效果并不显著。 尤其是2013年,雾霾天气越来越频繁,而且出现雾霾的区域也越来越多。 2013年,中央和地方政府相继出台了众多的节能环保扶持政策和相关措施。

1月,国务院以国办发[2013]1号文件转发了国家发改委、住建部《绿色建筑行动方案》,提出“十二五” 期间,城镇新建建筑严格落实强制性节能标准,新建绿色建筑10亿m2, 2015年城镇新建建筑中绿色建筑的比例达到20%。2月,商用制冷设备环保标准正式实施。该标准适用于蒸汽压缩循环冷水(热泵)机组、溴化锂吸收式冷(温)水机组、空气源热泵热水机、水源热泵机组、单元式空气调节机、风管送风式空调(热泵)机组、多联式空调(热泵)机组、屋顶式空气调节机。3月,国家发改委网站公布了《低碳产品认证管理暂行办法》,明确建立我国低碳产品的认证体系的主要内容。4月,住房和城乡建设部发布批准的《通风空调系统清洗服务标准》正式实施,该标准规定了通风空调系统清洗服务范围、服务要求、服务实施步骤、服务质量验收等内容。5月,新的制冷剂标准实施,新版加入可燃性制冷剂在标识、运输、 安装、储存、充注等环节的安全操作与使用, 增加可燃制冷剂器具的安装和维修要求。在《蒙特利尔议定书》中R22被限定2020年淘汰,R123被限定2030年,发展中国家可以推迟10年。 6月,行业标准《空调器的绿色环保要求》正式实施。

不仅如此,地方政府也相继出台政策。如福建省住建厅会同省发改委、 省经贸委等部门起草了《福建省绿色建筑行动实施方案(征求意见稿)》, 并向省直有关单位和地市征求意见。 《意见稿》提出,拟拆除大型公共建筑, 要按有关程序提前向社会公示征求意见;从2014年起,“福厦泉”的保障性住房将全面执行绿色建筑标准。山东省财政厅则会同住房城乡建设厅研究制定了绿色建筑发展财政奖励政策, 对星级以上绿色建筑给予奖励。

上游链普遍处于下行阶段

制冷剂方面, 2013年对制冷剂行业来说并不是一个轻松的年份。我国制冷剂主要以R22、R134a为主。 2013年,R22供求关系趋紧,价位波动不大,原因在于国内受环保压力与实行HCFC配额生产影响;R134a市场则受产能严重过剩和需求持续低迷影响,价格从年初25 200元/t,高位一路下滑至岁末17 600元/t,全年跌幅达30% 左右。

铜价方面,2013年全球铜市场呈现出上半年大幅下跌,下半年为见底反弹后震荡走势,根据沪铜指数总体走势, 2013年最高点为2月初的60 112点, 最低点为6月28日的47 680点。2013年整体走势为2011年以来全球铜市场见顶回调走势中的一个插曲,2011年2月28日,76 638点是最近3年的最高位, 从此开始了漫长的回调走势。2013年沪铜继续下行表明铜价还有进一步下跌的动能和下行的空间。从2013年全年来看,中国经济等金砖国家经济放缓、全球铜去库存化、美国开始退出持续四轮的QE政策和欧洲经济复苏还漫长是铜价再下一个台阶的主要成因。 根据统计,2013年2—12月底,沪铜累计跌幅约为12%,2013年上半年累计跌幅16.5%;下半年累计涨幅4.5%。

篇4：秘籍第一章

从小学三年级开始，我们便接触到了“写景作文”这一特殊而又常见的类型。说它特殊，是因为这类作文在大多数情况下，只作为习作训练而出现；说它常见，是因为我们平时写作文经常需要写景。景色的描写，不仅可以为我们的叙事增添色彩，还可以起到衬托情绪的作用。因此，咱们“演武厅”的第一场训练，就从写景开始！

第一式——井然有序

在写景过程中，我们常常需要写到很多景物，那么，怎样安排它们的先后顺序呢？在动笔之前，我们不妨在心里为它们排个序。有了顺序，写起来才不会显得凌乱。如果事先不想好，写起来是东一榔头西一棒子，读者读起来也会晕头转向哟！

第二式——主次分明

在动笔之前，我们还要想一想，在你写到的景物中，有哪些是最美的，哪些是最具有代表性的，或者有哪些是最契合主题的，那么对于这类景物，我们就要着重去写，这样写出来的作文才能做到层次分明，重点突出。

第三式——人景呼应

在写景的时候，如果能写到人的活动，做到景中有人、人在景中，人景呼应，一定能为我们的作文增色不少。但是有同学会说：“我描写的景色里面真的没有人呀，怎么办呢？”哈哈，别忘了，作为景色的观察者，你就身处景色之中啊！写景之余，再写一写你的感受，你的作文就不再呆板，而是充满了灵性。

说了这么多，就让我们先来看看下面这篇佳作吧！

演武厅小练兵

秋 天

兴化市第二实验小学四（6）班 仲羽洁

炎热的夏天走了，带来了美丽的秋姑娘。不信？我带你去公园瞧瞧！

你看！小草换上了金灿灿的礼服，迎接着秋姑娘的到来。顽皮的风娃娃，把树叶吹得沙沙作响。偶尔有几片干枯的黄叶，像蝴蝶似的旋转着落下来。路边，一朵朵不知名的野花，也开得这么鲜艳，它们竞相开放，争奇斗艳，把小路染得香气扑鼻。草丛中夹杂着迷人的菊花，五颜六色，走近一闻，有股淡淡的清香。池塘里的荷花姑娘走了，只剩下荷叶笔直地站在那儿，整个池塘像铺满了绿色的伞。几棵常绿的树木，像战士一样保卫着公园。小草、菊花、树木，把秋天衬托得更加美丽。

你瞧！小朋友们三五成群地到公园里做游戏，老年人到公园里跳舞、打太极拳。他们都脱下了T恤衫，换上了长袖外套，漫步在公园的各个地方，公园里荡漾着笑声。人们，让秋天增加了勃勃生机。

不一会儿，下起了秋雨。秋雨绵绵，滴在身上，凉凉的。雨中还夹杂着风，一阵风吹来，吹在脸上，很凉爽。秋雨、秋风，让秋天变得更加丰富。

这就是秋高气爽、凉风习习的秋天。我爱秋天！

篇5：第一章 解三角形

学

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理；

3、学会运用正弦定理解任意三角形的两类基本问题。

*知识点清单*

正弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、正弦定理可解决两类问题：（1）2）abck2、在△ABC中，sinAsinBsinC，研究k的几何意义。(k=2R,R为三角形外接圆半径)

1113、SABCah=r(abc)=absinC(其中r

是内切圆半径)22

2*基础巩固训练* 例题讲解 例

1、在ABC中，已知A30，B45，跟踪练习1 在ABC中，已知A300，B600，c

6cm，解三角形。2 在ABC中，若a=1cm，C30,ccm，解三角形。a6cm，解三角形。

例

2、在ABC中，已知

a

bA45，解三角形。当b，b并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。*创新提高*

1、在ABC中，已知bc8，B30，C45，则b，c．

2、在ABC中，如果A30，B120，b12，那么a，ABC的面积是．

3、在△ABC中，若sinA>sinB,则A与B的大小关系为。

4、在△ABC中，a=12，A=60，要使三角形有两解，求对应b的取值范围。5．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）00000000A．30或60B．45或60C．120或60D．30或150 06、在ABC中，已知A120，a7，c5，求b的值。

高中数学必修五——第一章解三角形

1*高考体验*

1.（2007年重庆卷文13）在△ABC中，AB=1，BC=2，A=60°，则AC＝。

c2．（2007年湖南卷文12）．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a

1，C60，则A．

*学习总结*

在SSA类型中，解有三种情况：

1、无解，①sinB>1②钝角对小边

2、一解，①sinB=1（B为直角）②已知角为直角或钝角③根据大边对大角或等边对等角

3、二解：0

学习目标

1、回顾已有的三角形边角知识；

2、通过“勾股定理”，“向量法”等方法证明余弦定理，熟记余弦定理。

3、理解余弦定理与勾股定理的关系，应用余弦定理解三角形。

学

*知识点清单*

余弦定理：在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，则

1、余弦定理可解决两类问题：（1）2）

2、余弦公式的变形：

*基础巩固训练*

跟踪练习例题讲解

00

1在 ABC中：已知b=8,c=3,A=60,求a。60例

1、在△ABC中，已知b=3,c=1,A=,求a。

2在ABC中，已知a=9,b=10,c=15 ,求A。例

2、在△ABC中，已知a＝4，b＝5，c＝6，求

A(精确到0.1°)

*创新提高*

1、在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于________

2、在△ABC中，已知AB=3，AC=4，则边AC上的高为 _________

3、在△ABC中，已知a=2，b=4，C=600，则△ABC是_________A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

4、在△ABC中，已知b

c=3，B=30°，则边长a=_____________

5、在△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则

C=__________________

6、在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，试证明此三角形为锐角三角形

.*高考体验*

1.在ΔABC中，已知 a2b2bcc

2，则角A为（）

A

3B 

6C23D3或2

32．已知：在⊿ABC中，ccosbCcosB，则此三角形为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

3、在ABC中，acosAbcosBc

cosC,试用余弦定理证明：ABC为正三角形.4、在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

5、在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosC

学

学习目标

1、熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式；

2、充分运用数形结合的思想，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；

3、学会运用正余弦定理解决距离问题，高度问题，角度问题等实际问题。

*知识点清单*

解三角形的应用可大体上把它分成以下三类： I、距离问题

（1）一点可到达另一点不可到达（课本1.2例1）（2）两点都不可到达（课本1.2例2）II、高度问题（最后都转化为解直角三角形）III、角度问题

*基础巩固训练*

例题讲解

例

1、如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD= 6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，求AB为多少km。

例

2、如图，一游人由山脚A沿坡角为30的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45，则山高CD为多少





跟踪练习

1、B与C为江边两景点，在岸上选取A和D两个测量点，测得ADCD，AD10km，BDA60，BCD135，AB

1

4km，求两景点B与C的距离（假设A,B,C,D在同一平面内，测量结果保留整数）

2、用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.*创新提高*

1、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α（精确到1），坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。

2、如图，天空中有一静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°。已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅锤平面上，求气球离地面的高度？（精确到1m）

3、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航67.5 mile后到达海岛B。然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54 mile后到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，要要航行的距离是多少？（角度精确到1）

/

*高考体验*

1、(2007·山东)如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B

2处，此时两船相距





海里，问乙船每小时航行多少海里？

2、（2009汕头）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求

ACB600，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短

篇6：第一章 解三角形

第一章《三角形的证明》测试卷

时间：100分钟满分：120分班级姓名

一、选择题（每小题3分，共36分）

1、△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数为（）

A.35°B.40°C.70°D.110°

2、已知一个等腰三角形的两内角的度数的比为1︰4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A.20°B.120°C.20°或120°D.36°

3、适合条件∠A=∠B=1∠C的三角形一定是（）

3A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形

4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形。一定可以拼成的图形是（）

A.①②④B.②④C.①④D.②③

5、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是（）BA.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

A

CE 第5题图第6题图

6、如图，AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，则下列结论错误的是（）

A.BC=AD且BC∥ADB.AB∥CDC.AB=DED.△ABD≌△CDB7、等腰三角形一边长是4，一边长是9，则这个三角形的周长为（）

A.17B.22C.13D.17或228、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）

A.（2,0）B.（51,0）

C.（1,0）D.（5,0）

9、如图所示，将等腰三角形ABC绕点A旋转15°后得到

△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.C.363D.310、面积相等的两个三角形（）

A.必定全等B.必定不全等

C.不一定全等D.以上答案都不对

11、如图，AB∥CD，AD⊥CD于D，AE⊥BC于E，∠DAC=35°，AD=AE，则∠B=（）

A.50°B.60°

C.70°D.80°

12、如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为（）

A.2B.3C.4D.5二、填空题（每小题3分，共15分）

13、点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则。

14、等腰三角形周长为16，其一边长为6，则另两边为。

15、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是。

16、如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得

；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝。

17、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。

第17题图

第16题图 第15题图

三、解答题（共69分）

18、（6分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．

19、（6分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

20、（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°。

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：DC=AB。

21、（6分）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，求∠APE的度数。

22、（7分）如图，已知OD为∠AOB的平分线，CD⊥OA于C，∠OAD+∠OBD=180°，试说明为什么OA+OB=2OC.23、（7分）如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O。

（1）求证：AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由。

24、（9分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

（2）求证：BG2-GE2=EA2．

25、（10分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

26、（12分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

篇7：第一章 解三角形

三角形的证明

单元检测试题

班级：_____________姓名：_____________

一、选择题

（本题共计

小题，每题

分，共计21分，）

1.△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（）

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

2.如图，∠MAN＝63∘，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，以线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（）

A.54∘

B.63∘

C.117∘

D.126∘

3.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，CD是高，∠A=30∘，则BD与AB的关系是（）

A.BD=12AB

B.BD=13AB

C.BD=14AB

D.BD=15AB

4.如图，已知∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足是D．下列结论中正确的是（）

A.∠1=∠A

B.∠1+∠B=90∘

C.∠2=∠A

D.∠A=∠B

5.等腰△ABC的顶角A为120∘，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（）

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰但非等边三角形

6.下列说法不正确的是（）

A.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

B.有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

C.二条直角边对应相等的两个直角三角形全等

D.有斜边对应相等的两个直角三角形全等

7.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ=∠AQP时，P,Q运动的时间为（）

A.3s

B.4s

C.4.5s

D.5s

二、填空题

（本题共计

小题，每题

分，共计30分，）

8.边长为a的正三角形的面积等于________

9.直角三角形中一个锐角为30∘，斜边和最小的边的和为12cm，则斜边长为________．

10.如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE // AC交AB于点E，作DF // AC交AC于点F，DE=5cm，DF=3cm，则△ABC的周长为________cm．

11.如图，∠A＝36∘，∠DBC＝36∘，∠C＝72∘，请写出图中有哪些等腰三角形？________．

12.a，b，c为△ABC的三边，且(a-b)(a-c)(b-c)=0，则△ABC一定是________三角形．

13.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=63∘，则∠2=________．

14.等腰三角形的顶角为40∘，则其底角为________度．

15.如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≅△CDA．

（1）若以“SAS”为依据，需添加条件________；

（2）若以“HL”为依据，需添加条件________．

16.如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，DE // BC交AC于点E，AC=3cm，AB=2cm，则△ADE的周长为________cm．

17.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是高，∠A=30∘，AB=4．则BD=________．

三、解答题

（本题共计

小题，共计69分，）

18.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=12AB，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，试判断∠B与∠BAC的大小关系，并确定它们的度数．

19.在平面直角坐标系中，点是轴上一点，点是轴上一点，若线段，．

（1）则点的坐标是________，点的坐标是________；

（2）以线段为边，在平面直角坐标系中作等边，求出点坐标．

20.已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F.(1)求证：△ACF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm，AD=8cm，求△ACF的面积．

21.如图，∠ABD=∠ADB=15∘，∠CBD=45∘，∠CDB=30∘．求证：△ABC是等边三角形．

22.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．

（1）求∠B的度数．

（2）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

（3）如果AC=3cm，请直接写出AB的长度（不要求写出解答过程）．

23.已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90∘，点O是线段AC的中点．

（1）求证：OB＝OD；

（2）若∠ACD＝30∘，OB＝6，求△AOD的周长．

24.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)，（1）如图1，若PQ // AB，则x的值为________(s)。

（2）如图2，若PQ⊥AC，求x的值。

篇8：第一章关于思维科学

第一节恩格斯首先提出思维科学概念

思维科学就是启迪智慧的科学。思维科学是恩格斯首先提出来的,并且为思维科学的建立和发展预见性地提出了七条科学原则。这些科学原则,不仅为建立和发展思维科学指明了方向,而且还为研究“人脑项目”、升华聪明才智提供了指导原则。

一、研究思维科学的七条原则

这七条科学原则,必将指导思维科学顺利发展。不仅如此,还将指导人们愈发走向聪明、智慧,进而创造出更加辉煌的文明。

其一,思维科学是一门独立的学科。恩格斯在《反杜林论》一文中指出:“在以往的全部哲学中仍然独立存在的,就只有关于思维及其规律的学说———形式逻辑和辩证法。”

其二,思维科学是一门历史性的学科。恩格斯曾在《自然辩证法》一文中说:“关于思维的科学,也和其他各门科学一样,是一种历史的科学。”

其三,思维科学是一门与大脑相关的学科。恩格斯在《自然辩证法》一文中明确揭示:“我们的意识和思维,不论它看起来是多么超感觉的,总是物质的,肉体的器官即人脑的产物。”

其四,思维科学是一门不断发展的学科。恩格斯在《自然辩证法》一文中指出:“随着自然科学领域中每一个划时代的发现,唯物主义也必然要改变自己的形式。”

其五,思维科学是一门研究思维规律的学科。恩格斯在《自然辩证法》一文中指出:“我们的主观的思维和客观的世界遵循同一些规律,……这个事实是我们的理论思维的本能的和无条件的前提。”

其六,思维科学是一门严格遵守思维与存在关系的学科。恩格斯在《路德维希·费尔巴哈和德国古典哲学的终结》一文中说:“全部哲学,特别是近代哲学的重大的基本问题,是思维和存在的关系问题。”

第七,当时的思维科学是一门不完备的学科。恩格斯对19世纪仅包括形式逻辑和辩证法的思维科学并不满意。恩格斯敏锐地指出:“每一时代的理论思维,从而我们时代的理论思维,都是一种历史的产物,它在不同时代具有完全不同的形式、同时具有完全不同的内容。因此,……思维规律的理论并不像庸人的头脑在想到‘逻辑’一词时所想象的那样,是一种一劳永逸地完成的‘永恒真理’。”

二、破译大脑奥秘,离不开马克思主义哲学的指导

大脑是一灰箱,破译大脑奥秘是宇宙的最大难题。大脑神经元运动,既有可被感知的线性运动,又有不可感知的非线性运动,其运动不仅复杂,而且多变;大脑神经元间相互作用,既有物理因素(即可在一定范畴内实施电测),又有化学因素(即可期待未来进行生物探测),其相关因素有时呈显性状态,但大多处于潜性状态。对这样一种灰箱揭秘缺少实验方法不行,而抛弃思辨方法更不行。欲如此,上述恩格斯七条科学原则,便自然成为“大脑项目”弃之不行、丢之不可的永恒性原则。

恩格斯的七条科学原则,是其自然观的核心,也是马克思主义哲学的重要组成部分,更是一种通透无碍的大智慧,这种大智慧贯穿着“思行合一”的精神,正是用显信息探索潜信息的得力工具。其中的第七条原则,充分说明恩格斯对当时的思维科学内容仅包括形式逻辑和辩证法是不满意的。正是这种不满意,才为钱学森院士继承和发展恩格斯的思维科学带来了契机,从而创立了现代思维科学。有了钱学森院士创立的现代思维科学,才有今天意义上的思维科学。

第二节钱学森创立现代思维科学

一、恩格斯为什么对当时的思维科学概念不满意

恩格斯的不满意,原因有二:一是恩格斯认为自亚里士多德提出形式逻辑,就是引起人们争议的一门学说;二是马克思在《论费尔巴哈》一文中明确指出:“整体,当它在头脑中作为思维整体出现时,是思维着的头脑的产物,这个头脑用它专有的方式掌握世界。而这种方式是不同于对世界的艺术精神的、宗教精神的、实践精神的掌握的。”那么,马克思所说的“不同于对世界的艺术精神的、宗教精神的、实践精神的掌握的”方式又是什么呢?显然,当时的思维科学并没有回答这个问题。所以,对那个时期的思维科学,恩格斯自然是不会满意的。

二、钱学森院士创建现代思维科学

钱学森院士按照马克思、恩格斯关于思维科学的设想和建立思维科学的科学原则,创建了现代思维科学。

那么,什么是现代思维科学呢?钱学森院士明确提出:“开宗明义,思维科学只研究思维的规律和方法,不研究思维内容,内容是其他科学技术部门的事。”钱学森院士认为,现代思维科学体系,无论是基础层次,还是技术层次、工程层次,最终都要通过认识论这个桥梁与马克思主义哲学相联系。

钱学森院士以世界性的开放眼光,从纵横两个方面观察世界科学发展的风云。他认为,除量子力学、相对论展现自然科学的划时代的发展外,系统论、控制论、信息论、突变论、模糊数学、分型理论、超循环论,以及混沌论等揭示客观世界复杂性的理论,均属于非线性科学范畴。或者说,复杂性根源在于非线性。非平衡、不稳定、涨落、分叉、混沌等现象都在不断地告诉人们,以往那个还原论、机械论等以简单性求解复杂性的时代,已不能成为科学认识的航标了。

世界本质上是复杂的,法则简单的程序仅仅是个例外。同时人类思维规律也必须与此适应,这种趋同既符合“我们主观的思维和客观的世界遵循同一些规律”,又符合“随着自然科学领域中每一个划时代的发现,唯物主义也必然要改变自己形式”的原则。正因为如此,新兴科学,如非线性科学的出现,必然影响着思维形式的变革,这就预示着一统“天下”的“逻辑思维形式”被打破,从而符合恩格斯预言的“并不像庸人的头脑在想到‘逻辑’一词时所想象的那样”的思维规律将逐渐诞生。

钱学森院士在现代思维科学体系中,不仅提出了形象(直感)思维形式,而且还提出了灵感(顿悟)思维形式。可以预料,未来还会有多种与“非逻辑”“非线性”相关的思维规律,而学者们探讨的像直觉思维规律、模糊思维规律、拓扑思维规律、离散思维规律、超弦思维规律等,都有可能晋升到思维规律行列。

现代思维科学所揭示的“非逻辑思维规律”,不仅是对恩格斯思维科学概念的发展,而且还可视为现代思维科学的显著标志。

正因为现代思维科学诠释了非逻辑思维规律,才使得“创造”一词升华为创造性思维。正像钱学森院士所说:“凡是有创造经验的同志都知道光靠形象(直觉)思维和抽象(逻辑)思维不能创造,不能突破;要创造要突破得有灵感。”灵感就是非逻辑思维规律的典型代表。

创造思维学是一门新兴的学科,必须以“融汇中外,沟通古今”的学术境界,不断完善,使之服务国家创新工程、服务于教育创新的伟大实践。

研究创造性思维,积极、自觉地调动“潜能”,提升创造力,培育千百万创业、创造和创新的社会主义劳动者和科技人才。

研究创造思维学,大力弘扬个性,强化兴趣培养,注重“甘愿冒险”“独立性强”“一丝不苟”等思维品质的培养。

思维科学是一门大学问,各人有各人的体验和领悟。体验和领悟不同,思维能力也自然会有千差万别。但人人都应努力、都要以非凡的创造性思维彰显中华民族的理论思维能力。提升“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的高尚境界,为实现中国梦积聚正能量,攀登智慧至上时代的新高峰。

三、思维科学与认知科学异同

20世纪80年代,在世界上几乎同时出现了两门科学,一个是由钱学森院士创建的思维科学,一个是由心理学家赫伯特A.西蒙(Herbert A.Simon)创立的认知科学。这两门科学,都是以“内部宇宙——即装有词汇和想象力的人类的思维宇宙”为研究对象。东西方两位著名科学家将研究的目光聚集在同一目标上,是很不寻常的。科学技术发展表明,科学研究中的这种惊人的相似,意味着科学技术将面临着新的突破,由此带来的创意性生产力必然要导致新兴产业革命之诞生,也标志着从理论和实验上深刻认识人的大脑及其思维奥秘时代的到来。

认知科学与思维科学研究的对象是一致的,而研究方法却是相异的。认知科学是以实验方法为主对大脑这块灰白物质进行探究;而思维科学是用思辨的方法对大脑诸多精神现象进行猜想,假设式综合研究。从科学意义上说,这两种研究方法恰好实现了互补。

“大脑是人体最复杂的器官,破译大脑运转密码、揭开生命之谜,是令无数科学家殚精竭虑的艰难课题。”也可以说,探索人脑这个“小宇宙”的奥秘的课题,历史地成为世人必须着手解决的宏大工程。

脑科学研究热潮,正在全球兴起。人类的大脑是极其复杂的“小宇宙”,至今我们依然对其知之甚少。正如奥巴马先生所说:“作为人类,我们能够确认数光年外的星系,我们能研究比原子还小的粒子,但我们无法揭示两耳间三磅重物质(指大脑)的奥秘。”中国科学院院士杨雄里认为:“人类对大脑的认识是绝对真理,在某一个历史时期所认识的是相对真理,我们可以无限逼近大脑的奥秘,但不能穷尽。”这个说法是符合辩证法的。而欧美发达国家正大力强化前沿部署,抢占科技制高点,我们既要有紧迫感、危机感,又要有迎接挑战的战略思维,把握机遇的自觉性和自信心。

对“人脑项目”(Human Brain Project)这一关系着世界未来的伟大系统工程,我们必须树立战略思维,扩大思维空间,灵活转变思维方式,实施多学科交叉互补,让脑科学、认知科学、人工智能科学与神经学、思维科学、计算技术科学这些轮子都动起来。特别要充分发挥中国的现代思维科学优势,占领智慧的最高点。

第三节现代思维科学的体系

现代思维科学体系,包括抽象(思维)思维、形象(直感)思维、灵感(顿悟)思维、社会(集体)思维。

一、抽象(思维)思维规律

抽象思维规律也称逻辑思维规律,它是以概念为思维的起点,经过判断和推理,达到对客观事物的本质认识的思维规律。

创新者的抽象(逻辑)思维的基本单位是概念(定义、定理、规律等),它的一般意义是用理性来思考和表达。其特点是,用一般概括个别、扬弃事物的具体形态,要求思维结果精确化、条理化、系统化。它的思维过程,主要是先从概念出发,综合运用一般与个别、分析与综合、归纳与演绎、抽象与具体、逻辑与历史相统一等方法,进行科学判断并得出结论。

人们对抽象(逻辑)思维的研究是比较成熟的,很早就形成了一门科学———形式逻辑,它属于研究人类抽象思维规律最早的一门学科。研究概念、判断、推理及其相互联系的规律,研究结构方式的法则,研究人们在认识过程中怎样推论和论证,这是抽象思维所特有的逻辑结构形式。数理逻辑是形式逻辑的数学化,它将逻辑语言进一步形式化和符号化,以便借助数学来建立自己的严格演绎体系。发展到辩证逻辑后,才将研究抽象思维形式的矛盾、变化格局和发展规律,进一步实现科学化和系统化。抽象(逻辑)思维规律是通过概念、判断和推理具体形式表现出来的,它们的发展,必然随着实践和认识的深化而不断运动发展着。

由此可见,抽象(逻辑)思维形式对于创造者科学的认识创新活动是至关重要的。创造者常常在创新认识活动中,凭借着抽象(逻辑)思维的概念、判断、推理运动形态,在实践中全面地、准确地、发展地考察和把握事物的本质,从而提高创造性思维能力,更好地、创造性地实施创新工程。

二、形象(直感)思维规律

形象(直感)思维是人类思维史上最先形成的一种思维。不管是文学艺术家、科学家,还是普通老百姓,不管是科学研究,还是领导、管理和指挥工作,只要是人,是人的认识运动,形象(直感)思维作为与抽象思维不同的一种思维形式,总是普遍地被运用着。假如生活着的人,无论是说话,还是想问题,都只用干巴巴的逻辑推理,那么,这个世界就会变得毫无生趣。如果认识世界的时候,用客观存在的有形体、形象性信息来思维,这便是形象思维了。

形象(直感)思维的一般机制是:实践(观察)———类比——想象———模拟(相似)。运用形象思维于具体创新工程中,要坚持从各个不同角度,在全部相互联系的诸方面,同时捕捉信息。这里指的诸方面因素,既具有已知的外部特征,又有模糊的内部结构。

为了阐明观察、类比、想象、模拟(相似)在运用形象(直感)思维于创新认识活动中的地位,我们有必要把其中诸要素作一扼要论述。

观察,就是指创造者有目的、有计划地对创新工作的问题和现象进行考察的一种具体方面。观察的实质是一种科学的实践活动。巴甫洛夫说:“事实就是科学家的空气,没有事实,你们永远不能飞腾起来。”观察是获取感性信息的基本方法,是一切创新活动的首要步骤。

类比,就是指创造者把不同的(两类)对象进行比较,找出它们之间相似或相异的属性的一种思维方法。类比推理的出发点,是对象之间的相似性,而相似对象又往往具有多种多样的属性。根据两个对象在一系列属性上的相似,已知其中一个对象具有某种属性时,可类比推导出另一对象也具有该相似属性。因此,类比推理方法不同于演绎推理和归纳推理,是运用于形象思维的一种特殊方法。

想象,就是指创造者在原来的感性形象信息基础上,或在表象信息基础上,经过重新组合和排列,而重新创造出某种新形象信息的思维方法。法国哲学家伏尔泰指出:“想象有两种:一种简单地保存对事物的印象,另一种将这些意象千变万化地排列组合,前者称为消极想象,后者称为积极想象。”所以,想象是创造性形象思维发展的实在因素。

模拟(相似),就是指创造者根据已知对象的本质和特性,人为地选择或建立一种与已知对象(原型)相似的模型,并在所建立的模型上进行运筹和研究,经研究决策后的成果再推到原型中去,从而达到揭示对象本质的思维方法。用“笼天地于形内”“观古今于须臾”来描述模拟方法是恰当的。思维模拟是实现创造者思维升华的关键性环节。

人脑通过感觉和知觉活动获得事物的表象,然后通过想象对表象进行加工,从而得到新的形象,就是形象思维规律。

三、灵感(顿悟)思维规律

灵感(顿悟)思维是伴随着人类的形象(直感)思维和抽象(逻辑)思维一起发展起来的一种基本思维形式,但长时期不被人们所认识。我国著名科学家钱学森院士正确运用了理论思维的原则,科学地总结了自己和科学家们从事科学研究的宝贵经验,第一次鲜明地把灵感现象作为人类的一种基本思维形式提出来。

钱学森院士在《关于形象思维问题的一封信》中指出:“凡是有创造经验的同志都知道光靠形象(直觉)思维和抽象(逻辑)思维不能创造,不能突破;要创造要突破得有灵感。”他认为,创造性思维中的“灵感”是一种不同于形象思维和抽象思维的一种人类基本思维形式。

所谓灵感思维(或称顿悟思维),是人类一种基本思维形式,它的酝酿不是在显意识中进行的,而是在显意识的制导下,经过潜意识的整合推论,再涌现于显意识,表现为灵感。因此,灵感发生的机制则是:显意识———潜意识——显意识。也就是说,在人们有意识、自觉地追求下,潜意识中才可能有灵感的酝酿。而潜意识如何工作,不会被自己意识到,当潜意识孕育成熟的瞬间又必须借助相关诱因方能涌进显意识,再经显意识加工,形成灵感。因此,灵感形成是有条件的,是显意识与潜意识相互协同作用的结果。

灵感思维不同于抽象思维,也不同于形象思维,它是一种特殊的突发式思维。

灵感思维是一种非逻辑、非线性的思维,灵感思维有与抽象思维和形象思维不同的特征,如突发性特征、瞬间性特征、模糊性特征和独创性特征等。

四、社会(集体)思维规律

社会思维规律也称集体思维规律,它是说人的思维发生和发展是以集体(群体)方式形成的。社会思维规律反映了人类思维发生的同步性和一经形成后的共振性,它在创新实践中的意义重大,是不容忽视的一种重要思维规律。

恩格斯说:“什么是人的思维。它是单个人的思维吗?不是。但是,它只是作为无数亿过去、现在和未来的人的个人思维而存在。”“个人是社会的存在物”,人的思维不可能完全是一个人的,其中必然隐含着特定的群体思维。社会思维的本质特征有两个:一是集体性,二是社会性。