数学反例教学法研究论文

摘要现阶段我国高校积极探索高等教育大众化的背景下的多元特色教育模式，我校近年探索“721”人才培养模式，卓越工程师培养计划等有了一定的成果。改革教学模式和教学方法以提高学生的综合素质及创新能力也是许多工作在教学一线的大学老师正在思考和研究的课题。笔者结合自己在指导青年教师授课及工科数学教学中运用反例法的一些体会，在这里与大家探讨。以下是小编精心整理的《数学反例教学法研究论文(精选3篇)》的文章，希望能够很好的帮助到大家，谢谢大家对小编的支持和鼓励。

数学反例教学法研究论文 篇1：

高中数学“反例教学法”的模式研究

摘 要：反例教学法是指在教师指导下，根据教学目标和内容的需要，采用典型例题的典型错误解法或错误认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，达到真正完全掌握数学基本概念、性质，并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。

关键词：反例 典型 精炼

一、“反例教学法”的产生背景

目前，随着我国基础教育课程的逐步深入，课程理论研究正面临极好的机遇和极大的挑战，改革实践呼唤科学的课程理论给以指导，因此教学方法的改革将会是这个时代教育中最突出的特征，学生在课程教学中的主体地位，学生的主动学习无疑将日益突出，广大教育工作者必须全身心投入到教材教法的研究，勇敢地实践摸索出一些成功的教学方法，以适应时代的需要。然而，中学数学教学的现状令人担忧，广大地区存在教法落后、效果不佳等问题，其中教法的问题尤其明显，教师常常是凭借一支粉笔、一块黑板，一讲到底，采用“灌输式”、“填鸭式”教学方法是导致这种现象的现实温床或根源，松散低效的教学管理过程和片面的教学评价标准是形成这种现象的直接原因，一些数学教师本人也负有不可推卸的责任。在数学教学中运用“反例教学法”非常有利于改变上述状况，本文结合自己的教学实践，对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究。

二、“反例教学法”的定义

反例教学法是指在教师指导下，根据教学目标和内容的需要，采用典型例题的典型错误解法或错误认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，达到真正完全掌握数学基本概念、性质，并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。简言之，反例教学法实质上是指教师呈现少数例题，引导学生进行批判的一种教学方法。这种教学方法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法，它最早被运用于19世纪后半叶的法律教学中，教师选择个别犯罪案例进行剖析，让学生学习法学的基本知识和理论，以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中。

三、“反例教学法”的实施过程

采用反例教学法进行数学教学时，在教学过程中，教师的施教方法和学生的学习方法上都有一系列规范，主要反映在以下几个操作步骤之中。

1、选编反例。这是实施反例教学法的基础和前提，要动员教师集体编写反例，每个教师至少要准备 20～30个反例，这些反例具有一定的教学价值，编好之后，存入反例库中，随时供教学使用，选择和编排反例具体要求有以下几点：

第一，反例必须从教学实践中来，真实、生动。如果是教师自己编写的也必须符合客观实际。

第二，反例必须精炼。选择反例的数量不能多，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量地罗列反例，只需要选择那些高质量的少数典型反例。因为反例教学法是使教师和学生借助分析少数有代表性的反例，从而获得整体性、全面性的知识的方法，我们不可能在短时间里收集和列举所有的实际反例，可以抓住与某部分知识有关的几个典型例子加以剖析，从而把握概念的本质特征。

第三，反例必须典型。反例要能代表概念性质对象的特点，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质。

第四，反例必须有针对性。应该针对所讲的教学内容和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例。

第五，反例必须具有系统性。在教学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次地有序地编排，反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效。

2、呈现反例。反例的呈现应放在讲授基础知识之后，既可以在讲授某一块知识时显现，也可以在讲完一个单元或一个章节之后呈现，呈现的方式有以下几种：

第一，给每个学生印发一份文字反例。第二，运用投影仪将反例投射到黑板上。第三，教师利用多媒体技术呈现反例。第四，教师利用即时刺激或环境请学生板演制造真实的反例。

3、分析反例。对于同一个反例，每个学生可以发挥出不同的意义，有人只能找到浅层的信息，有人则能得到透彻的知识面，从而对症下药，教师要引导学生发现揭示反例的本质错误。分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来，为此，教师要做好启发引导工作，让学生综合运用所学的知识积极地去独立思考，大胆地交流研讨，同时教师要创设民主和谐的教学气氛，即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，可以让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性的探索。

四、“反例教学法”在教学中的重要意义

反例教学法强调借助实际材料来说明教学观点，所运用的实际材料具有较强的完整性、典型性、操作的过程具有规范性和系统性，又比较灵活、随意，反例在教学中虽处于次要地位或辅助教学地位，但他是培养学生主动性和能力的一种手段，是教师和学生共同活动的对象，是讲解知识的一种手段，它有利于学生更好地掌握各种数学理论知识。

反例教学法重视具有典型意义的教学内容，教学思路由特殊到一般，借助于精选的题材，培养学生主动学习、发现问题的独特思考能力，发展学生的创造力，其意义存在于以下几个方面。

1、能丰富和加深学生对抽象数学理论的理解，对数学概念、性质、定理有比较清晰的认识。教师运用的反例必须由简单到复杂，同时具有典型、形象、直观等特点，给人以身临其境的感觉，易于学习、理解，通过反例能加强学生的感知印象，有利于学生将所学知识内化。

2、能发展学生的综合分析能力和创造力。每个反例都有核心部分和枝节部分，要引导学生排除枝节部分的干扰，重点把握反例的核心部分。核心部分与概念性质有密切关系，但这种对应关系不是一一对应的简单联系，有时一个反例对应着三四个基本概念、性质。学生需要综合运用数学知识来分析反例中蕴藏的知识点，也需要从反例的线索引申开去，创造性地认识反例所反映的一般情形，独立地发表自己的见解。

（河北省邯郸市第四中学）

作者：赵　杰

数学反例教学法研究论文 篇2：

反例教学法在工科数学教学中的运用研究

摘 要 现阶段我国高校积极探索高等教育大众化的背景下的多元特色教育模式，我校近年探索“721”人才培养模式，卓越工程师培养计划等有了一定的成果。改革教学模式和教学方法以提高学生的综合素质及创新能力也是许多工作在教学一线的大学老师正在思考和研究的课题。笔者结合自己在指导青年教师授课及工科数学教学中运用反例法的一些体会，在这里与大家探讨。

关键词 工科数学 反例教学法 教学实例 实践研究

Research on the use of counter-examples Teaching

Method in Engineering Mathematics Teaching

XIONG Shuyan

（School of Science， Hubei University of Technology， Wuhan， Hubei 430068）

Key words instance of engineering mathematics； counter-example； teaching method； teaching practice research

0 引言

数学中的反例，是相对于数学命题而言的具体的实际的例子，通常指数学命题不成立的例子。它是反驳与纠正错误的一种方法，其实也算是一种反证法。调查发现，目前大学数学教材中很少有反例，某些数学课堂让学生感到枯燥无味的原因是太过程式化、老套及千篇一律，通常是照着教材讲完定义讲性质，然后再讲定理，最后举几个正面例子，学生表面上掌握了知识，可心中却有一些问题不知如何解决。其实一些老师也不愿意这样做，想改变教学方式及方法，但我们的教材的编写长期以来就是如此，使一些老师有“巧妇难为无米之炊”的感叹。一般当一个数学问题提出后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题，后者即为通常所说的反例。正如美国学者B.R.盖尔鲍姆等人所指出的：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧”。①这个比喻，形象地说明了“反例”在数学教学中起着重要的作用。理解反例在教学过程中的重要作用并在教学实践中运用反例教学法，应该引起广大一线数学教师的重视。

1 教学案例及体会

1.1 巧借反例指点相近易混概念迷津

极限概念教学一直以来是工科数学老师最头痛的事，很多老师以为自己在讲台上条理清晰、头头是道，但学生的反映通常是一知半解。比如无穷大量与无界量，有的老师对学生解释说：无穷大量就是绝对值无限增大的量，无界量就是你无法找到一个有界的范围可以将它包含在其中，听起来都对，可是学生却无法区分两者的不同，时间一长更容易混淆，根据定义学生一般会明白无穷大量必为无界量；但无界量不一定是无穷大量，老师通常却不怎么好解释。为此，可构造反例：函数 = 显然是（，）上的无界函数，因为对于任意正整数， 都有 = 2，使得 （） = 2>。但当→时，它并非无穷大，对于正整数， >0， = [ + 1]，使得 （） = 0<。②

1.2 恰当运用反例防止命题的错误迁移

一般学生在遇到新问题时总会用定势思维去思考解决，比如在学习“有界量与无穷小之积仍为无穷小”之后，我常常会问到：“有界量（0除外）与无穷大量之积仍为无穷大吗？”不少学生不假思索回答是。理论上的解释此时显得苍白无力，但一个生动的反例：当→0时，是无穷大，是有界量，而（） = 1。由于借用的是重要极限，学生学过之后能牢牢记住。

1.3 善于构造反例解释原函数与导函数的某种性态关联

高等数学以函数为研究对象，原函数与导函数的某种性态关联常常是学生很感兴趣的内容。比如可导奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数，导函数为奇函数时原函数为偶函数，但导函数为偶函数时原函数不一定为奇函数；同样原函数为周期函数则导函数为周期函数，但导函数为周期函数原函数不一定为周期函数。这样的结论学生很有兴趣但长久之后容易模糊不清。以（）表示原函数，（）表示导函数，只需精心构造一个反例：（） = + 1，（）= 1，这两个问题都能迎刃而解，由于反例很典型，顺势会激发学生的兴趣，既让学生记住了结论，又促使学生自己动手寻找更多类似的反例。

1.4 选择典型反例让学生深入理解数学定理及应用的局限性

在定理的教学中，选择生动实际的反例澄清错误是简洁高效的做法，特别是典型反例可用来说明定理的使用范围。促使学生在学习过程中形成严密推理、重视条件的好习惯。Rolle定理的三个条件只是充分条件，不是必要条件，但这三个条件都是很重要的，缺了其中一个，结论就可能不成立。反例：函数（）= ，[0，1]不满足条件（3）； 函数（） =∣∣，[，1]不满足条件（2）；均无水平切线。又如应用洛必达法则求极限时，特别要引起注意的是洛必达法则只是充分条件的法则，当导数之比的极限不存在时不能断定原来的函数之比的极限也不存在。反例：当→时，/ →1，但导数之比 + 1的极限不存在。

2 积累和选编反例

教学反例不像普通正面的例题那样随处可寻，临时构造反例也会显得困难重重，甚至由于教师的临时发挥不好会给出一个错误的例子，所以长期注意积累和选编反例是一个数学教师重视教学艺术的品格表现。一般可从如下几个方面进行思考：（1）特例法。（2）类比法。（3）性质法。③

3 放手鼓励学生构造反例，培养创新品质和求异思维

教学中通过讲解反例及解答学生的疑难促进学生深入理解概念并多角度地思考问题，学会发现问题、讨论问题、解决问题。恰当引入反例，体验反例构造的过程 ，不仅能开阔眼界、拓宽思路 、活跃思维，还能进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。教学实践表明，反例的出现可以迅速澄清学生对数学概念、定理及性质的模糊认识 ，深入透彻地理解所学内容，进而消除学生对高等数学的畏难情绪，增强学生学习数学的兴趣。但同时我们应该注意教学的主次关系，举反例重在明辩是非，反例只是作为围绕主要教学内容而进行的有效的辅助方法和手段。

4 结束语

综上所述，数学的发展与批判和反驳分不开，在构造反例的过程中学生的创造性得到了最大限度的发挥，通过反例教学法可实现教学相长，师生互促互进并使思维变得活跃、流畅、独特和富有创新性。

注释

① 廖仲春.高等数学教学中反例的作用.长沙航空职业技术学院学报，2006（2）：15-16.

② 吴志华.浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造.牡丹江教育学院学报，2008（3）：87-88.

③ 曹明响.浅谈反例在高等数学教学中的作用.合肥师范学院学报，2010（3）：15-16.

作者：熊淑艳

数学反例教学法研究论文 篇3：

浅议解决高中数学抽象问题的实施策略

摘 要：数学是一门抽象性的学科，要学好数学，要求学生具备良好的数学思维能力。刚进入高中阶段的学生，数学思维以形象思维为主，实现由形象思维向抽象思维的转化要以数学知识为载体，通过对高中数学概念的分析、命題的推理、规律的概括等达到训练学生思维的目的。

关键词：高中数学；抽象问题；解决策略

《数学辞海（第六卷）》认为，数学的抽象性来源于数学思维的逻辑严密性的要求，当研究对象的任何非本质的因素会妨碍逻辑思维时，数学就很自然地抛弃了非本质的因素。换句话说，数学思维是抽取数学对象的共同的、本质的属性，舍弃非本质的属性的思维过程。高中数学中，抽象问题的产生主要源于概念、命题以及规律，本文将有针对性的利用反例教学法、数形结合法、多媒体教学法对数学抽象问题加以分析和解答。

一、 反例教学法

美国数学家盖尔鲍姆曾说：“数学是由‘证明’和‘反例’组成，而数学发现也是朝着‘提出证明’和‘构造反例’两个主要目标进行的。”高中数学中，许多问题从正面推理难以攻破，需要在方法上借助构造反例对原问题加以证明，或者只有举出反例，才更容易理解。反例需要学生的推理、假设、证明和验证，不断地尝试错误从而达到真正的理解。反例教学法将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，很大程度上能够帮助学生得到正确答案，培养学生举一反三的能力。对反例的求解，实现对学生逆向思维的培养。

例如：在学习函数单调性时，多次强调函数的单调性是函数的局部性质。

比如说：函数y=1x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，它有两个单调区间，很多同学就认为函数y=1x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数。

对于这样的错误，通常采取构造反例的方式加以解释，对于任意的x1∈（-∞，0），x2∈（0，+∞），则x1

二、 数形结合法

高中数学研究的对象无非就是两部分，一部分是数，另一部分是形。数与形是有关联的，这个关联称之为数形结合。数形结合是解决函数问题、方程与不等式问题、解析几何问题等的重要体现。我国著名数学家华罗庚曾说：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休。”数形结合法将抽象的数量关系、数学语言与直观的几何图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”让抽象思维与形象思维发生碰撞，能够将抽象的问题直观化并且具有可操作性。

例如：（2017年高考新课标Ⅱ卷理数第5题）设x，y满足约束条件2x+3y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0，则z=2x+y的最小值是（ ）

A. -15

B. -9

C. 1

D. 9

分析：关于二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题，需利用平面区域体现二元一次不等式（组）的解集，借助数学结合思想解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的最值与最优解问题。

解：作出x，y所满足的约束条件的可行域，如图1中阴影部分ABC。

z=2x+y经过可行域的B点时，目标函数取得最小值，

由2x-3y+3=0y+3=0，解得B（-6，-3），

所以zmin=2×（-6）+（-3）=-15。

故选A。

三、 多媒体教学法

多媒体教学已经是中小学课堂教学的新常态。多媒体教学能够激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性和主动性。特别是在有关几何图形内容教学中，通过使用色彩和动画方式，将静态的知识与动态的图形结合起来，以直观、形象的方式加以表达，能让学生准确把握住对象变化的规律，从丰富的表象中体验知识的形成过程。

例如：已知函数f（x）=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围。

（1）函数有两个零点；（2）函数有三个零点；（3）函数有四个零点。

分析：对于抽象函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数问题，利用函数的零点存在定理讨论比较困难，可转化为函数f（x）=|x2-2x-3|与函数g（x）=a图像的交点个数问题。

解：设f（x）=|x2-2x-3|，g（x）=a，分别作出这两个函数的图像（如图2），它们交点的个数，即函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数。

（1） 若函数有两个零点，则a=0或a>4。

（2） 若函数有三个零点，则a=4。

（3） 函数有四个零点，则0

本题中，函数f（x）=|x2-2x-3|的图像是确定不变的，函数g（x）=a的图像可以是任何一条平行于x轴的直线。因此，借助于几何画板软件用动画的形式展示当a的值发生变化时，函数的零点个数就会发生改变。这种教学方式有利于将几何图形的变换过程直观的展示在学生眼前，有利于学生归纳求这一类抽象函数的零点个数的方式方法。

四、 结束语

数学抽象思维能力的培养是解决高中数学抽象问题的关键，这既是一个系统的过程，也是一个缓慢的过程。教师要充分考虑高中生的数学抽象思维特点，让学生进行合理的思维活动。

参考文献：

[1] 仲崇猛.在反例中求正解[J].黑龙江教育（理论与实践），2015（2）：53-54.

作者简介：黄渝夏，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院；

叶小红，重庆市，重庆市江北中学校；

李坤，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。

作者：黄渝夏 叶小红 李坤