二倍角的三角函数的教学反思

二倍角的三角函数的教学反思（通用9篇）

篇1：二倍角的三角函数的教学反思

《试卷讲评》的教学反思

16、（本小题满分12分）已知tan2．

1求tan的值；

4sin22求sin2sincoscos21的值． 

（一）公式的推导：本节内容是由和角公式推导出来的，前面已经学习两角和与差的三角公式，学生掌握较好的情况下，我并没有像常规教学一样先复习和角公式，而是一上课就给出课题，让学生猜测什么叫“二倍角”，并提问2的正弦、余弦、正切能否用的三角函数表示出来，能否用前几节课学习的内容推导出来？留几分钟的时间给学生推导及讨论，可得出二倍角的三角函数公式：（1）Sin2α=2Sinαcosα（2）cos2cossin（3）tan2222tanα 21tanα观察公式（2）提问，等式右边减号变加号是什么式子，公式（2）有其它表示形式吗？得出cos2另外两种表示形式。

cos22cos2112sin2

注意点：

①对“二倍角”的认识，如2是的二倍，4是2的二倍，是的二倍，15的二倍是30等等。理解二倍角是相对的。

②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程。③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）。其次，在对二倍角公式理解、掌握的基础上讲解例题：

（二）例题的挑选 1.已知sin0000 的二倍，30是1525,(,)，求sin2,cos2,tan2 1322．求证1sin2cos2tan

1sin2cos223.求函数f(x)=cosx-sinxcosx,x∈R的最大值和最小值.以上内容共花2课时，例题与练习穿插使用，做到讲练结合，同时，补充书上的课堂练习，让学生独立完成。通过这种形式，即发挥了教师的教学主导作用，又有效地调动了学生的自主探究学习。这样也顺带回顾一下本节课的主要内容。在这些题目中我们还是可以发现这样一些命题规律：函数解析式由简单变复杂，由一上来就能分参化最值洛必达到经过很好的转化才能更快更准确的求解，变为构造小区间验证分类讨论的思想.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2．

1求直方图中x的值；

2求月平均用电量的众数和中位数；

3在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？

四、课堂教学反思 在课堂教学过程中，将教师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来，圆满完成了本节内容的教学任务。并且，在自己的努力下，课堂教学中有些环节上有了很大的进步，特别是注重了教学设计与板书。但作为中年教师，还有很多不足之处，譬如：从自身的角度看，和学生的交流做的不够、讲与练时间控制的还有待加强，特别在督促学生动笔书写方面；从学生的角度看，学生灵活运用公式的能力较差，及计算能力也有待加强。总之，本节内容的教学还是比较成功的，当然也有不足之处，在今后的教学工作中，需不断总结、反思。作为数学教师，一方面要激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到每解决一个数学问题，就有一种成就感；另一方面，更重要的是教师本人要不断提高自己的专业水平。在总结、反思中不断提升自己的教学水平，以适应课程改革的教学需要。

篇2：二倍角的三角函数的教学反思

高一数学组 王 旭

上周四（6月20日），笔者在学校双语室进行了《二倍角的正弦和余弦公式》（第一课时）的公开教学。为了改进教学，进一步提高课堂效率，笔者结合听评课教师的建议，做如下几点反思：

一、值得肯定的地方

首先，教学能够针对学生学情，简化教材内容，编制的导学案适切性强，练习难度，数量恰当，有实效。由于授课班级学生是文科生，数学基础较为薄弱，所以笔者并未按照教材所给出的例题和练习实施教学，而是将重点集中在公式正向和逆向应用上，并且题目仅限于求值计算。教学目标落脚在学生能够通过一些简单的运算熟悉公式，并学会应用公式初步解决一些简单的问题。课堂中，教师先示范练习，接着让学生对同类型的题目进行操作练习，加深印象。从课堂多数学生的表现来看，教学目标达成度较好，受到听课教师的肯定。

其次，表述清晰，并能耐心的对学生进行指导。听课教师认为，笔者在授课过程中，语速适中，声音洪亮，表述清晰，对有困难的学生能够给予耐心的引导。

二、需要改进之处

首先，进一步加强教学内容讲解的精细化程度。一，对于所授班级的学生的数学水平而言，可能无法一下把握公式的结构，所以在推导出公式之后，不必急于讲授例题，或者进行练习，应该先对公式的结构进行分析，先让学生对公式的各部分有较为明确的认识，对于易混淆的地方要进行类比区分，比如余弦的二倍角公式和正、余弦的同角三角关系式仅相差一个正负号，可进行类比，加深学生认识，避免记错。二，在讲授二倍角的余弦公式的3种形式的时候，也可以解释一下为什么在给出第一形式后还要给出另外两种形式（第一种形式即便能表示成只含有一种三角函数的形式，也会比较复杂），帮助学生理解公式多种形式的必要性。三，计算过程的示范要详细。对于数学基础薄弱的学生而言，计算很可能是他们解题过程中的一道障碍，所以教师要更为详细的示范计算的过程，特别是当数值较大，含有分数或根号时。

再者，进一步丰富教学组织形式和教学手段。在教学组织形式上，可以适当分组，让能力较强的同学帮助能力弱的同学，通过“兵教兵”提高课堂效率。在教学手段方面，不要局限于黑板演算，单一的展示方式和色彩，会使内容的呈现缺少生动性。应该注重多种展示方式的使用，如实物投影和电子白板，即便在板书时，也要注意多种色彩粉笔的使用，减少学生的视觉疲劳。注意各种符号和标记的使用，在需要强调或者区别的地方要标注不同色彩的符号突出重点。在讲授时，要尽量运用各种肢体语言和眼神，吸引学生注意。一位听过课的老教师说：“一个肢体动作很可能成为破解学生难题的钥匙。”

最后，要求与激励并重。对于学生，一方面要严格要求，一方要主动激励。在课堂上，当学生给出正确的回答之后，要发自内心的及时给与鼓励和表扬，让学生获得成就感。在一次次的表扬中，增加学生学习数学的信心和兴趣。特别是对于基础薄弱的学生而言，激励的作用尤为重要，这也是拉近师生距离，建立良好师生关系的关键环节。

三、改进措施

首先，继续细致研读教材，基于学生学情实施教学，并在教学内容的精细化处理方面作更多的努力。

再者，通过请教前辈和阅读相关书籍，学习多种教学策略和教学手段，并在课堂中进行尝试。

篇3：《二倍角的三角函数》教学反思

一、教学要求分析

1.熟练掌握正弦、余弦和正切的和角公式, 并在此基础上推导出二倍角公式。

2.掌握正弦、余弦及正切的二倍角公式, 能灵活运用相关公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

二、教学内容分析

二倍角公式这一节内容在本章是一个重点。首先, 二倍角公式是和角公式的特殊形式。其次, 二倍角公式的应用也比较广泛, 在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及。

三、教学过程分析

(一) 公式的推导:

本节内容是由和角公式推导出来的, 前面已经学习了两角和与差的三角公式, 我没有像常规教学那样先复习和角公式, 而是一上课就给出课题, 让学生猜测什么叫“二倍角”, 并提出2θ的正弦、余弦、正切能否用θ的正弦、余弦、正切表示出来, 能否用前几节学习的内容推导出来?留几分钟时间给学生讨论, 可得出二倍角的三角函数公式:

(1) Sin2θ=2sinθcosθ

(2) cos2θ=cos2θ-sin2θ

(3)

观察公式 (2) 提问:等式右边减号变加号是什么式子?公式 (2) 还有其他形式吗?得出cos2θ的另外两种表示形式:

(二) 例题的挑选

1.已知

2.求证:

3.求函数f (x) =cos2x-sinxcosx, x∈R的最值。

4.在半圆形钢板上截取一块矩形材料, 如何做才能使此矩形面积最大?

例题1是二倍角公式的一个直接应用, 稍加演示即可;例题2可让学生先观察等式, 共同分析, 等式左边复杂, 右边简单, 等式左边出现2θ, 右边出现θ角, 得出思路:把2θ的三角函数转化成θ的三角函数, 证明过程由学生自己来完成;例题3可以结合以前三角函数求最值的一般思路:转化成f (x) =Asin (wx+φ) +k的形式, 从而引导学生利用降幂公式进行化简;例4只要适当指点, 就可以完成。

通过上述的实例和解释, 使学生对二倍角公式的理解更深刻, 包括对其的灵活应用。

(三) 例题的挑选

1.sin22°30′cos22°30′=

以上内容共花两课时, 例题和练习穿插使用, 做到讲练结合, 同时补充书上的课堂练习, 让学生自己完成。这样既发挥了教师的主导作用, 又体现了学生学习的主体地位, 同时也回顾复习了本节课的主要内容。

篇4：二倍角的三角函数的教学反思

“二倍角的正弦、余弦、正切”的课堂教学内容较多，分三课时，主要的公式有倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式，以下是对第一课时的教学设计。

以往对于本节课的教学感觉是公式多、逻辑性强，但并不难讲，往往是把公式在黑板上给学生推导出来，让学生强化记住，然后会用公式解决问题就达到目的了，结果教师和学生都感到很枯燥乏味。

按照《数学课程标准》的要求，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．那么，如何在教学中体现这个过程，怎样才能使学生积极主动地学习，让学生养成独立思考、积极探索的习惯呢?

一、创设问题情境，激发学生的学习兴趣

以本章引言中与学生的生活直接相关的绿地面积问题引入新课，培养学生数学建模思想，激发学生的学习兴趣。

S＝a²·2sinθcosθ这是以θ为自变量的函数，当θ取什么值时使s达到最大呢?

在上节课的基础上，提问正弦、余弦、正切的和角公式，欲扬先抑，温故而知新。

二、公式推导

在正弦、余弦、正切的和角公式的基础上请学生推导出：

循序而渐进，在已有知识的基础上将一般化归为特殊，新知识的提出和学习符合学生的认知规律。

提出问题：除以上的用单角的三角函数表示倍角的三角函数公式外，你还能够写出更多的公式吗?

给学生充分的自由，引导学生去探索，对于倍角的余弦、正切，学生一定能写出更多的公式，教师给予鼓励。(学生很可能会发现万能公式和二倍角的余弦公式的其他形式。)让学生体验数学公式发现和创造的历程，发展他们的创新意识．

三、例题探索

给学生时间阅读教材中的例题，培养学生的阅读自学能力，发现问题、解决问题的能力和数学应用意识。

求2a的正弦、余弦、正切。

提出：如果改变条件，已知角的余弦或正切，其他条件不变，怎样解?

把问题交给学生，源于课本又不拘泥于课本，找学生在黑板上演示，其他同学在做完后评议，对于一部分学生进行的是学习形式化表达的训练，对于全体学生则强调对公式本质的认识，特别是对于万能公式的运用一定会给很多学生留下深刻的印象，但不做进一步的强调，尽量达到一题多解，培养学生的发散思维。

例题2

提出问题：请问你在阅读的过程中发现了什么问题?

给学生时间考虑、讨论，培养合作交流的学习方式．学生很有可能发现不了问题。

在教材的证明过程中说“原式等价于

请同学们考虑以上两个式子等价吗?

对于三角恒等变换主要从变角、变名、变式着手．由于三角函数式一般都是复合函数，角是中间变量，所以对三角函数式变换中的角的处理显得特别重要，一定要注意角的范围。

引导学生去发现等式(1)与(2)中角的范围是否一样。

教材中说(1)式与(2)式等价，对吗?怎样证明才能使角的范围不变呢?

教材对于这个例题的处理我觉得欠妥当．把要证明的等式中的角的范围缩小了，并不是等价变换．而且这个问题也是学习三角中最容易出现的错误，通过这个教材中的错误教育学生用批判的态度学习，进一步研究正确的解法，由学生给出，学生的学习兴趣高涨，注意力高度集中。

让学生经历观察发现、归纳类比、抽象概括，提高学生的数学思维能力，对课本中的每个习题达到举一反三、一题多解，培养学生的发散思维及思维的灵活性。

四、课堂练习

引言中习题的解决．前后呼应，满足学生的表现欲．

五、总结反思

1．学生总结倍角公式．

2．与学生共同总结倍角公式与和(差)角公式的内在联系

3．对于由学生创造出的公式给予鼓励和肯定．

4．强调在运用公式解题的过程中要注意的地方，

如：角的范围等，同时鼓励一题多解，从不同的角度观察问题。

在本节课的教学设计中，以实际生活中的例子为引子，遵循情境性原则和实践性原则，由学生阅读课本，去探索和发现问题，不单纯地教课本，而是用课本来教，体现开放性原则，师生共同发现问题、解决问题，交互合作，体现交互性原则，通过对于例题的深入发掘，培养学生思维的发散性、灵活性，引导学生勇于用怀疑的、批判的目光去看待数学，这样才能有所突破，有所创新，培养学生的创造性思维．

丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，作为教师如何在《数学课程标准》下改进教学方式、提高课堂教学效率?深入发掘教材、钻研教学理念是最好的途径，而师生互动的课堂教学又是进一步提高教学水平的平台，厚积而薄发，学无止境，教也无涯，让今天比昨天教得更好，

(作者单位：伊春市第一中学)

篇5：二倍角的三角函数的教学反思

设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。

教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。

“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：

1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。

教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形

时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

教学重点、难点

重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。

难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。

教学过程

一、复习启发、设置情景、引出正题

1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式

（学生回答，教师板书）

2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系

时，公式变为什么形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。

学生板书：

3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果

（学生回答：左边角均为

4、引入正题

师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美

教师板书（放幻灯片），右边角均为，具有“二倍”关系）

二倍角公式简记为

即为我们今天要学习的二倍角公式

【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的】

二、引导探究、深化认识

1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联系

2、（探索性提问）对

中的平方联想到，有无其他变式？

：

（学生探索、总结得出两种变式：

3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？

（学生：不能，要注意公式成立的条件）

引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件）

指出：尤其注意

【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】

4、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片）

（1）填角

成立的条件

【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】

三、巩固公式，学习应用

出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。————放幻灯片

（第一组学生做）例

1、不查表,求下列函数值

【设计意图：通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解,巩固二倍角公式】

(第二组学生做)例

2、已知

讲评：此题目中对角，求的值。

有范围限制,做题中应注意什么?仅知道

值时,要灵活应用

值,欲求二倍角正三种等价形式,弦、余弦、正切,先需要知道什么?„ „在求并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性

【设计意图：由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题经验,做后反思】

(第四组学生做)例

4、【设计意图：】

四、提炼总结——放幻灯片

（1）在两角和的三角函数公式角的三角函数公式

（2）

中角

没有条件限制，而

中，只有

中，当

时，就可得到二倍

。说明：后者是前者的特例。

时才成立。

（3）二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。

有三种形式：件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】

五、作业布置：

教科书P150习题3.1A组14、1

5【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】

设计思路：

。要依据条

1、本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算。

2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。

3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意识，提高数学素养。

4、以公式特殊情形

为主线

板书设计： 以学生发展能力为目的

化简为切入点

篇6：《二倍角公式》教学反思

根据上级教育主管部门关于高效课堂走进职业教育的安排，我校近期组织相关教师开展了高效课堂在文化基础课、专业课上的尝试，作为高效课堂我校职业教育课堂的开始，我根据高效课堂教学模式的相关理论，在本班数学教学中展开了积极的实践和探索。本节《二倍角的正弦、余弦、正切公式》新授课，正是对高效课堂的实践和探索。

通过近期的教育教学实践，我认识到高效课堂下的数学教学是否有效，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好。如果学生不想学或者学了没有收获，即使教师教得很辛苦也是无效教学。这就要求教师注重课堂这个冲锋陷阵的主阵地，它不只是看你备课、上课的认真程度，更关注一个教师对课堂结构的把握，节奏的安排，时间的掌控以及对学生学习方法等等多方面的考虑。以下是我的一点体会：

一、课堂教学模式应简单实用

教学中都是采用的“合作-探究”的教学模式。在教学中，老师引导，小组合作，共同探究，然后再做全班展示汇报。做汇报的学生要讲出思路、讲出方法、讲步骤„„，汇报展示之后，台下的学生如果谁有疑问，谁就可以随时站起来进行质疑，主讲学生能释疑的就进行讲解，而老师则适时作出补充。这样的课很有效率，教师讲得很少，真正把课堂还给了学生，把时间还给了学生，把教师的“一言堂”变成了“群言堂”，为了让学生真正成为课堂的主人，在数学教学过程中,对于学生的提问,教师不必作直接的详尽的解答,只对学生作适当的启发提示,让学生自己去动手动脑,找出答案,以便逐步培养学生自主学习的能力,养成他们良好的自学习惯。课上教师应该做到三“不”：学生能自己说出来的，教师不说；学生能自己学会的，教师不讲；学生能自己做到的，教师不教。尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的数学认识，激发学生的数学情感，促进学生数学水平的提高。这样的教学模式真正达到了“低耗时高效率”的教学目的，老师教得不累、教得轻松，学生学得快乐、学得扎实，并且效果相当好。同时也体现了以教师为主导，以学生为主体的教学思想。

二、其次教师要转变教育教学的方式。

要注重学生实际，从学生的学习、生活实际出发，从学生的学习爱好、生活乐趣着手。新的课堂是不可能单纯地依靠知识的传承、讲授、灌输来形成的，必须改变教学策略和改进教学方法，改变学生的学习方式，把学什么变成怎么学，把被动地学转为主动地去学。

三、在课堂教学上突出了精讲巧练，做到堂上批改辅导和及时的反馈。

由于人数较多，学生的数学层次参差不齐，有针对性的辅导还不完善。另外学生学习的参与度还可以提高，体现在小组讨论、新知识的举例交流等合作学习，本班学生的学习方法比较单一，可加强学法的指导。

四、在数学教学过程中，讨论是情感交流和沟通的重要方法。教师与学生的讨论，学生与学生的讨论是学生参与数学教学过程，主动探索知识的一种行之有效的方法。高效课堂要求教学要依照教学目标组织学生充分讨论，并以积极的心态互相评价、相互反馈、互相激励，只有这样才能有利于发挥集体智慧，开展合作学习，从而获得好的教学效果。我认为高效课堂下教师高超的教学艺术之一就在于调动学生的积极情感，使之由客体变为主体，使之积极地、目的明确地、主动热情地参与到教学活动中来。

五、课堂上教师可以采用“小组合作学习”的教学形式，以小组成员合作性活动为主体。学生在小组内相互讨论、评价、倾听、激励，加强学生之间的合作与交流，充分发挥学生群体磨合后的智慧，必将大大拓展学生思维的空间，提高学生的自学能力。另外，教师从讲台上走下来，参与到学生中间，及时了解到、反馈到学生目前学习的最新进展情况。学生出现了问题，没关系，这正是教学的切入点，是教师“点”和“导”的最佳时机。通过学生的合作学习和教师的引导、启发、帮助，学生必将成为课堂的真正主人。

六、在课堂教学过程中，真诚交流意味着教师对学生的殷切的期望和由衷的赞美。

期望每一个学生都能学好，由衷地赞美学生的成功。我认为，作为教师，应该在数学教学过程的始终，都要对学生寄予一种热烈的期望，并且要让学生时时感受到这种期望，进而使学生为实现这种期望而做出艰苦努力。教师在数学教学过程中以肯定和赞美的态度对待学生,善于发现并培养学生的特长,对学生已经取得或正在取得的进步和成绩给予及时、充分的肯定评价,从而激发学生的自信心、自尊心和进取心,不断将教师的外在要求内化为学生自己更高的内在要求,实现学生在已有基础上的不断发展。

七、高效课堂教学模式下要求教师在数学教学过程中充分理解和信任学生。

理解是教育的前提。在教学中教师要了解学生的内心世界，体会他们的切身感受，理解他们的处境。尊重学生，理解学生，热爱学生，只要你对学生充满爱心，相信学生会向着健康、上进的方向发展的

八、改变单纯以成绩高低评价学生的学习状况的传统评价手段，逐步实施多元化的评价手段与形式。

既关注学生知识与技能的理解与掌握，又关注学生情感与态度的形成与发展；既关注学生的学习结果，又关注他们在学习过程中的变化与发展。我所教班的学生生性好动任性，自制的能力比较差，学习基础薄弱，为此，我在反复教育的基础上，注意发掘他们的闪光点，并给予及时的表扬与激励，增强他们的自信心。如孟文磊同学身有残疾，平时不按时上交作业，但是该生课堂反应及时准确，我及时在班中表扬了他，使其感到不小的惊喜，并在之后的学习中更加积极。有好几个学生如杨邦栋、景瞳、姜妍数学基础较差，接受能力较弱，我反复强调会与不会只是迟与早的问题，只要你肯学。同时，我加强课外的辅导，想办法让他们体验学习成功的喜悦。经过高效课堂的实施，我深感在教学的理念上、教师与学生在教与学的角色上、教学的方式方法上、师生的评价体系上都发生了根本的转变，这都给教师提出了新的挑战，因此，只有在教学的实施中，不断地总结与反思，才能适应新的教学形势的发展。

事实证明，小组互助学习在培养学生合作与交流能力的同时，调动了每一个学生的参与意识和学习积极性。不仅有助于学生的交流，而且对于后进生的转化，尖子生的培养都是一种有利的形式。

九、我认为高效课堂的教学模式对传统教学方式做出了以下五方面的重要和深刻的改革：

（一）、课堂教学模式的改革：改教师讲学生听的教学模式为学生先自主学习、教师据学情施教的模式。

（二）、教师工作方式的改革：改备课、上课、批作业为编制学案、查研学情、设计导引。

（三）、学生学习方式的改革：改学生先听讲后做练习的方式为学生先自主学习，再与教师互动交流的方式。

（四）、改革教案作业要求方式：改教案编写为学案编写，改作业为课堂过关检测。

（五）、改革课堂布局模式：改过去人人面向黑板的座次布局为以六至八人为一组的小组同学围坐布局，实施有助于小组互助学习的课堂布局。

篇7：二倍角公式的运用

教学内容：导数的应用

（一）【学习目标】

利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值、函数在连续区间［a，b］上的最大（小）值，培养数学思维能力．

【高考试题剖析】

91．曲线y＝x在点（3，3）处的切线倾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函数f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的单调性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数． 【答案】增函数

3．函数y＝1＋3x－x3有（）A．极小值－1，极大值1

B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2

D．极小值－1，极大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函数y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）检验知，当x＝2时，y极小＝－15．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面说法正确的是（）

A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C．对于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，则f（x）无极值 D．函数f（x）在区间（a，b）上一定存在最值

【解析】极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，因此，极大值不一定是最大值，A错．由于函数的最值可能在端点取得，因此最大值不一定是极值，B错．

22对于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，当|p|<6时无实根，而f（x）在R内可导，因此f（x）无极值．

【答案】C 【典型例题精讲】

1［例1］研究函数f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的单调性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2b当a＞0时，f′（x）＞0，则x＜

2b33a或

22xbb33a，2bf′（x）＜0时，b33a2xbb33ab32，(,所以f（x）在在[bb3a2b2b33a],[b3a,)上单调递增，3,bb3a3]上单调递减．

[当a＜0时，同样可得f（x）在bb3bb3,]3a3a上单调递增，b3222bb323a3a在（－∞，＋∞）上单调递减．

432［例2］偶函数f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图象过点P（0，1），且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的极值．

【解】（1）∵f（x）是偶函数，∴b＝d＝0．又图象过点P（0，1），则e＝1，此时f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切线的切点（1，－1）在曲线上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[ba52,c92，∴

f(x)52x4923x12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通过列表可知：

341当x＝±10时，f（x）极小＝－40

当x＝0时，f（x）极大＝1 1［例3］曲线y＝3x6上哪一个点的法线在y轴上截距最小?（所谓法线是指：过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线）

1【解】在曲线y＝3x6上任取一点（x，y），过该点切线的斜率为k＝2x5

1∴法线的斜率为－2x．

51∴法线的方程为Y－y＝－2x（z－x）

5Yy令z＝0，得法线在y轴上的截距：

12x4x6312x

4xx则

令Y′＝0，得x＝±1 当x＜－1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当－1＜x＜0时，Y′＞0，则Y单调增加； 当0＜x＜1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当x＞1时，Y′＞0，则Y单调增加； Y2x5252(x1051)51从而当x＝±1时，Y取得最小值为6，此时点（±1，3）为所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1时取得极值，且f（1）＝－1，（1）试求常数a、b、c的值；

（2）试判断x＝±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由．

【分析】考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）＝0的根建立起由极值点x＝±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函数的极值点

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)xxx(x1)(x1)22，∴f′（x）＝222（2）

当x<－1或x>1时f′（x）>0，当－1

【注】本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．

［例5］证明方程sinx＝2x只有一个实根：x＝0．

【证明】构造函数f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数． 由①、②、③解得：

a1,b0,c3a12,b0,c3又当x＝0时，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一实根x＝0． 【注】本题体现了函数思想的应用．

【达标训练】

1．函数y＝（x2－1）3＋1在x＝－1处（）A．有极大值

B．有极小值 C．无极值

D．无法确定极值情况

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但当x∈（－∞，－1）时，y′<0，当x∈（－1，0）时，y′<0，因此当x＝－1时无极值．

【答案】C 2．设y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，则a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意实数 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函数y＝sin2x－x，x∈

[,22上的最大值是___________，最小值是_________．

32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(而端点6)326,f(6)6 ,f(2),f()222

所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函数f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上单调递增，则a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求证：当|x|≤2时，|3x－x3|≤2． 【证明】设f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）当x＝±1时，f′（x）＝0 当x＜－1时，f′（x）＜0 当－1

16．设f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；

（2）当x∈［－1，2］时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函数的单调增区间为（－∞，－3）、（1，＋∞），单调减区间为（－3，1）（2）原命题等价于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函数y＝xlnx的极值． f(1)11,f(2)522,f(1)72，1【解析】定义域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

212121212令y′＝0，得：x＝e时，y′>0，12，当0e∴y在（e12，＋∞）上是增函数．

1211∴x＝e时，y有极小值（e）2（－2）＝－2e．

【解题指导】

掌握求给定函数的单调区间、极值、最值的一般方法，会求已知曲线在指定点处的切线的斜率．

【拓展练习】 备选题

1．求y＝excosx的极值．

【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

35当x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）时，y′<0，f（x）为减函数；当x∈（2kπ－4π，2kπ＋4），k∈Z时，y′>0，f（x）为增函数，因此，当x＝2kπ＋4（k2∈Z）时，y有极大值2·e2k4（k∈Z）．

52当x＝2kπ＋4π（k∈Z）时，y有极小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m为常数），在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值为f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函数y＝3x2－2lnx的单调增区间为_____；减区间为_____． 【解析】函数的定义域为：（0，＋∞）

42k52300，得x>3，∴单调增区间为（3，＋∞），由y′<0，得

3∴单调减区间为（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲线y＝4－x2（x>0）上与定点P（0，2）距离最近的点． 【解】设曲线y＝4－x2上任意一点为Q（x，y），则

4|PQ|＝

2423设f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，则f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x0)(y2)22x2(2x)22x43x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又当0

32时取极小值，因为f（x）只有一个极3当x>2时，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值点，因此该极小值也是最小值，相应地|PQ|也取得最小值，这时Q点坐标为（22），35,22）即与点P（0，2）最近的点是Q（．

注：如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点（单峰函数），那么极小值即为最小值，极大值即为最大值．

学科：数学 教学内容：导数的应用

（二）【学习目标】

利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力．

【高考试题剖析】

x1）的单调性是______________．

lgelgex2(1xx)(1)222xx11x 【解析】y′＝xx1lge021x，所以f（x）在R上是增函数． 1．函数f（x）＝lg（x＋【答案】增函数

212．已知一直线切曲线y＝10x于x＝2，且交此曲线于另一点，则此点坐标___________．

313【解析】∵k＝y′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切点为（2，0.8），切线方程为6x－5y－8＝0

x2x4,联立解得y0.8y6.4 所以另一交点为（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等边三角形当高为8 cm时，其面积对高的改变率是__________． 13xy106x5y801【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函数y＝x3＋3x2－24x＋12的极小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，检验知：当x＝2时，y取极小值－16． 【答案】－16

【典型例题精讲】

1［例1］当x＞0时，证明ln（1＋x）＞x－2x．

21【证明】设f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定义域为（－1，＋∞），1x1f′（x）＝x1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函数

由增函数定义知：当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 x1x201所以当x＞0时，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］设f（x）＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，则f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此时f（x）只有一个单调区间，矛盾；若a＝0，则f′（x）＝1>0，此时f（x）仍只有一个单调区间．

2(x若a<0，f′（x）＝3a·

13a)(x113a，综上可知a<0时，f（x）恰有

113a，＋∞），增区间为（－

3a)三个单调区间，其中减区间为（－∞，－

3a）和（，13a）．

［例3］用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积? 【解】设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x＋0.5）m，高为（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 设容器的容积为y m3，则有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

从而，在定义域（0，1.6）内只有在x＝1处使y′＝0，由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x＝1时，ymax＝1.8，此时高1.2 m．

3【答】容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m． ［例4］一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

33【解】设船速为x（x>0）公里/小时，燃料费是Q元，则Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，总费用y＝（500x2＋96）·x3500x2966x，∵y′＝500x96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于该函数在（0，＋∞）内有惟一的极值点是极小值点，所以该极小值是最小值．因此，当船速为20公里/小时时，航行每公里的费用总和最小．

［例5］直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得单调增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得单调减区间为（－1，＋1），检验知x＝1时，f（1）＝－2是极小值，当x＝－1时，f（－1）＝2是极大值，结合图象知：

当－2

【达标训练】

1．证明双曲线xy＝a2上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．

a2【证明】设y＝x上任一点为Q（x0，y0），则

ky|xx0ax22|xx0a22x0，∴切a22线方程为：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，则xx0y0x0a22x0ax0a2222x0

yy0令x＝0，则

a2x02

x0y0ax02a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

22．当0

【证明】令f（x）＝x－sinx，则当0＜x＜2时，f′（x）＝1－cosx＞0 ∴f（x）在（0，2）上单调增加，而f（0）＝0，∴当0＜x＜2时，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－x，∴ｇ′（x）＝cosx－

当0＜x＜arccos时，ｇ′（x）＞0，则ｇ（x）单调增加；

2＝0

当arccos＜x＜2时，ｇ′（x）＜0，则ｇ（x）单调减小，而f（0）＝f（2）2∴当0＜x＜2时，ｇ（x）＞0，即sinx＞x．

2综上，当0＜x＜2时，x＜sinx＜x．

3．如图11—1，扇形AOB中，半径OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，当点C在什么位置时，直角梯形OCDB面积最小？

【解】设OC＝x（x＞0），过D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x1）

x2∴S′＝1－2x1＝0，∴x＝23

2所以当OC＝3时，直角梯形OCDB面积最小．

4．如图11—2，两个工厂A、B相距0.6 km，变电站C距A、B都是0.5 km．计划铺设动力线，先求C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在何处时，动力线最短？

【解】设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.50.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x0.3动力线总长l＝22222x0.3＋0.4－x

2x222212x2x0.3x0.3222l′＝（2x0.3＋0.4－x）′＝2·2x0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于该函数只有这一个极值点．因此它是最小值点． 【答】D点选在距AB0.17 km处时，动力线最短．

【解题指导】

应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系）．如果函数在区间内只有一个点使f′（x）＝0的情形，此时函数在此点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值．

【拓展练习】 备选题

1．已知x、y为正实数，且满足关系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222xx2

x02x2xx2xx0∴xy＝2，由得0

122xx(32x)2(2xxx)22222xx22xx∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333检验知x＝2是极大值点，由极值点是惟一的，知当x＝2时，函数f（x）的最大值为f（2）＝8，即x·y的最大值为8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1设x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），设f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

则f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

3338333∵0<α<π，∴α＝3，此时x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即当x＝2，y＝4时［x·y］max＝8． 2．如图，一条河宽1千米，相距4千米（直线距离）的两座城市A和B分别位于河的两岸（城市A、B与岸边的距离忽略不计），现需铺设一条电缆连通城市A与B，已知地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．假设两岸是平行直线，问应如何铺设电缆可使总费用最省?（153.813,f()3331.732，精确到百米、百元）

【解】过B作对岸所在直线的垂线，垂足记为O，设在到O距离为x km的点C，分别铺设BC、CA间的水下、地下电缆可使费用最省．则BC＝x1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，总费用为y，则y＝2（15－x）＋41x（0≤x≤15）

4x求导y′＝1x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以当x＝3＝0.6千米时，费用最省． x23．过曲线4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一点引切线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A、B两点，求当线段|AB|最小时的切点坐标．

【解】设|AB|＝l，切点为P（x0，y0），则所求切线方程为：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），1614122x0y0x0y02切线在x轴、y轴上的截距分别为、，∴l＝，∵P（x0，y0）在曲线上，∵y＝1x24，∴

y|xx0x04y0x02∴y02＝1－4，16422x04x02∴l＝（0

16令Y＝l＝2x0244x0232x（0

2226当Y′＝0时，有x0＝得极小值，也是最小值．

3，在（0，2）内Y只有一个极值点，检验知，在这点Y取26∴当x0＝

篇8：二倍角的三角函数的教学反思

1. 教学目的、重点及难点

1.1 教学目的

(1) 了解二倍角公式产生的来由、过程, 探求二倍角公式证明的思想方法.

(2) 通过学习二倍角公式产生的过程, 深刻理解二倍角公式的本质.

(3) 培养学生利用二倍角公式解决一些简单实际问题的能力.

1.2 教学重点:深刻理解二倍角公式的由来、产生公式的过程, 认识二倍角公式的本质.

1.3 教学难点:二倍角公式的本质及拓广.

2. 教学过程

2.1 提出问题

要在半径为R的半圆材料上 (如图) 截成一条边在直径上的内接长方形.设∠BOC=θ, 当θ为多大时, 才能使长方形ABCD的面积最大?

师:首先计算出长方形ABCD面积S.

生:计算S=2R2sinθ·cosθ;.还有其他方法.

师:θ为多少时, S最大呢?需要化简2sinθ·cosθ, 首先回顾已学过的和角三角函数公式.

2.2 知识回放, 公式探索

师:sin (α+β) =?cos (α+β) =?tan (α+β) =?

生:sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ.Sα+β

com (α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ.Cα+β

师:能利用Sα+β, Cα+β, Tα+β推导出sin2α, cos2α, tan2α的公式吗?大家考虑一下.

生:sin2α=sin (α+α) =2sinαcosα.

cos2α=cos (α+α) =cos2α-sin2α.

师:还能得到其他更简捷的形式吗?

生:cos2α=1-2sin2α=2cos2β-1.

师:很好, 用sinθ, cosθ其中一个就可以表示cos2α, 为我们今后应用带来更大方便.

师:这些公式有什么特征?

生:二倍角正弦、余弦公式, 从左到右减倍增次.

师:很好, 以这些公式推导过程中体会到什么思想?

生:从一般到特殊的替换思想.

师:这是中学数学的重要思想方法, sinα, 等能用倍角公式吗?

师:很好, 倍角是相对而言的, 也就是α是α2的倍角, 的倍角.

2.3 公式运用, 加深理解

例1引入问题, 求面积最大值S=2R2sinαcosα=R2sin2α.

当时, S有最大值R2.

例2 (1) 已知, 求cos2α的值.

(2) 已知, 求tanα的值.

学生上黑板板演, 这两个例子加深了学生对倍角公式的理解.

2.4 公式的拓广变形

师:公式可以拓广变化吗?

(学生探索)

师:是公式逆用.还有吗?

(学生思考)

师 (提示) :1±sinα=?

生:1±sin2α= (sinα±cosα) 2

师:1+cos2α=?

生:1+cos2α=2cos2α.

师:还有吗?

生:1-cos2α=2sin2α.

师:很好, 公式拓广:

师 (总结) :从左到右, 降幂升角公式, 从右到左, 降角升幂公式.

2.5 总结反思, 教师启发并归纳

(1) 倍角公式探索是从一般到特殊的替代过程, 是高中数学重要的一种思想方法, 利用此方法, 可以探索出更多的公式如三倍角公式.

(2) 倍角是相对的, 2α是α的倍角, 4α是2α的倍角, α是的倍角等.

(3) 公式的推广、变形、逆用也是灵活运用, 是理解公式的关键所在.

师:希望同学们正确理解公式的替换、推广、变形、逆用等, 而不是机械地记忆, 最后留给同学们课后来拓广:

(1) 用tanα来表示sin2α, cos2α.

(2) 用sinα, cosα来表示

3. 教学特色简评

学习三角函数的二倍角公式的目的, 是引导学生经历从一般到特殊的公式替换过程.从一个母公式产生出子公式, 认识和理解三角公式推广变形的本质.这节课的内容平淡、单薄, 教学中很难“出新、出奇、出彩”, 如何在教学中构建生动的情境, 让学生在探索中求知, 在思考中求智, 在品味中求美, 使课堂充满生动, 演绎精彩, 彰显魅力, 是对教师的悟性和能力的极好考验.

教师以民主的精神, 开放的态度, 合作的方式, 宽松的环境组织教学活动, 教学过程呈现出一种双向的交流, 动态的建构, 生长的愉悦, 发展的快乐, 课堂成为师生共同拥有的家园.在整节课中, 教师尊重学生的主体地位, 为学生探索新知创造条件, 尊重学生的个人感受和独特见解, 鼓励学生自主探究与合作交流, 敏锐地捕捉发生在课堂情境中的每一次思维灵感的闪烁, 并巧妙地加以引导、点拨, 课堂中有疑问, 有猜想, 有思考, 有体验, 学生的理解过程和整个精神世界得到了实质性的发展和提升.真正落实了“促进学生持续和谐发展”的新课程理念.

3.1 在教材的处理上, 体现了用教材教的新课程理念

新教材是“课程标准”的物化, 是教育专家理论研究成果和优秀教师教学实践的经验结晶, 是依据学生的年龄特征、心理特征和身心发展规律精心策划的成果.教材中的每道例题都蕴含着某些数学思想方法, 都具有其特点的教育功能, 这功能需要教师深入教材认真研究, 从课程的高度来理解、思考和处理, 其价值才能得以阐释.从本节课来看, 教师在教材处理上, 体现了用教材教的新课程理念.

数学课堂在完成其特定的教学任务同时, 理应承担着“为学生的终身发展打好基础”的责任, 教师用教材教, 不能简单地把教学目标锁定完成在教材上, 这节课开始时, 教师能够引入教学情境, 通过半圆的内接矩形面积最大问题, 将学生带入探究数学问题, 引入和谐自然, 在教学过程中, 让学生亲身经历倍角公式的形成、发现和应用过程, 使学生既加深了对倍角公式本质的理解, 也使学生领会替代思想在三角函数公式拓广、交换中的作用.在这节课的结尾, 教师巧妙地设计了探究性问题, 使学生既获得了教学思想方法, 又感到问题中变化规律的奇特, 更会被数学之美所诱惑.殊不知, 这是教师特意设计的悬念, 为下节课的引入做好了铺垫.

3.2 在目标设置上, 正确把握理解与体验公式的本质

过程和结果是辩证统一的.就其性质而言, 结果通常只涉及认知层面, 它以“产品”的形成存在, 是封闭的, 固定的, 静态的, 而过程则涉及认知层面, 又渗透着活动主体的情感、态度、意志等心理因素, 它以“活动”的形式存在, 是开放的, 灵活的, 发展变化的, 它对学生身心素质的形成与发展具有促进作用, “没有过程的结果是没有体验、没有深刻理解的结果, 不追述结果的过程是缺乏价值和意义的过程”.

本节课中, 教师设计了半圆中作内接矩形, 探求面积最大的矩形, 引导学生从和角的正弦、余弦、正切公式中自主探究倍角三角函数公式, 找出公式替换的数学方法, 学生通过对公式的探究, 经历了判析、比较以及相应的分析、变形、推广等多样化的过程, 有了数学学习个性化的感悟和体验, 有了数学经验的孕育和理解能力的提升, 自然而然的对倍角公式的本质有了深刻的理解, 通过例题有目的、有层次的题理解, 倍角公式的应用理解得到强化, 教师在例题教学中能够充分放手让学生参与自主探究活动, 使学生在成功与失败.正确与错误的矛盾冲突中层层深入, 思维碰撞时时激起, 个体的创造力、潜能、天赋、个性等得以充分表征, 凝固在活动结果上的是学生完全理解倍角、半角的概念, 公式的变化形成了一个活的数学知识结构、理智过程.

3.3 在教学方法运用上, 把握探究与理解相结合

探究学习比较开放, 它更重视学生学习动机和独立思考, 更强调过程, 在培养学生的创新精神和实践能力方面有其独到之处.但这种学习方式花费的时间较多, 接受性学习可以在较短的时间内让学生吸取更多的信息, 在传递系统的学科知识方面, 其效率是其他学习方式无法比拟的, 但这种方法不利于激发学生探索和创新的积极欲望, 对学生理解本质的体验不够深入.接受性学习和探究性学习在实际教学中, 教师不能采取非此即彼、二元对立的方式看问题, 要尽可能地做到“探究”与“接受”的和谐, 实现多种学习方式的优化组合, 本节课, 教师在这方面有较好的体现.

3.4 在教学的过程中, 体现了“主体”与“主导”的关系

教学是一种教师价值引导和学生自主建构相统一的活动, 一方面教学设计蕴含着老师的主观意趣, 这种主观意趣内含着教师的价值选择和价值预设, 另一方面, 学生的精神世界是自主地、能动地生成、建构的, 而不是外部力量塑造而成的, 过分强调前者, 教学就会走向机械灌输, 被动接受;过分强调后者, 教学就会走向无目标的误区.因此, 教学中一方面我们应当承认学生是学习的主人, 尊重学生在学习中的主体地位, 促进学生积极、主动的建构;另一方面, 也要看到, 教师肩负着帮助学生增加自我价值感和追求成功的责任, 也就是说, 课堂教学是在教师有目的的引领下, 通过学生的自主探究、自主建构去不断地感悟、探究、理解、体验, 实现发展思维的目标.学生的主体地位得到较好的体现, 而且教师还能牢牢抓住有目的的引导, 使得课堂教学既生动, 又能按照预设有序地推进.

学生在探究中, 有过困惑, 有过迷茫, 有过失败, 有过错误, 产生情绪波动也在意料之中, 每每遇到这些, 教师给予学生的都是恰到好处的扶持帮助, 点拨引导, 启发诱思.如sinα, 能运用倍角公式吗?启发学生体会公式的本质, 如1+sin2α= (sinα+cosα) 2, 1-cos2α=?引导学生对公式的变形与逆用, 开拓学生思维, 引领学生体验, 恰当地把学生的思维引到关键的问题上, 这些都说明了教师是用理智上课, 也展示了教师高超的教学技艺和驾驭课堂教学的能力.

篇9：二倍角的三角函数的教学反思

本节内容是三角函数的重要内容之一，而二倍角公式又是三角函数中的重中之重，有着广泛的实际运用，在高考中占有相当大的比例。

二、学情分析

1.学生已有的知识结构：掌握了两角和的正弦、余弦和正切公式；

2.教学对象：高一年级学生，学习兴趣浓厚，具有一定的逻辑思维能力，有较强的分析和解决问题的能力；

3.从学生的认识角度来看：公式推导比较容易，但灵活运用公式难度较大。

三、教学目标

1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，从中探索数学规律的过程。

2.掌握和灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对倍角公式的“倍”的变换、“换元”等体现思维的灵活性，提高学生的推理能力和解决问题的能力。

3.通过一题多变、一题多解的形式，提升课堂气氛，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和数学情感。

四、教学重点、难点

重点：在掌握两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。

难点：二倍角的灵活运用。

五、教法学法分析

本节课采用了引导式和探索式相结合的教学方法，让老师的主导作用和学生的主体作用得到充分发挥，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，形成完整的数学模型，还课堂以生命力，还学生以活力。

六、课堂设计

复习导入：让学生回忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式，思考1：你能利用C（α±β），S（α±β），T （α±β）推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗？

1.二倍角公式的作用是用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

2.二倍角公式仅限于2α是α的二倍的形式，形如4α是2α的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，“倍角”的意义是相对的。

3.熟悉“倍角”与“二次”的关系

二倍角公式的变形：

七、教学反思

本节课设计合理，层次分明。教学过程体现以培养学生的观察和探究能力为本，遵循学生现有的认知规律，体现因材施教的教学原则。通过例题的灵活变形，一题多解等方法激发学生的学习兴趣，使学生在问题解决的探索过程中积极主动。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，又注重学生学习方法的指导，加强学生的应用意识，引导学生发现数学公式的美，让学生热爱数学，快乐地学习数学。