《任意角的三角函数》第一课时教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计（精选8篇）

篇1：《任意角的三角函数》第一课时教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计

一、教材分析

这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数。任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的。三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键。因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角;

其研究方法是几何的，没有坐标系的参与;

其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与能力：借助单位圆理解意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。(能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值。)

过程与方法：在学习的过程中，培养学生用代数方法研究几何问题的思路。

情感态度与价值观：让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得发现的“经验”。

四、教学重点、难点分析

重点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

难点：通过坐标求任意角的三角函数值。

五、教学方法与策略

教学过程中采用学生自主探索、动手实践、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生参与、揭示本质、经历过程。根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。

六、教学过程

问题1：现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢?

设计意图：将已有知识坐标化，分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。)

预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难――即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的`点的坐标表示锐角三角函数。

问题2：回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么?写出最简单的形式。

设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。

预计的困难：由于学生只接触过一次单位圆，对它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。

单位圆中定义锐角三角函数：点P的坐标为(x，y)，那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为：

[sina=MPOP=y]，[cosa=OMOP=x]，[tana=MPOM=yx]。

题3：大家现在能不能给出任意角的三角函数的定义。

设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义。

有学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理。

例1：(P12)例2：(P12)

学生练习：P15练习1、2。

小结：任意角的三角函数的定义。

作业：P20 A组1、2。

篇2：《任意角的三角函数》第一课时教学设计

一、选择题

π1．若－＜α＜0，则点P(tan α，cos α)位于()． 2

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

2．若α＝m·360°＋θ，β＝n·360°－θ(m，n∈Z)，则α，β终边的位置关系是()．

A．重合B．关于原点对称

C．关于x轴对称D．关于y轴对称

sinαcosα223．若α是第三象限角，则y的值为()． ααsincos22

A．0B．2

C．－2D．2或－2

4．已知点P(sin

A.33,cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()． 44π3πB.44

5π7πC.D.44

5．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于()．

A．5B．2C．3D．4

6．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()． π2πA.B.C.32 33

π2πnπ*7．(2012上海高考)若Sn＝sinsinsinn∈N)，则在S1，S2，…，S100777

中，正数的个数是()．

A．16B．72C．86D．100

二、填空题

8．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第__________象限．

sin α1－cosα9．若角α的终边落在射线y＝－x(x≥0)上，＝__________.cos α1－sinα10．若β的终边所在直线经过点P(cos

＝__________.三、解答题

11．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝

值．

12．已知扇形AOB的周长为8，(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.3x.求sin α，tan α的633,sin)，则sin β＝__________，tan β44

篇3：《任意角的三角函数》第一课时教学设计

“学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程.”“同类事物的共同属性也可以用定义的方式向学生直接揭示, 利用学生已有的认知结构中的有关知识来理解新概念, 这种获得概念的方式叫做概念同化”[1].高一学生在学习了必修1之后, 已对函数有了系统的认识, 在他们的认知结构中已经具备了同化新概念的适当知识.笔者在执教“任意角的三角函数” (江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学4》第1.2.1节) 时, 以函数为主线, 始终围绕函数的本质构建任意角的三角函数概念的同化过程, 收到了很好的教学效果.现将本次活动的课堂教学案例梳理并反思如下, 与同行分享、交流和指正.

1 教学过程

1.1 引入课题

前面我们已经将角的概念推广到了任意角.为了方便研究, 我们将角“放到”平面直角坐标系中, 并且引入了新的度量———弧度制.请用弧度制写出终边在y轴上的角的集合.

设计意图一方面是简单复习弧度制及“终边相同的角”的表示方法, 另一方面也是为后面定义正切函数铺垫.

角的概念已经推广, 与之相应的锐角三角函数已不满足数学内部发展的需要.因此, 必须研究学习任意角的三角函数. (给出课题)

1.2回顾旧知

如图1所示, 在直角三角形中锐角α的三角函数是如何定义的?

1.3 建构数学

在图1中建立平面直角坐标系, 如图2所示.原来的点A只是锐角α终边上的一个点, 而直角边的长a, b就是点A的坐标 (a, b) .角α的正弦也可以说成是有关坐标的比

问题1初中关于正弦的规定, 其实是给出了锐角α的集合到其终边上的点的坐标比的一种对应:, 即

(1) 任意锐角α都有相应的坐标比与之对应吗?

(2) 如果能, 对应的坐标比大小唯一确定吗?

设计意图两个小问是相关联的, 都指向函数的本质:任意性和唯一性, 通过问题的讨论, 以达到在学生已有的知识和方法的基础上分化出函数的属性, 为进一步推广到任意角做准备.

以锐角α为内角的直角三角形当然存在, 比值是存在的;但这样的直角三角形有无数个, 比值是否随着直角三角形的变化而变化呢?

问题2能否将锐角的正弦推广到任意角的情况呢?如图4, 即对任意角α的终边上的任意一点P (x, y) , 对应关系:

能否作为任意角的集合R到比值集合C的函数呢?

设计意图让学生分组讨论, 关键是感受函数定义中的“任意性”和“唯一性”, 即任意角都存在某个比值与之对应吗?对应的这个比值大小唯一吗 (与点在终边上的位置无关) ?问题2的解决, 有利于概括出任意角的对应关系的共同属性.另外, 不同于问题1, 问题2的提法合并了两小问, 意在提高学生的概括水平.

学生对存在性有疑惑:如果点P在坐标轴上, 哪有直角三角形?教者意识到还有同学的思维停留在“直角三角形的边长比”上, 而不是“角的终边上点的坐标比”.

观察几何画板实验.如图4, 分别转动角α的终边和拖动α终边上的点P, 观察比值是否都有?是否改变?

设计意图上课时将度量坐标、计算坐标比的过程“展示”在学生面前, 再通过点P的两种不同运动, 观察比值的存在性和变化.

通过几何画板实验, 帮助学生实现了抽象思考, 同时正弦函数值为0、为负等现象出现突破了学生原有知识结构, 学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡是概念教学的根本动力.

问题3结合图5, 模仿问题1, 逻辑地证明比值与点P位置无关, 即具有唯一确定性.

设计意图将直观感知用严谨的证明表达清楚, 这是数学形式化的要求, 也是概念教学中最重要的环节之一, 即在特定的情境中检验假设, 确认关键属性.自然, 证明过程只需在问题1的板书基础上用显眼的黄色粉笔改动几处即可.

至此我们发现, 对应法则:能作为任意角的集合R到比值集合C的函数, 它就是正弦函数了.

你能用类似的方法定义余弦函数吗?“类比是伟大的引路人.”学生立即得到结论:对应法则:作为任意角的集合R到比值集合D的一个函数, 它就是余弦函数.

问题4那么, 对应法则:能作为任意角的集合R到比值集合E的一个函数吗?为什么?

设计意图仍然从建构函数的本质设计问题, 让学生探索、发现正切函数的定义, 但问题中的“任意性”是一个“陷阱”.

至此, 我们成功地将锐角的三个三角函数, 推广到任意角的三角函数.请给出具体的定义.

点评通过对用函数这根主线串起的4个问题的研究, 学生主动地完成了概括、形成概念, 用习惯的形式符号表示新概念的过程, 并了解了概念产生的背景, 体会了其中所蕴涵的数学思想.

问题5根据前面的讨论, 写出任意角的三角函数的定义域.

教者原以为这是“口答”过关题.想不到被提问的学生说“正切函数的定义域是 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) ”.

师:你认为去掉0即可, 为什么?

生:分母不为0.

师:正切函数是以角α为自变量, 定义域指角α的取值集合, x≠0就是α≠0吗?

生: (思考片刻) x≠0指终边不在y轴上, 定义域是

点评课堂生成也是一种教学资源, 如果视而不见, 或者粗暴对待, 前面所有的预设效果将大打折扣;相反, 用好这种资源更能强化概念.

问题6探究三角函数值在各个象限的符号.

设计意图函数有定义域、值域和对应法则三要素.在给出了定义域和对应法则之后, 自然要研究任意角三角函数的值域.而判断三角函数值在各个象限的符号既是研究值域的基础, 也是函数概念的“精致”过程.

根据比值, 由学生总结每一个三角函数在四个象限的符号规律.教者提醒, 换个角度看三个三角函数值在四个象限的符号, 如图6所示, 真是“三室一厅, 各得其所”.

1.4 应用新知

例1已知角α的终边经过点P (2, -3) , 求角α的正弦值、余弦值和正切值.

变式1已知角α的终边经过点P (2, y) , 且, 试求y的值.

变式2如图7, 已知点P (x, y) 在以原点为圆心, 5为半径的圆上运动, 当点P运动到3rad角的终边上时, 求点P的坐标.

设计意图例1是概念的简单应用;变式1逆用定义, 并注意解关于y的无理方程时要洞察题设中的条件:y<0, 培养思维的严密性;通过变式2, 将特殊情形一般化, 导出圆周运动的数学模型.

变式2中点P的坐标 (5cos 3, 5sin 3) .将这个问题一般化, 即如图8, 当点P (x, y) 在以原点为圆心, r为半径的圆上运动, 当点P运动到角α的终边上时, 点P的坐标 (rcosα, rsinα) .从而任意角的三角函数定义解决了进行圆周运动的点 (x, y) 与 (r, α) 之间的关系, 即建立了圆周运动的数学模型.

例2及课堂练习、回顾反思等略.

2 教学反思

2.1 用函数主线串起概念同化的过程

这是一堂概念课.本节课传统的设计方法, 正如教材的编写顺序, 先从直角三角形的长度比转化为任意角α终边上一点P (x, y) 有关的坐标比, 再证明 (甚至不证明) 点P的任意性, 就完成了任意角的三角函数的定义建构.但事实告诉我们, 这样的课堂教学, 学生仅仅学会正用定义或逆用定义的计算操练, 学生甚至都不明白“三角函数为什么也是函数?”“三角函数是什么样的函数?”等最本原的问题.

《高中数学课程标准 (实验) 》 (以下简称《标准》) 对数学课程的目标提出了“过程”要求:“获得必要的数学基础知识和基本技能, 理解基本的数学概念、数学结论的本质, 了解概念、结论等产生的背景、应用, 体会其中所蕴涵的数学思想和方法, 以及它们在后续学习中的作用.”[2]

基于此, 笔者先通过问题1, 建立起f:{锐角}→{比值}的函数概念, 并通过追问和证明, 确认这个对应关系满足“任意性”和“唯一性”;有了问题1的铺垫, 对问题2中的f:{任意角}=R→{比值}是否为函数的思考指明了途径, 小组讨论、几何画板探究和严密的逻辑证明为“任意角的正弦函数”定义做足了铺垫;当学生以同样的方法定义余弦和正切时, 虽然出现了错误, 但笔者仍然感到欣喜———他们学会了用已有的知识和方法探索新的问题;最后, 在“知识应用”环节的变式中, 凸显了“任意角的三角函数定义解决了进行圆周运动的点 (x, y) 与 (r, α) 之间的关系, 即建立了圆周运动的数学模型”数学意义, 回答了第一章开头所提出的核心问题, 奠定了本章的学习基础.所以, 完整的概念建构, 还应包括在“知识应用”环节, 它“将新旧概念进行归类整理, 并按照相应的类属关系进行编码, 从而形成一个合理有序的概念系统.”[1]

2.2 教学活动是教师搭台下的学生展示

《标准》指出:“数学教学是数学活动的教学, 是师生之间, 学生之间交往互动与共同发展的过程.”根据文[1]的观点, “新概念的获得主要依赖认知结构中原有的适当观念, 必须通过新旧观念的相互作用, 有意义的学习才能实现.这种相互作用的结果, 就是新旧意义的同化, 进而形成分化程度更高的认知结构”, 因此教者需要对教材进行适当的加工处理, 从学生的已有知识和方法出发, 并从研究正弦函数入手, 鼓励每个学生动手、动口、动脑, 积极参与数学的学习过程, 突破一点, 推向全面.在认清了概念内涵以后再进行概念应用, 引导学生在揭示概念内涵的丰富内容的基础上形成新的概念.

在整个教学过程中, 教师把教学内容以“函数问题链”的方式组织起来, 在教师的引导下, 围绕函数定义恰时恰点地提出问题, 课堂上同学们紧张、有序而又热情饱满.教师用问题一次又一次地把学生引入“愤”、“悱”境地, 引起认知冲突, 促使他们集中注意力, 积极思维.在教师的组织、启发、引导下, 经过思考、提问、会话、交流等一系列活动弄清了问题, 改善了认知结构, 完成教学任务[4].学生不仅学会了有条理地表述自己的观点想法, 还学会了相互接纳、赞赏与互助, 并不断对自己和别人的想法进行批判和反思.通过学生间的多向交流, 可以使他们从多角度看到问题解决的途径.

参考文献

[1]曹才翰, 章建跃.数学教育心理学 (第2版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2006.

[2]中华人民共和国教育部.高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[3]李平龙.“任意角三角函数”的建构与反思[J].中国数学教育 (高中版) , 2011, (1-2) :41-43.

篇4：《任意角的三角函数》第一课时教学设计

一、教材编写特点

教材的编写是以锐角三角函数为基础，角的概念的推广为前提，利用平面直角坐标系为工具定义了任意角的正弦、余弦、正切函數，并利用与单位圆有关的有向线段研究了正弦、余弦、正切函数的一种几何表示——正弦线、余弦线、正切线；然后定义任意角的余切、正割、余割函数，研讨了正弦、余弦、正切函数的定义域，用例1、例2巩固任意角的三角函数的概念；最后研究正弦、余弦、正切函数值在平面直角坐标系中的各象限内的符号及“终边相同的角的同一三角函数值相等”这一公式（即公式一），并给出了3个例题（例3、例4、例5）加以巩固。

二、教学目的、重点、难点及关键

1、教学目的。本节教学目的是：掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；了解余切、正割、余割函数的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种三角函数值在各象限内的符号；掌握公式一及其应用.

2、教学重点。任意角的正弦、余弦、正切函数的定义及其定义域，函数值在各象限内的符号、公式一及其应用是本节的教学重点。

3、教学难点。如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来，是学习本节的难点所在。

4、教学关键。掌握单位圆的概念，了解三种线段的正、负与坐标轴正、反方向之间的对应及三种有向线段（的数量）与三种三角函数值之间的对应是解决本节难点的关键.

三、教学建议

1、课时划分与内容安排。本节教学建议用3课时完成，并且对教材内容顺序作适当的整合，具体情况如下。

第一，第1课时及教学内容。以锐角三角函数、角的概念的推广等知识为生长点，以平面直角坐标系为研究工具，一气呵成地定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数；并研究正弦、余弦、正切函数的定义域；最后讲解例1、例2加以巩固。

第二，第2课时及教学内容。根据任意角的三角函数的定义，研究六种三角函数值在平面直角坐标中各象限的符号及“终边相同的角的同一三角函数值相等”（即诱导公式一），最后讲解例3、例4、例5加以巩固。

第三，第3课时及教学内容。根据任意角的三角函数的定义，引入单位圆的概念，在单位圆中研究正弦、余弦、正切函数的一种几何表示——三角函数线（这里仅研究正弦线、余弦线和正切线），由于教材中设有相应的例题，建议补充适量例题加以巩固。

2、案例呈现。根据不同班级学生的实际情况，以下案例可供选择。

案例1：已知角的终边上一点P（x，-2）（x≠0），且cos，求sin 和tan的值.

解题分析：由r =|OP|=.由三角函数的定义有：cos=，∵x∴.=3，∴x=±.当x=时，点P（，-2），此时sin=，tan=；

当x=-时，点P（-，-2），此时sin=，tan=.

点评：严格按照任意角的三角函数定义进行示范，重视数学符号语言的应用及分类讨论思想的渗透.

案例2：sin2·cos3·tan4的值（ ）.

A大于0 B小于0 C 等于0 D不能确定

解题分析：∵sin2>0， cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0， ∴选B.

点评：重视弧度制下，任意角的三角函数值在各象限的符号.

案例3：函数y=

的值域是（ ）.

A﹛-2，4﹜； B﹛-2，0，4﹜

C﹛-2，0，2，4﹜；D﹛-4，-2，0，﹜

解题分析：先求出该函数的定义域为﹛x|x≠ ﹜；再用分类分类讨论的思想，按角所在象限讨论相应的三角函数的符号，从而脱去绝对值符号，当x为第一象限角时，y=4；当x为第二象限角时，y=-2；当x为第三象限角时，y=0；当x为第四象限角时，=-2. ∴ 函数的值域为﹛-2，0，4﹜. 选 B.

点评：值域也可用列举法表示。

案例4 ：解不等式sinx≥ （0≤x≤2）.

解题分析：由于正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示.因此，先在y轴的正半轴上取一点P使得|OP|=，恰好表示角x的正弦值sinx=.作x轴的平行线交单位圆于P1、P2（如图1），在〔0，2〕内，OP1、OP2分别对应角、的终边，要使sinx>，只需将弦P1P2沿y轴正向平移，使OP1与OP2所扫过的范围即图中的阴影部分即为所求.

∴原不等式的解集为[、].

案例5：若<<，则sin，cos，tan的大小顺序为______（用“<”连接）.

解题分析：如图2所示，在单位圆中作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT.

∵OM

点评：师生共同研讨此结论后，如“sin750，cos750，tan750的大小关系是（用“<”连接）这种题目便迎刃而解了！

案例6：已知0

解题分析：如图3，设角x的终边与单位圆交于点P﹝xp，yp﹞，单位圆交x轴的非负半轴于A（1，0），过点P作PMOA于M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线于T，连结PA.

∵S△OAP =|OA||MP|，

Slr =，

而S

点评：该案例的引入，不仅使三角函数线及相关知识得到综合的应用，而且使数形结合的思想在潜移默化中渗入学生的脑海。

3、注意引导学生归纳总结。由于本小节内容在教材中具有承上启下的作用，本节有许多结论易于（也值得）归纳、总结.例如：关于六种三角函数值在平面直角坐标中的各个象限的符号可归纳为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”——即第一象限角的六种三角函数值全部为正，第二象限只有正弦（余割）为正；第三象限只有正切、余切为正，第四象限只有余弦（正割）为正。又如：0篇5：任意角的三角函数教学设计

一、教学内容分析

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角三角函数与它的终边上点的坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．

七、教学过程

（一）教学情景

1．复习锐角三角函数的定义

问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图（课件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根据锐角三角函数的定义，锐角A的正弦、余弦和正切分别是什么？

设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．

师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义

问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？

设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．

师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：

（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？ 以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．

（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？

进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论。

（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角的三角函数呢？

（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角θ的终边不在第I象限又该怎么办？

问题3：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？

设计意图：引导学生在定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．

师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．

问题4：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？ 设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．

师生活动：学生求出定义域，教师进行整理． 例1：（题目在课件8中）

设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．

3．练习（在课件9中）

设计意图：通过应用三角函数的定义，加强对三角函数概念的理解． 4．小结

问题5：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．你能再回顾一下任意角三角函数的定义吗？

设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．

八、作业设计：

教科书P106习题1.2题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．

九、教学反思：

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

篇6：《任意角的三角函数》教学反思

通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。

在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。

篇7：任意角的三角函数(教案)

授课人：何艳峰

教学目标：

（1）让学生理解任意角的三角函数的定义。

（2）让学生运用三角函数的定义求任意角的三角函数。重

点：运用任意角的三角函数的定义求值。

难

点：运用数形结合思想和分类讨论思想求任意角的三角函数。教学方式：讲练结合 教学媒体：黑板 课

型：新授课 教学过程： 1.课题引入

问题1.在直角△ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？

问题2.为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合。在角α的终边上取一点P（x，y），设点P与原点的距离为r，那么sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？

问题3.为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？ 2.新课讲解

（1）单位圆的定义

思考：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。对于角α的终边上一点P，要使│OP│=1，点P的位置如何确定？

（2）三角函数的定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

sinycosxytan（x0）x

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的。故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。

13练习：已知角的终边与单位圆交于点P（，-），求角的三角函数值。

22例1 求5的正弦、余弦和正切值。3

（3）利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数 例2 已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。

思考：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？

篇8：《任意角的三角函数》第一课时教学设计

因此, 还有一种想法是在函数概念下以“圆心在原点的圆周上的点的坐标”随角的变化而变化的“操作、观察”, 先让学生建立起“任意给定一个角 α, 圆周上就有唯一的一个点P ( x, y) 与之对应”的直观感受, 把注意力集中在三角函数的“函数特性”上, 能使学生认清其对应关系、定义域和值域等, 从而真正把握三角函数的“本来面目”. 是否可以在“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”的思想指导下, 以“如何建立圆周运动的数学模型”为教学起点, 调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识, 在建立函数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念.这样, 既可以使学生知道这一概念的背景、解决的问题, 也可以使他们感受运用函数概念建立模型的过程和方法, 还可以让他们体会三角函数在物理学科中的重要性. 如果这样的设计思想能够实现, 那么其效果是一举多得的. 以下为笔者在教学实践中对任意角的三角函数定义引入的微课设计.

一、教材分析

三角函数是函数的一个基本组成部分, 也是一个重要组成部分, 在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识. 初中已经学习过锐角的三角函数, 教材第一节学习了任意角的表示方法, 这些是学习任意角三角函数的基础.本节课的主要内容是: 正弦、余弦、正切的定义; 正弦、余弦、正切函数的定义域.

二、教学目标

理解任意角的三角函数的定义.

三、重点, 难点

1. 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义;

2. 难点: 任意角的三角函数概念的建构过程;

四、教学情景设计

1. 引入

我们初中已经学习了锐角三角函数, 知道它是以锐角为自变量, 以比值为函数值的函数, 那么高中为什么还要继续研究呢?

实例导入: “离离原上草, 一岁一枯荣. 野火烧不尽, 春风吹又生. ” ( 王安石诗) . 诗中描绘的是自然界中“按一定规律周而复始”的现象, 称之为“周期现象. ”我们曾学习过用“指数函数”模型刻画人口增长问题, 用“对数函数”的模型刻画地震的震级变化, 用怎样的数学模型来刻画周期现象呢? “周期现象一般与周期运动有关”, 一个简单而基本的例子便是“圆周上的一点旋转运动”.

2. 探究

情境———选择数学模型.

问题: 摩天轮的中心离地面高度为h0, 它的直径为2r, 逆时针方向匀速转动, 转动一周需要360 秒, 若现在你坐在座舱中, 从初始位置点A出发 ( 如图1 所示) .

求人相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.

先从一个具体情境入手, 例如过了30 秒后, 你离地面的高度如何计算?

答: h = h0+ rsin 30° = h + MP.

再计算几个: 60 秒时. 答: h = h0+ rsin 60°.

90秒时.答:h=h0+rsin 90°.

一般的, 过了t秒呢? 猜想 ( 愿望) :

答:h (t) =h0+r sint0.

“这样的想法合情, 但合理吗?”

( 意图: 先从几个特殊情形出发, 而后猜测一般性结论, 再进行合理性论证! )

总结: 人距离地面的高度h = h0+ MP, 其中h0是不变量, MP表示点P到水平位置OA的距离, 是变量; 可以通过点P旋转的角度∠POA的大小, 再结合初中锐角三角函数来计算.

3. 分析数学模型

问题: 对任意角∠POA; sin∠POA该如何定义? 对前面这个问题往下具体分析:

当时间为t秒时, 人距离地面的高度用h = h0± MP来表示, 其中MP表示点P到水平位置OA的距离.

对比: h = h0± MP与h ( t) = h0+ r sint0.

愿望:要想两者和谐统一.

必须有: rsint0= ± MP即: sint0= ± MP / r.

小结: 点P在圆周上旋转运动, 引起∠POA的变化, 对任意一个确定的∠POA对应着唯一点P, 进而有唯一的MP, 得到sin∠POA = ± MP / r①.

提问一: ①式的分子何时取正值, 何时取负值?

答:OA上方为正, OA下方为负.

提问二: 根据①式这些特点, 用怎样的一个量来替代MP或- MP, 可以使上面的表示更简洁?

答: 建直角坐标系, 利用P的纵坐标替代MP或- MP.

4. 建构三角函数的定义

任意的角的正弦一种定义方法.

( 1) 把 α“放到直角坐标系内”.

( 2) 以原点为圆心, 半径r作圆, 又与 α 的终边相交于点P坐标为 ( x, y) .

(3) 规定:sinα=y/ r.

5. 分析: 以上规定是否合理?

问题一:当α为锐角时, 此规定与初中定义矛盾吗?

结论:不矛盾, 而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚.

问题二:圆的半径r大小有限定吗?

结论: 根据相似三角形的知识, 对于确定的角 α, 这个比值不会随点P在 α 的终边上的位置的改变而改变, 是唯一确定的.

问题三:半径r取多少时, 会使得比值更加简洁?

结论:可以考虑取r=1, 这样的圆我们称单位圆.

即: 在直角坐标系中, 以原点为圆心, 以单位长度1 为半径的圆.

( 意图: 可以打破知识结构的平衡, 感受到学习新知识的必要性———角的范围扩大了, 锐角三角函数也应该“与时俱进”, 并不显得突然. 把定义的主动权交给学生, 引导学生参与定义过程发展思维. )

6. 导出任意角的三角函数定义

设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点P ( x, y) , 那么,

y叫做α的正弦, 记作sinα, 即sinα=y;

x叫做α的余弦, 记作cosα, 即cosα=x;

y /x叫做α的正切, 记作tanα, 即tanα=y/ x (x≠0) .

正弦、余弦、正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 我们将它们统称为三角函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.

7. 归纳总结, 注重渗透

本节课通过对实际问题的解决, 学习了任意三角函数的概念. 请同学们简要回顾探究过程. 三角函数的定义可谓“看似平凡最崎岖. 成如容易却艰辛. ” ( 王安石诗) . 早期的三角学隶属于天文学, 为了天文观测的需要, 与古希腊几何有不可分割的联系. 尽管三角知识起源较早, 但在欧拉以前, 人们对三角函数的研究大都在一个半径不定的圆内进行的, 运用起来很不方便. 直到欧拉时代, 才令圆的半径为1, 置角于单位圆中, 把三角函数定义为相应的线段与圆半径1 之比. 教材中现在的定义与历史上大数学家欧拉的定义是一致的. 欧拉用直角坐标来定义三角函数, 彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题, 使三角函数成为研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”.

( 设计意图: 对教学内容进行归纳、疏理、提升. 有意加强数学文化的熏陶, 让学生在数学学习中寻求数学发展的历史轨迹, 感受数学家们严谨治学和锲而不舍的探索创新精神, 从而提升自身的文化素养和创新意识. )

参考文献

[1]简洪权.高中数学运算能力的组成及培养策略[J].中学数学教学参考, 2000.1-2.