求极限的方法三角函数公式

求极限的方法三角函数公式（共19篇）

篇1：求极限的方法三角函数公式

求函数极限方法的若干方法

摘要： 关键词：

1引言：极限的重要性

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质2.1极限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有 xn−A <。

2.1.2limx→∞f x =A↔∀ε>0，任意整数X，使得当 x >时就有 f x −A <。类似可以定义单侧极限limx→+∞f x =A与limx→−∞f(x)。2.2.3类似可定义当，整数，使得当

时有

。，时右极限与左极限：。在此处键入公式。

2.2极限的性质

2.2.1极限的不等式性质：设若若，则，使得当，当

时有

。时有时有，则

；

。，则

与，使得当

在的某空心邻

时，时有，则。

。

2.2.1（推论）极限的保号性：设若若,则，使得当，当2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限域有

内有界，即3求极限的方法

1、定义法

2、利用极限的四则运算性质求极限，3、利用夹逼性定理求极限

4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限，6、利用洛必达法则求极限，7、利用定积分求极限，8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

9、利用变量替换求极限，10、利用递推公式求极限，11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限，13、利用泰勒展开式求极限，14、利用两个准则求极限

15、利用级数收敛的必要条件求极限

16、利用单侧极限求极限

17、利用中值定理求极限 3.1定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设的,总存在一个正整数

.，当

是一个数列,是实数,如果对任意给定,我们就称是数列

时,都有的极限.记为例1 证明

证 任给，取，则当时有

，所以。

3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则

。，例1求解 这是求

型极限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。3.3.1（数列情形）若则。，使得当时有，且，3.3.2（函数情形）若，则，使得当。

时有，又

例题

解 ：，其中，因此。

3.4利用两个重要极限球极限 两个重要极限是，或。

第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例题1解：令t=故 例题23.5利用迫敛性求极限 ,且在某个。

内有,那么

.则sinx=sin（t)=sint, 且当

时

例 求的极限

解：因为.且 由迫敛性知

所以

3.6利用洛必达法则求极限

假设当自变量和趋近于某一定值（或无穷大）时，函数

和

和

满足：的导数不为0的极限都是或都是无穷大都可导，并且存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即=。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。

例题 求

解 原式=注：运用洛比达法则应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。

2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。

3.7利用定积分求极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 例

上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

解 原式=，由定积分的定义可知。

3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简单化。例

解 注意时。

3.9利用变量替换求极限

为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例 已知证 令

试证

则时，于是

当时），故时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因有界，即，使得

。所以

（当

原式得证。

3.10利用递推公式求极限

用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。

例 设，对，定义

且

。证明 时，解 对推出递推公式解得,，因为，因此，序列

中可以得出

是单调递增且有界的，它的极限，设为，从，即。

3.11利用等价无穷小量代换求极限 所谓的无穷小量即，例如 求极限 解 本题属于有

型极限，利用等价无穷小因子替换

=

=,，称

与

是

时的无穷小量，记作

注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换,无穷小等价代换可以很好的简化解题。

3.12利用函数的连续性求极限

在若处连续，那么且

在点连续，则。

例 求的极限

解：由于

及函数在处连续，故

3.13利用泰勒展开式求极限 列举下 例题

3.14利用两个准则求极限

3.14.1函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数，并且例题

3.14.2单调有界准则：单调有界数列必有极限，并且极限唯一。,当时，则

则。

利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例题

3.15利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例题

3.16利用单侧极限求极限

1）求含的函数

趋向无穷的极限，或求含的函数

趋于的极限;2）求含取整函数的函数极限;3）分段函数在分段点处的极限;4）含偶次方根的函数以及

或的函数，趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例题

3.17利用中值定理求极限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2积分中值定理

篇2：求极限的方法三角函数公式

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三) 利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

(四) 定积分定义

考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

篇3：浅谈求函数极限的几种方法

关键词：极限,无穷小,有界函数,洛必达法则

极限的概念是微积分中最重要和最基本的概念之一, 微积分的其他基本概念都要用极限概念来表达。其中, 函数的极限是研究函数的重要工具, 所以, 正确掌握函数极限的运算方法, 是研究函数的基础。

在实际教学过程中, 求函数的极限是一个重点, 也是一个难点。这里, 我将通过几个例子对求解函数极限的方法进行概括总结。

一、观察法:通过研究函数的变化趋势或者图像, 给出函数的极限

二、利用无穷小的性质定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小, 可以求一类函数的极限

三、利用函数的四则运算法则, 将复杂的函数分解成简单的函数, 可求出复杂函数的极限

四、对有理函数, 当x→∞时的极限, 可得到以下结论

解:根据上面的结论, 因为n=m=3, 所以

参考文献

[1]郭丽伟.高等数学 (上册) .吉林文史出版社, 2009.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 (第三版) .高等教育出版社, 2003.

篇4：浅谈用马克劳林公式求极限方法

【关键词】 函数极限；马克劳林公式

【Abstract】This paper has summarized and analyzed in getting function limit process， how to use Maclaurin formula the function expansion and to calculate the limit of function and through examples made specific instructions.

【Key Words】function limit， maclaurin formula

【中图分类号】 G64.22【文献标识码】 A【文章编号】 2095-3089（2016）25-0-01

当型中出现或或，且用洛必达法则求解较复杂或不可用时，用马克劳林公式求函数极限比较方便。

函数应该展开到的几次方，分为两种情形

一、型，“上下同次”

例 试确定常数的值，使得其中是当时比高阶的无穷小。

参考文献：

篇5：幂指函数求极限

这是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的方法，利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。由于指数函数的连续性，求解幂指型f(x)g(x)的`极限的问题就归结为求g(x)lnf(x)的极限问题。

方法二：等价代换法

利用等价无穷小(或无穷大)作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的方法。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x)，如果f(x)～?(x),g(x)～ψ(x)，自然有g(x)lnf(x)～ψ(x)ln?(x)，于是f(x)g(x)～?(x)ψ(x)。由此我们可以得到：如果f(x)>0,?(x)>0,f(x)～?(x),g(x)～ψ(x)，而limf(x)g(x)存在，那么lim?(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。

方法三：配凑法

一般来说，配凑法往往利用重要极限limx→0(1+x)1x=e，所以一般用于求解“1∞”型极限。若α(x)>0，α(x)是无穷小量，那么

如果α(x)β(x)的极限存在，那么就达到配凑法求解极限的目的了，因此我们可以考虑先求α(x)β(x)的极限。

上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法，最常规的方法是取对数法，后面两种方法有一定技巧性，不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们，我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。

幂指函数

篇6：求极限的方法三角函数公式

1.绪论

1.1研究背景和意义

1.2研究现状

1.3文章结构

2.基础知识

2.1等价无穷小相关概念

2.2等价无穷小代换定理及证明

2.3等价无穷小代换定理推广及证明

3.等价无穷小求函数极限应用及推广

篇7：利用函数不动点求数列的通项公式

利用函数不动点求数列的通项公式

递推公式是给定数列的一种重要的.方式,已知数列的前,n项和递推公式求数列通项公式的试题在数学高考和竞赛中也屡见不鲜.

作 者：林国夫 作者单位：浙江省上虞市春晖中学,312353刊 名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS年，卷(期)：47(12)分类号：O1关键词：

篇8：求极限的方法三角函数公式

1.1 观察法

对简单的初等函数求极限, 利用函数极限定义及函数图象, 通过观察自变量变化趋势引起相应函数值变化趋势求得函数极限值。

1.2 代入法

利用函数极限四则运算法则和初等函数连续性, 若x0在其定义域内有意义, 则, 对分式极限也有

解:原式

解:因为是初等函数, 并且它的定义区间为 (1, +∝) , 而2∈ (1, +∝) , 所以

1.3 约零因子

针对型分式极限, 直接代入会出现分子、分母同时为零的情形, 将分式分子、分母因式分解或乘以有理化因式, 再利用分式性质约掉分子、分母为零的因子, 然后用代入法可求函数极限值。

1.4 公式法

利用两个重要极限求函数极限称为公式法。

注意: (1) 强调此极限属于型; (2) sin后面函数部分与分母部分完全一致。

注意: (1) 强调此极限属于1∝型; (2) 指数部分与括号内第二项互为倒数。

分析:先构造出重要极限型形式, 再结合极限运算法则求解。

1.5 洛必达法则

针对型、型函数极限, 不能直接用极限运算法则、代入法及公式法求得, 可使用洛必达法则简洁而有效。

注:使用洛必达法则要谨慎, 每用一次要验证是否满足洛必达法条件。

除此外, 还有无穷小量分出法、利用无穷小量的性质、变量替换法等。

2 常见错误分析

2.1 忽略零因子, 直接代入

分析:尽管分子、分母的极限都存在但分母的极限等于零, 不符合商极限法则要求。

2.2 生搬硬套, 不注意公式特点

分析:没注意sin后面函数部分与分母部分完全一致。

例12

分析:没注意1∝型极限公式中括号内第二项前面的符号。

以上总结了求函数极限的几种常用方法及常见错误分析, 以便于学生更好地掌握函数极限概念的理解及各种类型函数极限求解。

参考文献

篇9：复变函数求极限的方法

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

篇10：数分求极限的方法总结

解决极限的方法有那些?各位都知道，求数的极限一直是我们的难点，所以为大家带来了数分求极限的方法。

数分求极限的方法总结

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!

5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。

8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右极限的.方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!

16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!

函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：

1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);

2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;

3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;

篇11：求极限的方法及例题总结解读

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x2lim(3x1)5

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

limx1

例1 3x12x1

(3x1)2223x33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n2n1)n

nn[(n2)(n1)]分子分母同除以limnn2n1limn31211nn32解：原式=(1)n3nlimnn例3 n23

。上下同除以3n解：原式

1()n1lim31n2n()13。

3．两个重要极限

sinx1x0x（1）lim（2）x0lim(1x)e1xlim(11)xex；x

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3x3lim1lim(12x)2xelim(1)3ex例如：x03x，x0，x；等等。

1x

利用两个重要极限求极限

1cosx2x03x例5 limxx2sin22lim21limx0x0x63x212()22解：原式=。2sin2注：本题也可以用洛比达法则。例6 lim(13sinx)x02x

16sinx3sinxx解：原式=x0 lim(13sinx)lim[(13sinx)x013sinx]6sinxxe6。例7 lim(nn2n)n1

n13nn133lim(1)nn1解：原式=33n1lim[(1)]e3nn1。

n13n

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsin面的等价

x～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上关系成立，例如：当x0时，e3x1～3x；ln(1x2)～x2。

f1(x)f(x)limg1(x)存在时，xx0g(x)也存在且定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当xx0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

limx0例9 xln(13x)arctan(x2)ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2，解：x0时，limx3x3x2。 原式=x0exesinxlim例10 x0xsinx

esinx(exsinx1)esinx(xsinx)limlim1x0x0xsinxxsinx解：原式=。

注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlimlim1x0x0xsinxxsinx原式=。

正如下面例题解法错误一样：

limx0tanxsinxxxlim0x0x3x3。

1tan(x2sin)xlimsinx例11 x0

解：当x0时，x2sin111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价xxx，x2sin所以，原式=x0

lim1xlimxsin10x0xx。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1.x01/21

lim(1xsinx1sinsin(x1))lim2lnxex1 2.x0

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

f(x)limg(x)存在（或是无穷大）（3）；

limf(x)f(x)limmilg(x)也一定存在，g(x)，且等于即

f(x)f(x)limg(x)=g(x)。则极限说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件

0（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

1cosx2x03x例12（例4）limsinx1x06x6。解：原式=（最后一步用到了重要极限）limcosx例13 limx12x1 2sinx解：原式=x1例14 limx0lim212。

xsinxx3 lim1cosxsinx1lim2x0x06x6。3x解：原式==（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

sinxxcosx2例15 x0xsinx lim解：

原式limsinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2xsinx1limx03x23先用等价无穷小，再用洛必达法则

11lim[]x0xln(1x)例18

11lim[]0解：错误解法：原式=x0xx。

正确解法： 原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx011x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limxx2sinx3xcosx

12cosx0lim解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x3sinx，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxxlimxcosx3x（分子、分母同时除以x）原式=1

1=3（利用定理1和定理2）

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数 f(x)的定义去间内的一点，则有xx0limf(x)f(x0)。利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2ex21x

12x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=2e4e。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设a0，x1a,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)212

求极限n

limxn。定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）n则极限

10.夹逼定理 limynan，nlimzna

nlimxn一定存在，且极限值也是a，即

limxna。

利用极限存在准则求极限 例20 已知x12,xn12xn,(n1,2,)，求nlimxn

limxnx{x}解：易证：数列n单调递增，且有界（0

xn12xn两边求极限，10 得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）所以nlimxn2lim(1。

1n21n212例21 nn1n212nn 11n2nnn21)2解：易见：nnn22limnnn2因为n1limnn112，nn21

1n22lim(所以由准则2得：

n11nn2)1。

9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。

11.泰勒展开法

12.利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8.利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数些极限nlimf(n)un1n收敛，则nlimun0，故对某，可将函数

f(n)作为级数n1f(n)的一般项，只须证明此技术收敛，便有nlimf(n)0。

n!例nnn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求nlim(11332n1)333

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方快于 x！快于 指数函数

快于

幂数函数

快于

对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

篇12：总结16种方法求极限

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

函数是表皮

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样

（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致

3复合函数之间是自变量与应变量互换的关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类和第二类剪断点

1第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点

地二类 间断点是震荡间断点或者是无穷极端点

（这也说明极限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型

1求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分如何解决类？？？？

说白了就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！！！！！！！！解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1积分函数能否求导？题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！

问题2被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法：就是方法2微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！

当x 与t是除的关系或者是加减的关系，就要 换元了！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！）

3求的是数列极限的问题时候

夹逼 或者 分项求和 定积分都不可以的时候

就考虑x趋近的时候函数值，数列极限也满足这个极限的当所求的极限是递推数列的时候

首先 ： 判断数列极限存在极限的方法是用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义！！应为是 离散的只能用前后项的 比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用 归纳法最后对xn 与xn+1两边同时求极限，就能出结果了！！！

4涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题

解决办法 ：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。应为例如当x趋近0时候f（x）比x =3的函数，分子必须是无穷小否则极限为无穷

还有落笔他法则的应用，主要是应为当未知数有几个时候，使用落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数但是不太会！！！！！！！！！！

:o最后 总结 一下间断点的题型

首先 遇见间断点的问题 连续性的问题复合函数的问题，在莫个点是否可导的问题。

主要解决办法是3个一个是画图，你能画出反例来当然不可以了

你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的！我就画图！我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应！！！！

（在这里尤其要注意分段函数！！！！！）（例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊！！应为一般的函数都是连续的）

方法2就是举出反例！（在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！）

例如 一个函数是个离散函数还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的类？？

答案是NO举个反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定义了主要是写出公式，连续性的公式求在抹一点的导数的公式

:o最后了

总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题

1首先 函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在（0，0）不可导，我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，应为他有个前提，在点的领域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等

1主要考点 1

函数在抹一点可导，他的 绝对值函数在这点是否可导 ？

解决办法：记住 函数绝对值的导数等于f（x）除以（绝对值（f（x）））再 乘以F（x）的导数。

所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊

考点2

处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断

直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f（x）连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候

篇13：求极限的方法三角函数公式

一、复合函数为无穷小时对中间变量做等价无穷小代换的可行性

定理1设α(x),β(x)在x的某种变化过程P中为等价无穷小,f(u)当u→0时为无穷小,且f(u)~kum(其中k,m为常数),则f[α(x)]~f[β(x)].

证明利用等价关系的传递性,f[α(x)]~kαm(x)~kβm(x)~f[β(x)].

解此题目直接用洛必达法则求导,将要进行复杂的求导运算.我们知道时arcsinu~u(u→0),且ex-1~x(x→0).由定理1知,arcsin(ex-1)~arcsinx.所以

二、复合函数为无穷大时对中间变量做等价无穷小代换的可行性

摘要：利用等价量代换是求极限过程中最常用,也是最重要的方法之一.但其技巧性强,对复合函数使用等价量代换的过程中常常出现一些应用的误区.通过对这些误区的讨论发现,若所讨论的函数满足特定的条件,就可以使用等价量代换快速准确求解.

关键词：等价量,无穷大量,无穷小量,极限

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学:上册[M].第6版.北京:高等教育出版社.2007:43.

[2]赵琼.用等价无穷小代换求极限的两个误区[J].高等数学研究,2009,12(5):17-18.

[3]刘桂仙,刘庆升.求极限的等价无穷大代换[J].高等数学研究,2011,14(1):51-52.

篇14：浅析求函数 型极限的技巧

关键词：高等数学、函数极限、方法、技巧

极限是高等数学内容中一个重要的概念，它是研究微积分的基础和有效工具。熟练掌握求函数极限是学好微积分的前提，通过几年的教学实践和不断的验证，作者提出了求函数极限的新思路就是“看类型，找方法”的解题技巧，这种方法使用时，首先先分清该函数极限属于那种类型，然后在运用相应的方法。其实，高数中求极限的题很多，而函数极限类型却是有限的，只要着握住这几种类型的解法，那么所有问题就迎刃而解了。下面我就 型做如下分析。

型的函数极限是极限运算里最难求的一种类型，也是最经常见的类型，求解该类型的方法不固定，常见的求解该类型的方法有五种，每种方法都有其对应的技巧。

1）利用等价无穷小量求函数的极限。

该方法使用起来简洁方便，不宜出错，但是使用起来是有限制的，首先是在使用前必须事先掌握一些等价式子及其灵活变形式子，这些式子是很有限的几种，其次是这些等价式子只能在乘除之间运算时使用，加减运算中就失效了。

常见的等价无穷小式子有如下几种：前提当 时，

4）利用重要极限式子求解

该式子主要适用于含有三角函数或反正弦函数、反正切函数，且为 型的未定式.要牢记公式的结构特点： （方框 代表任意形式的同一变量）.

备注：对第一重要极限推广可以有这种形式 。

5）利用罗比达法则求极限

上面几种求 型的方法只是用来求一部分该类型，有很大一部分 型，上面的几种方法解決不了，则就要有新的方法解决，罗比达法则就是解决这类问题的新方法。

以上是求函数 型极限常见的几种技巧，对于其他类型的极限也可也参照类推。这些方法不仅应用于某一个题，对于复杂的题型也可以做，因此，对于函数极限的求法，只要掌握了要诀“看类型，找方法”六字方针，那么所有的问题就会迎刃而解。

参考文献：

1.华东师范大学数学系。数学分析（上册，第三版）北京，高等教育出版社

2.陈刚 关于高等数学中极限思想的研究 工科数学，2001

3.颜文勇，柯善军。高等应用数学。北京高等数学出版社，2004

篇15：高等数学微积分求极限的方法整理

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

篇16：考研数学高数求极限的几种方法

极限是研究变量的变化趋势的一个基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数y=f(x)在x= x0处导数的定义、定积分的定义、偏导数的定义、二重积分和三重积分的定义、无穷级数收敛的定义等等。这些高数中最重要的概念都是用极限来定义的。极限是贯穿高等数学的一条主线，它将高等数学的`各个知识点连在一起。实际上，极限的思想和方法产生于某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用，因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点。下面我们来介绍几种考研试题中经常出现的求极限的问题。

・ 1. 利用两个重要极限法

・    2.洛必达法则与等价无穷小替换结合法

・  3. 夹逼定理法

・     4. 泰勒展开法

5. 利用定积分的定义求极限法

・6. 利用极限的四则运算法求极限

・・  7. 利用导数的定义求极限

篇17：函数极限题型与解题方法

毕原野 整理

一．极限的证明

1.趋近于无穷 P19 例8（1）

2.趋近于正无穷 P19 例8（2）

3.趋近于负无穷 P19 例8（3）（4）

4.趋近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）

极限的证明说白了就是找两个值，对于趋近于无穷的极限来说是ε和X，而对于趋近于某一定值的极限来说就是ε和δ。因此，证明过程中，无论哪种先得出ε，然后把x用ε表示出来（如果是趋近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出来），这样，就明确了X（δ），之后直接套格式就好了。

关键就在于表示过程，这需要一定的计算和技巧，比如放缩、变形等。由于ε的无限小，可以为其设定任何范围，以简化计算，但是要使原试有意义。

二．求极限

1.趋近于无穷（包括正负无穷）

（1）上下同除高次项 P22 例11（3）

（2）有理化 P25 例3（5）

（3）换元 P25 例13（2）

（4）应用 无穷小×有界=无穷小 P25 例13（3）（4）

2.趋近于某一定值

（1）应用法则直接带入 P22 例11（1）（2）

（2）有理化 P22 例11（4）

（3）等价无穷小定理 P28 例14（1）（2）（3）

（4）变形后应用重要极限

换元 P24 例12（1）（3）

倍角公式 P24 例12（2）

其他变形 P24 例12（4）

通分 P34 23.（9）（10）

3.分段函数

应用1.、2.的方法得出左右极限即可。

书写过程注意格式，写明左右极限。P21 例10 P35 29.函数的极限求法可以类比数列的求法，只是要注意其方向和保证原式的有意义。

三．证明极限存在与否

首先确定是否能求出左右极限。不能，则无极限；能，则进一步看是否相等。不等，则无极限；等，则有极限。P35 30.（2）（3）

四．求参数

篇18：求极限的方法三角函数公式

在大学高等数学中, 对于幂指函数求极限的问题, 共有两处提到, 包括重要极限和洛必达法则。但是, 关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。一般得, 只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。在教学过程中, 有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题, 就不知道如何计算了。课本中有一道极限求解题目, 具体如下:

这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解, 但此题用重要极限不太容易看出来。如果了解等价无穷小的相关定理, 那么这道题就迎刃而解了。鉴于此种情况, 本文在前人研究的基础上, 总结了幂指函数的求极限的方法, 着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2 幂指函数求极限的其他方法

幂指函数的极限类型很多, 有确定型和不定式之分。对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。而对于不定式型的幂指函数, 通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1 重要极限

对1∞型的幂指函数极限问题, 考虑利用重要极限及其变形公式求极限。

2.2 洛必达法则

另外, 对00型, ∞0型, 1∞型幂指函数的极限, 可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=elny的形式, 转换为0/0型或∞/∞型不定式, 然后再利用洛必达法则进行求解。

由洛必达法则, 得:

3 用等价无穷小代换求幂指函数的极限

幂指函数00型, ∞0型, 1∞型这三种类型不定式的求极限问题, 除了运用前两种方法外, 还可以使用等价无穷小的代换。这里对这三种类型不定式进行全面探讨, 将局限于分式型不定式的等价无穷小代换原理, 推广到幂指函数求极限问题中去, 从而在理论上较系统的解决了幂指函数求极限的问题。

3.1 00型的等价无穷小代换

引理1设α>0, α′>0为某变化过程中的无穷小。若α~α′, 则

证明:α~α′, 所以

定理1α>0, α′>0和β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则有

然后就有

此定理1说明, 当时, limαβ中的α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。

由定理1, 得:

3.2∞0型的等价无穷小代换

∞0型的极限可写为, 其中α>0和β均为某变化过程中的无穷小。

定理2α>0, α′>0和β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则

由定理1可得定理2。此定理2说明, 当时, α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。

解:当x→0时, ln (1+x) ~x, sinx~x

由定理2, 得:

3.3 1∞型的等价无穷小代换

1∞型的极限可写为, 其中α, β均为某变化过程中的无穷小。

引理2设α, β为某变化过程中的无穷小。若, 则有

就有

所以, 刚刚文章一开始的那道求极限的题目, 可以按照等价无穷小代换来求解。

由引理2, 得:

定理3设α, α′, β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则有

证明:因为

由等价无穷小代换原理, 得:

这说明, 当中的无穷小量α, β可代换为等价无穷小α′, β′。

参考文献

[1]华东师大数学系.数学分析[M].4版.北京:人民教育出版社, 2011, 9.

[2]同济大学应用数学系, 主编.高等数学 (上册) [M].6版.高等教育出版社, 2007, 4.

[3]刘金林.高等数学 (上册) [M].机械工业出版社, 2013, 6.

[4]沐国宝.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用[J].上海应用技术学院学报, 2002, 6.

篇19：浅谈多元函数求极限

【关键词】: 多元函数 多元函数极限 邻域

中图分类号:F0174 文献标识码:A 文章编号:1003-8809(2010)06-0113-01

在《数学分析》中,我们讨论了函数的极限。通过对极限的学习。我们应该有一种基本的观念就是“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果。

研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础。研究多元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。本文介绍关于多元函数极限求法的几个定理及例子。

假定函数f(x1,...,xn)是在具有聚点M0(a1,a2,...,an)的某一点集Μ内定义的。

仿照一元函数的极限的定义,常说函数f(x1,...,xn)当变量x1,...,xn依次各趋于a1,a2,...,an时以数A为极限,如果对于任一数ε>0能找出这种δ>0,只要

x1-a1<δ,...,xn-an<δ,

就能使

f(x1,...,xn)-A<ε.

在这时,假定点(x1,...,xn)是取自Μ而且异于(a1,a2,...,an)。因此,对于集Μ中位于M0点的充分小邻域

(a1-δ,a1+δ;...;an-δ,an+δ)

之内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

函数的极限记成:A=limx1→a1......xn→anf(x1,...,xn).

把点(x1,...,xn)及(a1,a2,...,an)记成M及M0,则刚才引入的定义可以用几何的言语重述成:数A称为函数f(M)当点M趋于M0时的极限,如果对于任一数ε>0有着种数r>0存在,只要距离M0M

f(M)-A<ε.

和上面一样,须假定M取自Μ但异于M0。这样,对于集Μ中位于M0的充分小得球形邻域内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

多元函数的极限在高等数学中是非常重要的,但多元函数的自变量太多计算起来太过复杂,而一元函数的极限看起来就相对容易些,因此我们现在把多元函数极限转化为一元函数的极限来求解,现在我们可以以三元函数为例得到如下的定理:

定理1设f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x-x0,y-y0,z-z0)的方向余弦,若

limk→0f(x0+kcosα,y0+kcosβ,z0+kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

推论(1)设f(x,y,z)在点(0,0,0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x,y,z)的方向余弦,若limk→0f(kcosα,kcosβ,kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

定理2设f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x-x0,y-y0)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(x0+kcosα,y0+ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A不存在.

推论(2)设f(x,y)在点(0,0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x,y)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(kcosα,ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx→0y→0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→0y→0f(x,y)=A不存在.

参考文献:

[1]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程第一卷(第八版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

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[5]任宪林.多元函数求极限[J].邯郸职工大学,2001.

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[7]刘素芳.求二元函数极限的几种方法[J].中山医科大学,1999.

[8]宋志平.二元函数极限的求法[J].内蒙古科技大学理学院,2004.