剖析三角函数中易忽略的隐含条件

所谓隐含条件就是指那些从显现的已知条件中推导出来的条件。如果在求解时, 只注意了显现条件, 而忽略了对显现的已知条件作更深层次的分析, 就会导致求解失去准确性。挖掘隐含条件, 它能使角及三角函数值的范围得到准确的限制, 简化或避免复杂的变形与讨论, 使问题正确且简洁获解。故挖掘隐含条件使学生数学思维更完备, 从而克服其思维的惰性, 加强思维的深刻性。下面举例说明。

例1:已知3sin2x+sin2y=2sinx, 求函数S=2sin2x+sin2y的最大值和最小值

错解:由得3sin2x+sin2y=2sinx得sin2y=2sinx-3sin2x, 带入函数关系式得:

∴当sinx=1时, Smax=1, 当sinx=-1时, Smin=-3。

剖析:表面上看, 无懈可击。但忽略由已知3sin2x+sin2y=2sinx得sin2y=2sinx-3sin2x≥0,

剖析:造成错误的原因是没有结合已知条件推导出sinx和cosx的符号关系, 在解题时未树立分类讨论的思想, 未树立定义域优先的意识, 事实上:

当cosx>0时, 1+sinx>1-sinx, 所以sinx>0.当cosx<0时, 1+sinx<1-sinx, 所以sinx<0.

即sinx和cosx是同号的, 因此始终有tanx>0.

例3求函数的最小正周期.错解:∵

剖析:造成这种解题错误的原因在于忽略了对函数定义的考察和约分的限制条件, 缺乏反思的习惯和作图验证的严谨求学精神。

∵当x=0时f (x) =0

∴T=π即为原函数的最小正周期。

综上所述, 解数学中隐含条件的题, 不仅涉及到三角函数, 而且涉及到数学领域的各个知识块, 这警示我们在学习过程中要培养和树立挖掘隐含条件的意识, 加强注重思维深刻性的训练, 从而提高学习效果, 有效克服了一知半解的惰性思维, 下面给出几个类似的练习供同学们训练。

配套练习题