三角函数万能公式

2022-07-15

第一篇：三角函数万能公式

三角函数中万能公式总结

两角和与差的三角函数三角函数基本公式总结

1.和、差角公式

sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;

tg()tgtg.

1tgtg2.二倍角公式

sin22sincos;cos2cos2sin22cos2112sin2;

tg22tg. 1tg23.降幂公式

sincos11cos21cos2;cos2. sin2;sin22224.半角公式

sin21cos2;

cos21cos2;tg21cossin1cos.

1cos1cossin5.万能公式

2tgsin2;cos1tg21tg22;tg22tg2.

1tg221tg226.积化和差公式

11 sincos[sin()sin()];cossin[sin()sin()];2211 coscos[cos()cos()];sinsin[cos()cos()].22 7.和差化积公式

sinsin2sin2222;coscos2sin. coscos2coscossin2222cos;sinsin2cossin;

倍角、半角的三角函数

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:

由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.

倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即

，

进一步得到半角公式:

降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于

所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:

，，这组公式叫做“万能”公式.

教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

第二篇：三角函数公式表

角函数(Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。起源

“三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角学)及μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移;后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的

同角三角函数的基本关系式

倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=

1商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方关系： sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α

诱导公式

sin(-α)=-sinα

sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα

sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα

sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα

sin(3π/2-α)=-cosα sinα

sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα cot(2π-α)=-cotα

cos(3π/2-α)=-tan(2π-α)=-tanα tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanαsin (2kπ+α)=sinα

sin(3π/2+α)=-

cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα

cot(π/2+α)=-tanα cot(π+α)=cotα

两角和与差的三角函数公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tanα+tanβ tan(α+β)=——————1-tanα ·tanβ

tanα-tanβ tan(α-β)=——————1+tanα ·tanβ

半角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

2tanα tan2α=—————1-tan2α

三角函数的和差化积公式

α+βα-β sinα+sinβ=2sin—--·cos—-—22α+βα-β

cosα

cot(2kπ+α)=cotα

cos(3π/2+α)=sinα( 其中k∈Z)

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα 万能公式

2tan(α/2)

sinα=——————1+tan2(α/2)1-tan2(α/2) cosα=——————1+tan2(α/2)2tan(α/2) tanα=——————1-tan2(α/2)

三角函数的降幂公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα

3tanα-tan3α tan3α=——————1-3tan2α

三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]

21sinα-sinβ=2cos—--·sin—-—22α+βα-β cosα+cosβ=2cos—--·cos—-—22α+βα-β cosα-cosβ=-2sin—--·sin—-—22

cosα ·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]21

cosα ·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]21

sinα ·sinβ=- -[cos(α+β)-cos(α-β)]2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)

余弦定理余弦定理性质余弦定理证明余弦定理的作用其他余弦定理余弦定理性质余弦定理证明余弦定理的作用其他

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编辑本段余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

编辑本段余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2a^2) / (2·b·c)

(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

编辑本段余弦定理证明平面向量证法

∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

编辑本段余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角;(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解;②若m(c1,c2)=1,则有一解;③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时,则有两解;

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解);③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时,则有一解;

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解);⑤当b

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解;

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解);三当a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角.解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之长.解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

第三篇：高中数学-三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式

sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}

tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}

tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差

sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式

sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tanA = sinA/cosA 万能公式

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2} tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a·sin(a)+b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanα公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanα公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanα公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanα公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinα

第四篇：作文万能公式

1. 开头万能公式一：名人名言

有人问了，“我没有记住名言，怎么办?尤其是英语名言?”，很好办：编!

原理：我们看到的东西很多都是创造出来的，包括我们欣赏的文章也是，所以尽管编，但是一定要听起来很有道理呦!而且没准将来我们就是名人呢!对吧?

经典句型：

A proberb says, “ You are only young once.” (适用于已记住的名言)

It goes without saying that we cannot be young forever. (适用于自编名言)

更多经典句型：

As everyone knows, No one can deny that„

2. 开头万能公式二：数字统计

原理：要想更有说服力，就应该用实际的数字来说明。

原则上在议论文当中不应该出现虚假数字的，但是不妨试用下面的句型：

According to a recent survey, about 78.9% of the college students wanted to further their study after their graduation.

看起来这个数字文邹邹的，其实都是编造出来的，下面随便几个题目我们都可以这样编造：Honesty：根据最近的一项统计调查显示，大学生向老师请假的理由当中78%都是假的。

Travel by Bike：根据最近的一项统计调查显示，85%的人在近距离旅行的时候首选的交通工具是自行车。

Youth：根据最近的一项统计调查显示，在某个大学，学生的课余时间的70%都是在休闲娱乐。

Five-day Work Week Better than Six-day Work?：根据最近的一项统计调查显示，98%的人同意每周五天工作日。更多句型：

A recent statistics shows that „

结尾万能公式

1. 结尾万能公式一：如此结论

说完了，毕竟要归纳一番，相信各位都有这样的经历，领导长篇大论，到最后终于冒出个“总而言之”之类的话，我们马上停止开小差，等待领导说结束语。也就是说，开头很好，也必然要有一个精彩的结让读者眼前一亮，这样，你就可以拿高分了!比如下面的例子：

Obviously(此为过渡短语), we can draw the conclusion that good manners arise from politeness and respect for others.

如果读者很难“显而见之”，但说无妨，就当读者的眼光太浅罢了!

更多过渡短语：

to sum up, in conclusion, in brief, on account of this, thus更多句型：

Thus, it can be concluded that„, Therefore, we can find that„

2. 结尾万能公式二：如此建议

如果说“如此结论”是结尾最没用的废话，那么“如此建议”应该是最有价值的废话了，因为这里虽然也是废话，但是却用了一个很经典的虚拟语气的句型。

Obviously, it is high time that we took some measures to solve the problem.

这里的虚拟语气用得很经典，因为考官本来经常考这个句型，而如果我们自己写出来，你说考官会怎么想呢?

更多句型：

Accordingly, I recommend that some measures be taken.

Consequently, to solve the problem, some measures should be taken.

第五篇：【万能答题公式】

(一)某句话在文中的作用：

1、文首：开门见山、开篇点题;渲染气氛(散文);埋下伏笔(记叙类文章);设置悬念，激发读者阅读兴趣(小说);为下文作辅垫;总领下文;与下文形成对照呼应

2、文中：承上启下;总领下文;总结上文;

3、文末：点明中心(散文);深化主题(记叙类文章文章);照应开头(议论文、记叙类文章文、小说)升华主题、画龙点睛。

(二)修辞手法的作用：(1)它本身的作用;(2)结合句子语境。

1、比喻、拟人：生动形象;答题格式：生动形象地写出了+对象+特性。

2、排比：有气势、加强语气、一气呵成等;答题格式：强调了+对象+特性3;设问：引起读者注意和思考;答题格式：引起读者对+对象+特性的注意和思考反问：强调，加强语气等;

4、对比：强调了„„突出了„„

5、反复：强调了„„加强语气

(三)句子含义的解答：这样的题目，句子中往往有一个词语或短语用了比喻、对比、借代、象征等表现方法。答题时，把它们所指的对象揭示出来，再疏通句子，就可以了。或者结合文段的中心主旨来答题。

(四)某句话中某个词换成另一个行吗?为什么? 判断+解释+对比举例：动词：不行。因为该词准确生动具体地写出了„„形容词：不行。因为该词生动形象地描写了„„副词(如都，大都，非常只有等)：不行。因为该词准确地说明了„„的情况(表程度，表限制，表时间，表范围等)，换了后就变成„„，与事实不符。

(五)段意的概括归纳1.记叙类文章：回答清楚(什么时间、什么地点)什么人做什么事。格式：(时间+地点)+人+事。2.说明类文章：回答清楚说明对象是什么，它的特点是什么。格式：说明(介绍)+说明对象+说明内容(特点)3.议论类文章：回答清楚议论的问题是什么，作者观点怎样。格式：用什么论证方法证明了(论证了)+论点

(六)表达技巧在古代诗歌鉴赏中占有重要位置

表现手法诸如用典、烘托、渲染、托物言志、情景交融、借景抒情、动静结合、虚实结合、委婉含蓄、对比手法、象征法、双关法等等。

诗中常用的修辞方法有夸张、排比、对偶、比喻、借代、比拟、设问、反问、反复等。分析诗歌语言常用的术语有：准确、生动、形象、凝练、精辟、简洁、明快、清新、新奇、优美、绚丽、含蓄、质朴、自然等。

复习时要系统归纳各种表达技巧，储备相关知识。首先要弄清这些表达技巧的特点和作用，再结合具体诗歌进行仔细体味、辨析。

至于评价诗歌的思想内容和作者的观点态度，则包括总结作品的主旨，分析作品所反映的社会现实，指出其积极意义或局限性等。

总之，鉴赏古代诗词，第一步，把握诗词内容，可以从以下几方面入手：1细读标题和注释;2分析意象;3品味意境;4联系作者。第二步，弄清技巧：1把握形象特点;2辨析表达技巧;3说明表达作用。第三步，评价内容观点：1概括主旨;2联系背景;3分清主次;4全面评价。答题时，要特别注意以下几点：一是紧扣要求，不可泛泛而谈;二是要点要齐全，要多角度思考;三是推敲用语，力求用语准确、简明、规范。

易混术语区分

(一)“方式、手法”的区分艺术手法，又叫表达技巧，包括：①表达方式：记叙、描写、抒情、议论、说明。②表现手法：起兴、联想、烘托、抑扬、照应、正侧、象征、对照、由实入虚、虚实结合、运用典故、直抒胸臆、借景抒情、寓情于景、情景交融、托物言志、借古讽今、化动为静、动静结合、以小见大、开门见山。③修辞：

比喻、借代、夸张、对偶、对比、比拟、排比、设问、反问、引用、反语、反复。

(二)“情”、“景”关系区别借景抒情、寓情于景、情景交融都是诗人把要表达的感情通过景物表达出来。“借景抒情”表达感情比较直接，读完诗歌后的感受是见“情”不见“景”;“寓情于景”、“情景交融”。表达感情时正面不着一字，读完诗歌后的感受是见“景”不见“情”，但是仔细分析后却发现诗人的感情全部寓于眼前的自然景色之中，一切景语皆情语。

(三)描写的角度常见的角度有：形、声、色、态、味。“形”、“色”是视觉角度;“声”是听觉角度;“态”分为动态和静态;“味”是触觉角度。

说明文分类：

1、事物说明文、事理说明文

2、科技性说明文、文艺性说明文(也叫科学小品或知识小品)

四、说明顺序：

1、时间顺序：历史顺序、年代顺序、四季交替顺序、早晚(先后)顺序

2、空间顺序：注意表方位的名词

3、逻辑顺序：先总后分、由主到次、由表及里、由简到繁、由此及彼、由现象到本质等。

五、说明方法：列数字、作比较、举例子、打比方、分类别等说明方法的作用：打比方：生动形象说明了—————— 增强了文章的趣味性。举例子：具体说明_____ 的特点，从而使说明更具体，更有说服力。作比较:把____ 和 ______相互比较, 突出强调了____ 的_____特点.列数字: 用具体的数据加以说明，使说明更准确更有说服力。

六、记叙的顺序：顺叙、倒叙、插叙(补叙)

七、人物描写的方法

1、肖像(外貌)描写、动作描写、神态描写、语言描写、心理描写;

2、正面描写与侧面烘托

八、常见写作方法、表现手法：

联想、想像、象征、比较、对比、衬托、烘托、反衬、先抑后扬、以小见大、托物言志、借物喻理、寓理于物、借物喻人、状物抒情、借景抒情、情景交融

十、语句在表情达意方面的作用：渲染气氛、烘托人物形象(或人物感情)、点明中心(揭示主旨)、突出主题(深化中心)

社会环境描写的主要作用：

1、交代作品的时代背景。

2、在回答时必须结合当时当地的时代背景，指出文段中环境描写的相关语句揭示了什么样的社会现实。

自然环境描写(景物描写)句的主要作用：

1、表现地域风光，提示时间、季节和环境特点;