“算法多样化”与“一题多解”

2024-04-28

“算法多样化”与“一题多解”（精选14篇）

篇1：“算法多样化”与“一题多解”

“算法多样化”与“一题多解”

吉安县永和中心小学胡仁军

算法多样化是解决一个问题的多种多样的策略，而一题多解则是用多样化的策略来解决同一个问题，它们的共同点都能有效地培养学生的创新意识和创新思维，但两者又有着本质上的区别。一题多解关注的是少数群体的发展，是优等生的专利；算法多样化则是面向全体学生，它不要求每个学生都能用几种方法解决同一问题，因此，每个学生都能体验成功的喜悦，树立自信心。

数学课程标准明确提出：应提倡并鼓励算法多样化；实现不同的人在数学上得到不同的发展。因此，在教学中我们应鼓励、引导学生算法多样化，让学困生“吃饱”的同时让学优生“既吃饱又吃好”，多给学生提供思维的空间和时间，真正让不同的学生在数学上得到不同的发展。

教学295＋98时，一位老师并不按书中的“多加几要减几”这一思维方式去教，而是先让学生小组讨论，然后汇报，结果出现了以下几种算法： 1、295＋98=295＋100－2=393（书中做法）2、295＋98=295＋90＋8=393 3、295＋98=300＋98－5=393 4、295＋98=200＋95＋98=393 讲到这里，一般的老师都会很满意了，表扬学生后会接着讲解其它的教学内容，可这位老师却提出了新的问题，进行了有意识的启发诱导：“还有更好的方法吗？295和98分别接近哪个整百数？”在这位老师的点拨下，同学们兴致高涨，纷纷开动脑筋，展开了激烈的讨论，很快，一位学生举手回答：“295＋98=300＋100－7=393。”

多好的思维，多好的创新！教学中我们不要受教学进度、教学内容和教学时间的束缚，生怕教学内容完不成，教学进度跟不上，教学时间不够，不要向学生提统一的要求（如要求全体学生把所有的算法都做出来，即一题要多解），让学生有自由想象的时间，有自由发挥的空间，引导学生对多种算法进行优化，这样，既照顾了全体学生，又能让优等生的创新潜能得到最好的发挥，何乐而不为呢？

本文发表于《吉安教育》2003年的第6期

篇2：“算法多样化”与“一题多解”

x1+x2f(x1)+f(x2)（1）若f(x)=ax+b,则f()=;22（课本P102）证明：

x+x2f(x)+f(x2)(2)若f(x)=x2+ax+b,则f(1)≤122变题：

1、如图所示，f(xi)(i=1,2,3,4)是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的x1,x2，任意[0,1],f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)恒成立”的只有（A）

A、f(x1),f(x3)

B、f(x2)

C、f(x2),f(x3)

D、f(x4)

变题

2、定义在R上的函数f(x)满足：如果对于任意x1,x2∈R都有f(2x1+x2f(x)+f(x2))≤122则称函数f(x)是R上的凹函数。已知二次函数f(x)=ax+x(a∈R,a≠0)

（1）求证：当a>0时，函数f(x)是凹函数；

（2）如果x∈[0,1]时，|f(x)|≤1，试求实数a的取值范围。

（1）证明：略

（2）实数a的取值范围是[2,0)二、一题多解

不查表计算：lg2+lg5+3lg2lg5

解法一：原式=(lg2+lg5)(lg2-lg2lg5+lg5)+3lg2lg5 2233

=lg2-lg2lg5+lg5+3lg2lg5

=lg2+2lg2lg5+lg5

=(lg2+lg5)=1 22222解法二：原式=(lg2lg5)3lg2lg5-3lg2lg53lg2lg5

=1-3lg2lg5(lg2lg51)=1 解法三：原式=(lg2+lg5)-3lg2lg5(lg2+lg5)+3lg2lg5

=1-3lg2lg5+3lg2lg5 =1 解法四：原式=lg2+lg5+3lg2lg5+3lg2lg5-3lg2lg5-3lg2lg5+3lg2lg5

=(lg2+lg5)-3lg2lg5(lg2+lg5-1)33322223322=1

篇3：一题多解与一题多变

△ABC是一个三角形的纸片,点D、E分别是△ABC边上的两点.

探究 (1) 如果纸片沿直线DE折叠,使点A′正好落在线段AC上,如图1,则∠BDA′与∠A的关系是_______.

分析解决翻折问题首先要想到在图形里找相等的量. 图1中DE为折痕,有∠A=∠DA′A,再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A.

解:∠BDA′=2∠A.

探究 (2) 如果纸片沿直线DE折叠,使点A′落在△ABC的内部,如图2,试猜想∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系,并说明理由.

【分析】根据图2中∠A与∠DA′E是相等的,再结合四边形的内角和或三角形的外角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A.

解:∠BDA′+∠CEA′=2∠A.

方法一:在四边形ADA′E中,∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°,

∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA,

∵∠BDA′ + ∠ADA′ =180° ,∠CEA′ +∠A′EA=180°,

∴∠BDA′ + ∠CEA′ =360° - ∠ADA′∠A′EA,

∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E,

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得,

∴∠A=∠DA′E,

∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A.

方法二:

如图3,连接AA′.

∵∠BDA′=∠DA′A+∠DAA′,

∠CEA′=∠EA′A+∠EAA′,

∴∠BDA′+∠CEA′=∠DA′A+∠DAA′+∠EA′A+∠EAA′=∠DA′E+∠DAE.

∵∠DA′E=∠DAE,

∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A.

探究(3) 如果纸片沿直线DE折叠,使点A′落在△ABC的外部,如图4,试猜想∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系,并说明理由.

【分析】图4中由于折叠,∠A与∠DA′E是相等的,再两次运用三角形外角的性质可得结论.

解:∠BDA′-∠CEA′=2∠A.

方法一:

∵纸片沿DE折叠,

∴∠ADE=∠A′DE,

∠AED=∠A′ED,

∠A=∠A′.

∵∠BDA′=180°-∠EDA-∠A′DE=180°-2∠EDA,

∠CEA′=∠AED+∠A′ED-180°=2∠AED-180°,

∴∠BDA′-∠CEA′=(180°-2∠EDA)-(2∠AED-180°)=180°-2∠EDA-2∠AED+180°=360°-2(∠EDA+∠AED)=360°-2(180°-∠A)=360°-360°+2∠A=2∠A.

方法二:

如图5,DA′交AC于点F,

∵∠BDA′=∠A+∠DFA,∠DFA=∠A′+∠CEA′,

∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′,

∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′,

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得,

∴∠A=∠DA′E,

∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A.

探究(4) 将问题继续推广,如图6,将纸片四边形ABCD沿EF折叠,使点A、B落在四边形EFCD的内部,试猜想∠1 + ∠2与∠A、∠B之间的关系,并说明理由.

【分析】根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨.

解:∠1+∠2=2(∠A+∠B)-360°.

理由:∵四边形ABCD沿EF折叠,

∴∠AEF=∠A′EF,∠BFE=∠B′FE,

∠A=∠A′,∠B=∠B′.

∵∠1=180°-∠AEF-∠A′EF=180°-2∠AEF,

∠2=180°-∠BFE-∠B′FE=180°-2∠BFE,

点评以上几个探究的解题思路是相同的,主要运用三角形或四边形内角和定理及其推论进行证明,遇到折叠的问题,一定要找准相等的量,结合题目所给出的条件在图形上找出联系即可.

篇4：浅析一题多解与一题多变

【关键词】一题多解一题多变发散思维凝聚思维

一、启发联想诱发一题多解

联想是由一事物想到另一事物的思维过程,是能力的迁移.课堂上启发学生展开联想,进行发散性思维训练,可以帮助学生唤起对已有知识的回忆,新旧知识加以联系达到一题多解.

例1、若关于x的方程9x+a•3x+a+1=0有实数根,试求实数的取值范围.

解析:从方程左边的形式看是指数式与二次式相结合的,考虑换元法转化为二次函数知识求解.令

t=3x(t>0),则方程转化为t2+a•t+a+1=0(t>0)有根.

〈法一〉一元二次方程有正根可以分三种情况讨论

① 方程有两个正根,则必须满足条件

Δ0

t1+t2>0-1

t1•t2>0

② 方程有一个正根一个负根,则必须满足条件

t1•t2<0a<-1

③ 方程有一个正根一个零根,则必须满足条件

Δ>0

t1+t2>0a=-1

t1•t2=0

综上所述,实数a的取值范围为-∞,2-22

〈法二〉(反证法)假设方程无正根,则必须满足条件

Δ0

t1+t20 a2+22

t1•t20

或Δ<02-22

故a>2-22

从而,方程有根的实数a的取值范围为-∞,2-22

〈法三〉采用分离参数的方法求解

方程可进一步转化为 a=-t2+1t+1

令u=t+1(u>1),则上式转化为a=-(u-1)2+1u=-u+2u-2

由当u>1时u+2u22得a2-22.

所以,实数a的取值范围为-∞,2-22

说明:〈法一〉根据题意直接求解,需要分多种情况讨论

〈法二〉根据正难则反的思想,考虑问题的对立面求解,相对较简单

〈法三〉问题是求参数的取值范围,而参数容易分离出来,这类题目往往是转换为求函数的值域来求解,是一种很好的方法.

二、变式训练激活创造性思维

通过题设背景、设问方式、引申新问题等变换,考查学生灵活应变的能力.让学生亲历从“变”的现象中发现“不变”的本质,达到触类旁通,利用一种方法解决一类问题的能力.

例2、已知函数f(x)=x2-2x+3,在闭区间[0,m]上的值域为[2,3],则实数m的取值范围为.

解析:二次函数配方为:f(x)=(x-1)2+2,x∈[0,m]

由函数图象可知,1m2.

【变式训练】

1、已知函数f(x)=|log0.5x|在闭区间[a,b]上的值域为[0,2],则b-a的取值范围为.(答案:34,154)

2、已知函数f(x)=sin x在闭区间[a,b]上的值域为-12,1,则b-a的取值范围为 .(答案:2π3,4π3)

说明:本题主要考查数形结合思想的运用.在函数的解析式上加以变换,这就要求熟练掌握基本函数的图象的画法.

例3、已知x,y满足不等式组

0x10y22y-x1

试求目标函数z=2y-2x+4最大值.

【变式训练】

1、变目标函数分别为z=x2+y2,z=|x+y+2|,求z的最大值.

说明:这类问题考查目标函数的几何意义:

z=x2+y2表示A(x,y)与B(0,0)两点间距离的平方

z=y+1x-2表示点A(x,y)与B(2,-1)两点连线的斜率

z2表示点A(x,y)到直线x+y+2=0的距离

2、变目标函数为含参数的问题,使问题得到升华

变目标函数z=ax+y

说明:这考查过定点的直线系问题,与解析几何相联系.

3、变线性约束条件(线性约束条件不直接告诉,需要自己求解)

已知关于x的方程ax2+bx-1=0(a,b∈R,a>0)有两个实数根,其中一个根在区间[1,2]上,则b-a的最大值为 .

说明:本题利用二次函数根的分布知识得到关于a,b的不等式组,从而转化为线性规划知识求解.

参考文献:

[1]《中学生数学月刊》2008.7

篇5：一题多解方法巧

做数学应用题, 老师要求我们一题多解．开始, 我想: 把题做出来就行了, ｀多解＇不是｀自找麻烦＇吗?

但是, 当我按照老师的要求去做了一段时间以后, 我才感到这不但不｀麻烦＇, 而是挺有趣．如一道比例分配应用题, 我曾找出了｀归一＇、｀分数＇、｀比例分配＇、｀比例＇四种解法．

一次数学考试, 有一道题: ｀黄铜中, 锌和铜的比是3∶7, 现在有87.5 公斤铜, 应加入多少公斤锌才能炼出这种黄铜? ＇我马上就想到: 第一步先求黄铜总重量, 第二步根据锌占的比例数求出锌的重量．除此之外, 还有没有别的解题方法呢? 我很快又想出了另一种方法: 设锌重为x 公斤, 3∶7＝x∶87.5, 这样, 一步就算出了锌的重量是多少．用后一种解法, 速度快, 算得准, 能｀挤＇出时间来检查、验算其它的.答题．

北京市三里河三小六 (4) 班刘燕讲峦予记

聪聪学会了｀假定法＇

时钟敲了九下．

爷爷: 该睡觉了．

聪聪: 这道题还没做完, 用｀逆推法＇和｀图示法＇分析都不行．爷爷, 您说怎么办呢? 爷爷戴上老花眼镜, 仔细看题目: 甲乙两种戏票共20 张, 共用去4 元5 角．甲种票3 角, 乙种票2 角, 两种票各买了多少张?

爷爷: 这道题可以用｀假定法＇来分析．假定每张票价都是3 角, 20 张应付多少元?

聪聪: 一共付6 元．

(0.30x20＝6.00)

爷爷: 比原来的总钱数多了多少元?

聪聪: 多了1.50 元．

(6.00－4.50＝1.50)

爷爷: 为什么多算了1.50 元?

聪聪沉思了一会儿, 回答: 因为把票价是2 角的票都多算了1 角．爷爷: 2 角的票有多少张?

聪聪高兴地蹦了起来: 我会了! 我会了! 2 角的票15 张．〔1.50÷(0.30－0.20) ＝15〕3 角的票就是5 张． (20－15＝5)

爷爷又提了一个新问题: 假定20 张票都是2 角的, 你能按上面的过程分析吗?

聪聪很快列出了算式．少年朋友, 你能用｀假定法＇来分析解答吗?

湖南津市二完小文德训

篇6：一题多解培养思维能力

一道应用题的解题方法往往不是唯一的。因此，要学会从多方面多角度思考问题，以培养自己的思维能力。

例1甲、乙两人要运240吨货物，甲单独运8小时能运完，乙单独运6小时能运完，两人合作几小时能运完？

思路1：要求两人合作多少小时运完，必须先求出甲、乙两人每天各运多少吨，然后用总吨数除以每天合运的吨数即得。

1思路2：把这堆货物看成整体“1”，乙8

111，两人合运一天可以运这堆货物的（），用686

工作总量除以工作效率就得工作时间。

3例2一服装厂计划生产2500套服装，前6天完成，照这样计5

算，剩下的还要几天能完成？

思路1：先求剩下的任务，再求还要几天。

思路2：先求完成任务需要的时间，再求剩下的还要几天。思路3：剩下的任务包含几个6天所完成的任务，就需几个6天。

33另外，有一种简便的方法是：6÷×（1-）。你能说出这样列55

篇7：一题多解，曲径通幽(网友来稿)

武汉市汉南一中张大勇

一题多解在理科学习中经常用到，而在文科学习中却殊为少见。实际上，在语文等人文学科中一题多解同样大有用武之地，试以实例证之。

阅读下面一段文言文，根据要求答题。

郡民赵颍曾为乐陵太守，八十致事归。……天宝中，郡界大水，人灾，绝食者千余家。琼普集部中有粟家，自从贷粟以给付饥者。州计户征租，复欲推其贷粟。纲纪谓琼曰：“虽矜饥馁，恐罪累府君。”琼曰：“一身之罪，且活千室，何所怨乎?”

下列句子中加点的词语的意义，与现代汉语不同的一项是：

A密走私访，别获盗者 B资产巨富，在郡多有出息

C每见则谈问玄理，应对肃敬 D人灾，绝食者千余家

解法一：从词语本身着眼，抓语素，断词义。“私访”与“密走”相参照，“私”即“密”，“访”即“走”，合义“私下走访”古今无差异;“资”义“资财”，“产”义“产业”，“资产”为“资财产业”之义，古今同义;“应”与“对”均“答”义，“应对”一词今使用频率仍高，义未变;“绝”乃“断绝”义，“食”乃“饮食、食物”义。“绝食”文中义为“断绝食物”，今“绝食”字面义仍如此。但是，词义的范畴除了词语的文面意义外，还包含色彩、倾向等附加意义。今“绝食”的附加意义多表示抗议或自杀，此义于文中显然不合，故答案应选D。

解法二：立足文本，语境释义。可以将四个选择肢还原到文本之中，瞻前顾后，左右钩连，以境现义。“绝食者千余家”之前，有“郡界大水，人灾”之语，显然，食物断绝的原因是“天灾”，“千余家”是受害者;今之“绝食”当事者多是有目的、主动的，而非被动承受，“绝食”在这一点上古今差异是很明显的，故亦可断定答案应选D。

解法三：从答题技巧方面寻求答案。单选题答案具有唯一性和排他性，四个选项中只要对其中任何三项作出判断，整题的答案实际已明确。就本题而言，选择肢前三项相对容易判断，第四项即使拿不定主意，也无关大局，答案业已敲定(当然，第四项如能搞清楚心里会更有把握)。

上例一题多解主要是从单一角度着眼的，或从选项本身入手，或从文本本身入手，或从选择技巧方面入手。若在一题多解过程中作通盘考虑，灵活地借助多角度、多途径的结合，将使同一问题的解决呈现更广的思路，更多的.形式。仍以试题说明之。

依次填入下列两句中横线处的语句，与上下文连贯、音节和谐的一组是：

(1)每逢深秋时节，松竹山茶，色彩绚丽，美景尽览。

(2)远眺群山环抱，近看小河流水，茶园葱绿，松竹并茂。

①置身山顶，俯瞰槐榆丹枫， ②置身山顶俯瞰，槐榆丹枫，

③白云缭绕，层林叠翠; ④层林叠翠，白云缭绕;

A①③ B①④ C②③ D②④

解法一：语意和音韵相结合求解。题目所给出的两句话尽管不完整，但从其局部字数相等、句式对称等特征判断，这两句应是整句。整句除在字数、句式方面有要求外，还要求音韵和谐，而音韵和谐常常表现为两个方面：一是音节协调，二是合辙押韵。以这样的标准来审视这两句，第一句，应填入“置身山顶俯瞰，槐榆丹枫”，这样，“置身山顶俯瞰”与“每逢深秋时节”均为六字，“槐榆丹枫”与之后的“松竹山茶，色彩绚丽，美景尽览”均为四字，前后不仅字数整齐，句式对称，而且“瞰”“览”押韵，语句畅通。第二句，若填入“白云缭绕，层林叠翠”，则全句的韵脚分别是“抱”、“翠”、“水”、“茂”，押韵不好;若填入“层林叠翠，白云缭绕”，韵脚则变为“抱”、“绕”、“水”、“茂”，音韵和谐，表达流畅。综上，答案应选D。

解法二：语意和逻辑相结合求解。第一句，可抓住结尾处“美景尽览”四字作点文章。空白处若填入“置身山顶，俯瞰槐榆丹枫”就会出现一个问题，“俯瞰槐榆丹枫”是一动宾短语，强调的是动作，这样，它就与收束全句的“美景”产生抵触，即“俯瞰槐榆丹枫”不是“美景”--“槐榆丹枫”才是“美景”;另从语意上看，“俯瞰槐榆丹枫”与“美景尽览”雷同，有必要让“俯瞰”与“槐榆丹枫”脱离接触，在大的意义上让“俯瞰”与“尽览”、“槐榆丹枫”与“美景”产生照应。第二句，从小河、茶园、松竹的地理位置判断，近看的空间顺序是由低到高，根据整句对称的特点，远眺的顺序也应如此，这样才合逻辑。至此，答案已水落石出。

解法三：音韵和逻辑相结合求解。

解法四：句式和逻辑相结合求解。

三、四两种解法实质上是一、二两种解法的分拆重组，不赘述。多管齐下式的一题多解能够在短时间内找到问题的突破口，并能提高答案的正确系数。

通过以上两例不难看出，语文试题一题多解的运用面相当宽广，一题多解的方式、角度也是相当灵活多样的。语法、修辞、逻辑、文本以及题目本身透露的要求、暗示等均可作为一题多解的凭借，视具体情形，可选择单用或联用。

一题多解益处多多，首先有利于培养应变能力和立体审视问题的能力。“能力立意”已成为各类考试命题的指导思想，有备方能无患，备考只有以能力为本，才能以不变应万变。事实证明，有意识地进行一题多解的训练是提高备考含金量、特别是能力含金量的便捷途径。其二，有利于知识的整合，可以打通各种知识、各种能力的关联。一题多解往往需要全方位调动诸种知识和能力，知识和能力的分拆、联用、换位等经常被用到，一题多解的过程既是知识得以梳理、能力重新整合的过程，又是知识、能力水准得到融合提升的过程。其三，有利于培养处变不惊、出奇制胜的心理品质和宽广的视野。

篇8：“算法多样化”与“一题多解”

程序设计类课程对于初学学生来说, 是一门既有挑战, 又有点难度的课程。学得好的同学就是高手, 不能入门的连考个及格都困难。因此教师教授这类课程时, 肯定不能照本宣科, 也不能简单按模块教学, 应该围绕培养学生的计算思维展开。

即以典型的专题为载体, 用思维训练来贯穿整门课程。精选案例, 对每个案例发散展开, 精讲多练, 并让学生进行自主的循序渐进的实践训练。

案例或载体的选择原则如下:应该选择一些基础性的综合的案例。这些案例蕴含了:1) 基本知识如语法、丰富数据类型;2) 凸现程序基本结构;3) 能带有一定典型算法。举例来说, 杨辉三角带有组合问题数学背景, 蕴含了循环结构和二维数组操作的案例。斐波拉契数列蕴含了迭代或递归等多个循环算法的案例。润年就是一个蕴含一个逻辑结构、选择结构算法的案例。

我们对案例内的一些内容作一些约定, 比如基础算法选择结构、基本循环、基本双重循环、简单的数据结构都成为原子的知识或技能点或能力点。比如输出一个长方形的*形图案, 考核的是对双重循环的掌握, 我们认为这个长方形的*形图案是简单的、原子的能力点。还有上三角*也是原子的能力。而棱形*图案, 我们认为它是复杂的, 它对循环控制的要求较高。举例来说, 下三角的输出就是一个原子能力点, 代码如下:

后续文中提到的原子能力点, 大家就不会感到突兀了。

2 何谓一题多解

这里讲到的一题多解, 可以是从分析—设计—实现过程中任何可能的变化都可以提取到解题方法, 谓之多解。多解的思维的一定是发散性的, 发散了那么多的思绪, 得到那么多解, 如何传授的完毕。因而, 在操作前老师, 其实, 都已经结合课程的内容, 来准备案例了, 将一些无关C语言课程的思绪撇开, 保持集中几个重点, 从经典的方法中挖掘思维, 授课。

但是, 到此如何终止那么学生是得不到锻炼的, 因而, 留下思考的空间给学生还有其他的解法吗, 自己去动脑筋, 考虑的方向, 依然是用C规范范畴, 可以结合数据结构或者算法或者根据问题的定义去设计解法, 得到答案, 要反馈总结, 如, 逆向思考, 自己做得C程序的解是否有数据结构的局限性, 存储空间的局限性, 方法本身的局限性。甚至C都弄清楚后, 对于一般程序设计的解法是什么, 又进行了合并、推理、推广, 得到新一轮提升。

3 杨辉三角与一题多解的计算思维

以杨辉三角为例谈一题多解的问题。得到我们的第一步:

1) 待求解问题。

我们会先考虑分析其数学背景, 为多项式系数问题, 得到第二步:

2) 转换与替代:把求解问题抽象成数学问题, 需要有高中的数学背景知识。

从数学的角度递进得到, 系数与组合的关系。

每个具体的数字是Cmn, 就是三者阶乘 (m!/ (m-n) !) /n!, 到此, 一种计算杨辉三角的方法诞生了:编写原子的求阶乘的函数, 用单重循环实现, 数学问题被替代成自然杨辉的C语言编码:数学的三者相除, 被替代成三次调用此阶乘函数, c (i, j) =f (j) /f (i-j) /f (j) , 得到杨辉三角的每个系数, 下一步,

3) 类比发现隐含的相似性, 杨辉三角的形状同C原子能力点下三角*输出形状相似, 输出方法可以调用前面学过的知识, 完成, 杨辉三角的每个数据的输出方法。

类比得到:

4) 对求解结果, 总结反馈不难发现, 大数值的阶乘计算用普通的C的数据类型比较麻烦, 因为, C整数存储数据的空间小, 导致数据范围小, 这种方法在实际应用中可能会有瑕疵, 因而, 需要对阶乘函数进行修改。如何修改, 我们说可以从组合的定义出发得到算法, 因而, 又要从定义出发重新思考, 对C (i, j) 的进行设计;引出新的编写代码的思维。

再进一步, 把调用也跟学生讲了, 补充课程的新知识, 此为顺势而为, 学生平稳接受;5行杨辉三角的每个元素直接输出

呼应了第二步设置;本步骤阶乘的实现方法借用了数学手算的方法, 对过去知识的一种回顾, 更能激起学生的思维。按理至此, 就可以停了, 但是, 我们总是希望自己的知识能更上一层楼。因而, 进一步观察杨辉三角形状不难发现更多的规律, 得到下一步:

5) 从数据中, 发现数据的规律。

此方法中, 最左列全1, 对角线全1, 其他元素 (如2) , 由其正上方的元素 (如1) 与左上角的元素 (如1) 相加得到。从算法中, 我们看到有多个数的相加, 需要存储数据, 杨辉三角又要结合新的知识二维数组, 一举多得。依据获得的规律编写C代码, 具体如下:非常自然得到C代码, 注意其中的语法, 数据定义, 数据的赋值, 数据的计算, 数据的输出。

6) 留下想象的余地给学生思考。

杨辉三角是一个有数学背景的问题, 对于杨辉三角的每个数据, 就是一个多项式系数问题, 系数问题可以用组合方法求解, 也可以系数累加, 程序迭代的方法得到。讲解的过程又可以分多种具体的实现方法。

学生可思考不用二维数组做存储空间, 还要利用第5步的数据关系来实现, 预告C语言中函数的递归, 让学生探索, 预习。同时, 也允许学生创造性思维得到其他的解题方法。

4 总结

本文从教学和思考两个环节谈了用思维贯穿程序设计类课程的方法, 其步骤一般包括:“分析-转换-替代-细化-优化-反馈”, 希望同学们能真正理解思维方式, 并利用好思维。

参考文献

[1]李小遐.高职《C语言程序设计》课程教学方法探析[J].陕西国防工业职业技术学院学报, 2006, 16 (3)

[2]常娟, 李建平.C语言程序设计多媒体教学探讨[J].山西科技, 2007 (2) .

篇9：教材题目的一题多解与一题多变

一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.

总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.

（责任编辑金铃）endprint

教学中紧扣课本，挖掘教材中的经典练习题潜在的内涵，让学生进行对比、联想，采取一题多解与一题多变是一种有效的教学手段.巧用典型题的多解与多变，既能加深学生对各章节基础知识的理解，又可培养学生的探索问题和解决问题的能力.本文将通过教材中两个例题的教学，谈谈对一题多解与一题多变的认识.

一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

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一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

篇10：浅谈初中数学几何中的一题多解

——读《初中数学一题多解》

殷锐

摘要数学充满着浓厚的趣味性和挑战性，数学教学应体现其科学性，尊重学生的个体差异，尽可能满足学生的多样化学习需求，让学生根据自己的实际感受不同层次的学科味，实施多样化学习，选择不同层次的练习，同一练习对学生提出不同层次的要求，适时进行“一题多解”训练培养发散思维。课堂教学中问题情境的设计，教学过程的展开，练习的安排要尽量体现发散思维，让学生真正在几何数学的思维上有所提高。

初中几何教学“添加适当的辅助线”至关重要，在教学过程中，根据学生的实际情况，要求每位学生收集3—5题有关三角形添加辅助线的典型练习，汇集到各组小组长处，各组组长组织小组成员互相讨论选择出3题具有代表性的题目课前上报到老师处，老师适当选择几个有层次性的展示出来作为课外作业，小组根据课外作业讨论寻找不同辅助线的添加方法，以达到“一题多解”，再通过课堂组织学生共同探讨何种 “辅助线”的添加方法最有效。这样，让学生来选教材，根据学生的需要来选教材，有利于调动学生课外学习数学的积极性与主动性。更增加了学生的数学交流，其中学生敏捷的思路很令我折服。其中一题给我留下了深刻的印象：

八年级学习矩形性质时学到：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”关于这一定理逆命题的证明学生通过添加不同的辅助线得出各种证明方法，还有的学生利用折纸的方法进行说理，学习过《圆》以后我们还可以给出下面的证明方法：

篇11：五年级数学下册一题多解练习题

班级_____学号________姓名_________

1.一件商品，原价是300元。现在打九折销售，降价几元？

方法一：方法二：

2.小明读一本300页故事书，第一周看了

21，第二周看了，两周共看了几页？

35方法一：方法二：

3.小明读一本300页故事书，第一周看了

21，第二周看了。还剩下几页没看？

35方法一：方法二：

4.小明读一本故事书，第一周看了

21，第二周看了。第一周比第二周多看了

3520页。这本故事书有多少页？

方法一：方法二：

5.小明读一本故事书，第一周看了

21，第二周看了。两周一共看了220页。

35这本故事书有多少页？

方法一：方法二：

6.姐姐和弟弟都爱好集邮票，两人一共集了96张邮票。姐姐集的邮票是弟弟的3倍，姐姐和弟弟分别集了多少张邮票？

方法一：方法二：

7.甲乙两辆车同时从相距500千米的A、B两地出发, 经过2.5小时后两车相遇。已知甲车每小时行60千米，乙车每小时行多少千米？方法一：方法二：

3958.做一个长厘米，宽厘米，高厘米的长方体框架，至少需要多长的铁丝？

486（接头处忽略不计）

方法一：方法二：

9.把一个长10厘米，高和宽都是5厘米的长方体分割成两个大小相等的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？

方法一：方法二：

10.把一块长30厘米，宽20厘米的长方体铁皮，在四只角上剪掉4个边长是5厘米的正方形，折成一个无盖盒子。表面积是多少立方厘米？方法一：方法二：

11.*有一个长方体水箱，从里面量得长是80厘米，宽是50厘米，高是60厘米，此时水箱中水深是20厘米。如果在水箱中放入一个棱长是40厘米的正方体铁块，铁块有一部分没有被水浸没。这时水箱中的水深多少厘米？（正方体铁块的一个面与水箱底面紧贴）

篇12：“算法多样化”与“一题多解”

问题背景:数学相对于其他学科来说具有抽象、逻辑性强的特点，而小学生又以形象思维为主，所以有很多学生觉得数学枯燥，对数学不感兴趣。因而在学习了比例尺这一单元后，我想借助比例尺与分数应用题、比之间的联系，编一道一题多解的应用题，以此为契机使学生体会到数学的博大精深与奥妙无穷，进而激发学生学习数学的兴趣。

解决问题过程:甲、乙两地的图上距离是4厘米，比例尺是1:3000000，求实际距离是多少千米？

请同学们先自己做，然后小组合作交流，看哪个小组用的解题方法多？学生先是自己冥思苦想，继而小组成员热烈讨论，最后小组代表积极发的言，最终经过全班同学通过的有以下5种方法: 第一种:根据比例尺的定义用方程解。解:设甲、乙两地的实际距离是X厘米。4:x=1:3000000 x=4X3000000 x=12000000 12000000厘米=120千米

这种方法是根据比例尺的意义列出的方程，同学们都能列出。第二种方法:把1:3000000写作:1/3000000，这样单位“1"就是实际距离，根据分数应用题的意义列式为: 4÷1/3000000=4x3000000=12000000厘米=120千米

这种方法是把比例尺这个比转化为分数，进行及计算。成绩较好的学生能想出来，在小组合作探究环节，中下游的学生能够理解这种算法。第三种:根据比例的分配，列式为: 4÷1X3000000=12000000厘米=120千米

这是六年级上册学习的内容，有部分学生想不到，只要小组交流时有学生提出这一方法，大部分学生立刻能理解的。

第四种:因为图上距离:实际距离=比例尺，也就是图上距离÷实际距离=比例尺，（因为两个数相除又叫两个数的比，比与除法是有联系的），根据除数（实际距离）=被除数（图上距离）÷商（比例尺），列式为: 4÷1/30000000=4x3000000=12000000厘米=120千米这种方法与第二种方法列式一样，但式子意义讲解不同。这一方法想出来的学生比较少，衔接有点复杂，但不难理解。第五种:把数值比例尺转化为线段比例尺。

3000000厘米=30千米(表示图上1厘米代表实际距离30千米)30X4=120千米。

这一方法是发散思维能力较强的学生想出来的方法。

这节课不论是小组交流还是全班交流都十分热烈，不时迸发出来的方法，让学生感到惊奇，同学的讲解又让他们产生了恍然大悟的感觉。于是学生在一次次的惊奇与恍然大悟中体悟到了数学的无穷奥妙。下课铃响了，学生们还意犹未尽，我听到他们又开始讨论那种方法容易理解，那种方法计算简洁。

课下反思：我真没想到“一题多解”学生们分析的这么深刻，我觉得这道题的设计有以下意义:

1、复习了旧的知识（分数应用题、比、比例分配、除法），巩固了新知识（比例尺）。

2、学生们搭建起了新、旧知识联系的桥梁。（比例尺就是比，比可以转化成分数，也可以转化成除法）

3、锻炼了学生运用旧知识解决新问题的能力，培养了学生发散思维能力。

4、激发学生求知的欲望。

5、使学生认识到合作探究的意义，因为任何一个人不可能想出这么多解题方法，合作探究，使每个小组的同学群策群力，达到了事办功倍的效果。

6、最大的意义是学生体会到了数学的奥妙，激发了孩子们学习数学的兴趣。

篇13：“算法多样化”与“一题多解”

一、一题多解

一题多解的教学, 不仅可以通过少量的问题去沟通各部分知识间的联系, 拓宽解题的思路, “以少胜多”, 而且有利于培养学生探求的精神和对数学研究的兴趣, 培养学生的思维品质, 发展学生思维能力.

对于教师而言挖掘习题中的“一题多解”是教学技能的必备一环.从解题角度来看, 准确把握解题目标, 紧扣解题目标, 抓住要害特征, 促使思维发散, 通过变化观察角度, 积极寻找解题方向, 形成方向性解题分析, 进而再联系沟通各部分知识研究出每一解题方向下的具体解法, 达到挖掘“一题多解”的目标.

分析一:抓住OA⊥OB这一解题目标, 准确把握“垂直”这一概念在直线方程上看, 其特征为k1k2=-1, 从而明确k1k2=-1这一解题方向.继而分别从①斜率公式, 求出交点, 然后求得kOAkOB=-1;②通过韦达定理整体求出x1x2, y1y2的值, 从而有kOAkOB=-1;③抓住过原点直线的斜率 $k = \frac{y}{x}$ 这一特征构造出kOA, kOB为一个方程的两个根, 由韦达定理求出kOAkOB=-1这三种具体途径得到证法1、证法2、证法3三种解法.

证法1: (斜率公式) 将y=x-2代入y2=2x中, 得 (x-2) 2=2x化简得x2-6x+4=0解得 $x = 3 \pm \sqrt{5}$ 则

$\begin{array}{l} y = 3 \pm \sqrt{5} - 2 = 1 \pm \sqrt{5} . \\ ∵ k_{Ο B} = \frac{1 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}, k_{Ο A} = \frac{1 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}, ∴ k_{Ο B} \cdot k_{Ο A} = \frac{1 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{1 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{1 - 5}{9 - 5} = - 1 . \end{array}$

∴OA⊥OB. (课本给出)

证法2: (韦达定理) 同证法1得方程x2-6x+4=0.由一元二次方程根与系数的关系, 可知

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 6, x_{1} x_{2} = 4, ∵ y_{1} = x_{1} - 2, y_{2} = x_{2} - 2, \\ ∴ y_{1} \cdot y_{2} = (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = x_{1} \cdot x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 = 4 - 12 + 4 = - 4 . \\ ∴ k_{Ο A} \cdot k_{Ο B} = \frac{y_{1}}{x_{1}} \cdot \frac{y_{2}}{x_{2}} = \frac{y_{1} y_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{- 4}{4} = - 1 . ∴ Ο A ⊥ Ο B . (课本给出) \end{array}$

证法3: (构造法) 由

${\begin{cases} y = x - 2 ‚ \\ y^{2} = 2 x \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} 2 = x - y ‚ \\ y^{2} = 2 x \end{cases} \Rightarrow y^{2} = (x - y) x \Rightarrow y^{2} + x y = x^{2} \Rightarrow (\frac{y}{x})^{2} + (\frac{y}{x}) - 1 = 0 .$

从而OA、OB的斜率k1, k2是方程 $(\frac{y}{x})^{2} + (\frac{y}{x}) - 1 = 0$ 的根, ∴k1k2=-1, ∴OA⊥OB.

分析二:抓住OA⊥OB这一解题目标, 准确把握“垂直”这一概念从向量特征看, 是 $\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = 0$ , 从而明确 $\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = 0$ 这一解题方向.再利用韦达定理及 $\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 得出 $\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = 0$ .得证法4.

证法4: (向量法) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则 $\vec{Ο A} = (x_{1}, y_{1}) ‚ \vec{Ο B} = (x_{2}, y_{2})$ ,

由证法2得 $x_{1} x_{2} = 4, y_{1} y_{2} = - 4, ∴ \vec{Ο A}$ 与 $\vec{Ο B}$ 为非零向量,

且 $\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 4 + (- 4) = 0, ∴ \vec{Ο A} ⊥ \vec{Ο B}$ , 即OA⊥OB.

分析三:抓住OA⊥OB这一解题目标, 准确把握“垂直”这一概念从三角形知识看, 可用勾股定理来证明垂直, 同时运用两点间距离公式、弦长公式等知识得证法5.也可用面积法来证明垂直, 同时运用两点间的距离公式、弦长公式和点到直线的距离公式等知识得出证法6.

$\begin{array}{l} 证法 5 ∶ (勾股定理) 由证法 1 知 A (3 - \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}) ‚ B (3 + \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}) ‚ \\ | Ο A |^{2} = (3 - \sqrt{5}) + (1 - \sqrt{5})^{2} = 20 - 8 \sqrt{5} ‚ | Ο B |^{2} = (3 + \sqrt{5})^{2} + (1 + \sqrt{5})^{2} = 20 + 8 \sqrt{5} ‚ \end{array}$

∴|OA|2+|OB|2=40, 由证法2知x1+x2=6, x1x2=4, 由弦长公式得:

$\begin{array}{l} | A B |^{2} = [\sqrt{1 + k^{2}} \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}}]^{2} = (1 + 1^{2}) \cdot (6^{2} - 4 \times 4) = 40 ‚ \\ | Ο A |^{2} + | Ο B |^{2} = | A B |^{2}, 即 Ο A ⊥ Ο B . \end{array}$

证法6: (面积法) 由证法5知,

$| Ο A | \cdot | Ο B | = \sqrt{| Ο A |^{2} | Ο B |^{2}} = \sqrt{(20 - 8 \sqrt{5}) (20 + 8 \sqrt{5})} = \sqrt{80} ‚ | A B | = \sqrt{| A B |^{2}} = \sqrt{40}$ ,

而原点O到直线AB的距离 $d = \frac{| 0 - 0 - 2 |}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ‚ ∴ d \cdot | A B | = \sqrt{2} \times \sqrt{40} = \sqrt{80} ∴ S_{△ A B Ο} = \frac{1}{2} d \cdot | A B | = \frac{1}{2} | Ο A | | Ο B | . ∴ △ A B Ο$ 为直角三角形, 即OA⊥OB.

从上述证法中, 我们可以得到这样的启示:“一题多解”是一个思维发散的过程, 从数学思想的层面看, 其核心就是“转化”的思想, 从中寻找规律, 实施解题, 这是解决数学问题的一般规律.面对一道数学题, 如何把握解题目标的反映形式, 找到解题方向, 最终找到具体解题方法, 还是有一定的规律可遵循的.要善于观察条件与解题目标的特征, 运用自己的知识与技能, 找到解题方向, 再抓住方向特征的展现形式, 多角度分析, 调动一切积极因素, 形成有效的多种解题途径, 实现“一题多解”.

二、变式训练

变式, 是指相对于某种范式的一种变化式.在解题过程中, 从知识的正向迁移到逆向化归, 每一步都体现了“变”的思想.学会变式, 就是要观察数学问题是如何从简单演变、派生到复杂的, 理解“变式”的基本思路, 掌握变式的思维方法, 学会归纳出解决问题的方法、策略与技巧.加强变式训练, 对提高思维的辨证能力, 拓展解题思维的渠道, 促进思维向自觉领悟阶段转变, 都具有不可替代的作用.因此, 我们对例题进行一题多解的探究后, 还应进一步一题多变.

分析1:将直线y=x-2变成y=x+b, 把常数-2变为变量b, 转换问题呈现形式, 得到变式1.

变式1:已知直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于A、B两点, O为原点, 且OA⊥OB, 求证:b=-2.

分析2:将直线y=x-2变成y=kx-2, 把常数1变为变量k, 转换问题呈现形式, 得到变式2.

变式2:已知直线y=kx-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点, O为原点, 且OA⊥OB, 求证:k=1.

分析3:将抛物y2=2x线变成y2=2px (p>0) , 把常数2变成变量2p, 转换问题呈现形式, 得到变式3.

变式3:已知直线y=x-2与抛物线y2=2px (p>0) 相交于A、B两点, O为原点, 且OA⊥OB, 求证:p=1.

分析4:将直线y=x-2变成y=kx+b, 把两个常数1和-2变为变量k和b, 转换问题呈现形式, 得到变式4.

变式4:已知直线y=kx+b与抛物线y2=2x相交于A、B两点, O为原点, 且OA⊥OB, 求证:b和k满足条件b2+2bk=0, 且b≠0.

笔者通过一道课本例题的“一题多解” 与“一题多变”探讨, 希望能给读者带来一些帮助.

参考文献

[1]宁连华.数学学科探究学习的特征及其指导策略[J].数学通讯, 2004 (7) .

篇14：“算法多样化”与“一题多解”

【关键词】一题多解一题多变高中数学教学运用

高中数学内容比初中数学内容更加丰富，而且知识点的相关性更强。所以高中数学老师在授课过程中，应该注意培养学生的逻辑思维能力。教师帮助学生在掌握分单元知识的同时，形成知识体系，采用关联记忆相互促进理解的方式，激发学生的学习兴趣。数学学习离不开习题练习。数学习题的形式灵活多变，通常不会只有单一解，或者相同案例通常存在不同角度的问题。所以教师在教学过程中，可以合理运用一题多解或者一题多变的形式，提高学生的学习积极性，引导学生扩展思维，提高课程学习效果。

一、一题多解和一题多变的运用原则

一题多解是指同一个数学问题可以使用不同方法求解。一题多解要求学生对于数学基础知识的掌握非常娴熟。因为要做到一题多解，学生要从不同角度对问题进行分析，所以要求学生对于知识掌握更加全面。一题多变是变化题目条件和所求对象，由一个原始题目转化出多个题目的方法。一题多变的练习可以帮助学生加深对题目的理解，熟练掌握相关知识形式的转换，增强对知识的触类旁通。对于一题多解和一题多变在数学教学过程中的应用，教师要做到因材施教，对数学基础好且学习兴趣强的学生，鼓励引导其深入研究问题，努力用不同方法答题。这样不仅可以激发学生探索新知识的热情，还可以帮助学生加深对知识的掌握。但是对于数学基础薄弱的学生，教师不能一味要求其追求多方式求解，这样只会让学生对数学学习产生抵触情绪，降低学习效率。

二、一题多解和一题多变的运用策略

（一）选择经典例题

数学教学过程中，教师选取例题的质量对教学效果有显著的影响。好的教学例题为教师引领学生从多个角度解答提供了条件，所以教师在教学、备课过程中要有意识地选择不同方法或者可以通过变化得到其他题目形式的经典例题。

（二）设置变式题组梯度

数学学习过程是一个循序渐进的过程，学生学习新知识后，需要利用一题多解或者一题多变来进行知识扩展迁移，帮助学生在构建自身学习体系的同时，提高思维能力。在利用一题多解和一题多变扩展知识的过程中，教师要注意设置合理的迁徙梯度，让学生顺畅递进地进行知识扩展，主动巩固原有知识，锻炼逻辑能力。

三、一题多解和一题多变在数学教学中的应用举例

（一）一题多解例题

选取例题：已知x、y都是大于零的自然数，已知，问x、y乘积的最小值是多少？利用这道例题介绍一题多解的应用形式。

首先，可以利用基本不等式的方法求解，利用基本不等式a+b≥2，目的是在于得到包含xy的不等式2，所以2，得到xy≥8。当且仅当x取2，y取4时，xy取最小值为8。

其次，可以巧妙利用已知条件中的等式对所求对象进行变换，具体变换如下：xy=（）xy=y+2x≥2。得到不等式xy≥，求解变换后的不等式，得到结果：当且仅当x=2，y=4时，xy取最小值，最小值等于8。

通过类似例题的一题多解过程，学生的学习兴趣被充分激发，主动研究是否有更简单的方法进行求解，在巩固了已掌握知识的同时，又拓展了思维。

（二）一题多变例题

教师在应用一题多变的方法授课时，要注意紧绕题根，题目变化的目的是为了加深学生对于某个固定知识点的掌握，虽然题目形式发生改变，但是应用的知识点是一致的。我们选用例题：已知|x|=4，|y|=8两个向量夹角是60度，求解x（y-x）的值。这是一种比较简单的问题形式，学生在解题过程中应用了向量数量积的公式xb=|x||b|cos。那么教师也可以通过简单的题目条件的变换，使学生对于向量数量积公式的掌握更加熟练。例如：若|x|=4，|y|=8，而且向量x垂直于向量b-a，那么向量x、y的夹角是多少？

教师在应用一题多变的形式进行数学教学时，要注意对于题根的把握不能偏移。变换题目形式是为了让学生对知识的利用更加灵活，思考问题的方式更加灵活。所以在练习过程中，教师要注意引导学生不断归纳总结，对相关题型的解答更加熟练。

四、结论

综上所述，一题多解和一题多变的数学教学方式有助于培养学生的逻辑思维能力，帮助学生建立数学学习的知识体系。使学生发现高中数学学习的乐趣，增强学习积极性。所以，高中数学教师要积极探索此类方法在教学过程中的灵活应用，不断提高自身的素质和教学水平，促进高中数学教学事业的发展。

【参考文献】

[1]高山林.一题多解和一题多变在高中数学教学中的应用问题探讨[J].高考（综合版），2014（10）：92-93.

[2]季锦成.一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用[J].中学课程辅导（江苏教师），2011（06）：41-42.

[3]王胜超.“一题多解”与“一题多变”在高中数学教学中的应用[J].数学大世界（中旬版），2016（01）：54-55.

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