罗尔定理及其推广

2023-01-28

罗尔定理在高等数学中占有非常重要的地位, 但其定理的限制条件过于苛刻, 为了能够广泛的应用罗尔定理解决一些问题, 下面对其进行推广。

1 罗尔定理

若函数f满足如下条件: (i) f在闭区间[a, b]上连续; (i i) f在开区间 (a, b) 内可导; (a, b) f (a) =f (b) , 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f′ (ξ) =0。

证明:因为f在[a, b]上连续, 所以有最大值和最小值, 分别用M和m表示, 现分两种情况来讨论: (1) 若m=M, 则f在[a, b]上必为常数, 从而结论显然成立; (2) 若m

2 推广的罗尔定理

推广1:设 (a, b) 为有限区间, f (x) 在 (a, b) 内可微, 且xli→ma+f (x) =xli→mb-f (x) =A (A为有限值) , 则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使f′ (ξ) =0。

证明:令容易验证F (x) 在[a, b]上满足罗尔定理的条件, 故∃ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =f′ (ξ) =0。

推广2:设 (a, b) 为有限或无限区间, f (x) 在 (a, b) 内可微, 且则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使f′ (ξ) =0。

证明:若A=+∞, 有f (x) 在 (a, b) 内的连续性知, 当c>0充分大时, 直线y=c与曲线y=f (x) 至少有两个交点 (x1, f (x1) ) , (x2, f (x2) ) ,

即f (x1) =f (x2) =c, 且x1, x2∈ (a, b) 。不妨设x1

推广3:设 (a, b) 为无限区间, f (x) 在 (a, b) 内可微, 且, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使f′ (ξ) =0。

证明:方法一:若f (x) 恒等于A, 则结论成立;若f (x) 不恒等于A, 则∃x0∈ (a, b) , 使得f (x0) ≠A.不妨设f (x0) >A, 取ε>0任意小, 使f (x0) >A+ε仍然成立, 则直线y=A+ε与曲线y=f (x) , 至少有两个交点 (x1, f (x1) ) , (x2, f (x2) ) , 即f (x1) =f (x2) =A+ε。不妨设x1

方法二:利用变量替换构造复合函数, 也可得到上述结论。

而g′ (τ) =f′ (tanτ) ⋅sec2τ, sec2τ>0, 于是取ξ=tanτ∈ (-∞, +∞) , 就有f′ (ξ) =0。

(3) 若a=-∞, b为有限值, 即 (a, b) = (-∞, b) , 作变换, 其中s为负数, 令, 则g (t) 在 (s, b) 上满足推广1的全部条件, 故∃τ∈ (s, b) , 使g′ (τ) =0。

于是取, 就有f′ (ξ) =0。

3 罗尔定理的应用

例1 设f (x) 在[0, +∞) 内可微, 且满足不等式, ∀x∈ (0, +∞) 。

证明:存在一点ξ∈ (0, +∞) , 使得。

例2 设函数f (x) , g (x) 在 (a, b) 上二阶可微, 并且g′ (x) ≠0。

证明: (1) 反证法。若∃η∈ (a, b) , 使得g (η) =0, 对g (x) 分别在 (a, η) 和 (η, b) 上用推广1, 于是有ξ1∈ (a, η) , ξ2∈ (η, b) , 使得g′ (ξ1) =g′ (ξ2) =0.再对g′ (x) 在[ξ1, ξ2]上使用罗尔定理, 于是∃ξ3∈ (ξ1, ξ2) , 使得g′ (ξ3) =0, 与题设g′ (x) ≠0矛盾, 故在 (a, b) 内g (x) ≠0。

(2) 分析法。令ξ=x, 则欲证结论

令F (x) =f (x) ⋅g′ (x) -g (x) ⋅f′ (x) , 由题设条件知, F (x) 在 (a, b) 内可微, 并且, 由推广1可知, ∃ξ∈ (a, b) 使得F′ (ξ) =0。

即f (ξ) ⋅g′ (ξ) -g (ξ) ⋅f′ (ξ) =0。由于g (ξ) ≠0, g′ (ξ) ≠0, 故。