微分中值定理总结

2024-05-01

微分中值定理总结（共8篇）

篇1：微分中值定理总结

第五章微分中值定理

一，罗尔（Rolle）中值定理费马（Fermat）引理：设fx在点x0取得极值，且f/x0存在则f/x0=0。解析：几何意义：曲线在极值点处的切线是平行于x轴的。

2罗尔（Rolle）中值定理：函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）并且在闭区间a,b的端点函数值相等，即：fafb，那么在开区间a,b内至少有一点使得f/0。

解析：⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。

⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况，给出了点的具体位置和计算方法（与Lagrange中值定理的区别）。

⑶几何意义：若连接曲线两端点的弦是水平的，则曲线上至少有一点的切线是水平的。⑷两个推论：①推论1：如果函数fx在区间a,b内的导数恒等于零，那么函数fx在区间a,b内是一个常数。②推论2：如果函数fx在区间a,b内处处有

。f/xg/x，则在此区间内fxgxC（常数）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数fx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）那么在开区间a,b内至少有一点ab使等式fbfaf

该定理的其它几种表示形式：⑴f//ba成立。fbfa ba

AB解析：反映其几何意义：如果连接曲线yfx的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦AB。

⑵令aba,01则fbfaf/ababa,01。解析：由于的特定取值范围，所以在证明不等式时较常用，若令ax0,bx0h那么有：fx0hfx0f/x0hh,01。

⑶有限增量公式：如果用x表示ba则函数增量yfbfa，这时该定理变成yf/x。

解析：⑴从理论上与微分的区别：该公式准确的表明了函数增量与自变量增量（不要求其趋第1页

于零或比较小而仅要求其为有限增量）的关系，而微分只能近似的表示这一关系，并且要求

x比较小，而且当x0时dy表示y的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去

近似表示函数值的改变量。⑵类比与上式，则还可表示为yf三，柯西(Cauchy)中值定理

设两个函数fx和gx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）且g/x在a,b内每一点均不为零，则在a,b内至少存在一点使得

xxx,01。

fbfaf/,ab成立。gbgag/解析：⑴要求分子与分母中的是同一个值。⑵

类

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

为

fx0hfx0f/x0h

,01。

gx0hgx0g/x0h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理间的关系

xxfafb

CauchygLagrangeRolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定义：若fx在a,b上有直到n阶连续的导数，在开区间a,b上n1阶导数存在，则

对

于

任

意的x,x0a,b

有：

fxfx0

x0

1！

xx0

x0

2！

xx0

fnx0xx0nRnx其中

n！

fn1称为余项（与误差估计有关）。其中当x0xx0n1（介于x与x0之间）Rnx

n1！

取零时的泰勒(Taylor)公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式。

解析：使复杂函数成为简单函数的有效方法。2 各种形式的泰勒(Taylor)公式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒

(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx02nn

Taylor:fxfxxxxxxxxx,xx000000

1！2！n！///n

Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnxn,x01！2！n！





⑵带有Lagrange余项的泰勒(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx0fn12nn1

Taylor:fxfxxxxxxxxx00000

n11！2！n！

///nn1

xxn1,01Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnf

n11！2！n！

⑶

带

有

Cauchy

余

项的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

nfkx0

xx0kfxn1

xnm,xxm!fk！k0Taylor:0m

gkx0n!gn1k

xx0gx 

k！k0

nxx0xnn1fkx0k

xx0fCauchy:令gxx,m0则fxk！n！k0

⑷带有积分余项的泰勒(Taylor)公式：

fkx01xn1kn

Taylor:fxxxftxtdt0x0

k！n！k0

kn1n1f0kxnn1Maclaurin:fxxfxt1tdt0k！n！k0常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

x3x5x2n1x2k1n1k12n

sinxx1x1x2n

2n12k13！5！！k1



2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx11x1x2n

2n2k2！4！！k0



xx2xnk1xn

e1x1xn

1！2！n！k！k0x





nkn

x2x3n1xk1xn

ln1xx1x1xn

23nkk1



1x



1212n1nnkk

1xxxx1Cxxn2！n！k1

⑵带有Langrange余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

sinx1

k1n

k1

x2k1ncosx

1x2n1,012k12n1！

x2kn1cosx

cosx11x2n2,01

2k2n2！k0

xkex

exn1,01

！k0k！n1x

ln1x1`

k1

k1

xkxn1n

1,x1,01n1kn11x

1x



1Cx

k1

1n1xn1xn1,x1,01

n1！Taylor公式的应用

⑴求极限。⑵近似计算，误差估计。⑶与幂级数的关系。⑷不等式证明。六，罗比塔（L”Hospital）法则解决问题的情况：

00

。

解析：不是以上两种型的转化为以上型。例如：

“0”型，“”型，“00”型，“0”型，“1”型。需注意的问题：⑴只有未定式才能应用罗比塔（L”Hospital）法则，不是未定式，则不能用罗比塔（L”Hospital）法则，且分子与分母分别求导。

⑵只有

法则。

00

未定式才能直接应用罗比塔（L”Hospital）



未定

⑶求其他类型未定式的值时，就首先将其转化为

式，然后才能应用罗比塔（L”Hospital）法则。

⑷可以对未定式反复应用罗比塔（L”Hospital）法则，直到求出确定的极限值为止。⑸用对数方法求极限时还要将结果还原为指数形式。

⑹有些未定式若用罗比塔（L”Hospital）法则求不出它的值时，就改用其它方法计算。

篇2：微分中值定理总结

刘期怀

(桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林541001)

摘要：函数的可微性与定义域的凸性是中值定理成立的两个本质条件，本文我们将微分中值定理推广到多元可微函数的情形。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式适用于所有的Lipschitz连续函数。

关键词：微分中值定理;Lipschitz连续;Clarke梯度

基金项目：本文获得桂林电子科技大学数学与计算科学学院教学改革重点项目资助

1 引言

微分中值定理是高等数学微分学中最重要的定理之一，也是数学分析中的基本内容。关于微分中值定理的研究有很多方面，主要涉及它的推广形式及其应用。在文献[1]中，作者利用平面几何中曲线之间的相切关系不依赖于坐标轴的选取这一基本事实对微分中值定理进行了几何上的解释;文献[2]把微分中值定理推广到连续的一元凸(或者凹)函数上去，给出了微分中值定理更加一般的形式。众所周知，欧式空间上的凸(或者凹)函数具有局部Lipschitz连续性。下文中我们首先将微分中值定理推广到多元可微函数上去，并且通过结果指出，函数的可微性与定义区域的凸性是中值定理成立的两个本质条件。最后，我们将介绍微分中值定理的一个统一公式，该公式可适用于所有的Lipschitz连续函数。

在本文中，我们始终假设A为欧式空间Rn上的开集，函数u(x)为A上的实值连续函数。对于任意给定的x，y∈A，记[x，y]A为连接x，y线段上所有的点构成的.集合。

2 多元函数微分中值定理

从定理1的证明来看，ξ的值可不在线段[x，y]的两个端点上取到。

3 Lipschitz连续函数中值定理的统一形式

参考文献：

[1]曾可依。从几何的角度看微分中值定理[J].大学数学，，(02)：108-111.

[2]王良成，白海，杨明硕。关于Lagrange微分中值定理的逆问题[J].大学数学，，(05)：140-143.

[3]P. Cannarsa and S. Carlo，Semi-concave functions，Hamilton-Jacobi equations，and optimal control [M]. Springer，.

篇3：微分中值定理的推广

一、预备定理

1、函数极限的保序性

若与 , 且b0, ∀x:0

2、达布定理

若函数f (x) 在[a, b]上可导, 对f+′ (a) 与f-′ (b) 之间任意μ, 则在 (a, b) 内至少存在一点c, 使f′ (c) =μ。

推论[11]若函数f (x) 在区间I上可导, 且f′ (x) 处处不为0, 则f′ (x) 在I上保持同号。

3、费马定理

设函数f (x) 在区间I有定义。若函数f (x) 在x0可导, 且x0是函数f (x) 的极限值点, 则f′ (x0) =0.

二、微分中值定理

1、罗尔定理

若函数f (x) 在闭区间[a, b]连续, 在开区间 (a, b) 可导, 并且f (a) =f (b) , 则至少存在一点ξ∈ (a, b) 使f′ (ξ) =0.

2、拉格朗日中值定理

若函数f (x) 在闭区间[a, b]连续, 在开区间 (a, b) 可导, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) 使

3、柯西中值定理b-a

若函数f (x) 与g (x) 在闭区间[a, b]连续, 在开区间 (a, b) 可导, 且对∀x∈ (a, b) 有g′ (x) ≠0, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) 使

三、微分中值定理的推广

1、罗尔定理的推广

定理1设函数f (x) 在有限或无穷区间 (a, b) 中的任意一点x处, 存在有限的导数f′ (x) , 且 , 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使f′ (ξ) =0。

证明:方法一:

(1) 当 (a, b) 为有限区间时, 设

显然, 函数F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 且F (a) =F (b) , 故由罗尔定理知, 在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使

F′ (ξ) 0=

而在 (a, b) 内, F′ (x) =f′ (x) , 所以有f′ (ξ) =0.其中a<ξ

故罗尔定理结论成立。

(2) 当 (a, b) 为无穷区间, 即若a=-∞, b=+∞时, 作变换

则对由函数f (x) 与x=tgt组成的复合函数

g (t) =f (tgt)

在有限区间内, 满足定理条件, 仿 (1) 讨论可知:至少存在一点使

g′ (t0) =f′ (ξ) sec2t0=0

其中ξ=tgt0.由于sec2t0≠0,

故f′ (ξ) =0.罗尔定理结论成立。

(3) 当a为有限数, b=+∞时, 则令b0>max{a 0, }, 且 , 于是复合函数

故f′ (ξ) =0.罗尔定理结论成立。

方法二:

(1) 当 (a, b) 为有限区间时, 设对∀x∈ (a, b) , f′ (x) ≠0, 则由达布定理的推论知f′ (x) 在 (a, b) 上同号, 不妨设f′ (x) >0, 则f (x) 在 (a, b) 上严格单调递增, 这与矛盾.故∃c∈ (a, b) , 满足f′ (c) =0.结论成立。

(2) 当a为有限数, b=+∞时, 设 .其中A为有限实数。

若f (x) 在 (a, +∞) 是常数函数, 即f (x) =A, 则∀c∈ (a, +∞) , 有f′ (c) =0.

若f (x) 在 (a, +∞) 不是常数函数, 不妨设∃x0 (a, +∞) 使f (x0) >A, 即

根据函数极限的保序性知:

∃x1∈ (a, x0) , 使f (x1) f (x2) .

已知f (x) 在[x1, x2]上连续, 则函数f (x) 在[x1, x2]上取到最大值, 显然最大点不能是区间[x1, x2]的端点1x和x2, 只能在开区间 (x1, x2) 之内, 此时的最大点就是极大点, 设此极大点是c.根据费马定理知:f′ (c) =0.结论成立。

对于a=-∞, b为有限数与a=-∞, b=+∞的情形, 可类似地证明。

2、拉格朗日中值定理的推广

定理2若函数f (x) 在有限开区间 (a, b) 可导且f (a+0) 与f (b-0) 存在, 则至少存在一点ξ∈ (a, b) 使

证明: (1) 当f (a+) 0=f (b-) 0时, 由定理1知, 结论成立。

(2) 当f (a+) 0≠f (b-) 0时, 作辅助函数。

由f (x) 在 (a, b) 可导, 知F (x) 在 (a, b) 也可导, 且

根据定理1知, 至少存在一点ξ∈ (a, b) 使F′ (ξ) =0

故结论成立。

3、柯西中值定理的推广

定理3若函数f (x) , g (x) 在有限或无穷区间 (a, b) 中的任一点x处有有限的导数f′ (x) 和g′ (x) , ∀x∈ (a, b) , g′ (x) ≠, 0f (a+) 0, g (a+0) , f (b-) 0, g (b-) 0都存在，则至少存在一点ξ∈(a, b) 使

证明:首先证明g (b-) 0-g (a+) 0≠0.

假设g (b-) 0-g (a+) 0=0, 即g (b-) 0=g (a+) 0, 由定理1知至少存在一点ξ∈ (a, b) 使g′ (ξ) =0.与已知条件∀x∈ (a, b) , 有g′ (x) ≠0矛盾。

其次作辅助函数

由已知, F (x) 在 (a, b) 可导且

根据定理1知, 至少存在一点ξ∈ (a, b) 使F′ (ξ) =0.

再由g′ (ξ) ≠0有

故结论成立。

四、推广的罗尔定理的应用

例1 设函数f (x) = (x-1) (x-3) , 证明∃ξ∈ (1, 3) , 使f′ (ξ) =0.

证明:因为函数f (x) 在 (1, 3) 可导, 且

由定理1知, ∃ξ∈1 (3, ) , 使f′ (ξ) =0.

事实上, 令f′ (x) =0有f′ (x) =2x-4=0⇒x=2∈1 (3, ) .

例2设函数f (x) =xe-x2, 证明:∃ξ∈ (-∞, +∞) , 使f′ (ξ) =0.

证明:因为函数f (x) 在 (-∞, +∞) 可导, 且

由定理1知, ∃ξ∈ (-∞, +∞) , 使f′ (ξ) =0

事实上, 令f′ (x) =0, 有

微分中值定理的条件缺一不可, 但这些条件是充分的, 不是必要的, 即当满足定理的条件时结论一定成立;若不满足定理条件时, 结论可能成立, 也可能不成立。基于此, 本文放宽了其条件, 在有限开区间和无穷区间上进行推广, 使得微分中值定理得到更加广泛的应用。

参考文献

[1]刘玉琏、傅沛仁:《数学分析讲义》 (第三版) , 高等教育出版社, 2000年。

[2]康开龙:《一类多项式零点问题的证明》, 《抚州师专学报》, 1994年。

[3]全生寅:《微分中值定理的推广》, 《青海大学学报》, 2000年。

[4]孙燕:《Rolle定理条件的充分非必要性》, 《哲里木畜牧学院学报》, 1996年。

[5]张玉兰、杨富强:《微分中值定理在无穷区间的推广》, 《洛阳师专学报》, 1996年。

[6]金贵荣:《关于弱微分中值定理》, 《甘肃高师学报》, 2001年。

[7]霍爱莲、张筱蘅:《罗尔定理的推广》, 《西安建筑科技大学学报》, 1988年。

[8]李庆玉:《Rolle定理的推广》, 《重庆商学院学报》, 2000年。

[9]林银河:《关于Rolle中值定理的推广》, 《丽水师范专科学校学报》, 2000年。

[10]孟素香:《洛尔 (Rolle) 中值定理推广形式的几种证法》, 《晋中师专学报》, 1995年。

篇4：微分中值定理中间点的性质研究

关键词：微分中值；中间点；渐进性

微积分中值定理作为高等数学十分重要的定理之一，在整个高数中占据着重要的地位。关于微分中值定理中间点的研究中，其渐进性性质成为当前研究的重点与难点，许多学者都进行了相关性质的分析与探讨。关于微分中值定理渐进性的研究中，利用中值定理提出针对不同函数的中值定理特性的分析方法，并取得了一定的研究成果。本文以高阶微分函数为研究对象，对该函数进行中间点的性质进行分析，并推导出相应的结论。

一、预备知识

在微分中值定理中，最为基本的是拉格朗日中值定理，该定理具有很强的代表性，因此对于N阶拉格朗日中值定理来讲，满足以下条件：

对于f(x)来讲，其连续的区间为[a,b]，在该开区间内，该函数是存在K阶可微的，则对于任意的λ，满足公式（1）表达式：

■(-1)KC1Kf(b-■)=f(K)(λ)(■)K……（1）

同时对于g(x)来讲，定义其不为零，且在上述开区间内是可导的，函数导数g（1）（x），g（2）（x），g（3）（x），…，g（n）（x）都是连续的，对于任意的λ，满足公式（2）表达式：

■=■……（2）

同时，在上述的基础上，对于拉格朗日中值定理还存在以下引理：

引理1：■(-1)KCKn(n-K)n=n!

引理2：■(-1)KCKn(n-K)n+1=■(n+1)!

引理3：■(-1)KCKn(n-K)n+2=■(3n+1)(n+2)

二、微分中值定理中间点的渐进性性质分析

定理：假设f（t）与g（t）在区间[a,x]上是连续函数，保证f（x）在其开区间内存在n+1次导函数，而g（x）则为n次导函数，对g（x）来讲其每一阶导数值都不等于零。在此条件下，如果满足f1（a）=f2（a）=……fn（a）=0，而fn+1（a）≠0，假设F（t）=fn（t）/gn（t）,则满足的结果是F1（a）=F2（a）=……Fn-1（a）=0，使得F（t）在a点处是连续的函数，在此条件下n阶的柯西定理中间点满足的条件是：

■■=■

其中Bn+1满足的条件是：Bn+1=■(-1)KCKn(n-K)n+1

证明：构造辅助函数U（x）=

■

对于上述的f（x）与g（x）来讲，分别采用n阶的拉格朗日中值定理与柯西中值定理，经过计算得到如下：

U（x）=■

=■=■

上述式子中的参数ζ与η都是在本文定义的区间内。然后在a点处，通过泰勒展开公式进行U（x）与F（x）的分解，得到如下：

F（ζ）=F(a)+1/l!F(1)(ζ1)(ζ1-a)，其中ζ1也是在上述范围之内。

U(x)=n!/l!F(1)(ζ1)g(n)(η)(ζ-a)/(x-a),

■U(x)=1/l!F(1)(a)g(n)(a)■■

然后在上述的条件下，利用罗比塔法则进行应用与计算后，得到如下式子：

■U(x)=■{■}

=■{■}

对于F（1）(ζ2)来讲可以利用泰勒展开式进行缩减，带入后得到：

F(x-k/(x-a))=■(-1)KCKn(n-k)n+1F(1)(a)g(n)(a)x（1）/(n+l)!

通过上述式子的比对分析可以得到本文所需要证明的上述定理。

推论1：假设f（m）在区间[a,m]上是连续的，且开区间内是n阶可导的，对于处于a点处的n阶导数都是零，n+1导数不为零的条件下，对于拉格朗日中值定理中间点ζ满足以下结论：

■■=1/2

推论2：假设f(x)满足条件保证函数在规定的区间[a，b]内连续，其在K+2阶下是可微函数，且导函数不为零，在此条件下对于任意的ζ来讲，其K阶的朗格朗日中值点满足一下性质：

l■■=1/2(■)

该推论没有上述推论的关于该n阶导数在a点处的每一个导数值相等都等于零的条件，条件比较宽泛。

总之，微分中值定理在高等数学的计算与应用过程中占据着重要的地位。为了研究微分中值定理的中间点的渐进性，为了更好地对定理进行范围的扩展，通过构造不同的辅助函数对每一个定理进行推断，结合最基本的微分中值定理的内容，能使计算更加便捷。

参考文献：

[1]赵益坤，节存来，王磊.关于曲线积分中值定理中间点的一个一般性质[J].大学数学，2007，23（1）：166-169.

[2]王成伟.二阶柯西中值定理中间点的渐近性质[J].北京服装学院学报（自然科学版），2003，23（2）：62-65.

篇5：有关中值定理的证明题

1、已知函数f(x)具有二阶导数，且limx0f(x)0，f(1)0，试证：在区间(0,1)内至少x存在一点，使得f()0.证：由limf(x)，由此又得00，可得limf(x)0，由连续性得f(0)x0x0xf(x)f(0)f(x)f(0)limlim0，由f(0)f(1)0及题设条件知f(x)在[0,1]x0x0x0x上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 c(0,1)，使得f(c)0，又因为f(0)f(c)0，并由题设条件知f(x)在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点，使得f()0.2、设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明：存在一点(0,a)，使得f()f()0.证：分析：要证结论即为：[xf(x)]x0.令F(x)xf(x)，则F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且F(0)F(a)0，因此故存在一点(0,a)，使得F()0，F(x)xf(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，即f()f()0.注1：此题可改为：

设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明：存在一点(0,a)，使得

nf()f()0.)nf()（0给分析：要证结论nf()f()等价于nn1f(nn1n，而nf()f()0即为[xf(x)]x0.nf()f()两端同乘以n1）故令F(x)xf(x)，则F(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0，x(0,1)，有f(x)0，证：nnN，(0,1)，使得

nf()f(1)成立.f()f(1)分析：要证结论可变形为nf()f(1)f()f(1)0，它等价于nfn1()f()f(1)fn()f(1)0(给nf()f(1)f()f(1)0两端同乘以fn1())，而nfn1(f)f()(fn1f)(即)为(1)0[fn(x)fx1(x，用罗尔中值定理)]0.以上三题是同类型题.3、已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)0，f()1，证明：（1）存在一点(,1)，使f().（2）存在一点(0,)，使f()1.（3）存在一点x0(0,)，使f(x0)1(f(x0)x0).证：（1）分析：要证结论即为：f()0.12121211111显然F(x)在[,1]上连续，且F()f()0，F(1)f(1)110，2222211因此F(x)在[,1]上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在(,1)，使F()0，22令F(x)f(x)x，则只需证明F(x)在(,1)内有零点即可。即f().（2）又因为F(0)f(0)00，由(1)知F()0，因此F(x)在[0,]上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)，使F()0，即f()10，即f()1.（3）分析：结论f(x0)1(f(x0)x0)即就是F(x0)F(x0)或F(x0)F(x0)0，F(x0)F(x0)0ex0[F(x0)F(x0)]0，即[exF(x)]xx00.故令G(x)exF(x)，则由题设条件知，G(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导，且G(0)e0F(0)0，G()eF()0,则G(x)在[0,]上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设f(x)在[0,x]上可导，且f(0)0，试证：至少存在一点(0,x)，使得f(x)(1)ln(1x)f().证：分析：要证结论即为： f(x)f(0)(1)[ln(1x)ln1]f(),也就是f(x)f(0)f()，因此只需对函数f(t)和ln(1t)在区间[0,x]上应用柯西中值定理1ln(1x)ln11即可.5、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，且g(x)0，证明：至少存在一点(a,b)，使得f()g()f()g().证：分析：要证结论即为： f()g()f()g()0,等价于

f()g()f()g()0，2g()即就是[即可.f(x)f(x)在区间[a,b]上应用罗尔中值定理]x0，因此只需验证函数F(x)g(x)g(x)

6、设f(x)在[x1,x2]上可导，且0x1x2，试证：至少存在一点(x1,x2)，使得x1f(x2)x2f(x1)f()f().x1x2f(x2)f(x1)f(x)()xx2x1x证：分析：要证结论即为： ,因此只需对函f()f()111()xx2x1x数f(x)1和在区间[x1,x2]上应用柯西中值定理即可.xx此题亦可改为：

设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，若0ab，试证：至少存在一点(a,b)，使得af(b)bf(a)[f()f()](ab).7、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0，试证：（1）(a,b)，使得f()f()0；（2）(a,b)，使得f()f()0.证:（1）令F(x)xf(x)，利用罗尔中值定理即证结论.（2）分析：f()f()0e[f()f()]0[e22x22f(x)]x0，因此令F(x)ex22f(x)，利用罗尔中值定理即证结论.8、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，试证：,(a,b)，使得e[f()f()]1.[exf(x)]xe[f()f()]证：分析：要证结论即为1，即就是1.xe(e)x令F(x)ef(x)，令G(x)e，则F(x)和G(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)eaf(a)ebea，即就是e[f()f()].(a,b)，使得F()babaebeaebea，即就是e.(a,b)，使得F()babae[f()f()]因此，有1，即就是e[f()f()]1.e9、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b)，试证：(a,b)，使得f()g().0.证：分析：要证结论即为[f(x)g(x)]x令F(x)f(x)g(x)，（1）若f(x)、g(x)在(a,b)内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则F(a)F(c)F(b)0(acb)，则F(x)分别在[a,c]、[c,b]上满足罗尔中值定理条件，故1(a,c)，2(c,b)使得F(1)0，F(2)0.由题设又知，F(x)在[1,2]上满足洛尔定理条件，故存在(1,2)，使得F()0，即就是f()g()].（2）若f(x)、g(x)在(a,b)内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设f(x)在p点处、g(x)在q点处取得最大值，且pq，则F(p)f(p)g(p)，F(q)f(q)g(q)0，由零点定理知，c(p,q)(0,1)，使得F(c)0，由此得 F(a)F(c)F(b)0(acb)，后面证明与（1）相同.10、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(x)0，若极限limxaf(2xa)存在，xa试证：（1）存在一点(a,b)，使得

b2a2baf(x)dx22； f()22b（2）在(a,b)内存在异于的点，使得f()(ba)f(x)dx.；

aa证：（1）令F(x)xaf(t)dt，G(x)x2，则F(x)、G(x)在[a,b]上满足柯西中值定理

b2a2ba条件，故存在一点(a,b)，使得

b2a2af(t)dtf(t)dta2成立，即就是f()bab222成立，即就是2f(x)dx(ba)f()成立.af(x)dxf()（2）由（1）知，2ba22因此要证f()(ba)f(x)dx(b2a2)f()，2bf(x)dx.，aa即要证f()(ba)221a(b2a2)f(，)即要证f()(a)f(，)由已知

篇6：关于中值定理中构造函数的方法

n先举个例子：已知f(x)在（0,1）可导，在[0,1]内连续。而且f(1)=0.证明：存在§∈（0，1），使得nf(§)+§f´(§)=0.证明:设F(x)=xf(x)

则F（0）=F（1）=0

∴存在§使得F´（§）=0§∈（0，1）

即：§n1[nf(§)+§f´(§)]=0

原式得证。

本题中函数的构造方法：将要证式子变形，f´(§)／f(§)=-n／§,两边取不定积分。㏑|f(§)|=-n㏑§

即§f(§)=1

篇7：微分中值定理总结

2018考研数学重点：中值定理证明题解

题技巧

考研数学中证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及，在此着重说说应用拉格朗日中值定理来证明不等式的解题方法与技巧。

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根据以上的攻关点拨和典例练习，相信同学们对该题型的解题训练有了一定的掌握。

需要提醒考生们，数学题目多，而且考查的知识点很综合，很多人担心自己做的少，碰到的知识点就会少一些，从而加快了解题速度，实际上考生最重要的是要注重对题目的理解，对基本知识的概括和各种题型解题技巧的能力训练，因此大家可以根据以上的攻关点拨和典例练习，这样加以积累练习，为以后的快速准确解题打下基础。

另外，数学试题切忌眼高手低，实践出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的复习程度，疏漏的内容，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之后再抛弃答案自己再把题目独立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知识点。

篇8：微分中值定理的应用

微分中值定理是指罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理.微分中值定理在高等数学中的地位是不容置疑的, 且在解题中的应用也是十分广泛的.以下通过实例说明微分中值定理在解决数学问题中的广泛应用.

1 讨论方程根的存在性问题

在我们要讨论的方程中, 除了二次方程根的问题容易讨论之外, 如果遇到复杂的方程, 往往无从下手.对于存在性问题, 我们一般通过分析题设条件, 结合已学过的定理进行分析并解决.微分中值定理的条件很宽松, 给一个定义在闭区间[a, b]上的函数, 只需函数在这个区间连续, 可导 (并不要求区间端点可导) , 再加一个看似苛刻但实不苛刻的条件f (a) =f (b) , 用罗尔定理, 就可以解决一些复杂的代数方程的判根问题, 其步骤相当简单, 一般是:命题条件→构造辅助函数F (x) →验证F (x) 满足罗尔定理的条件→命题结论.

例1 若f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导 (a>0) , 证明:在 (a, b) 内, 方程2x[f (b) -f (a) ]= (b2-a2) f′ (x) 至少存在一个根.

证明令

F (x) =[f (b) -f (a) ]x2

- (b2-a2) f (x) ,

显然, F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 而且

F (a) =f (b) a2-b2f (a) =F (b) .

根据罗尔定理, 至少存在一个ξ, 使

2ξ[f (b) -f (a) ]= (b2-a2) f′ (ξ) .

故在 (a, b) 内, 方程

2x[f (b) -f (a) ]= (b2-a2) f′ (x)

至少存在一个根.

2 证明不等式

不等式是数学中的重要内容, 也是数学中的重要方法和工具.在微分学中, 微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.我们可以根据不等式两边的代数式选取不同的F (x) , 应用微分中值定理得出一个等式后, 对这个等式根据x取值范围的不同进行讨论, 得到不等式.以下通过一个例子来说明微分中值定理在证明不等式中的运用.

例2 求证ln (1+x) ≤x (x>-1) .

证明当x=0时, 显然

ln (1+x) =x=0.

设x≠0, 对f (t) =ln t在以1与1+x为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理, 有介于1与1+x之间的ξ, 使

f (1+x) -f (1) =f′ (ξ) (1+x-1) ,

即 $\ln (1 + x) = \frac{x}{ξ} .$

当x<0时, $0 ＜ ξ ＜ 1 ‚ \frac{1}{ξ} ＞ 1$ , 但此时注意ln (1+x) 与x均为负值, 所以仍有ln (1+x) ≤x, 即对x>-1不等式恒成立.

当x>0时, $ξ ＞ 0 ‚ 0 ＜ \frac{1}{ξ} ＜ 1$ , 所以有ln (1+x) ≤x.

3 用来求极限

对于有些求极限的题, 如果使用洛必达法则, 则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数, 使用微分中值定理, 然后求出极限.

例3 求 $\lim_{n \to \infty} n^{2} (a^{\frac{1}{n}} - a^{\frac{1}{n + 1}})$ , 其中a>0.

解对f (x) =ax应用拉格朗日中值定理, 有

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} n^{2} (a^{\frac{1}{n}} - a^{\frac{1}{n + 1}}) \\ = \lim_{n \to \infty} n^{2} (a^{x})^{'} |_{x = ξ} \times (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} a^{ξ} \ln a}{n (n + 1)} \\ = \ln a ‚ \end{array}$

其中 $ξ \in [\frac{1}{n + 1} ‚ \frac{1}{n}] .$

4 讨论级数的敛散性

泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理.它不仅在理论分析中具有很重要的作用, 而且为我们提供了用多项式逼近函数的一种方法.在讨论级数的敛散性中有广泛的应用, 下面的例子说明它的应用.

例4 设f (x) 在x=0的某领域内有二阶连续导数, 且 $\lim_{n \to \infty} \frac{f (x)}{x} = 0$ .证明级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} f (\frac{1}{n})$ 绝对收敛.

证明由 $\lim_{n \to \infty} \frac{f (x)}{x} = 0$ 且f (x) 在x=0可导, 知f (0) =0, f′ (0) =0.故f (x) 在点x0=0处的一阶泰勒公式为

$\begin{array}{l} f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2} f^{″} (ξ) x^{2} \\ = \frac{1}{2} f^{″} (ξ) x^{2} ‚ 0 ＜ ξ ＜ x . \end{array}$

因为|f″ (x) |≤M, 故

$| f (x) | = \frac{1}{2} | f^{″} (ξ) | x^{2} \leq \frac{Μ}{2} x^{2}$ ,

取 $x = \frac{1}{n}$ , 有 $| f (\frac{1}{n}) | \leq \frac{Μ}{2} \frac{1}{n^{2}} .$

由于 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{Μ}{2} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛, 由比较法知, $\sum_{n = 1}^{\infty} f (\frac{1}{n}) 绝对收敛 .$

5 讨论函数的单调性, 并利用函数的单调性求极值

利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性, 其方法是:若函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 则有:如果在 (a, b) 内f′ (x) >0, 则f (x) 在[a, b]上单调增加;如果在 (a, b) 内f′ (x) <0, 则f (x) 在[a, b]上单调减少.另外, f (x) 在 (a, b) 内除有个别点外, 仍有f′ (x) >0 (或f′ (x) <0) , 则f (x) 在[a, b]上仍然是单调增加 (或减少) 的, 即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.

再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质, 便可以很方便地求出函数的极值。其方法为:确定函数的定义域, 并求出f′ (x) , 然后求出定义域内的所有驻点, 并找出f (x) 连续但f′ (x) 不存在的所有点, 讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近f′ (x) 的符号变化情况, 从而确定函数的极值点, 并求出相应的极大值或极小值.

例5 求证x>0时, $\ln (1 + x) ＞ x - \frac{x^{2}}{2} .$