高斯定理本科论文

高斯定理本科论文（通用4篇）

篇1：高斯定理本科论文

八岁的高斯发现了数学定理

高斯出生在一个贫穷的家庭。他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。

这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天抓这些学生处罚了。

“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。

教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？

高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究。长大后，高斯成为了德国最杰出的科学家、天文学家、数学家。数学家们则称呼他为“数学王子”。

篇2：高斯定理求解电场强度的教学探讨

一、对高斯定理的理解

真空中高斯定理的表述为:在真空中, 通过任意闭合曲面 (高斯面) 的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数ε0。数学表述即:

利用库仑定律和场的叠加原理可以证明高斯定理[5]。对高斯定理的理解应注意以下几点。

1.通过闭合曲面的电通量只由曲面内所包围的电荷量的代数和决定。通过闭合曲面的电通量跟电荷相对闭合曲面的位置分布没有关系, 跟闭合面外的电荷分布情况也无关。但这并不表明高斯面上各点的电场强度只由高斯面内的电荷激发, 而是由高斯面内外所有的电荷共同激发。

2.当∑q内=0时, 只能说明通过高斯面的电通量为零, 不能说高斯面上各点的电场强度为零;相反如果通过高斯面的电通量为零, 则∑q内=0, 但不能说高斯面内无电荷分布。

3.若∑q内>0, 说明有净电场线从S面内穿出, 若∑q内<0, 说明有净电场线在S面内汇聚, 说明正电荷是发出E通量的源, 负电荷是吸收E通量的源。同时表明在没有电荷的区域内电场线不会中断。

4.高斯定理是由库仑定律和场强叠加原理导出的, 可适用于任何电场, 是电磁场基本规律之一。

二、应用高斯定理求解电场强度

我们知道, 利用点电荷的电场强度公式和场的叠加原理原则上可以求出任意已知电荷分布激发的电场强度, 这是数学计算上的问题。而对于某些特殊情况, 我们可以用高斯定理来求解电场强度。其基本思想是要使待求场强E都可移到高斯定理的积分号外, 从而求出带电体系在待求点产生的场强。这就要求电场强度的分布要具有某种对称性。所以用高斯定理求解场强, 首先要定性分析带电体系产生的场强, 以明确场强方向和大小的分布规律;其次, 依据场强分布规律, 判断能否用高斯定理求解, 能则构建适当的高斯面进行求解。

构建高斯面必须满足两个条件:其一, 高斯面必须通过所求场强的点;其二, 高斯面上各点或某部分各点场强大小均相等。在此基础上, 高斯面的形状大小原则上可任意选取, 但必须使计算简单, 所以一般可作高斯柱面和球面。作高斯球面时要求球面上各点的场强大小都相等, 方向和面元法向的夹角都相等, 这就要求场强的分布要关于高斯球面的球心对称, 如点电荷、均匀带电球面 (体或壳) 等电荷分布具有球对称性的, 其场强分布也具有球对称性, 所以可以作同心的高斯球面利用高斯定理来求解。如果是作高斯柱面 (可分为两底面和一侧面) , 则要求计算的点所在面 (底面或侧面) 的电场强度大小相等, 而且面元的方向和场强方向的夹角相等, 其余两面上的场强大小可以不同, 如果不同则要求面元的方向和场强方向的夹角为90°, 或者场强的大小相等而且已经知道了。比如无限大均匀带电平面 (板) 、无限长均匀带电直线、无限长均匀圆柱面 (体或壳) 等可以用作高斯柱面的方法来求解。

很多学生就认为只有电荷均匀分布且具有面对称、柱对称或球对称时才能用高斯定理求解电场强度。其实, 高斯定理也可以求解某些电荷非均匀分布的场强分布。如电荷体密度分布为ρ=Krn (其中K, n为常数, r为点到球心的距离) 的球体 (壳) , 场强分布具有球心对称性, 可以作同心的高斯球面利用高斯定理来求解。又如无限长体密度分布为ρ=Krn (其中K, n为常数, r为点到圆柱轴线的距离) 圆柱体, 场强分布具有关于圆柱轴线对称, 可以作同轴的高斯柱面利用高斯定理来求解。再如求孤立导体表面附近处的电场强度, 由静电平衡性质可知, 导体表面附近处的场强处处垂直于导体表面, 导体内部的场强处处为零, 分析场强的分布情况, 就知道可以用高斯定理来求解[6,7]。又如下面的例子:

如图1所示, 一厚度为a的无限大带电平板, 电荷体密度为ρ=kx (0≤x≤a) , k为正常数, 求: (1) 板外两侧任一点M1、M2的场强大小; (2) 板内任一点M的场强大小。

分析电荷分布不均匀分布, 所以有的同学就用分割成一个个无限大均匀带电平板利用场强的叠加原理进行积分求解。方法复杂, 且容易出错。其实只要仔细分析, 发现本题可以利用高斯定理。如图2 (a) 所示在x (0<x<a) 处取一个厚为dx的无限大带电平板, 它在板外M1、M2激发的场强大小相等, 方向垂直板向外, 和距离这一平板的位置无关。场强叠加的结果必然是板外两侧各点的场强大小都相等, 方向垂直板向外, 而且板内任意点M的场强方向也是在x轴上的。

解: (1) 如图2 (a) 作一个通过点M1、M2底面积为S的高斯柱面, 由高斯定理, 得 (因为侧面上场强方向和面元方向处处垂直, 所以通过侧面的电通量为0)

如图2 (b) 所示, 过板内任意点M作一个底面为S的高斯柱面, 由高斯定理得:

联立 (3) 、 (4) 式, 解得:.

可见对于厚度为a的无限大带电平板, 电荷体密度为x的单值函数时, 可以用高斯定理求解电场强度分布。

三、结论

利用高斯定理, 不仅可以快捷的求得均匀带电的球型、圆柱形、无限大平板等带电体激发的空间场强分布, 也可以求解某些电荷不均匀分布的场强, 如无限长体密度分布为其中K, n为常数, r为点到圆柱轴线的距离) 圆柱体, 电荷体密度分布为其中K, n为常数, r为点到球心的距离) 的球体 (壳) , 电荷体密度为, 厚度为a的无限大带电平板等情况。用该定理分析问题的关键在于选取合适的闭合曲面———高斯面。通过合理选择高斯面, 满足计算的点所在的面上的场强大小处处相等, 方向与面元法向夹角恒定 (一般为900) , 其余面上的通量是定值, 就可以用高斯定理来求解电场强度。通过对高斯定理求解非均匀分布带电体的场强的探讨, 可以使学生更好地理解高斯定理的内容和掌握利用高斯定理解题的思想方法。

参考文献

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[6]程守洙, 江之永.普通物理学 (上册) [M].第六版.北京:高等教育出版社, 2006.

篇3：高斯定理本科论文

关键词 导数算子； Malliavin随机变分；中心极限定理；高斯过程

中图分类号 O211 文献标识码 A

Central Limit Theorem for Function of Gaussian Process and Its Applications

SUNLin

(Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangdong, Guangzhou 510090, China)

AbstractUsing two operators and the relative identity of Wiener space, this paper presented a new method to provethe central limit theorem for function of Gaussian process. Furthermore, the applications of this central limit theoremwere presented.

Keywords derivative operator; Malliavin calculus; central limit theorem; Gaussian processes

1引 言

前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示,没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义” [1].因此研究统计量或者随机变量的统计特性，最重要的就是研究其极限理论.而实际问题中所获得的很多数据都可以认为来自高斯过程函数总体，比如来自正态随机变量就可以看成来自关于高斯过程恒等映射的总体.从而自上世纪30年代起，概率极限理论已获得完善的发展.近年来关于高斯过程函数的统计特性成为研究中的热门方向之一，大量学者研究了关于高斯过程函数的极限定理，如Nualart和Peccati (2005)[2]，Nualart和Ortiz-Latorre (2008)[3]， Peccati (2007)[4] ，Hu和Nualart(2005)[5] ，Peccati和Taqqu (2008)[6]以及Peccati和Taqqu (2007)[7].大量的文献如Deheuvels、Peccati与Yor (2006) [8]，Hu和Nualart(2009) [9] 应用了该定理.

本文首先利用Malliavin随机变分法，通过导数算子和散度型算子，并利用恒等式构造了证明高斯过程函数的中心极限定理的新方法，该证明避免了采用Dambis-Dubins-Schwarz以及Clark-Ocone公式.进一步结合具体实例，给出了该中心极限定理的应用.

2 主要结论及其证明

定理 1[3]：设定k≥2，且Fnn≥1为k阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.若lim n→+

EF2n=‖fn‖2H⊙k→σ2，则当n→

时，下面命题是等价的：

ⅰ）Fn→N(0,σ2)；

ⅱ）lim n→

EF4n→3σ2；

ⅲ）对于所有的1≤l≤k－1，有

lim n→+

‖fnlfn‖2H2(n－1)=0；

ⅳ）‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2，

其中，fn是关于随机变量Fn的平方可积核函数，

fnlfn表示两核函数的l次指数压缩.

证明 将采用下面的证明路线:ⅳ)ⅰ)ⅱ)ⅲ)ⅳ).

1）ⅳ)ⅰ)

不失一般性，令σ2=1，则由已知条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

σ2，待证当n→+

时，有依分布收敛Fn→ε～N(0,1)成立.也就是说对于任意二次连续可微有界函数φ•有下面式子成立：

lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε). (1)

对于0≤t≤1，定义

ψt=EφtFn+1－tε.(2)

注意到ψ0=Eφε且ψ1=EφFn，由微积分基本定理知

EφFn－Eφε

=ψ1－ψ0=∫10ψ′tdt. (3)

另一方面，利用Malliavin随机变分恒等式

δDF=kF与E［〈DF(ξ),u((ξ))〉］=E［DF(ξ)δu(ξ)］，易知∫10ψ′(t)dt可以表示为：

∫10ψ′tdt=∫10ddtEφtFn+1－tεdt

=∫10EddtφtFn+1－tεdt

=12k∫10Eφ″tFn+1－tε‖DFn‖2dt

-12∫10Eφ″tFn+1－tεdt

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt. (4)

由式(3)和式(4)知

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt.(5)

两边取绝对值，并利用φ•的二阶导的有界性以及假设条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

k，则有

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt→0.

故lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε)成立，即有当n→

时，Fn→N(0,σ2).

2）ⅰ)  ⅱ)

首先由参考文献Nualart（2006）知对于任意p≥2，有

EFnp≤ckEFn2， (6)

其中，ck∈R且与n独立.

式（4)结合假设条件lim n→+

EF2n=σ2可得当n→

时，

EFnp≤ckEFn2→ckσ2.(7)

则对于任意p≥2，有

sup nEFnp<+

.(8)

进一步根据假设当n→

时，Fn→η～N(0,σ2)，根据期望的连续性有EF4n→Eε4，从而要证明lim n→

EF4n→3σ2，只需证Eη4→3σ2即可.

令X～N(0,σ2)且Y=Xσ～N(0,1)，则对于任意n≥0，有

Eηn=EXn=σnEXσn=σnEYn.

另一方面，随机变量Y的特征函数可以表示为

φt=EeitY=e－t22=∑+

n=0－1nt2n2nn!

=∑+

n=01n!φn0tn=1－t22•1!+

t422•2!－t623•3!+…，

其中，φn00,n=2k+1，

－1k2k!2kk!,n=2k.

从而

EYn=φn0in=0,n=2k+1，

2k!2kk!=n!!,n=2k.(9)

令n=4，则有EYn=4!222!=3.

3）ⅱ)ⅲ) 见参考文献Nualart和Peccati(2005).[2]

4）ⅲ)ⅳ) 见参考文献Nualart和Ortiz-Latorre(2008).[3]

3应用实例

由定理1可知：若Fnn≥1为k≥2阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.且lim n→+

EF2n→σ2，则如果要证明当n→

时，Fn→N(0,σ2).只需证明‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2即可.该定理在证明统计量以及随机变量的函数满足中心极限定理时非常有用.下面给出该定理的应用例子.

首先由于林德伯格—勒维中心极限定理在概率中有着重要地位，是数理统计中大样本统计推断的理论基础.该定理说明如果现实生活中的某个量是由许多独立的因素影响叠加而成的，而其中偶然因素的影响又是一致得微小，则可以断定这个量近似服从正态分布.可采用定理1来证明该定理.

实例1(林德伯格—勒维定理) 设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列, 且

E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2,i=1,2,…,n,…

则∑ni=1Xi－nμσn→N(0,1).

证明 该定理表明：当n充分大时, n个具有相同期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.虽然在一般情况下, 很难求出X1+X2+…+Xn分布的具体形式, 但当n很大时, 可求出其近似分布.由定理结论有

∑ni=1Xi－μn→N(0,σ2).(10)

采用定理1来证明式(10).证明的关键在于找到合适的函数序列Fn∈Hk使得当n→

时：有EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2.

对于任意k≥1，令ξi=Xi－μ,i=1,2,…,n，则ξi为独立且服从标准正态分布的随机变量.进一步令Fn=1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn，这里k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006)).另一方面，

EF2n=E1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn2

=1nnEh2kξ1=1k!=σ2. （11)

同时根据导数算子的定义知，对于1≤i≤n，有DiFn=0,…,1nh′kξi,0…0，故

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+

DnFn2→Eh2k－1ξ1

=1k－1!=kσ2.(12)

由式(11)和式(12)知EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2成立，从而林德伯格—勒维定理证毕.

实例 2(高斯移动平均)考虑独立高斯时间序列Znn≥0，满足EZn=0且

VarZn=σ21－λ,n=0；

σ2,n≥1，

这里λ2<1.再定义迭代过程

X0=Z01－λ2,Xn=λXn－1+1－λ2Zn,n≥1.

则Xn可以表示为

Xn=∑nj=0cn－jZj .

其中cn－j=λn－j.易证Xn是平稳遍历时间序列且满足

EX0=0,

VarXn=1.

下面证明∑ni=1Xin→N(0,1).利用定理1，需要构造合理的Fn，令

Fn=1nhkX0+hkX1+…+hkXn，

其中，k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006))，则显然Fn∈Hk，且有

EF2n=E1nhkX0+hkX1+…+hkXn2

=1nnEh2kX1=1k!=σ2，

以及

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+DnFn2

→Eh2k－1X1=1k－1!=kσ2.

根据定理1知Fn→N(0,1).取k=1以及利用厄米多项式h1x=x知∑ni=1Xin→N(0,1).

实例 3 (带漂移项的布朗运动)20世纪初，Bachelier采用带漂移的布朗运动来刻画股票的价格行为模式，即：

St=s0+σBt，t∈0,T.

显然St为均值为S0，方差为σ2的高斯过程.固定观察间隔h，得到观察量Sh,…，Sjh，…，Snh,令 t=h,…，jh,…,nh′，Bt=Bh,…，Bjh,…,Bnh′，S0=s0,…，s0，…，sn′与S=Sh,…Sjh…Snh′.从而该随机向量的联合分布密度函数可以表示为

LS;σ2=2π－n2Γ－12•

exp－12S－S0′Γ－1S－S0，(13)

其中，

Γ=［Cov［Si,Sj］］i,j=1,2,…,n=σ2［Cov ［Bi, Bj］］i,j=1,2,…,n =σ2［i∧j］i,j=1,2,…,n.

对式(13)两边取对数，并对σ2求导可得其极大似然估计量

2=1nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t.(14)

于是利用定理1得出由式(14)给出的估计量的中心极限定理.令

Fn=1σ2n22－σ2

=1σ2n21nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t－σ2，

显然有

lim n→

EFn=E1σ2n2σ^2－σ22

=1σ4n2σ4nnn+2－2n+2+3+σ4－2σ2n－1nσ2

=1.(15)

另一方面将St=s0+σBt代入式(15)并对其求Malliavin导数可得

DFn=12n2DB′tΓ－1Bt－2t′Γ－1Btt′Γ－1DBtt′Γ－1t，(16)

其中

DBt=(1［0,h］(s),1［0,2h］(s),…,1［0,nh］(s))′.由式(16)知

‖DFn‖2H=2n‖DB′tΓ－1Bt‖2H+t′Γ－1Bt2‖t′Γ－1DBt‖2Ht′Γ－1t2－2t′Γ－1DBt〈DB′tΓ－1Bt,t′Γ－1DBt〉Ht′Γ－1t

=2nB′tΓ－1Bt－t′Γ－1Bt2t′Γ－1t=22σ2. (17)

根据式(15)和式(17)，结合定理1知

Fn=1σ2n2σ^2－σ2～N0,1

4结 论

本文主要采用了新的方法证明了关于高斯过程函数的中心极限定理，并将给出了该定理的具体应用.虽然本文只给出了一维情况下的中心极限定理，但对于多维情况，可以得到类似的结论.当然，除了研究高斯过程函数的几乎处处中心极限定理之外，对高斯过程函数的几乎处处大偏差性质、几乎处处局部中心极限定理及几乎处处中心极限定理收敛度等问题需进一步研究.

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篇4：论电磁学中高斯定理的谬误

关键词：电场,磁场,电通量,高斯定理库仑定律

一、引言

(一) 库仑定律

在真空中, 两个静止的点电荷q1及q2之间的相互作用力的大小和q1及q2的乘积成正比, 和它们间的距离R的平方成反比, 作用力F的方向沿着它们的联线, 同号电荷相斥, 异号电荷相吸。设F12代表q1给q2的力, F21代表q2给q1的力, r12代表由q1到q2方向的单位矢量, 那么用数学表达式则表示为:, 得电场强度:

点电荷是指这样的带电体, 它本身的几何线度比起它到其它带电体的距离小得多。这种带电体的形状和电荷在其中的分布已无关紧要, 由此将其抽象为一个几何的点。

(二) 高斯定理

通过一个任意闭合曲面S的电通量ΦΕ等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和Σq除以ε0, 与闭合曲面外的电荷无关。其数学表达式为:, 式中ΦΕ表示沿一个闭合曲面S的积分, 该闭合曲面S被称为“高斯面”, qi为高斯面内qi个电荷的代数和, d S为曲面S上的任一微元面积, 其外法线矢量为n, E为场强, θ为法线矢量n与E的夹角。事实上, 高斯定理是可以由库仑定律和场强叠加原理推导出来的, 高斯也正是通过数学上的微积分、库仑定律、场强叠加原理等等进行计算和推导出来的。

二、几种带电物体电场分析

(一) 线电荷的电场

均匀带电细棒上的电场, 即均匀带电细棒在细棒中垂面上的电场强度分布情况, 设细棒的长度为2l, 细棒的带电电量总和为q。

1. 用库仑定律及微积分分析的结果

选细棒的中点O为原点, 取二维坐标系, 坐标轴Z轴沿细棒向上, 如图2-1所示。在图中, 选择细棒的点O为坐标原点, 再选取细棒为坐标轴轴Z轴, Z轴方向向上, 在此, 细棒具有轴对称性的特点, 也就是说在Z轴中细棒的每一截平面都相同, 选择纸平面为细棒的截平面, 细棒中的中垂面与纸面的交线为中垂线OP;那么, 整个细棒就被割成许多一对对的线元, 其中每对线元dz和dz’对于中垂线OP都对称。这一对对线元在中垂线上任一点P所产生的电场强度d E及d E’同样也和中垂线相对称。它们在垂直于OP方向上的分量相互抵消, 所以得到的合成矢量d E+d E’的方向是沿中垂线方向, 如图所示的r方向。其大小为2d Ecosa, 其中表示包含在线元dz内的电量。细棒在P点的总电场强度是所有这些一对一对线元电场强度d E及d E’的矢量和。电场强度的方向同样也是和r的方向一致, 因此, 只要计算总电场强度的r分量Er即可, Er就是各对线元电场强度的r分量, 即为2d Ecosa的代数和。这里的电荷是在细棒上连续分布, 所以, 求和实质上就是沿着细棒进行的积分计算, 因为在2d Ecosa中己包含了对称的上下两部分线元dz和dz’的电场强度之和。积分如下:

2. 高斯定理分析的结果

如图2-2所示, 高斯面取成图中的圆柱状S面, 这个圆柱状S面以细棒为轴, 以r为半径, 长度l为任意长度。圆柱状S面的上下两个底以垂直于细棒的平面为底面, 使圆柱状S面形成一个闭合面。细棒上的电荷密度为ηe, 被圆柱面包围的电荷则为ηel, 那么, 根据高斯的电通量定理可得, 通过它的电通量ΦΕ为:

(二) 面电荷的电场

均匀带正电的无限大平面薄板的电场强度, 设该无限大平面薄板的带电电荷的面密度为σe。

1. 用库仑定律及微积分分析的结果

(2) 如图2-4所示。选择平面薄板在x、z轴上, 并在平面薄板上取以O为中心, 边长为l的正方形, 那么对于一条边上的线电荷的电场强度, 根据上面的计算结果, , 可得如下计算式, 即再以这条线为边取微分dz, 如图所示, 其大小为2d Ecosa, 其中

2. 高斯定理分析的结果

均匀带正电的无限大平面薄板的电场强度, 设该无限大平面薄板上的电荷的面密度为。如图2-6所示, 可以看出, 在无限大平面薄板的两侧, 电场的电力线相互平行, 电场的电力线方向处处与无限大平面薄板相互垂直, 如图2-6中a所示。根据电场强度分布的这个特点, 这里的高斯面的取法应为如图2-6中b所示的形式, 最为简单合理。即高斯面的取法是一个圆柱体的表面, 其侧面与无限大平面薄板相互垂直;圆柱体的两个底面与无限大平面薄板相互平行, 并且与无限大平面薄板为中面相对称。根据高斯的电通量定理可得, 通过它的电通量ΦΕ为:

(三) 球面电荷的电场

设有一个半径为r的球, 球上均匀地分布着电量为q的正电荷, 距球心A点的距离为R (R>r) 处O点的电场强度。

1.用库仑定律及微积分分析的结果

(3) 同理, 把上面两种结合在一起综合考虑得:E=Er

2.高斯定理分析的结果

如图2-9所示, 均匀带正电, 电量为q, 半径为r, 球心为O的球壳内外距球心O的距离为R处的电场强度。由于这里电荷是均匀地分布在球壳上, 而且球壳上所带电荷呈球形对称, 所以, 球壳上电荷所产生的电场分布也具有球形对称性, 即任何与球壳同心的球面上, 各点电场强度的大小均相等, 方向沿球心半径的方向向外呈辐射状。这里分两种情况来求解, 即球壳外 (R>r) 和球壳内 (R<r) 两种情况。 (1) 球壳外 (R>r) , 如图2-9 (b) 所示, 设球壳上任一点的面元ds, 那么在球壳上都有唯一的一个面元ds’存在, 使面元ds和面元ds’对于OP的连线完全对称。那么, ds和ds’在P点所产生的元电场d E和d E’也相对于OP呈对称性, 而电场的矢量和d E+d E’在OP的联线上。整个球壳都可以被分解成这样一对对的面元, 其电场强度均在OP的联线上, 所以, 在距球心O的距离为R的P点的电场强度E一定沿着OP连线。

三、讨论

(一) 高斯电通量定理自身的自相矛盾

如图2-10所示, 线电荷ηe与面电荷σe以及点电荷ηedl之间三者的关系为:, 在同一个平面的面电荷上, O点电荷ηedl的电场是3.1中的式 (1-1) , 而线电荷CD上的电场强度为3.2中的式 (2-1) (l无限长度) 和式 (2-1-1) (l为有限长度) 。以上的三个式中的距离均r≠0, 而3.3中的式 (2-2) r=0却有意义, 这就形成了自相矛盾。同时, 3.3中的 (2-2) 也与题设条件相矛盾, 因此可以判断3.3中的式 (2-2) 是不符合题设条件, 因此是不正确的结果。同样, 对于高斯定理计算的球面电荷的电场强度, 不难分析, 其与题设条件也是相互矛盾。

(二) 库仑定律计算得到结果与题设条件的相互矛盾

同样, 如图3-1所示, 在同一个平面上的面电荷的电场, 用不同的求积分方法得到了不同的结果, 而且从点电荷的电场, 即库仑定律3.1中式 (1-1) , 到线电荷的电场, 3.2中的式 (2-1) (l无限长度) 和式 (2-1-1) (l为有限长度) 。都是距离不能为零, 否则不仅与题设条件相矛盾, 而且无意义。在面电荷的求积分过程中, 先在平面上取一小块边长为l的正方形, 采取的方法求得的积分, 再取l→∞时的求解结果, 如3.3中的式 (2-3) , 这一结果, 显示, 同样是r≠0。以上以库仑定律为题设条件, 通过重积分计算不同形状电荷外的电场强度, 在同一个形状的电荷, 如面电荷中, 用不同的重积分方法计算所得的结果不同, 而且相互矛盾, 这充分说明, 普通的重积分不适合解决电荷的电场度计算, 要解决这一问题, 就要产生一门新的数学领域:纽曲空间微积分来解决。

四、原因分析

(2) 如图3-1所示, 图中的dz为电荷积分, 而da为距离的角度积分, 当时, 即使da→0, 但da所对应的dz→∞, 使得计算结果产生积分偏差而不正确。

(3) 如图2-8所示, 同样, 在球面电荷的电场计算过程中, a所对应的da是电荷积分, 而θ所对应的dθ则为距离上的积分, 随着a的变化, 当达到时, dθ=0, 而da→0, 因此会产生一个积分偏差。为了解决这一问题, 减小偏差, 得出了2.3.1 (3) 中的计算结果, , 虽然还有一定的积分偏差存在, 但相比之下, 比2.3.1 (1) 的结果相比显然更正确, 更符合题设的条件要求。

五、结论

通过分析得知, 高斯的电通量定理的产生, 是以库仑定律为基础, 进行各重积分计算所得许多种结果中的一种结果相吻合, 由此可知高斯电通量定理的谬误, 主要原因来自于数学分析的不正确。即在纽曲空间里时行重积分运算的过程中产生的积分偏差。通过纽曲空间微积分的计算, 球面电荷的电场强度的正确数学表达式应为:

高斯的电通量定理是以库仑定律为题设条件, 通过微积分推导产生的定理, 由于重积分在纽曲空间里的积分偏差所致, 导致高斯定理的谬误, 要解决这个矛盾, 就要出现一门新的数学领域来解决, 即纽曲空间里的微积分学来解决。

六、纽曲空间微积分

我们知道, 力乘以距离等于功, 抽象成数学关系后, 就是向量的点乘, 即向量的内积:α·β=|α||β|cos<α, β>, 同样, 在力乘以力臂等于力矩时, 也可以抽象成数学关系, 而变成向量关系, 这就是向量的外积。

即:α×β=|α||β|sin<α, β>。

同样, 对于库仑定律:也可以抽象成数学问题, 当用数学中的微积分和重积分, 进行以点, 线, 面, 体, 或球面进行计算时, 其中只有一种结果和用高斯的电通量定理所得到的结果是完全一致的, 这就说明高斯的电通量定理是由库仑定律这基础, 通过数学中的重积分计算得来的, 所以, 其结果与题设条件相互矛盾时, 只能从数学的角度来进行分析才是正确。而不能用物理学现象来进行解释。库仑定律中电荷的积分, 抽象成数学问题后就成了空间量的积分, 即点空间量的积分、线空间量的积分、面空间量的积分、体空间量的积分。库仑定律中距离的积分, 抽象成数学问题后, 成了距离上的积分。空间量的积分中, 空间微分量和距离微分量是不相等的, 但二者之间存在着一定的数理关系, 所以, 在纽曲空间的微积分中, 要将这种相关的关系体现在积分式中, 所得到的微积分结果才是正确的结果。这是一个以三维坐标原点O为“时空奇点”的纽曲空间, 它不同于目前微积分领域的“均匀空间”, 所以有许多自身的特点。任何一个函数F (x、y、z) , 都不能到达三维坐标原点, 即“时空奇点”的位置。不能在坐标原点上。根相对论中的有关定义, 从坐标原点O向无穷远处伸展的空间即为纽曲空间, 对这样的三维坐标系中的函数求微积分则称为纽曲空间的微积分。

这是一个全新的数学领域, 用现在的二重积分和微积分学, 无法解决纽曲空间的微积分的许多问题, 例如, 在纽曲空间里, 任何一个函数F (x、y、z) , 都不能到达三维坐标原点, 即“时空奇点”的位置, 这样, 如果一个球面, 对坐标原点进行积分, 用现有的微积分学知识, 来进行计算, 就会得到了和高斯的电通量定理所得的结果完全一样的结果, 也就是说, 球面可以在坐标原点上了, 但这明显是和题意矛盾的, 因为球面在坐标原点上, 就无意义了, 这也同时证明了高斯的电通量定理的谬误。

(一) 定义

库仑定律抽象成数学问题后, 就成了数学中的纽曲空间的微积分。纽曲空间, 可以这样来用数学进行抽象和定义:在右手系正交标架下, 即在三维坐标空间:X、Y、Z中, 坐标原点O为时空奇点, 任何函数在时空奇点O处将失去数学意义, 坐标原点O与任何函数上任一点的关系为, 坐标原点O与函数上的点的距离的二次方成反比关系, 那么, 根据爱因斯坦的相对论, 这样的三维空间即为纽曲空间。设r为函数f (x) 上的点的向量, r∈f (x、y、z) 。or为从坐标原点指向r的向量。如果任何一个函数F (X、Y、Z) , 与坐标原点都存在着如下的关系, 即, {x、y、z∈R, R为实数}成立, 就说明, f (x、y、z) 是在右手系正交标架下, 在以坐标原点O为核心的纽曲空间里的函数。函数的积分, 就称为纽曲空间的微积分。这是一个以三维坐标原点O为“时空奇点”的纽曲空间, 它不同于目前微积分领域的“均匀空间”, 所以有许多自身的特点。任何一个函数F (X、Y、Z) , 都不能到达三维坐标原点, 即“时空奇点”的位置。不能在坐标原点上。这是把相对论中的有关定义引入到纽曲空间的微积中。

(二) 内容

如物理学中的力矩抽象成向量的外积和内积一样, 将库仑定律抽象成纯数学问题来进行重积分运算, 就成了纽曲空间微积分的运算, 有一系列自身的特点及其运算法则。其主要内容有: (1) 在以库仑定律为基础, 解决物理学中电荷的电场过程中, 进行微积分时, 必须首先对电荷量进行的积分。函数上的点与库仑定律中的点电荷相对应的关系;点、线、面、体的积分, 可被看着是空间量的积分, 即点空间量的积分、线空间量的积分、面空间量的积分、体空间量的积分, 以对应物理学中电荷量的积分部分。 (2) 同样在以库仑定律为基础的积分中, 还有一个对距离的积分过程, 相对应的就有数学函数中函数上点到三维坐标原点O的积分, 以对应电荷电场积分中, 电荷外的点到被积分电荷距离的积分。 (3) 由于在函数中对点、线、面、体等空间量的微分过程中dx、dy、dz与距离的微分不同步, 即趋于无穷小的“速度”不同步, 但存着一定的数理关系, 所以, 距离的微分d (or) 被一定数理关系取代后进行微积分, 才能得到正确的微积分结果。在绝大多数的函数积分中, 电荷的微分量和距离的微分量是不同步的, 但却存在着某种对应关系数学表达式, 所以在积分中要将这种对应关系求出后, 才能进行积分运算。相对应于电荷量微分的空间量的微分, 和相对于库仑定律作用力的微分的空间向量的微分。由于两者的微分之间不完全相等, 存在着某种数学关系, 所以, 在积分过程中, 要把两者的微分量的对应关系数学表达式列出, 再进行纽曲空间微积分, 所有这些都不同于普通的微积分, 这里称为均匀空间里的微积分, 所以, 为了相互区别, 称这种微积分叫纽曲空间微积分。

纽曲空间微积分有许多新的特点, 下面就列几个新特点:

定理2从当x→0时, sin x=x, ex-1=x, ln (1+x) =x, (1+x) а-1=аx可得到下列定理:

这说明, 在积分中的dx是不能作为0处理后再积分的, 因为即使是一个趋于0的dx, 在积分后, 也是一个不能略去的数, 定理中的4就充分说明了这一点。

七、意义

(一) 万有引力来自于电磁力, 即电磁力与万有引力的统一

(二) 万有斥力的存在

由以上分析可知, 物质和反物质之间存在着万有斥力。通过制造模拟反物质体系就可得到万有斥力, 即通过人造许多球面电荷, 球心为负电荷, 球面为大量正电荷, 将这些球面电荷体中在一起, 就能产生足够的万有斥力, 由于与地球之间万有斥力超过自身的重力时, 就会飞向太空。这是未来的飞行器的发展方向。

(三) 物质三态气、液、固的解释如下

原子中, 电子云的体积几乎不随温度而改变。而原子核的体积, 却因温度的不同, 原子核振动和自旋量的大小不同, 而表现出不同的空间体积。因为, 原子核在不同的温度下, 由于原了核的自身振动, 而占据不同的体积。这样, 当核体积达到某一数值范围时, 它与电子云之间的体积差, 表现出其对外的引力和斥力差的最大值, 产生最大差值存在的位置不同.当引力与斥力的差值最大值, 在电子云交界面上时, 表现为液体。当温度升高, 核振动体积增大时, 其引力最大值在电子云界面外时, 为气体。相反, 则为固体。如图 (7) 所示, 同时也说明了大分子, 如塑料, 巧克力为什么没有熔点和沸点的原因。任何一种新物质, 都可以通过数学分析, 计算出这种新物质的熔点和沸点是多少。

(四) 核心学说

在物质世界中。中子和质子都以正电为核心, 负电在外围。即原子核外存在负电性。所以电子才不能被吸附到原子核上。而在反物质世界中, 刚好相反。即以负电子为核心, 正电在外围。物质与反物质之间, 存在着万有斥力。质子和中子都快速自旋。在其表现为有磁极外, 还表现为核心的正电荷所占的体积, 远小于核心外负电荷所占的体积。由于正、负电荷的体积差, 而产生万有引力。