三角形的复习教案

三角形的复习教案（共7篇）

篇1：三角形的复习教案

相似三角形复习教案

教学目标: 本课为相似三角形专题复习课，是对本章基本内容复习基础上的深化，通过对一个题目的演变，紧紧围绕一线三直角这个基本模型展开，由浅入深对相似三角形进行，同时结合数学中的方程思想，分类思想，模型思想，数形结合思想等拓展深化.教学重点:相似三角形的一些基本图形特别是一线三直（等）角的复习.教学难点: 一线三直（等）角模型的拓展深化.教学过程: 练习:1.如图，AB＞AC，过D点作一直线与AB相交于 点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.2.如图，直角梯形ABCD中，E是BC上的一动点，使△ABE与△ECD相似，则AB、BE、CE、CD之间满足的关系为____________.得到相似中最基本的几种图形，即：

A型 斜A型 一线三直角反射型

在得到上述基本图形后，通过找相似三角形，让学生体会基本图形的应用。并通过对这个题目的演变，将本课内容提要呈现出来.例1：在平面直角坐标系中，两个全等Rt△OAB与Rt △A’OC’如图放置，点A、C’在y轴上，点A’在x轴上，BO 与A’ C’相交于D.你能找出与Rt△OAB相似的三角形吗？ 请简要说明理由 在上述条件下，设点B、C’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），将△ A’OC’绕点O逆时针旋转90°至△ AOC，如图所示：

（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；

（2）设抛物线的对称轴交x轴与点M，P为对称轴上的一动点，求当∠APC=90°时的点P坐标.本题主要是应用一线三直角这个基本图形，从而利用相似三角形的对应边关系求解，在教学过程中对P点的位置应作说明，可借助于几何画板演示.【变一变】线段BM上是否存在点P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出点P坐标，如不存在，请说明理由.本例让学生进一步应用基本图形，同时体会到数学思想——分类思想的应用.【拓展一】若点N是第一象限内抛物线上的一动点，当

∠NAA’=90°时，求N点坐标.通过添加一条辅助线构造一线三直角来提升对学生的要求。另外利用本题比较特殊的情况，即△AOA为等腰直三角形的 条件，采用一题多解的方法，帮助学生提高解题的能力.【拓展二】点N是抛物线的顶点，点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线绕Q点旋转180°后得到新抛物线的顶点为M，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点M、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

/本例难度较大，通过引导让学生知道本题仍然可通过构造一线三直角的模型来解决，因为要添加较多辅助线，教师可将第一种情况和辅助线添加出来，从而让学生类比得到第二种方法的辅助线.课堂小节:对本节课复习模型的整理;相似应用的技巧梳理;学生疑惑的交流.

篇2：三角形的复习教案

1、通过学生对一道中考题的解答，让学生认识到有时利用相似三角形解决问题较简便。

2、以小题目的形式来回顾梳理相似三角形的基本图形，并重点得到“三垂直型”；

使学生熟练掌握基本题型。

3、通过变式训练让学生感受图形从一般到特殊的变化；感受到题目的多解性；提高培养学生分析问题、解决问题的能力。

4、通过拓展训练让学生感受图形从特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加强学生对图形的感觉。

5、通过课堂及作业训练学生会用分类思想解决问题；巩固“三垂直型”和 “三角相等型”。设计方案：

一、情境：

如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）

A．1 B．

C． D．2（检查学生做的情况，大部分学生利用勾股定理计算。）

这道题目也可以利用相似三角形来计算。有时利用相似三角形解决问题较简便。今天我们复习相似三角形。（出示课题）

二、梳理相似三角形基本图形： 在我们学习相似三角形这一章时同学们做了许多题目，今天我们来回顾一下，看看他们之间有没有联系，同时检验一下同学们对图形的感觉。

1、如图（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，则DE=____(2)如图（2）若CE=，则DE=____.2、如图（3），在⊿ABC中，D为AC边上一点，∠DBC= ∠A，BC= AC=3，则CD的长为（）

，（A）1（B）2（C）（D）

3、如图（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，则BD的长为（）

（A）36（B）16（C）6（D）

4、如图，F、C、D共线，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，FC=9,则EF的长为（）

（A）6（B）16（C）26（D）

（这四道题目先留时间给学生在下面做，再让一个学生上黑板讲解。）由这四条题目让学生感受图形从一般到特殊的变化。

归纳小结相似三角形的基本图形：

“A”型 公共角型 公共边角型 双垂直型 三垂直型

（母子型）（母子、子子型）

“X”型 蝴蝶型

（老师在黑板上逐一画出基本图形）

三、学生探究：

1、在△ ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.变式：在Rt△ABC中，∠C=90埃?SPAN>AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.（先让学生在下面画，再让一个学生上黑板画、其他学生上黑板补充）让学生感受图形从一般到特殊变化时，题目的答案从四解减少到三解。

2．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF

变式：如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连结BF，若使图中△BEF与△ABE相似，需添加条件：。

（让学生感受三垂直型）

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P在BC边上，若△ABP与△DCP相似。△APD一定是（）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形 变式： 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若点P在BC边上，则△ABP与△DCP相似的点P有 个。

（进一步让学生感受“三垂直型”，并提醒学生注意全等三角形是特殊的相似三角形）

四、拓展：

1、梯形ABCD中，AD ∥ BC,AD

（将“三垂直型”拓展到“三角相等型”，让学生感受图形从特殊到一般。）

2、如图，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在线段BC上任取一点P，作射线PE⊥PD，与线段AB交于点E.（1）试确定CP=3时点E的位置；

（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（作辅助线：过点D作DH⊥BC于H。构造“三垂直型”）

五、课堂小结：

我们要善于在题目中发现和构造基本图形，利用相似三角形解决问题。从“三垂直型”到“三角相等型”我们会发现有很多题目中都隐藏着到“三角相等型”，只要我们善于归纳总结，就不难发现题目之间的联系，就会将题目归类。在解题时我们还要注意到特殊情况和多解的情况。

六、作业：

1.如图，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPAN>AD=3，BC=6，点P在AB上滑动。若△DAP与△PBC相似，且 AP= 求PB的长。

（本题有两解）

，2、已知：点D是等边三角形ABCBC边上任一点，∠EDF=60啊?/SPAN> 求证：△BDE∽△CFD3、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．（本题有两解）

教学后记：

本节课用一道中考题做引例既说明有时利用相似三角形解决问题较简便，同时又提高了学生的关注度。前面放了足够的时间让学生做、学生讲基本题，照顾了差生，但由于节奏慢了一点点，后面拓展中的第2题（构造“三垂直型”）课上没有时间讲了（一点遗憾）。在学生探究中，这三条题目以及它们的变式每个学生都积极去思考了，尤其在第2题的变式中，当学生添加了有关角的条件后，我再问：可以添加有关线段的条件吗？当学生添加了有关比例线段的条件后，我又追问：可以添加角和比例线段以外的条件吗？几个学生又能想到：添点E是AD的中点。（是这节课的一个高潮）。第3题，我在课件上将选择题改成了填空题，学生异口同声地回答：直角三角形。这时我再给出选择，学生一看，又想到了等腰三角形时△ABP与△DCP全等，是相似的特殊情况。（这样的设计学生的印象深刻）。在最后的拓展中，将“三垂直型”拓展到“三角相等型”，让学生感受图形从特殊到一般。（是这节课的又一亮点）。总之，本节课有相似三角形的基本图形的梳理；通过图形的不断变化，让学生感受到图形之间的联系、题目之间的联系。“三垂直型”的提出是学生感到新鲜的，并将它拓展到“三角相等型” 让学生感受到数学的学习从薄到厚，又从厚到薄的过程。培养学生善于归纳总结，将题目归类，会用数学思想解决问题。教学目标基本达到。

篇3：“三角形”复习专题

1. 工人师傅常用角尺平分一个任意角 . 作法如下 : 如图 , ∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合. 过角尺顶点C作射线OC. 由此作法得△MOC≌△NOC的依据是().

A. AASB. SAS

C. ASA D. SSS

2. 在等腰△ABC中,∠ACB=90°, 且AC=1. 过点C作直线l∥AB,P为直线l上一点,且AP=AB. 则点P到BC所在直线的距离是( ).

3. 已知: 如图在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC, AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE. 以下四个结论: ①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),其中结论正确的个数是().

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

4. 如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E, D在同一条直线上. 若测得BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于().

A. 60 m B. 40 m

C. 30 m D. 20 m

二、填空题

6. 如图,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要______cm;如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要______cm.

7. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上. 点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长至边AB,交于点P. 则点P的坐标为______.

三、解答题

8. △ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.

(1) ∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小.

(2) 若∠B<∠C,则2∠EAD与∠C-∠B是否相等? 若相等,请说明理由.

9. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点. 将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC. 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.

10. 问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量. 下面是他们通过测量得到的一些信息:

甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.

乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900 cm.

丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200 cm,影长为156 cm.

任务要求 (1) 请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;

(2) 如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M. 请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径. (友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)

参考答案

1. D 2. D 3. C 4. B

8. (1 ) ∠EAD=20° ; (2 ) 相等 , 理由如下 , 由 (1 ) 知 , ∠EAD= ∠EAC- ∠DAC = 1/2∠BAC-(90°-∠C)①,把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①,整理得∠EAD=1/2∠C- 1/2∠B,∴2∠EAD=∠C-∠B.

9. 数量关系为:BE=EC,位置关系是:BE⊥EC. 证明略.

篇4：三角形的复习教案

[关键词]三角形 复习方法 数学思想

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-071

【教学内容】六年级下册三角形知识总复习。

【教学目标】

（1）使学生进一步掌握三角形各部分名称与意义、三角形内角和、三角形分类，三角形的面积的有关知识。

（2）引导学生开展自主复习，初步掌握复习方法，形成基本复习技能。

（3）提高复习课学习兴趣，培养积极的学习态度，使学生获得成功的情感体验。

【教学重点】复习三角形相关基础知识，初步掌握单元复习的基本方法。

【教学难点】三角形之间的内在联系与区别的构建。通过复习活动，提高学生上复习课的学习兴趣，培养学生积极的学习态度，并使学生获得成功的情感体验。

【学情分析】学生已经学习了除圆以外所有平面图形的基本知识，已经具有初步的整理和分析的能力，大多数学生还会将所学知识进行简单的整理。

【教学过程】

一、创设情境，导入复习

师：老师带来一组漂亮的图片，请你用数学的眼光来欣赏一下。（播放课件）它们有什么共同点？

生：都是三角形或者都和三角形有关。

师：看来三角形不但实用而且很美观。这节课让我们一起走进三角形的世界。（通过美丽的图片让学生感受到三角形的美丽和实用，激发学生对三角形的兴趣和探索的欲望。揭示并板书课题：三角形的复习）

二、回顾整理，建构网络

1.自主整理

师：请拿出你的课本找到三角形的有关知识，带着老师的温馨提示开始阅读。（出示课件：谁用响亮的声音把它读给同学们听听？）

自主复习提示：①课本中把三角形分为哪几部分来学习的？每个部分的知识点有哪些？重点是什么？②关于三角形，课本中有哪些公式？是用什么数学方法怎样推导出来的？③把相关知识进行梳理。咱们开始阅读吧！

师：读完的同学请坐正，谁先把你的阅读收获说给同学们听听？

生说……生评……

师：大家收获真不少，想一想，用什么样的方式能把这些凌乱的知识系统化，完整地展现出来呢？咱们以小组为单位进行整理。哪个小组先把你们的作品展现一下？（实物投影）同学们整理的都很棒，老师把刚才同学们整理的知识进行了汇总。（课件演示）你在复习时，觉得哪个知识点有困惑，说出来咱们共同探讨一下。解决不了的老师来帮忙。

师：回忆一下，面积的推导公式是怎样的？谁来说一说？

生1：我们是把三角形转化成平行四边形，利用平行四边形的公式推导出来的。

师：很棒！（课件演示三角形面积的推导过程，边看教师边解释）感觉如何？

生2：转化可以把新知识的探究与已经掌握了的知识联系起来，事情就简单化了。（板书：转化法）

师（指着网络图中三角形内角和）：大家一起回忆一下，我们在探究三角形内角和的时候，是怎么做的？

生3：测量，然后相加。

生4：剪拼。就是把三个角剪下来拼成一个平角。

师：这种方法很好，咱们共同回忆一下。（课件演示剪拼过程）其实这种剪一剪、拼一拼的方法我们给它起名叫剪拼法。（板书：剪拼法）

师：剪拼法和转化法是数学上很重要的方法，希望同学们能够学以致用。关于三角形的知识同学们有了更深层的了解了吗？老师想挑战你们一把，敢应战吗？

三、分层练习，巩固提高

师：下面的问题怎么解决？解决这类问题的依据又是什么？测试一下就知道你是否真正理解了。

1.下面每组的三根小棒能围成三角形吗？为什么？

2.你能想个办法让它稳定吗？

3.数学游戏：猜猜我是谁？

4.根据三角形的内角和180°，你能求出这个图形的内角和吗？

5.有一块长6米，宽2.5米的黄布，要做成三角形小旗，可以做成多少面？

6.三角形在咱们生活中有着广泛的应用。（播放课件，让学生在生活中感受三角形的用途，在音乐中欣赏三角形的美感）

师：三角形的作用很多很大，希望长大后的你，能用三角形发明更多的东西，让它散发出无限的力量。

四、归纳总结、课外延伸

师：回忆一下，咱们这节课复习了三角形的哪些知识？咱们用什么方法进行整理和复习的？希望同学们可以学以致用，并用这种方法对其他知识进行整理和复习。

【评析】三角形在生活中有着广泛的应用，本节课先由学生熟悉的生活导入，在情境中唤起学生已有的生活经验和知识储备，达到旧知迁移的目的，再从三角形的特性、分类、图形的拼组及作用深入复习三角形，激发学生的探索欲望，让学生了解并喜欢三角形。

六年级的学生已经具备了自己整理知识的能力，通过小组合作整理的活动，充分调动学生对知识点掌握的全面性，小组汇报中大家取长补短，回忆知识。教师在学生整理的基础上全面带动学生去整理，在此过程中通过课件动态展示三角形内角之和等于180度，并通过学生自己动手去摆小棒，加深对重点知识的理解。练习题的设计由浅入深，充分调动了学生的思维能力。教学过程中，既为学生提供独立思考、操作的空间，又为学生创设良好的交流环境。宽松和谐的课堂氛围，既能让学生养成敢想、敢问、敢说、敢做的良好习惯，又能培养学生善于倾听、善于欣赏他人的良好品质。

板书设计：

篇5：全等三角形单元复习教案

1、全等三角形的定义

能够完全重合的两个图形叫做_______。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。要点诠释：（1）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________。（2）记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在______的位置上。例如，△ABC与△DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作△ABC≌△DEF，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式。

2、全等三角形的性质

全等三角形的__________、_______________． 要点诠释：找对应边、对应角通常有下面两种方法：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

3、三角形全等的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（5）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成）。要点诠释：

（1）没有“SSA”、“AAA”这样的判定定理。（2）“HL”定理是直角三角形

，对于一般三角形不成立。

（3）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另两个条件即可，而这两个条件中必须有一边对应相等。能够完全

的两个图形叫做全等形．

知识点二：角平分线的性质

（1）角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个

。（2）角的平分线的判定定理

角的内部到的点在角的平分线上。要点诠释：

三角形的三条角平分线交于一点。

注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图

怎么运用角的平分线的性质定理：

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE

怎么运用角的平分线的判定定理：

∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上

类型一：全等三角形的性质

例1．如图，△ABC≌DEF，DF和AC，FE和CB是对应边。若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于（）

A.100°

B.53°

C.47°

D.33°

类型二：全等三角形的证明

例2．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．

类型三：角平分线的性质与判定

例3．已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．

【变式】如图，直线l1,l2,l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到

三条公路的距离相等，试问： 可选择的地点有几处？ 你能画出塔台的位置吗？

【变式2】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º

AP

N 2 BFC

类型四：利用三角形全等知识解决实际问题 例4．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=•BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC•≌△ABC，•得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）

A．边角边公理

B．角边角公理；

C．边边边公理

D．斜边直角边公理

【变式】如图,工人师傅要检查模型中的∠A和∠B是否相等,但他手边没有量角器,只有一把刻度尺,请你设计一个方案来说明∠A和∠B是否相等。

1、总结寻找对应边、角的规律：

（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等。

2、证明三角形全等的一般步骤及注意的问题

（1）先指明在哪两个三角形中研究问题；

（2）按边、角的顺序列出全等的三个条件，并用大括号括起来；

（3）写出结论，让两个全等三角形中表示对应顶点的字母顺序对齐；

（4）在证明中每一步推理都要有根据，不能想当然。

3、常用添加辅助线的方法

（1）作公共边构造全等三角形；

（2）有中点倍长构造全等三角形（中线法）；

篇6：三角形的复习教案

复习过程：

1、复习概念：

概念：1、由三条线段组成的图形叫做三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

3、三角形的内角和为180度

4、三角形任意两条边的和大于第三条边

2、练习讲评：

(一) 在钉子板上画指定的三角形

注意：画的时候为了准确，需要画在钉子之间

(二) 填空：

1、一个三角形有( )条边、( )个角和( )个顶点

2、三角形按角的大小来分，可分为( )、( )( |三类

3、三角形按边的长短来分，可分为( )、( )

注意：基础概念题，主要是给学生对知识做个梳理

4、5、6、题主要是根据三角形内角和是180度，来计算角度，除了方法外，还要强调细心计算。

(三) 判断：

1、2、3、4、5都为概念的延伸题，要求学生要记忆

6、7、8为多项选择，主要是让学生利用公式、概念灵活做题

(四) 画高：

注：重点也是难点，放慢速度，让学生用幻灯展示作业，大家来评一评做对了没有。

学生说一说画高的时候应该注意什么

1、用三角板画垂线，用虚线

2、要标上垂直符号

(五) 计算

1、在三角形中角1=136度;角2=29度;角3=?

2、妈妈买了个等腰三角形的风铃。它的一个底角是25度，它的顶角是多少度?

3、在直角三角形中，一个锐角是35度，另一个锐角是多少度?

注意：强调三角形的内角和是180度

四年级数学下册三角形复习教案三

教学目的：●使学生理解三角形的意义，掌握三角形的特征和特性。●经历度量三角形边长的实践活动，理解三角形三边不等的关系。●通过引导学生自主探索、动手操作、培养初步的创新精神和实践能力。●让学生树立几何知识源于客观实际，用于实际的观念，激发学生学习兴趣。

教学重点：掌握三角形的特性

教学难点：懂得判断三角形三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题;

教学过程：

联系生活：找一找生活中有哪些物体的形状或表面是三角形?请收集和拍摄这类的图片。

创设情境，导入新课：

1让学生说说生活中有哪些物体的形状是三角形的。展示学生收集的有关三角形的图片

2播放录像

师：接下来来看老师收集的到的一组有关三角形的录像资料。

3导入新课。

师：我们大家认识了三角形，三角形看起来简单，但在工农业生产和日常生活中有许多用处,看来生活中的三角形无处不在，三角形还有些什么奥秘呢?今天这节课我们就一起来研究这个问题。(板书：三角形的认识)

师生互动引导探索

(一)三角形的意义：

1活动。要求：(1)每个小组利用教师事先为其准备的三根小棒，把小棒看成一条线段，利用这三条线段摆一个三角形。比一比，看哪一个小组做得最快!

(提供的小棒有一组摆不成的。)

2学生拼图时可能会出现以下几种情况：

请同学一起来观看做得有代表性和做得有特色的图案(展示学生所摆的图)

请同学们一起做裁判，看看哪些是三角形?[学生会认为(1)、(2)、(3)(4)为三角形，但对(2)、(3)(4)有争议]

师：那你认为怎么样的图形才是三角形?到底这几个图是不是三角形呢?同学们可以从书上找到答案!请学生阅读课本的内容。

板书:三条线段围城的图形叫做三角形。

因此判断图案(2)(3)(4)不是三角形。

判断：下面图形，哪些是三角形?哪些不是三角形?

3.教师问：除了三角形概念，书中还向我们介绍了什么?

(1)三角形的边、角、顶点

(2)三角形表示法;

(3)三角形的高和底

(二)三角形的特性：

1课件出示自行车、屋檐、吊架等三角形的图片，为什么这些部位要用三角形?

2解决这个问题，下面我们先做个试验：

出示三角形和平行四边形的教具，让学生试拉它们，并思考，你发现了什么?

3要使平行四边形不变形，应怎么办?试试看。

4那些物体中用到三角形，你知道为什么了吗?三角形的这种特性在生活中的应用非常广泛，在今后学习数学的时候，我们应该多想想，怎样把数学中的有关知识应用到实际生活中去。

(三)三角形两边之和大于第三边

1师：在我们围三角形的时候，有一组同学的三条线段围不成三角形， 看来不是任意三个小棒就可以围成三角形，这里面也有奥秘。

这与它三条线段的长短有关。现在我们就来讨论这个问题——到底组成三角形的这三条线段有什么特点?

2学生小组活动：(时间约6分钟)。

下列每组数是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗?(学生每回答一题后就利用电脑动画进行演示：三条线段是否能组成三角形)

(1)6，7，8; (2)5，4，9; (3)3，6，10;

你发现了什么?

3学生探讨结束后让学生代表发言，总结归纳三角形三边的不等关系。学生代表可结合教具演示。

教师问：我们是否要把三条线段中的每两条线段都相加后才能作出判断?有没有快捷的方法?(用较小的两条线段的和与第三条线段的大小关系来检验)。

4得到结论：三角形任意两边之和大于第三边(电脑显示)。

教师问：三角形的两边之和大于第三边，那么，三角形的两边之差与第三边有何关系呢?

感兴趣的同学还可以下课继续研究。

5巩固练习：为了营造更美的城市，许多城市加强了绿化建设。这些绿化地带是不允许踩的。(电脑动画演示有人斜穿草地的实践问题)。他运用了我们学习过的什么知识?

6(1)有人说自己步子大，一步能走两米多，你相信吗?为什么?

(由学生小组讨论后回答。然后电脑演示篮球明星姚明的身高及腿长，以此来判断步幅应有多大?)

7有两根长度分别为2cm和5cm的木棒

(1)用长度为3cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?

(2)用长度为1cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什什么?

(3)在能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是

四、反思回顾

通过这节课的学习，你有什么收获?

五、板书设计

三角形的认识

由三条线段围成的图形叫做三角形.

三条边、三个角、三个顶点

特性：稳定性

篇7：三角形的复习教案

●知识梳理

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc==.sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

a2=b2+c2－2bccosA；

① b2=c2+a2－2cacosB；

② c2=a2+b2－2abcosC.③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得

b2c2a2cosA=；

2bcc2a2b2cosB=；

2caa2b2c2cosC=.2ab利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基

1.（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形

B.直角三角形 C.等腰三角形

D.等边三角形 a2c2b2解析：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.ac答案：C 2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是

A.sinA+cosA=

15B.AB·BC＞0

D.b=3，c=33，B=30° C.tanA+tanB+tanC＞0 解析：由sinA+cosA=

124得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角.525第1页（共8页）

由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC〉＜0.∴B为钝角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.由

3bcπ2π=，得sinC=，∴C=或.2sinBsinC33答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为A.C.13 223 23，那么b等于 2

B.1+3 D.2+3

3，2解析：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为且∠B=30°，故由S△ABC=

1113acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦2242a2c2b24b212b2b243定理，得cosB====，解得b2=4+23.又b为边长，2ac2642∴b=1+3.答案：B 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.b2c2a21π解析：由已知得（b+c）－a=3bc，∴b+c－a=bc.∴=.∴∠A=.2bc23π答案：

3222

25.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.a2b2c2解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1，2ab∴1＜c＜5.答案：（1，5）

●典例剖析

【例1】 △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC1cos2A1cos2B－=sinBsin（A+B）221（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），2因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只

第2页（共8页）

能有A－B=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论

（1）该题若用余弦定理如何解决?

b2c2a2（b2c2）b（bc）cb解：利用余弦定理，由a=b（b+c），得cosA===，2bc2bc2b

222a2c2b22（bc）ccbcos2B=2cosB－1=2（）－1=－1=.22ac2b2b（bc）c所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决? 2解：由题设a2=b（b+c），得

ab= bca

①，作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.①式表示的即是△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.BCAC=，所以DCBC 又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，所以A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例2】（2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC中，sin（A+B）=

31，sin（A－B）=.55（1）求证：tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin（A+B）=

31，sin（A－B）=，5532sinAcosBcosAsinBsinAcosBtanA55∴=2.11tanBsinAcosBcosAsinBcosAsinB55∴tanA=2tanB.（2）解：即π33＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.∴tan（A+B）=－，254tanAtanB3=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得1tanAtanB4第3页（共8页）

tanB=2626（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+6.223CDCDCD设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+6，tanAtanB26所以AB边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】（2004年春季北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值.c剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可b2bsinB用余弦定理.由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.cc解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.2b2c2a2bc1在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，absinBb2sin603∵b=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.cac211解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.222∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.3bsinB=sinA=.2c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用∴正弦定理.●闯关训练 夯实基础

1.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

1”的 2B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

11；sinA＞30°＜A＜150°22解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞A＞30°.答案：B 2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为

第4页（共8页）

A.75°

B.60°

C.50°

D.45°

解析：作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，∴DF=CFsin（140）.sin40CFDF=.sin40sin（140）∵CF为定值，∴当α=50°时，DF最大.答案：C 3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=则∠C的度数是_______.解析：由S=答案：45°

4.在△ABC中，若∠C=60°，则

ab=_______.bcac111π（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.42441（a2+b2－c2），4a2acb2bcab解析：= bcac（bc）（ac）=.abacbcc2∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得a2b2acbcabacbcc2a2b2acbc

（*）

=1.答案：1 5.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A.b=20，A=45°，C=80°

B.a=30，c=28，B=60° C.a=14，b=16，A=45°

D.a=12，c=15，A=120° 解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得有两值.答案：C 培养能力

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=的取值范围.a2c2b2a2c2ac1ac11解：∵b=ac，∴cosB===（+）－≥.2ac2ac2ca22π∴0＜B≤，3242sinBsinA=，所以sinB=.因而B

716141sin2BsinBcosB21sin2B（sinBcosB）πππ7πy===sinB+cosB=2sin（B+）.∵＜B+≤，sinBcosBsinBcosB44412∴2π＜sin（B+）≤1.故1＜y≤2.24第5页（共8页）

7.已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为2.（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）·sinB得22（2

a24R2－

c24R2）=（a－b）

b.2Ra2b2c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=

311absinC=×ab

222=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A =333sin2A－sin2Acos2A+

2223.233.2AB的AC=3sin（2A－30°）+∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=8.在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求取值范围.解：令AB=kx，AC=x（k＞0，x＞0），则总有sinB=理得sinB=cosA=

aa，sinC=（图略），且由正弦定kxxxsinA，所以a2=kx2·sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得ak2x2x2kx2sinA2kx2=

111（k+－sinA），所以k+=sinA+2cosA≤1222=5.所2kk以k2－5k+1≤0，所以所以

5151≤k≤.225151AB的取值范围为［，］.22AC探究创新

9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）

第6页（共8页）

解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=（2+2）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=b=10，sin（45）10，sinab===1010· sinsin（45）100

sinsin（45）

22sin（cossin）22100=

22sin2（1cos2）44400400=≥，2sin（245）222当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|2≥400（22）=400（2+1）2，22100当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.所以当a=b=10222）=10（时，|AB|最短，其最短距离为20（2+1），即当sin2230222）AB分别在OA、OB上离O点10（km处，能使|AB|最短，最短距离为20（2－1）.●思悟小结

1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin

ABCABCABC=cos，cos=sin，tan=cot.2222222.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.●教师下载中心 教学点睛

1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.第7页（共8页）

2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例

【例1】 已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+

2sinA.cosAcos（BC）（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y的最小值.2sinπ（BC）解：（1）∵y=cotA+

coscosπ（BC）（BC）=cot A+=cot A+2sin（BC）

cos（BC）cos（BC）sinBcosCcosBsinC

sinBsinC=cotA+cotB+cotC，∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.（2）∵cos（B－C）≤1，A2sinA2+2tanA=1（cotA+3tanA）≥3tanAcotA=3.∴y≥cotA+=

A221cosA22222tan21tan2故当A=B=C=π时，ymin=3.3评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥3.【例2】 在△ABC中，sinA=

sinBsinC，判断这个三角形的形状.cosBcosC分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得