“全等三角形”单元小结与复习

“全等三角形”单元小结与复习（精选11篇）

篇1：“全等三角形”单元小结与复习

“全等三角形”单元小结与复习

一、选择题（每题3分，共30分）

1、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下列条件后，还不能断定△ABC≌△DEF的是（）

A．BC=EF

B．AC=DF

C．∠A=∠D

D．∠C=∠F

2、如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=30°，∠ACB=∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB等于（）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

3、如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（）

A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

4、如图，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）

A．只有①

B．只有②

C．只有①和②

D．①②③

5、如图，△ABC≌△A′B′C′，且∠A︰∠ABC︰∠ACB=1︰3︰5，则∠BCA与∠BCB′的比等于（）

A．1︰2

B．1︰3 C．5︰4

6、下列四种说法中，不正确的是（）

D．2︰3 A．在两个直角三角形中，若两直角边对应相等，则斜边上的中线也对应相等

B．在两个直角三角形中，若斜边和一直角边对应相等，则这两个三角形的面积也相等

C．在两个直角三角形中，若斜边对应相等，则这两个直角三角形的周长也相等

D．在两个直角三角形中，若斜边和其中一个锐角对应相等，则这两个直角三角形斜边上的高也对应相等

7、AD是△ABC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是（）

A．DE=DF

B．AE=AF

C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF

8、如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则（）

A．△ABD≌△AFD

B．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE

9、如图，AB//CD，AC//BD，AD、BC相交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（）

A．5对

B．6对

C．7对

D．8对

10、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF（）

A．大于EF

B．小于EF

C．等于EF

二、填空题（每题3分，共18分）

D．与EF的大小无法比较

11、已知△ABC≌△DEF，A与D是对应顶点，B与E是对应顶点，△ABC的周长为18cm，AB=5cm，BC=6cm，则DE=________cm，EF=________cm，DF=________cm．

12、已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm，则EF边上的高为________．

213、△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件________，若加条件∠B=∠C，则可用________判定．

14、BM为△ABC中AC边上的中线，若AB=2，BC=4，则中线BM的取值范围是________．

15、（2004·绍兴）如图，在△ABC中，CD⊥AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不要在图中添加辅助线，字母）

条件：________________________________ 结论：________________________________

16、在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D．且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离为________．

三、解答题（共72分）

17、（8分）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB．求证：AE=CE．

18、（10分）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，求证：AB=AC．

19、（10分）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，请说明理由．

20、（10分）小明在墙上钉了一根木条，想检验木条是否是水平的？聪明的小华想出了这样的一个办法：如图，做一个三角架使AB=AC，并在BC的中点D处挂一重锤，自然下垂，调整架身，使A点恰好在重锤线上．那么BC就处于水平位置，你能说明理由吗？

21、（12分）如图，AC//BD，EA，EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC＋BD．

22（10分）如图，在△ABE和△ACD中，得出以下四个论断：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）AM=AN；（4）AD⊥DC，AE⊥BE，以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，以一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．

已知：________________________________．

求证：________________________________ ．

23、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．

答案：

一、选择题

1～

5、ＢＡＤＤＣ

6～

10、ＣＣＤＣＡ

提示：

2、∵∠ACB=110°，∠B=30°，∴∠CAB=180°－110°－30°=40°．

又∵∠DAC=10°，∴∠DAB=50°，∴∠DOB=∠DAB＋∠B=80°，∴∠DFB=∠DOB－∠D=80°－30°=50°．

5、设∠A=x°，则∠ABC=3x°，∠ACB=5x°．

∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠ACA′．

又∵∠ACA′=∠B＋∠A=4x°，∴∠BCB′=4x°，∴∠BCA︰∠BCB′=5︰4．

8、∵∠ADC=∠1＋∠B，∠3=∠1，∴∠ADE=∠B．

又∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．

又∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．

10、延长FD到G，使DG=DF，连结BG、EG．

先证△BDG≌△CDF，得BG=CF．

再证△EDG≌△EDF，得EG=EF，则△BEG中，BE＋BG>EG，∴填A．

二、填空题 11、5，6，712、6cm

13、AB=AC，AAS 14、1

15、AD=DB，AC=BC．

16、6cm 提示：

12、设EF边上的高为xcm，则×6x=18，∴x=6cm．

14、延长BM到N，使MN=BM，连结CN，则△CMN≌△AMB，∴CN=AB=2，∴△BCN中，4－2

即2<2BM<6，∴1

16、过D作DE⊥AB于E，则易证DE=DC．

设CD=3x，DB=5x，则3x＋5x=16，∴x=2，∴DE=3x=6(cm)．

三、解答题

17、证明：

∵FC//AB，∴∠F=∠3．

在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF，∴AE=CE．

18、证明：

过A作AF⊥BC于F，∴∠AFD=∠AFE=90°．

在Rt△AFD和Rt△AFE中

∴Rt△AFD≌Rt△AFE，∴DF=EF．

又∵BD=CE，∴BF=CF．

在△ABF和△ACF中

‘

∴△ABF≌△ACF，∴AB=AC．

19、已知：AB⊥BF于B，ED⊥BF于D，AE、BF交于点C，且CD=BC． 求证：DE=AB．

证明：在△DEC和△BAC中

∴△DEC≌△BAC，∴DE=AB． 20、已知：△ABC中，AB=AC，BD=CD，DA是铅锤线．

求证：BC处于水平位置． 证明：在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD，∴∠1=∠2．

又∵∠1＋∠2=180°，∴∠1=90°，∴DA⊥BC．

又∵DA是铅锤线，∴BC处于水平位置．

21、证明：在AB上截取AF=AC，连结EF．

在△ACE和△AFE中

∴△ACE≌△AFE，∴∠3=∠C．

又∵AC//BD，∴∠C＋∠D=180°．

又∵∠3＋∠4=180°，∴∠4=∠D．

在△BEF和△BED中

∴△BEF≌△BED，∴BF=BD．

又∵AB=AF＋BF，22、已知：如图，在△ABE和△ACD中，AB=AC，AD=AE，AD⊥DC，AE⊥BE．

求证：AM=AN．

证明：∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠D=∠E=90°．

在Rt△ADC和Rt△AEB中

∴Rt△ADC≌Rt△AEB，∴∠DAC=∠EAB，∴∠1=∠2．

在△ADM和△AEN中

∴△ADM≌△AEN，∴AM=AN． ∴AB=AC＋BD．

23、证明：延长EB到F，使EF=EA，连结CF． 在△ACE和△FCE中

∴△ACE≌△FCE，∴∠3=∠F，AC=CF．

又∵∠3=∠4，∴∠4=∠F．

又∵∠1＋∠2=180°，∠D＋∠1=180°，∴∠D=∠2．

在△ADC和△FBC中

∴△ADC≌△FBC，∴AD=FB．

又∵AF=2AE，∴AD＋AB=2AE．

篇2：“全等三角形”单元小结与复习

学习目标：

1．掌握两个三角形全等的条件与性质;2．能用三角形的全等性质解决实际问题.重点：掌握全等三角形的性质与判定方法.难点：对全等三角形性质的运用

学习过程：

一、梳理知识，形成体系

1、_________的两个三角形全等；

2、全等三角形的对应边_____;对应角______;

3、证明全等三角形的基本思路

找第三边（______________)(1)已知两边 找夹角(___________)看是否是直角三角形(______________)(______)找这边的另一邻角(_____)找这个角的另一边已知一边与邻角找这边的对角(_____) 找一角(_______)(2)已知一边一角 已知一边与对角 已知是直角，找一边(_____)

找夹边（______________)

(3)已知两角 找夹边外任意一边(______________)

二、实践演练，拓展提高

㈠、三边对应相等的两个三角形全等(SSS)演练1．如图，在ABC中,C90，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE⊥AB。

㈡.两边和夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）

演练2.如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：CABDBA

㈢、两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)演练3.如图，梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于F 求证：ABE≌FCE



㈣、两角和夹边对应相等的两个三角形全等(AAS)演练4.如图，在ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上。且ADEB,AD=DE 求证：ADB≌DEC.㈤、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等(H L)演练5.如图，在ABC中,C90，沿过点B的一条直线BE 折叠ABC，使点C恰好落在AB变的中点D处，求∠A的度数

演练6。在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD—BE(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明

篇3：“全等三角形”中常见错误与分析

下面列举几种常见的解题错误并进行归纳剖析, 希望能引起同学们的注意.

一、“对应”不准确

例1在△ABC和△DEF中, ∠A=30°, ∠B=70°, AC=5cm;∠D=70°, ∠E=80°, DE=5cm.那么△ABC与△DEF全等吗?为什么?

【错解】△ABC与△DEF全等, 证明如下:在△DEF中, 因为∠D=70°, ∠E=80°, 所以∠F=180°-∠D-∠E=180°-70°-80°=30°.在△ABC中, 因为∠A=30°, ∠B=70°, 所以∠A=∠F, ∠B=∠D.又因为AC=5cm, DE=5cm, 所以AC=DE.所以△ABC≌△DEF (AAS)

【剖析】一对相等的对应边, 它们所对应的角不相等, 不符合AAS的两个三角形全等的判定要求, 所以△ABC与△DEF不全等.

二、误用“直观感觉”当条件

例2如图1, 在△ABC中, AD是它的角平分线, BD=CD.DE、DF分别垂直于AB、AC, 垂足为E、F.

求证:BE=CF.

【错证1】

在Rt△BDE和Rt△CDF中,

因为BD=CD, DE=DF,

所以Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ,

所以BE=CF.

【错证2】

因为AD⊥BC,

所以∠ADB=∠ADC=90°,

证明△ABD≌△ACD (SAS) ,

得AB=AC.

再由△AED≌△AFD (AAS) , 得AE=AF.从而得到:BE=CF.

【剖析】错证1中认为DE=DF, 并直接将其作为条件应用, 因而产生错误;错证2中认为AD⊥BC, 没有经过推理加以说明, 因而也产生了错误.产生上述错误的原因是审题不清, 没有根据条件结合图形找到证题依据.正解如下:

在△AED和△AFD中,

所以△AED≌△AFD (AAS) ,

所以DE=DF.

又因为BD=CD,

所以Rt△BDE≌Rt△CDF (HL) ,

所以BE=CF.

三、误用判定方法

例3如图2, 在四边形ABCD中, AB平行且等于CD, 对角线AC与BD相交于点O.AE⊥BD于E, CF⊥BD于F.

求证:AE=CF.

【错证】因为AE⊥BD, CF⊥BD,

所以∠AEO=∠CFO=90°,

所以AE∥CF,

所以∠OAE=∠OCF.

又因为∠AOE=∠COF,

所以△AOE≌△COF,

所以AE=CF.

【剖析】错解由△AOE和△COF的三个角相等而判定它们全等, 根据是不充分的.仅有三个角相等的两个三角形不一定全等.

例4如图3, D是△ABC中BC边上一点, E是AD边上一点.EB=EC, ∠ABE=∠ACE.求证:∠BAE=∠CAE.

【错证】在△AEB和△AEC中:

所以△AEB≌△AEC (SAS)

所以∠BAE=∠CAE.

【剖析】上解错在证两个三角形全等时用了“SSA”来判定, 这是不正确的, 因为有两条边及其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等.

例5如图4, AC⊥BC, DC⊥EC, AC=BC, DC=EC.

求证:∠D=∠E.

【错证】在△ACE和△BCD中,

因为AC⊥BC, DC⊥EC,

所以∠ACB=∠ECD=90°.

又因为AC=BC, DC=EC,

所以△ACE≌△BCD (SAS) ,

所以∠D=∠E.

【剖析】上面的证明中, 错误地应用了“SAS”.∠ACB与∠ECD并不是那一对三角形的内角.

篇4：《全等三角形》单元测试题

——罗素（19世纪、20世纪英国哲学家和数学家）

一、填空题（每小题3分，共30分）

1． 如图1，把△ABC绕点A逆时针方向旋转40°，得到△ADE.若∠CAD=30°，则∠BAC=__.

2． 如图2，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=__.

3． 如图3，两个三角形全等.根据图中所给条件，可得∠α=__.

4． 如图4，在△ABC中，AD⊥BC于D.要使△ABD≌△ACD，根据“HL”，还需加条件__；若增加条件∠B=∠C，则可根据__来判定.

5． 如图5，点C、F在BE上，∠1=∠2，BC=EF，请补充条件__（写出一个即可），使得△ABC≌△DEF.

6． 如图6，∠A=90°，AB=BD.由点D作DE⊥BC交AC于点E.若AE=10 cm，则DE的长为__cm.

7． 如图7，BD平分∠ABC.DE⊥AB，垂足为E.S_△ABC=30 cm²，AB=18 cm，BC=12 cm，则DE=__.

8． 如图8，AB=DC，AD=BC.O为BD中点，过O点作直线与DA、BC的延长线交于点E、F.若∠ADB=70°，EO=12，则∠DBC=__，FO=__.

9． 如图9，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8.过点C作CF⊥BC.如果点D、点E分别在BC、CF上运动，并且始终保持DE=AC，那么当CD=__时，△ABC与△DCE全等.

10． 数学课上，贝贝的老师出了一道题.如图10，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE.请以其中三个论断作为条件，余下的论断作为结论，写出一个正确的命题.晶晶同学说：①②③→④；迎迎同学说：①②④→③；欢欢同学说：①③④→②；妮妮同学说：②③④→①.其中，__的说法正确.

二、选择题（每小题3分，共30分）

11． 如图11，△ABD≌△CDB.下面四个结论中不正确的是（）.

A. △ABD和△CDB的面积相等

B. △ABD和△CDB的周长相等

C. AD∥BC，且AD=BC

D. ∠A+∠ABD=∠C+∠CBD

12． 如图12，已知∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件（）.

A. AB=AD，BC=DE B. BC=DE，AC=AE

C. ∠B=∠D，∠C=∠ED. AC=AE，AB=AD

13． 如图13，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，FC∥AB.若BD=2，CF=5，则AB的长为（）.

A. 1B. 3 C. 5 D. 7

14． 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）.

A. 相等B. 互余C. 互补或相等D. 不确定

15． 有下列说法：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么也一定可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等；③要判定两个三角形全等，给出的已知条件中至少要有一组对应边相等.其中正确的是（）.

A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③

16． 在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D.若证△ABC≌△DEF，还要补充一个条件.错误的补充方法是（）.

A. ∠B=∠E B. ∠C=∠F C. BC=EF D. AC=DF

17． 如图14，已知AB=CD，BC=DA，∠B=23°，则∠D为（）.

A. 67°B. 46°C. 23°D. 无法确定

18． 如图15，已知AB=AC，PB=PC.有下列结论：①EB=EC；②AD⊥BC；③AE平分∠BEC；④∠PBC=∠PCB.其中正确的有（）.

A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个

19． 如图16，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC的长为（ ）.

A. 7B. 8C. 9 D. 10

20． 如图17，有一个平分角的简易仪器（四边形ABCD），其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，沿对角线AC画射线AE，AE就是∠PAQ的平分线.这个平分角的仪器的制作原理是（）.

A. 角平分线性质B. AAS

C. SSS D. SAS

三、解答题

21． （8分）如图18，AB∥CD，AB=CD，CE∥BF.则图中有哪几对全等三角形？请任选一对全等三角形进行证明.

22． （8分）图19是雨伞的截面图.伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF.AE=1/3AB，AF=1/3AC.当O沿AD上下滑动时，雨伞开或闭.雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？

23． （10分）如图20，△ABC中，D是BC的中点.过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G.DE⊥GF，DE交AB于点E.连接EG、EF.

（1）求证：BG=CF.

（2）请判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

24． （10分）如图21，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB.E为BC上一点，DF⊥AE于F.试问：在AE上是否存在一点P，使△ABP≌△DAF？若存在，请找出满足条件的点P，并给予证明；若不存在，请说明理由.

四、拓展题

25． （12分）如图22，AD平分∠BAC.DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.

（1）请指出图中与△BDE全等的三角形，并加以证明.

（2）若AE=6 cm，AC=4 cm，求BE的长.

26． （12分）如图23，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°.

（1）求证：△ACE≌△ABD.

（2）将图23中△AED绕点A顺时针方向旋转至图24所示的位置，其余条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.

篇5：全等三角形的判定复习与总结

一、知识点梳理

注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

技巧平台：

证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：

ABAD

解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，CBCD

ACAC，∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）△ABC≌△ADC（SSS）

点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ABD≌△ACD求得。

证明：D是BC的中点，BD=CD

ABAC



在△ABD与△ACD中，BDCD

ADAD

BDC

△ABD≌△ACD(SSS)，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）∠ADB+∠ADC=180（平角的定义）

∠ADB=∠ADC=90，AD⊥BC（垂直的定义）

例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。

ABAC

AA

证明：在△ABE与△ACD中,

AEAD

△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。证明：AE=BF(已知)

AE+EF=BF+FE,即

AF=BE

ADBC



在△DAF与△CBE中,AB

AFBE

△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE（全等三角形的对应角相等）

点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。

练习、如图，AB,CD互相平分于点O，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线）。

例5.（ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证△ABC≌△DEF的条件。

证明:AB∥DE,∠B=∠DEF.又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即BC=EF.BDEF

在△ABC与△DEF中,BCEF

ACBF

△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥△ABC≌△CDE.分析：在△ABC与△CDE中，条件只有AC=CE,由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。证明：AC∥DE，∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.又∠ACD=∠B,∠B=∠D.BD

在△ABC与△CDE中,ACBE,ACCE

△ABC≌△CDE(AAS).解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。

例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A=90,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE即可。证明：连接BE.ED⊥BC

于D,∠EDB=90.BABDBEBE

在Rt△ABE与Rt△DBE中，

Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),AE=ED.解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。

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三、课堂同步练习

1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC

2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠

5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥

8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。

EED，129.已知B,求证： ABECDE

BC

A

D

篇6：全等三角形复习课教学设计

教材分析：

《三角形全等复习课内容》选用义务教育课程标准实验教材《数学》（华师大版）九年级上册，三角形全等是初中数学中重要的学习内容之一。本套教材把三角形全等看作是三角形相似的特殊情况，同时三角形全等的概念，三角形全等的识别方法，与命题与证明，尺规作图几部分内容相互联系紧密，尤其是尺规作图中作法的合理性和正确性的解释依赖于全等知识。本章中三角形全等的识别方法的给出都通过学生画图、讨论、交流、比较得出，注重学生实际操作能力，为培养学生参与意识和创新意识提供了机会。设计理念：

针对教材内容和初三学生的实际情况，组织学生通过摆拼全等三角形和探求全等三角形的活动，让学生感悟到图形全等与平移、旋转、对称之间的关系，并通过学生动手操作，让学生掌握全等三角形的一些基本形式，在探求全等三角形的过程中，做到有的放矢。然后利用角平分线为对称轴来画全等三角形的方法来解决实际问题，从而达到会辨、会找、会用全等三角形知识的目的。教学目标：

1、通过全等三角形的概念和识别方法的复习，让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法。

2、培养学生观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力。

3、在学生操作过程中，激发学生学习的兴趣，培养学生主动探索，敢于实践的精神，培养学生之间合作交流的习惯。教学的重点和难点：

重点：运用全等三角形的识别方法来探寻三角形以及运用全等三角形的知识解决实际问题。

难点：运用全等三角形知识来解决实际问题。教学过程设计：

一、创设问题情境：

某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全相同的玻璃，那么你认为它应保留哪一块？（教师用多媒体）

师：请同学们先独立思考，然后小组交流意见 生：…………

师：上述问题实质是判断三角形全等需要什么条件的问题。今天我们这节课来复习全等三角形。（引出课题）。师：识别三角形及等的方法有哪些？ 生：SAS、SSS、ASA、AAS、HL。

复习回顾：练习

1、将两根钢条AA/、BB/中点O连在一起，使AA/、BB/绕着点O自由转动，做成一个测量工具，则A/B/的长等于内槽宽AB，判定△OAB≌△OA/B/现由（）练习

2、已知AB//DE，且AB=DE，（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是

（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF？

[根据不同的添加条件，要求学生能够叙述三角形全等的条件和全等的现由，鼓励学生大胆的表述意见]

二、探求新知：

师：请同学们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、旋转、对称几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系？ 请同组合作，交流，并把有代表性的摆放进行投影。

熟记全等三角形的基本形式，为探求全等三角形打下基础，提醒学生注意两个全等三角形的对应边和对应角。学生的摆放形式很多，包括那些平时数学成绩不好的学生也跃跃欲试，教师给予肯定和鼓励激发他们学习的积极性和主动性。

例

1、如图一张矩形纸片沿着对角线剪开，得到两张三角形纸片ABC、DEF，再将这两张三角形纸片摆成右图的形式，使点B、F、C、D处在同一条直线上，P、M、N为其他直线的交点。（1）求证：AB⊥ED（2）若PB=BC，请找出右图中全等三角形，并给予证明。

用多媒体演示图形的变化过程。

师：图3中AB与ED有怎样的位置关系？同学生猜想一下结果。生甲：AB垂直ED 师：为什么？可以从几方面来考虑？ 生乙：可以从图形运动变化的过程来考虑

生丙：可以考虑全等在已知条件下，显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D，又∠ANP=∠DNC，所以，∠APN=∠DCN=900，即AB⊥ED。

（根据学生的回答，教师板演）

师：若PB=BC，找出右图中全等三角形，看看谁能找得最快？ 生丁：△PBD≌△CBA（ASA）

师：板演，由AB⊥ED，可得到∠BPD=900，∠BPD=∠CBA，∠A=∠D，PB=BC，故有△PBD≌△CBA（ASA）。师：还有其他三角形全等吗？

生：有，我连接BN，由勾股定理得PN=CN，就不难得到△APN≌△DCN。

（在错综复杂的图形中寻找全等三角形是一件不容易的事，要鼓励学生大胆的猜想，努力探求，在学生的叙述过程中，教师及时纠正学生叙述中的错误，训练学生严谨的学习态度和学习习惯。）

例

2、（动手画）（1）已知OP为∠AOB平分线，请你利用该图画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

教师在黑板上画好∠AOB和直线OP，学生独立思考，然后请几个学生在黑板上演示。

师生总结：想要画出符合条件的三角形，只要在射线OA、OB上找到一对关于OP对称的点就可以了。

（2）利用上图作全等三角形方法，在△ABC中,∠B=600，∠ABC是直角，AD、CE是∠BAC，∠DCA的平分线，AD、CE相交于F，请判断FE与FD间数量关系。

师：请同学们用三角尺和量角器准确画出此图，然后量出EF、FD的长度，看看EF与FD长度 关系如何？ 生：基本相等。生：长度相等。

师：如何来证明他们相等？注意审题。

学生先独立思考后，组内交流，等到有同学举手发言。生：在AC上取点H，使AH=AE，则△AEF≌△AHF则EF=FH 师：为什么要这么做？你是怎么想到的？

生：因为要证明线段相等要考虑三角形全等，而EF、FD所在两个三角形显然不全等，又AD是平分线，在AC上找出E关于AD有对称点H得到△AEF≌△AHF。师：这样只能得到EF=FH。生：再证明△FHC≌△FDC。生：先求出AD、CE是角平分线∠APC=1200，则∠DPC=∠EPA=∠APH=600，所以∠HPC= ∠DPC=600，PC=PC，∠3=∠4，因为△HCP≌△DCP（ASA）所以PD=PH。

（看清题意，猜想结果是解决探究题的重要环节，教师要留给学生一定思考时间，同时鼓励学生尝试和交流，鼓励学生勇于探索以及同学之间的合作。）师生共同小结：

1、熟记全等三角形的基本形态，会找全等三角形的对应边和对应角。

2、在错综复杂的几何图形中能够寻找全等三角形。

3、利用角平分线的对称性构造三角形全等，并利用三角形的全等性质解决线段之间的等量关系。

4、运用全等三角形的识别法可以解决很多生活实际问题。作业：

1、在例2中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问：你在（1）中所得结论能成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

2、书本课后复习题 教学反思：

本教学设计从以下三方面考虑：

1、根据学生的学习情况，改进学生的学习方式，强调合作交流，探索学习，教师在教学过程中，努力为学生创设自主探索的氛围，让学生真正成为课堂主体。

2、重视对学生能力的培养，除常规的鼓励就大胆思考，积极发言，重视培养学生观察、操作、测试、思考的能力，学生的活跃，他们思考问题的方式是多种多样，教师从对完全更改，尊重他们的学习方式，这样有助于创新

篇7：“全等三角形”单元小结与复习

一.选择题(每小题3分，共30分)

1.在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是( )

(A)∠B=∠B/ (B)∠C=∠C/ (C)BC=B/C/ (D)AC=A/C/

2.如图，已知：△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF.则不正确的等式是( )

(A)AC=DF (B)AD=BE (C) DF=EF (D)BC=EF

3..如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )

(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去

4、如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，则ΔADC≌ΔABE的根据是( )

(A)SSS (B)SAS (C)ASA (D)AAS

5.如图所示，在下列条件中，不能作为判断△ABD≌△BAC的条件是( )

(A)∠D=∠C，∠BAD=∠ABC (B)∠BAD=∠ABC，∠ABD=∠BAC

(C)BD=AC，∠BAD=∠ABC (D)AD=BC，BD=AC

6. 如图，E、B、F、C四点在同一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是( )

(A)AB=DE (B)DF∥AC (C)∠E=∠ABC (D)AB∥DE

7. 如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC,再定出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是( )

(A) (B) (C) (D)

8.如图，从下列四个条件：①BC=B′C， ②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

9.在RtΔABC中，∠ACB=90°，E是AB上一点，且BE=BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC=5cm，则AD+DE=( )

(A)3 cm (B)4 cm (C)5 cm (D)6 cm

10.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥BC于点E，且BC=6，则△DEC的周长是( )

(A)6cm (B)4 cm (C)10 cm (D)以上都不对

二、填空题(每小题3分，共15分)

11. 如图，已知AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是__________.

12. 如图,在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线，若BC=5㎝，BD=3㎝，则点D到AB的距离为 .

13.如图，AD沿AM折叠使D点落在BC上，若AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=30°,则AN=_ __ cm，∠NAM=_________。

14.如图，E点为ΔABC的边AC中点，CN∥AB，过E点作直线交AB与M点，交CN于N点，若MB=6cm，CN=4cm，则AB=____________

15.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是____________。

三. 解答题(共55分)

15.已知△ABC如图所示,请同学们画△DEF,使得△DEF≌△ABC. (注:用直尺与圆规，保留作图痕迹。)(6分)

16.如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD交于点E，由这些条件你能推出哪些结论?(不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可)(8分)

17.如图，有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA.连结BC并延长到E,使EC=CB,连结DE,量出DE的长,就是A、B的距离.写出你的证明.(8分)

18.已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F。

求证：AB=CF。(10分)

19.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC(10分)

20.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF。

⑴求证：BG=CF

⑵求证：EG=EF

⑶请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。(13分)

★ 八年级数学上册《11.2三角形内角和》优秀说课稿

★ 三角形的外角和

★ 八年级上册数学教学设计人教版

★ 八年级数学教学设计

★ 三角形教学设计

★ 八年级数学上册数学教学工作计划

★ 八年级上册《人琴俱亡》教学设计

★ 三角形内角和教学设计

★ 三年级上册数学教学设计

篇8：全等三角形知识点总结及复习

（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边一定是对应边；

(4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题 例1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。

例3.如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。

例4.如图所示，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且 求证：BD=CE。

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。

求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决。

证明（一）：

在AE上截取AF=AD，连结FC。

在DAFC和DADC中 ∴DAFC≌DADC（边角边）∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）∵∠B+∠D=180°（已知）∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中 ∴DCEB≌DCEF（角角边）∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：

在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。

小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。

（四）全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件：

①；

②；

③；

④． 其中，能使的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）3.如图（四），点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（）A． B． C． D． C A D P B 图（四）A． B． C ． D． 1题图 2题图 4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF 5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于()A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 ④ ① ② ③ 6题图 4题图 5题图 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 8．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交 于点．已知，则的度数为（）A． B． C． D． 9．如图，=30°，则的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40° 10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C A B 1题图C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A D C E B 8题图 7题图 8题图 10题图 11．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SAS B．ASA C．AASD．SSS 12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cm B.3cm C.2cm D.不能确定 13．如图，OP平分，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A． B．平分 C． D．垂直平分 14.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A．　 B． C． D． O D P C A B A B C D 14题图 O 13题图 B A P 11题图 12题图 二、填空题 1.如图，已知，要使 ≌，可补充的条件是（写出一个即可）_______________． 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________ 3.如图，请你添加一个条件：

，使（只添一个即可）． 4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

D O C B AB A C E B D 1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 有 个 ． 6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

8.如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________.O A B C D E 6题图 7 题图 8 题图 A B D E C 三、解答题 1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．（1）求的度数；

（2）求证：． 3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；

(2)OB＝OE.E D C B A 4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． 5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M． B C A D M N（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段 BN与CN的数量关系，并证明你的结论． 6.如图，四边形的对角线与相交于点，． 求证：（1）；

D C B A O 1 2 3 4（2）． 7．如图，在和中，现给出如下三个论断：①；

②；

③．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． 2 1 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：

．（2）请选择一个真命题加以证明． 　 你选择的真命题是：． 证明：

8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD． 9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． B D C F A　郜 E 10.如图，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． 11．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角 形．（直接写出结果，不要求证明）：

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；

若不成立请说明理由． 13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DF∥CE（2）DE=CF A D F E C E B 14.如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC． 16.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE． １8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。

19．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC． 20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF。

A B F C E D １４．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E,(1)当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；

（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；

（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。

篇9：“全等三角形”单元小结与复习

一、全等三角形的定义（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）；

二、在全等三角形中找对应边和对应角

1、公共边是对应边；2、对应角的对边是对应边；

3、公共角是对应角；4、对顶角是对应角；5、对应边的对角是对应角。

三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

全等三角形的周长相等、面积相等

全等三角形的对应线段都相等

四、判定三角形全等的方法：基本事实：sas,asa,sss,  定理aas,

判定直角三角形全等的方法：基本事实：sas,asa,sss, 定理aas,  hl

五、证明题的思考思路：拿到证明题首先看是证明什么的，比如是要证明线段相等，那就要看这两条线段在哪两个三角形中，结合图形看一看这两个三角形是否全等，结合全等证明的依据看全等条件可够，不够的条件能否从其他已知条件中得到；再结合已知条件看从给的已知条件能得到什么，两头一凑，基本上证明思路就出来了。

六、证明角相等的依据

1、由角平分线得角相等；

2、同角或等角的余角相等

3、同角或等角的补角相等

3、由平行线得角相等或角的互补；

4、三角形内角和是180度；

5、全等三角形的对应角相等；

6、三角形的外角等于与它不相邻的两内角和；

七、证明线段相等的依据

全等三角形的对应边相等

八、证明角不等的依据

三角形的外角大于与它不相邻的任一内角

九、证明线段不等的依据

三角形两边之和大于第三边

篇10：“全等三角形”单元小结与复习

如图：直线 a1 , a2 被直线 a3 所截，构成了八个角。

a31234a15678a2

2、平行线的判定

同位角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.内错角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=180, ∴ a∥b.第十一章全等三角形

2三角形全等的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

全等三角形对应边上的中线、高、对应角平分线相等。

全等三角形的周长、面积相等。

3.全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）

3．角平分线的性质：

⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

4．证明线段相等的方法：

（1）中点定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。

5．证明角相等的方法：

（1）对顶角相等；（2）同角（或等角）的余角（或补角）相等；

（3）两直线平行，同位角、内错角相等；（4）角的平分线定义；

（5）等式的性质；（6）垂直的定义；

篇11：“全等三角形”单元小结与复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。

例2.如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

例3.如图，在ABC中，ABBC，ABC90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接AE,EF和CF。求证：AECF。



例4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

例5.如图，AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。

例6.如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：AC2AE。

例7.如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

同步练习

一、选择题：

1.能使两个直角三角形全等的条件是（）

A.两直角边对应相等

C.两锐角对应相等

B.一锐角对应相等 D.斜边相等

B.AB4，BC3，A30 D.C90，AB6

2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是（）A.AB3，BC4，CA8

C.C60，B45，AB4

3.如图，已知12，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的条件有（）A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

4.如图，12，CD，AC,BD交于E点，下列不正确的是（）A.DAECBE

B.CEDE

D.EAB是等腰三角形 C.DEA不全等于CBE

5.如图，已知ABCD，BCAD，B23，则D等于（）A.67 

C.23



B.46



D.无法确定

二、填空题：

6.如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD2:3，AC10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；

7.如图，已知ABDC，ADBC，E,F是BD上的两点，且BEDF，若

AEB100，ADB30，则BCF____________；

8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为_________；

9.如图，在等腰RtABC中，C90，ACBC，AD平分BAC交BC于D，

DEAB于E，若AB10，则BDE的周长等于____________；

10.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若BD10，BF2，则EF___________；

三、解答题：

ABC为等边三角形，11.如图，点M,N分别在BC,AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。

12.如图，ACB90，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。

答案

例1.思路分析：从结论ACFBDE入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB。

由条件ACCE，BDDF可得ACEBDF90，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACEBDF，从而得到AB。

解答过程：ACCE，BDDF

ACEBDF90 在RtACE与RtBDF中 AEBF

ACBD∴RtACERtBDF(HL)AB AEBF

AEEFBFEF，即AFBE 在ACF与BDE中 AFBEAB ACBDACFBDE(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2.思路分析：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

解答过程：延长AD交BC于F 在ABD与FBD中 ABDFBD ABDFBD(ASA 2DFB BDBDADBFDB90又DFB1C

21C。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3.思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是

CBF的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：ABC90，F为AB延长线上一点 ABCCBF90 在ABE与CBF中 ABBCABCCBF BEBFABECBF(SAS)AECF。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4.思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接AC AB//CD，AD//BC 12，34 在ABC与CDA中 12ACCA 43ABCCDA(ASA)ABCD。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

解答过程：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F

AP平分MAC，PDBM于D，PEAC于E

PDPE

CP平分NCA，PEAC于E，PFBN于F PEPF

PDPE，PEPF

PDPF

PDPF，且PDBM于D，PFBN于F BP为MBN的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例6.思路分析：要证明“AC2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。

解答过程：延长AE至点F，使EFAE，连接DF 在ABE与FDE中

AEFEAEBFED BEDEABEFDE(SAS)BEDF

ADFADBEDF，ADCBADB 又ADBBAD ADFADC

ABDF，ABCD DFDC

在ADF与ADC中 ADADADFADC DFDCADFADC(SAS)AFAC 又AF2AE AC2AE。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7.思路分析：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在AB上截取ANAC，连接PN 在APN与APC中 ANAC12 APAPAPNAPC(SAS)PNPC

在BPN中，PBPNBN

PBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AMAB，连接PM 在ABP与AMP中 ABAM12 APAPABPAMP(SAS)PBPM

在PCM中，CMPMPC

ABACPBPC。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习的答案

一、选择题： 1.A 2.C

3.B

4.C

5.C

二、填空题： 6.4 7.70

8.90

 9.10

10.6

三、解答题：

11.解：ABC为等边三角形

ABBC，ABCC60

在ABM与BCN中

ABBCABCC BMCNABMBCN(SAS)NBCBAM

AQNABQBAMABQNBC60。12.证明：AECD，BFCD FAEC90 ACECAE90 ACB90

ACEBCF90 CAEBCF

在ACE与CBF中