三角形的证明期末复习

三角形的证明期末复习（通用11篇）

篇1：三角形的证明期末复习

本章需要理解掌握的知识点有：

一、三角形的概念（要注意“不在同一直线上”）

二、三角形边的关系

1、按边分类：不等边三角形；

等腰三角形（包括等边三角形）

2、特殊三角形：等腰三角形，腰、底边；顶角、底角。

3、三边之间关系：三角形任何两边之和大于第三边

三角形任何两边之差小于第三边

4、三边关系应用：已知两边求第三边取值范围（第三边小于两边之和、大于两边之差的绝对值）；

已知三条线段的长，判断能否构成三角形

（只要看“两条较小线段的长度和是否大于最长线段）

证明线段不等关系

（只要是证明线段不等关系的题目，都要考虑用”三角形两边之和大于第三边“来证，那么。首先要出现三角形，然后在三角形中来证明）

三、三角形角之间关系

1、按角分类：直角三角形；

斜三角形（包括锐角三角形和钝角三角形）

2、特殊三角形：直角三角形，直角边、斜边。

3、三角之间关系：三角形内角和是180度

4、三角关系应用：求角度

证明角的不等关系

四、三角形中重要线段

1、三角形的角平分线(1、三角形的角平分线是线段，2、角平分线的交点叫三角形的内心)

2、三角形的中线（1、中线把三角形分成了两个面积相等的三角形，2、中线的交点叫重心，3、遇到中线的问题如果难以解决，则加倍延长中线）

3、三角形的高（1、高并不一定在内部，2、把握高的定义是作三角形高的基础，3、高的交点叫垂心，4、牵扯到高的题目通常用面积相等来解决）

探究几何图形的性质可以通过观察、操作和实验的方法。但这些方法得到的结论有时候是近似的、甚至是错误的。要想结论使人信服就要用到推理、推理就需要思维、思维就需要作出判断，判断的语句就是命题。

五、命题

1、命题的定义

2、真、假命题

3、命题的构成

4、命题的形式

5、互逆命题

六、证明一个命题是假命题的方法：举反例（例子要“符合命题的题设，但不符合命题的结论”）

七、证明一个命题是真命题要用推理的方法。

八、命题的证明

1、把命题改写成“如果p，那么q”的形式，找出题设和结论，p就是题设、q就是结论

2、画出符合题意的图形，并标明字母

3、结合图形写出已知、和求证：在已知中写题设；在求证中写结论

4、分析证明思路（执果索因）

5、写出证明过程：每一步都要有依据。

篇2：三角形的证明期末复习

一、考点，热点分析：

(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；

(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；

(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；

(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论

5．进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

6.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

7.经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

8.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。

二、知识点归纳：

三角形的概念及表示

三角形的基本要素及基本性质三边的关系,三内角的关系三角形的高,中线,角平分线三角形

三角形全等的表示及特征

三角形的全等探索三角形全等的条件三角形全等的应用

三、【例题经典】

三角形内角和定理的证明

例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．

点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，•同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出

下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．

其中正确的结论是_________．

解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF

可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC． ∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．

依此类推得①、②、③

点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用

例3．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线

上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD

．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF

∥CD．

【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

利用平行四边形的性质求面积

例4．（2006年河南省）如图，在ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=SABCD．

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．

∵E是DC的中点，∴DE=CE．

∴△AED≌△FEC．

∴S△AED =S△FEC．

∴S△ABF =S四边形ABCE+S△CEF =S四边形ABCE+S△AED =SABCD

会根据条件选择适当方法判定平行四边形

例5．（2005年山东省）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F•是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）

A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF

【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为

平行四边形”．

能利用平行四边形的性质进行计算

例6．（2005年西宁市）如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB•的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______

．

【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出

AO+BO=9，•再求得AC+BD=18．

四、【考点精练】

（一）、基础训练

1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．

（1）（2）（3）

2．如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D•点到直线AB的距离是_______cm．

3．如图3，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=•76•°，则∠DAF=______度．

4．（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．

（4）（5）（6）

．如图

5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD•交于点O，•且AO•平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．

6．（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E•是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．

7．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm

C．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm

8．（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，•则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）

A．2对B．3对C．4对D．6对

（7）（8）（9）

9．（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．•要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）

A．10，25B．10，36或12，36

C．12，36D．10，25或12，36

10．（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=

12S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P

旋转时（点E•不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）

A．①④B．①②C．①②③D．①②③④

11．如图1，该多边形的内角和为_______度．

(1)(2)(3)

12．如图2，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：__________，使四边形AECF是平行四边形．

13．（2006年长沙市）如图3，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是__________（添加一个条件即可）．

14．（2006年扬州市）ABCD的对角线交于点O，下列结论错误的是（）

A．ABCD是中心对称图形B．△AOB≌△COD

C．△AOD≌△BOCD．△AOB与△BOC的面积相等

15．（2005年天津市）如图4，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）

A．7个B．8个C．9个D．11个

16．（2006年广东省）如图5所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是（）

A．AC⊥BDB．OA=OCC．AC=BDD．AO=OD

(4)(5)(6)

17．（2006年淄博市）如图6，在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN•上，•四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，则ABCD的周长是（）

A．24B．18C．16D．1

218．（2006年怀化市）如图7，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，若用剪刀沿AD剪开，•则最多能拼出不同形状的四边形个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

19．如图8，ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为（•）

A．1：2B．1：3C．1：4D．2：

(7)(8)(9)

20．（2006年南通市）如图9，ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）

A．6mB．12cmC．4cmD．8cm

（二）、能力提升

21．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，•使图中存在全等三角．．

形，并给予证明．所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△_____．

22．已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，•在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

23．（2005年大连市）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF．（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）．

24．（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：

①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE．

请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（•

要求写出已知，求证及证明过程）

25．如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．

26．（2006年德阳市）如图，已知点M、N分别是ABCD的边AB、DC的中点，•求证：•∠DAN=∠BCM．

27．（2006年临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF．

求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．

28．如图，DB∥AC，且DB=

12AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

（三）、应用与探究

29．（2006年浙江省）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC

相交于O点，∠1=∠2，•请你添加一个条件（不再添加其

它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明．

你添加的条件是：__________．

30．（2006年江阴市）已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．

（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．

（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．

答案：

考点精练

1．95°2．33．20°4．60°5．4对6

7．B8．B9．D10．C

11．答案不唯一，比如：∠A=∠B，△PAC≌△PBD

12．（1）证略（2）连接AF，•则△AEF是等边三角形．证略

13．∵AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA）•，•

∴AE=CF（全等三角形对应边相等）

14．①②③为题设④为结论，证略

15．∠C=∠D，证略．

例题经典

例2．B

考点精练

1．9002．答案不唯一，如BE=DF等3．答案不唯一，如AB=CD等•

4．D5．C6．C7．D8．D9．B10．D

11．证△ABE≌△CDF（SAS），即可得到BE=•DF

12．证△BCM≌△DAN（SAS），即可得∠DAN=∠BCM

13．（1）根据（•SAS）•证△ADF•≌△CBE

（2）连接BF、DE、DB，•根据对角线互相平分的四边形是平行四边形．

证四边形BEDF是平行四边形即可

14．证四边形BCED是平行四边形即可

篇3：浅析三角形内角和定理的证明思路

思路一:用平角等于180°求证三角形内角和等于180°.

说明:此思路证明结论需要作适当的辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移一个平角的位置上得出结论.下面列举三种常见辅助线供大家参考.

证法1:如图1, 延长BC到D, 过C作CE//AB

因为CE//AB,

所以∠1=∠A, ∠2=∠B.

又∠ACB+∠1+∠2=180°,

所以∠ACB +∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图2, 过A作DE//BC,

因为DE//BC,

所以∠1=∠B, ∠2=∠C.

又∠1+∠BAC+∠2=180°.

所以∠B +∠BAC+∠C=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法3:如图3, 在BC上任取一点D, 过D分别作DE//AC交AB于E, DF//AB交AC于F.

因为DE//AC,

所以∠1=∠C, ∠2=∠3,

又∠DF//AB,

所以∠4 =∠B, ∠3=∠A,

所以∠2=∠A.

又∠1+∠2+∠4=180°,

所以∠C+∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

思路二:用平行线同旁内角互补求证三角形内角和等于180°

说明:此思路证明结论也需要作适当辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移到平行线同旁内角的位置上得出结论.下面举两种辅助线供大家参考.

证法1:如图4, 过A作AD//BC,

因为AD//BC,

所以∠1=∠C,

∠1+∠2+∠B=180°.

所以∠C +∠2+∠B=180°

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图5, 过点A、B、C分别作AD//BE//CF.

因为AD//BE//CF

所以∠1=∠5, ∠2=∠6,

∠5+∠3+∠4+∠6=180°.

所以∠1 +∠3+∠4+∠2=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

篇4：三角形的证明期末复习

曾老师设计的教案中，第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论：“三角形的内角和是180°”，第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论（教学过程如下）。

“（二）运用演绎方法证明结论

师：三角形的内角和确实是180°，如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢？

生：对于直角三角形，可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（图略）。长方形四个角是直角，其内角和为90°×4=360°，这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形，我还没想出来。

生：对于非直角三角形，可以在内部作一条高，将其分成两个直角三角形（图略）。这样两个直角三角形的内角和为360°，减去高与底边所成的两个直角的度数，就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师：嗯，非常好！这样，我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上，这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”，其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、 “长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论，这个结论是怎么得到的？

一般地，“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形，再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形，所以内角和是360°（当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导）。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习：“根据三角形内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？”由此可知，小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是180°”为依据。这样一来，证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形，教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据，而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”及平行线的某些性质（例如同旁内角互补）推导出长方形四个角都是直角，从而得到了“长方形内角和是360°”的结论，但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容，并不是四年级小学生所掌握的知识，论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点，因此提出了另一种说法，认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明，相当于平面几何中的公理”。为了证明需要，就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明，并且把它当作演绎推理的依据，这样处理不是很妥当。其实，即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”，仅用小学数学中的一些知识，要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、 两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而，正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时，怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢？

为了方便，笔者借助图形来说明问题。

假设△ＡＢＣ和△ＣＤＡ是两个完全一样的直角三角形，其中∠Ｂ=∠D=90°，∠２＝∠４，∠１＝∠３，ＢＣ＝ＤＡ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＡ，把这两个三角形如图所示拼起来，如果能拼成一个长方形，那么必须满足条件：∠１＋∠２＝90°，∠３＋∠４＝90°。由于∠２＝∠４，∠１＝∠３，所以就有∠１＋∠４＝90°，∠２＋∠３＝90°。由此可知，当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时，已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来，证明过程就形成了这样一个怪圈：先默认直角三角形的内角和是180°，否则它的两个锐角就不能拼成一个直角）→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然，用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼，而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角，这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见，例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的，在公开发表的这些文章影响下，估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现，对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的，在初中数学教材中，应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论（证明略）。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》（数学版）2011年第3期中指出：“要证明三角形内角和的定理，平行公理无论如何是绕不过去的。”显然，学生在未掌握平行线性质的情况下，要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的，而事实上也是没有必要的。《数学课程标准（实验稿）》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”，与四年级下册数学教材（人教版）配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，例如对于“三角形内角和”这一教学内容，不仅要学生“知道三角形内角和是180°”，而且还要求他们用演绎推理的方法来证明，这样做有时真的会“弄巧成拙”。

文中不妥之处敬请各位老师批评指正。

（浙江省杭州师范大学初等教育学院 310036）

篇5：期末复习：推理与证明,复数

期末复习：推理与证明，复数

一、推理

1．归纳推理是由，从的推理。

Ex1:将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，（二）间接证明：反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结

论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

Ex: 用反证法证明数学命题: 设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1

4三、复数

24k4k+14k+24k+

31、虚数单位i，规定：i=；i=；i=；i=；i=（kN*）

2、复数的代数形式是，全体复数所成的集合叫做________集。用字母________来表示。

3.z=a+bi（a、bR），则复数z的实部是；复数z的虚部是。复数z是实数，复数z是虚数，复数z是纯虚数

4、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），复数z1=z2；复数z1>z2

5、复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x轴叫做________轴，y轴叫做

_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6、z=a+bi（a、bR），则|z|=|a+bi|=，|z|的几何意义是

7、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则z1+z2=，对应向量运算；

z1-z2=，对应向量运算

8、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则|z1-z2|=，|z1-z2|的几何意义是

9、z1，z2是两个已知复数，z是满足下列等式的复数，写出z所对应的图形分别是什么？

（1）|z-z1|=a(aR，a>0)

（2）|z-z1|=|z-z2|

（3）||z-z1|+|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|<2a)

（4）||z-z1|-|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|>2a)

10、复数乘除法：（1）43i54i(2)2i74i11、z=a+bi（a、bR），则复数z的共轭复数为z=，zz=

12、实系数一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、cR，且a0)的根的情况

当>0时，方程有根，分别为

当=0时，方程有根，为

当<0时，方程有根，分别为

四、题型分类

(一)i的运算1、1iiii12321232010、1iiii20101232010i3、i2i3i20105、f(n)=iinn2010、1i111i2i3i2010nn(nN*)的值域是1i

6、1i1i1i=

7、n为奇数，=1i1i

(二)复数分类

21、z=(2+i)m-3(1+i)m-2(1-i)(mR)，z是实数，m取值； z是虚数，m取值；z是纯虚数，m取值；

2、z1=a+bi（a、bR），z2=2+ci（cR），则z1> z2的充要条件是

(三)复数的坐标表示、与向量之间的关系1、3+4i的点关于原点对称的点对应的复数为

22、(m+m-2)+(6-m-m2)i对应复平面上的点一定不在第象限

3、平行四边形中，z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i对应复平面上的点为三个顶点，第四个顶点对应的复数

为

4、复数3-4i和5-6i分别对应向量，求向量AB所对应的复数

(四)共轭运算

1、z1z223i，z1=1-5i，则z2=

2、(z+2)(z2)z,则z=

(五)模的运算及几何意义

2(12i)5(34i)

1、=

2、| z1+ z2|| z1|+| z2| 5(2i)

3、若集合M={z| |z+1|=1, zC},集合N={z| |z-2i|=|z|，zC},则MN=

4、复数z满足条件|z|=1，则|z+3-i|的取值范围是

5、复数z=cos+isin,(R)，则|z+1-i|的取值范围是

6、复数z1 z2满足| z1|=3，| z2|=4，| z1+ z2|=5，则|z1 –z2|=

7、|z|+z=8-4i，则z=

8、(1+i)z115i, z2=a-2i , |z1z2||z1|, a的范围(六)函数

1、f(z)=1-z,则z1=2+3i, z2=5-i, 则f(z1z22、f(z)=z-1,则z1=2-3i,f(z1 –z2)=4+4i，求z2=, |z1+z2|=

(七)一元二次方程1、2+ai，b+i（a、bR）是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，2、、是方程xxm0（mR）的两个根，且||=2，求m的值

3、复数、是方程xxm0（mR）的两个根，且||||=2，4、方程x+(k-2i)x+4+2i=0有一个根是2，复数另一个根为

五、反思小结

六、巩固练习

篇6：三角形的证明期末复习

21．在△ABC 中，AB  AC，A 0，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD，再将线

段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．（1）如图 1，直接写出 ABD和CFE 的度数；

（2）在图1中证明： E CF；（3）如图2，连接 CE，判断△CEF 的形状并加以证明．

B

图

1B

C

图2

2．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．

（1）如图1，若BAC==60，DF2BF，请直接写出AF与BF的数量关系；

（2）如图2，若BAC＜=60，DF3BF，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；解：

3.已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，求证BD=CE．

图1 图

4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，D是AC边上的动点，E是BC边上的动点，AD=BC，CD=BE．

（1）如图1，若点E与点C重合，连结BD，请写出∠BDE的度数；（2）若点E与点B、C不重合，连结AE、BD交于点F，请在图2中补全图形，并求出∠BFE的度数．

5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF．

篇7：三角形的证明期末复习

1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。

3、对称轴都是直线

4、联系：

如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。

二、轴对称的性质

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线

三、轴对称的判定

如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）

四、线段垂直平分线

1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）

2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）

3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。就能得到线段相等。

4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等

五、坐标系中的对称

点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）

点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）

六、等腰三角形

（一）等腰三角形性质

性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）

在一个三角形证明角相等的重要依据。

性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边

也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。

（二）等腰三角形判定：

1、定理：等角对等边

2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形

3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。

七、角的平分线

1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等

2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。

篇8：三角形的证明期末复习

曾老师设计的教案中,第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论:“三角形的内角和是180°”,第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论(教学过程如下)。

“(二)运用演绎方法证明结论

师:三角形的内角和确实是180°,如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢?

生:对于直角三角形,可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形(图略)。长方形四个角是直角,其内角和为90°×4=360°,这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形,我还没想出来。

生:对于非直角三角形,可以在内部作一条高,将其分成两个直角三角形(图略)。这样两个直角三角形的内角和为360°,减去高与底边所成的两个直角的度数,就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师:嗯,非常好!这样,我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上,这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”,其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、“长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论,这个结论是怎么得到的?

一般地,“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形,再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形,所以内角和是360°(当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导)。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习:“根据三角形内角和是180°,你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗?”由此可知,小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是1800”为依据。这样一来,证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形,教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据,而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形(长方形)”及平行线的某些性质(例如同旁内角互补)推导出长方形四个角都是直角,从而得到了“长方形内角和是360°”的结论,但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容,并不是四年级小学生所掌握的知识,论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点,因此提出了另一种说法,认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明,相当于平面几何中的公理”。为了证明需要,就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明,并且把它当作演绎推理的依据,这样处理不是很妥当。其实,即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”,仅用小学数学中的一些知识,要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出:“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而,正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时,怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢?

为了方便,笔者借助图形来说明问题。

假设△ABC和△CDA是两个完全一样的直角三角形,其中∠B=∠D=90°,∠2=∠4,∠1=∠3,BC=DA,AB=CD,A C=CA,把这两个三角形如图所示拼起来,如果能拼成一个长方形,那么必须满足条件:∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°。由于∠2=∠4,∠1=∠3,所以就有∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°。由此可知,当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时,已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来,证明过程就形成了这样一个怪圈:先默认直角三角形的内角和是180°,否则它的两个锐角就不能拼成一个直角)→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然,用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼,而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角,这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见,例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的,在公开发表的这些文章影响下,估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现,对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的,在初中数学教材中,应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论(证明略)。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》(数学版)2011年第3期中指出:“要证明三角形内角和的定理,平行公理无论如何是绕不过去的。”显然,学生在未掌握平行线性质的情况下,要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的,而事实上也是没有必要的。《数学课程标准(实验稿)》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”,与四年级下册数学教材(人教版)配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标,例如对于“三角形内角和”这一教学内容,不仅要学生“知道三角形内角和是180°”,而且还要求他们用演绎推理的方法来证明,这样做有时真的会“弄巧成拙”。

篇9：证明三角形角平分线定理的六法

定理：在ΔABC中，∠A的平分线AD交BC边于点D，则： 。

证明：

一、构造平行线法

如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、构造相似三角形法

如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，

过点C作CF⊥AD于F，则BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面积法

如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、构造圆法

如图，作ΔABC的外接圆，延长AD交圆于点E，

连接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、应用正弦定理

如图，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如图，以点A为坐标原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，设AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

则点B的坐标为（mcos ，msin ），点C的坐标为（ncos ，-nsin ）

设直线BC为： y=kx+b 则

解之得： b= -

∴ 直线BC为： y= x-- ∴ 点D的坐标为（ ，0）

篇10：三角形的证明单元测试

三角形的证明单元测试（北师版）3.1
1.如图，在△ABC 中，已知∠BAC=90°，AB=AD=AC，AD 与 BC 相交于点 E，∠CAD=30°，则∠BCD 的度数为()

1

2

3

5))))

2.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是 D，E，AD，CE 交于点 H，已知 EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长是(3.(本小题 10 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，若 CD＝2，那么 BD 等于(4.(本小题 10 分)在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 D 是 BC 上的一点，那么点 D 到 AB 与 AC 的距离之和为(5.如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P，则∠APE 的度数为(6.(本小题 10 分)如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∠EBD＝62°，则∠AEB 的度数为()

6

7

10

7.(本小题 10 分)如图，A，C，B 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE，BD 分别与 CD，CE 交于 点 M，N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN； ③AC＝DN．其中，正确结论的个数是(8.(本小题 10 分)下列命题中，其逆命题不成立的是(
 

)

)

A.同旁内角互补，两直线平行 C.如果两个实数相等，那么它们的平方相等

B.线段垂直平分线上的点到这个线段两个端点的距离相等 D.角平分线上的点到角两边的距离相等)

9.(本小题 10 分)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°”时，应假设(

A.有一个锐角小于 45° B.每一个锐角都小于 45° C.有一个锐角大于 45° D.每一个锐角都大于 45° 10.(本小题 10 分)如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 DF 交△ABC 的外角平分线 AD 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 ．则()A.BC＝AC＋AE B.BE＝AC＋AE C.BC＝AC＋AD D.BE＝AC＋AD

篇11：相似三角形判定定理的证明

1.如图，在等边三角形ABC中， D，E，F分别是三边上的.点，AE=BF=CD,那么△ABC 与△DEF相似吗?请证明你的结论。

2.已知：如图， ADDEAE??.求证：AB=AE。

ACABBC

3.已知：如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E, 且AE=AB。

2求证：AE=AD・AC.

4.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似?

二、补充题目：部分题目来源于《点拨》

1.如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE交于点O，则图中相似三角形有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对

(第1题)

(第2题)

2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列比例式中，错误的是( )

A.AD2=BD・DC B.CD2=CF・CA

C.DE2=AE・BE D.AD2=AF・AC

5.如图，在△ABC中，BE和CD分别是边AC，AB上的高，求证：△ADE∽△ACB.

(第5题)

答案

教材

1.解：相似.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC.又∵AE=BF=CD，∴AB-AE=BC-BF=AC-CD，即BE=FC=AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE=EF=FD.∴△DEF是等边三角形.∴△ABC∽△DEF.

ADDEAE2.证明：在△ADE和△CAB中，∵=，∴△ADE∽△CAB(三边成比例的两个三角形ACABCB相似).∴∠AED=∠B.∴AB=AE.

3.证明：∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，即∠EBC+∠C=∠ABD+∠DBE.又∵BE平分∠CBD，

ABAD2∴∠DBE=∠EBC.∴∠ABD=∠C.又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB.∴=.∴AB=ACAB

AD・AC.∵AE=AB，

2∴AE=AD・AC.

4.解：设ts时△QBP与△ABC相似.此时AP=2t cm，BQ=4t cm，则PB=(8-2t)cm.①当

PBBQ8-2t4t△PBQ∽△ABC时，==，解得t=2，∴当运动2 s时，△QBP与△ABC相ABBC816

似;

PBBQ8-2t4t②当△QBP∽△ABC时，=，解得t=0.8，∴当运动0.8 s时，△QBP与BCAB168△ABC相似.

点拨

1.C 点拨：△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△BOE∽△CAE，△COD∽△BAD.

DAAF22.A 点拨：∵∠ADC=∠DFA=90°，∠DAF=∠DAC，∴△DAF∽△CAD.∴==CAAD

AF・CA.排除D选项.同理CD=CF・CA，DE=AE・BE，排除B，C选项，无法得到AD=BD・DC.故选A.

5.证明：∵BE，CD分别为边AC，AB上的高，∴∠AEB=∠ADC=90°.又∠A=∠A，

AEAB∴△AEB∽△ADC，∴.又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB. ADAC