柯西不等式的小结

柯西不等式的小结（精选10篇）

篇1：柯西不等式的小结

柯西不等式的小结

浙江省余姚中学

徐鹏科

315400 柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究中一个非常重要的不等式，普通高中数学新课程把它列入选修内容，然而对于浙江等省份而言，又是高考报考第一类大学的加试内容。因此对其作一小结很有必要，通过几年的教学与实践，应该说把握这块知识已不是困难的事。

新课程选修４-５中，施行类比的数学思想方法得到的柯西不等式一般形式为：

设a1,a2,a3,,an;b1,b2,b3,,bn是实数，则

222222(a12a2a3an)(b12b2b3bn)(a1b1a2b2a3b3anbn)2

当且仅当bi0(i1,2,3,,n)或存在一个实数k使aikbi(i1,2,3,,n)时等号成立。课本提供的证时方法是构造函数f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2，利用f(x)非负性来完成不等式的证明。笔者认为，课本从二维向量类比到三维向量后得到了三维形式的柯西不等式，如果再增加从三维向量到n维向量的类比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，这是我们作为教师应该想到的地方。在这里必须指出，大多学生在学习柯西不等式时会遇到的困难不少，不等式形式的记忆，不等式应用的灵活性，会使学家生置身于云里雾里。笔者在教学中为学生记忆方便，编了如下的顺口溜：“大端括号乘括号，小端括号添平方，末平方的平方和，已平方的和串积，莫忘何时能相等。”实践证明，效果是明显的。

柯西不等式是一个公式，公式总涉及到应用的问题，公式的应用不外乎“顺用”、“逆用”、“变用”这三种用法，下面来举例说明，由于篇幅有限每道例题只作分析，读者阅后自证较易。

首先要掌握“顺用”，这里指的是从大到小的应用 例

1、设x1,x2,,xnR，且x1x2xn1。

22xnx12x21求证：.1x11x21xnn1分析：根据柯西不等式的特征和x1x2xn1，要证的不等式可变形为

22xnx12x2(n1)(左边第一括号中的n可看成n个)(x1x2xn)2，1x11x21xn1的和，再把余下的1代掉即可得需证不等式，即证：

22xnx12x2[(1x1)(1x2)(1xn)]()(x1x2xn)2，此即

1x11x21xn柯西不等式，显然成立。

其次要掌握“逆用”，这里指的是从小到大的应用。例2 已知 2x3y4z10求xyz的最小值.222分析： 102x3y4z23422222xyz22x2y2z2

100203040,y,z 当且仅当x时等号成立

29292929100222

xyz

min29本题的解题过程告诉我们，柯西不等式中的三个括号，如果其中两个是定值，则必可求出余下一个括号的最值。

最后，要把握”变用”，这里指的是对整个公式作灵活应用，是公式应用中的最高层次。例 3 设实数 x,y满足2x23y25，求Ax2y的最大值.分析： 显然，本题解决方向应是从小端向大端行进，然而，恰当配凑常数是关键。

Ax2y222x22211113y5 6232

Ax2yx2y330 6例4 已知x,y,zR且xyz1

（1）若2x23y26z21求x,y,z的值.（2）若2x23y2tz21恒成立，求正数t的取值范围.分析： 对于（1），求x,y,z的值只有两个方程，这是一个三元不定方程，一般不能求出确 定的x,y,z的解，现题目要求这样做，因此个中必有特殊情况，特殊情况就在柯西不等式中，21112x23y26z22x23y26z2xyz1

236

等号当且仅当x111,y,z时取到。23622可见题设的特殊性。确定了未知数能取的特殊性。

对于（2），既然2x3ytz1恒成立，除参数t必然的一个取值范围的要求外还 须2x3ytz的最小值也应该是大于等于1.为此只需柯西不等式从大端到小端的进行，又2x23y2tz2于是2x23y2tz222222111xyz1，2362min1516t1成立，解得t6

例 5 已知 wxyzF16，求F8wxyz的最大值.2222分析： 要求出F的最大值，需要建立关于F的不等式，借助柯西不等式就可以达到目的.8Fwxyz11112222

于是有 5F16F0,222w2x2y2z2416F2

0F165Fmax当且仅当xyzw6时取到。5165

例 6 如图 已知在锐角ABC中，BCa,ACb,ABc，其内一点P向三边作垂线，垂足为N，M，L，试求BCCM22AN的最小值，zND2A并指出此时P点的位置。

分析： 为了求出题中变量的最小值，首先想到的是把这 个量用数学式子表达出来。于是可设

MyBLx,CMy,ANz

PB2x2PC2(ax)22222由勾股定理PCyPA(by)PA2z2PB2(cz)2三式相加即得

BxLC

(ax)2(by)2(cz)2x2y2z2

化简整理得axbycz12(ab2c2)2(1)

(2)由柯西不等式axbycz222a2b2c2x2y2z2a2b2c2有（1）、（2）得到xyz4当且仅当x2(3)

abc,y,z时取到。22222a2b2c2BCCMAN的最小值为

4此时P点是锐角三角形ABC的外心。

综上所述，柯西不等式的教学既要抓紧基础知识的落实，又要灵活掌握应用。在柯西不等式的应用中充满着智慧，对运算能力特别是代数式的变形技巧和数字的配凑技巧提出较高的要求，是培养学生能力的好场所。

篇2：柯西不等式的小结

一、不等式及其解集和不等式的性质

用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。

②方向：大于向右画，小于向左画。

不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；

②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变； ③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。

作差法比较a与b的大小：若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0；则a＜b；若a-b=0, 则a=b。例1、下列式子中哪些是不等式？

① a+b=b+a;②a＜b－5;③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。例

2、若a

aba1b122 －;④

；⑤am___bm 2232⑥ab 0；⑦a+m b+m；⑧a² b²；⑨am bm。

例

3、①由axa，可得x1可得a____；②由axa，可得x＜1可得a____； ③ 由mx22xm可得x1，那么m______。

例

4、不等式5(x2)282x的非负整数解是__________________。二、一元一次不等式及其实际问题

一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）（2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项）（4）合并同类项（5）将x项系数化为1（系数为负数要变号）。一元一次不等式与实际问题（审设列解验答）

常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。（1）审（找表示不等关系的关键词）;（2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。

三、不等式组及其解集，与实际问题

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答）

（1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）;（2）设（设其中一个未知量，另一个用设的未知数表示）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答(方案问题要描述清楚)。一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）

类型（设a>b）不等式组的解集

1.（同大型，同大取大）x>a

数轴表示

2.（同小型，同小取小）x

3.（一大一小型，小大之间）b4.（比大的大，比小的小空集）无解

特殊：

x＞3x3x＞3x3无解，无解无解有解x＜3x＜3；x3；x3；专题 解决含参数的一元一次不等式（组）

类型

一、根据已知不等式（组）的解集，求参数的值(解集是突破口)方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出方程（组）；③解方程（组）

例

1、若不等式的解集为，求k值。，得解：化简不等式，得x≤5k①，比较已知解集②，∴③。

例

2、若不等式组的解集是-1

解：化简不等式组，得 ①

∵ 它的解集是-1

也为其解集，比较得 ② ∴(a+1)(b-1)=-6.③

2xb0b________练习、不等式组的解集为：1x3，则a_____,。

3x5a 类型

二、根据已知不等式（组）的特殊解集，求参数的取值范围(解集是突破口)方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出不等式；③解不等式 例

1、若关于x的不等式3x-a＞4（x-1）的解集是负数，求a的取值范围？

解：化简不等式得：x＜4-a①，∵ 它的解集是负数，∴只要4-a≤0均可满足②∴a≥4③ 练习、若关于x的不等式-3（x+2）＞m+2的解集是正数，求m的取值范围？

方法归纳：①表示解集；②将解集表示在数轴上，平移分析；③得参数的取值范围。

例

1、已知关于x的不等式x-a＞0，的整数解共5个，则a的取值范围是________。例

2、已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是________。

解：化简不等式组，得有解①，将其表在数轴上，②

如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4

xm0练习、不等式组的整数解只有-2和-1，则a，b的取值范围__________________；

2x51

类型

三、根据不等式组是否有解，及解的特殊情况；求参数取值范围。

方法归纳：

1、表示解集；

2、将解集表示在数轴上，平移分析；

3、得参数的取值范围。例

1、不等式组xm0有解，则m的取值范围______；

2x51解：化简不等式组，得x＜m有解①，将其表示在数轴上②，观察可知：m≤-2③

x-2 练习

1、若不等式组x＜m的解集是x＜5，则m的取值范围______；

x＜5xm02、若不等式组3的解集是x3，则m的取值范围是_______________。

3x8

13、不等式组x30无解，则k的范围__________。

2xk1类型

四、根据已知方程（组）的解的情况，求参数的取值范围(解的情况是突破口)方法归纳：①表示方程（组）的解；②根据已知解的情况列出不等式；③解不等式；

例

1、已知关于x的方程5x-2m=3x-6m+2的解大于-5，求符合条件m的非负整数值？ 解：解方程的x=1-2m，① ∵解大于-5，∴1-2m＞-5，②

解得：m＜3，(3)∴符合条件m的非负整数值为：0，1，2。例2.已知方程组xy=m的解是非负数，求m取值范围的？

5x3y=13解：解方程组得①

∵方程组的解是非负数，∴

即 ②

解不等式组(3)∴m的取值范围为≤m≤, 练习

1、已知方程组

2xy=1+m的解满足x＞y，求m取值范围的？

x2y=1-m2x-3y=1+a练习

2、已知方程组的解满足x+y＞0，求m取值范围的？

篇3：基本不等式做题技巧小结

技巧二:分离或裂项

解析可将上式转化为

技巧三:换元

解析本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式再分离求最值.

技巧四:消元(转化为函数最值,此时要注意确定变量的范围)

技巧五:整体代换(条件不等式)

技巧六:转化为不等式

解析由已知得:30-ab=a+2b.

技巧七:取平方

解析注意到2x-1与5-2x的和为定值.

篇4：不等式的证明方法与小结

关键词 不等式 方法 证明

不等式是数学基础理论的一个重要组成部分，也是中学数学的一个重要课题。它揭示了现实生活中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的作用。就知识间的内在联系而论，不等式也是进一步学习函数方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的知识。本文，将就不等式学习中的难点——不等式的證明方法探讨一下。

一、比较法证不等式

比较法是证明不等式的最基本最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算顺序的直接运用。比较法可分为差值比较法（简称求差法）和商值比较法（简称求商法）两种。

（1）差值比较法

差值比较法的理论依据是不等式的性质：“ ”，其一般步骤为：1）作差：察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体；2）变形：把不等式两边的差进行变形。或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个的平方等等（其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段）；3）判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

商值比较法的理论依据是：“若”，其一般步骤为：1）作商：将左右两边作商；2）变形：化简商式到最简形式；3）判断商与1的大小关系（就是判断商大于1或小于1）。

二、分析法证不等式

分析法是指从需证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判断这些条件是否具备的问题。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

用分析法证明的逻辑关系为：。书写的模式是为了证明命题B成立，只需证明命题为真，从而有……，这只需证明为真，从而又有……，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证明模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

三、综合法证不等式

综合法是利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式。其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

四、反证法证不等式

有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑。即要证明不等式A > B，先假设，由题设及其它性质推出矛盾，从而肯定A > B。

五、换元法证不等式

换元法是对一些结构比较复杂，变量比较多，变量之间的关系不甚明了的不等式，这时可引人一个或几个变量进行代换以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。

六、放缩法证不等式

放缩法是要证明不等式A < B 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的依据主要有：

不等式的传递性；

等量加不等量为等量；

同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较

七、数学归纳法证不等式

用数学归纳法证不等式主要是证明一些与自然数有关的不等式。

八 利用已知不等式法证不等式

用已经成立的不等式来证明不等式，往往可以收到事半功倍的效果，在我们学习中，常用的几个重要的不等式有Canthy 不等式，Jensen不等式，平均不等式，Bernoulli不等式等，熟悉并利用它们，在我们证明不等式的过程中是十分必要的。

以上是不等式证明中常用的几种方法，分别予于了说明。但由于关于不等式证明的问题其题型多变、技巧性强，加上无固定的规律可循，所以在对一题的证明中，往往不是用一种方法就能解决，而是各种方法的灵活运用，因此难度较大。本文是对不等式证明方法的终向剖析，要想更好的了解不等式的证明，也需要我们将其证明方法横向比较，较其优劣，争取在解题中寻找较简便的方法。

参考文献：

[1]不等式证明常用技巧[J].数学教学研究，1995.02.

[2]徐飞.不等式证明中的构造方法[J].数学通报，1981.03.

[3]赵云龙.不等式证明的几种常用类型及方法[J].天津教育，1995.02.

[4]雷小平.证明不等式的常用方法[J].太原科技，2002.01.

篇5：柯西不等式的证明

二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

证明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0

构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0，（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！）移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。

向量形式的证明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a、b、c 均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需证：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

求某些函数最值

例：求函数y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函数的定义域为[5, 9]，y>0

y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10函数仅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44时取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例请参考有关文献。三角形式证明 :两边同时平方,展开,消去同样的项,剩余部分再平方,消去同样的项,得一完全平方式,大于或等于0,得证

代数形式

设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则（a1b1+a2b2+...+anbn）①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立.推广形式的证明

推广形式为

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n(*)

证明如下

记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m个不等式叠加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.（注：推广形式即为卡尔松不等式）

篇6：柯西不等式的小结

【学习目标】

1.掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件 2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值 【自主学习】

1.三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？ 2.一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件

3.结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用.【自主检测】

1.已知a,b,c0，且abc1，则a2b2c2的最小值为＿＿＿＿ A.1B.4C.D.2.设a1,a2，an

R,1a

1b

1c

1314

a1a2

an

n的大小关系为＿＿＿

3.若a,b,c0,1，则abc的最小值是＿＿＿＿ 【典型例题】

例1.已知a,b,c0，求证：

1.

bcaabc

92.abca2b2c29abc abcbca



b2c2c2a2a2b2

abc 2.abc

n

n

例2.(1)已知a1,a2，anR.求证：ainai2

i1i1

（2）已知a1,a2，an0,a1a2（3）已知a1,a2，anR,b1,b2,a32an12an2a12a221

an1.

a1a2a2a3a3a4an1anana12

2222,bn0.求证：a1a2a3ana1a2an

b1b2b3bnb1b2bn

例3.（1）已知a12a22an21,x12x22xn21，求a1x1a2x2anxn的最大值

111

（2）设a,b,cR,abc1，求abc

abc



2的最小值

（3）若xyz19,求函数u

【课堂检测】

1.设a1,a2，anR,，则Pa1a2

nan与Qn

a1a2an的大小关系为()

A.PQB.PQC.PQD.PQ 11112.设a,b,c，dR，且Pabcd，则P的最小值为abcd

3.已知x4y9z1，则x2y2z2的最小值为4.把一条长为m的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？

【总结提升】

篇7：柯西不等式的小结

1.求函数yx24

x,(xR)的最小值。

2.求函数yx4x

2,(xR)的最小值。

xR且x2y

3.设2

1,求xy2的最大值

4.设x,y,z为正实数,且x+y+z=10,求4x19

yz的最小值。

已知：x2

5.4

y21 求：xy；2xy的取值范围。

6.已知：a2

b2

1，m2

n2

2,求ambn的取值范围

7.已知：2x3y1 求：x2

2y2的最小值.8.求函数yx12x的取值范围。

9.求函数yx12x的最大值。

证明不等式

1.求证:a2b2c2abbcac

2.已知a,b都是正数，求证：

（1）(1ab)(1a2b2)9ab;（2）(a2bab2)(ab2a2b)9a2b2.3.设a,b,c,dR，求证：a2b2c2d2(ac)2(bd)2。

4.已知a2b2c21,x2y2z21,求证：axbycz1.5.已知a,b,c均为正数，且abc1，求证：111abc

9

篇8：柯西不等式的妙用

2. 巧解解析几何问题

3. 巧解三角函数问题

4. 巧解统计题

例5为了考察某校各班参加课外书法小组的人数, 在全校随机抽取5个班级, 把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7, 样本方差为4, 且样本数据互相不相同, 则样本数据中的最大值是__.

5. 巧证不等式

6. 巧解综合题

7. 巧妙推导平面上点到直线的距离公式

例8求平面直角坐标系中点P (x0, y0) 到直线Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 的距离.

篇9：柯西不等式的变形公式的妙用

柯西不等式的变形公式：设a1,a2,…,an为实数，b1,b2,…,bn为正数，则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时取等号.

证明：由柯西不等式，得

a21b1+a22b2+…+a2nbn(b1+b2+…+bn)

=a1b12+

a2b22+…+

anbn2

［(b1)2+(b2)2+…+(bn)2］

≥a1b1·b1+

a2b2·b2+…+

anbn·

bn2

=(a1+a2+…+an)2．

∵b1,b2,…,bn为正数，∴b1+b2+…+bn>0，

∴a21b1+a22b2+…+a2nbn≥

(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn．

当且仅当a1b1b1=

a2b2b2=…=

anbnbn，即a1b1=a2b2=…anbn时取等号．

下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．

1 在代数中的妙用

例1 设a,b,c均为正数，且不全相等，求证：2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c．

证明：由柯西不等式的变形公式，得

2a+b+2b+c+2c+a=

222(a+b)+222(b+c)+222(c+a)

≥(2+2+2)22(a+b)+2(b+c)+2(c+a)

=364(a+b+c)

=9a+b+c，

当且仅当22(a+b)=22(b+c)=22(c+a)，即a+b=b+c=c+a，亦即a=b=c时，上述不等式取等号．

因题设a,b,c不全相等，于是2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c．

点评：将2a+b+2b+c+2c+a变形为222(a+b)+222(b+c)+222(c+a)，为应用柯西不等式的变形公式创造了条件．本题注意阐明等号取不到的理由．

例2 若a,b,c∈(0,1)，满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值．

解析:由柯西不等式的变形公式，得

11-a+11-b+11-c

=121-a+121-b+121-c

≥(1+1+1)2(1-a)+(1-b)+(1-c)

=93-(a+b+c)．

而a2+b2+c2≥ab+bc+ca，

∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)，

即(a+b+c)2≥3×1，亦即a+b+c≥3．

∴11-a+11-b+11-c≥

93-(a+b+c)≥93-3=

3(3+3)2，

当且仅当a=b=c=33时，上述几个不等式同时取等号．

∴11-a+11-b+11-c的最小值为3(3+3)2．

点评：将11-a+11-b+11-c变形为121-a+121-b+121-c是求解的基础．后续所用到的a2+b2+c2≥ab+bc+ca及(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)是常用的重要结论，应切实掌握．

例3 已知实数a,b,c,d满足，a+b+c+d-3，a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的取值范围．

分析：分离参数a，利用柯西不等式的变形公式把方程化为关于参数a的不等式，解不等式即可．

解析：由已知得，b+c+d=3-a．2b2+3c2+6d2=5-a2.

由柯西不等式的变形公式，得

5-a2=2b2+3c2+6d2=b212+

c213+d216

≥(b+c+d)212+13+16=(b+c+d)2，

∴5-a2≥(3-a)2，解得1≤a≤2．

∴a的取值范围为［1,2］．

例4 已知x,y,z∈R+，求证：x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤34．

证明：令x+y+z=t，则

x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z=

t+x-tt+x+t+y-tt+y+t+z-tt+z

=3-t·1t+x+1t+y+1t+z．

由柯西不等式的变形公式，得

1t+x+1t+y+1t+z=

12t+x+12t+y+12t+z

≥(1+1+1)2(t+x)+(t+y)+(t+z)=94t，

∴x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤3-t·94t=3-94=34．

点评：本题先用换元法将所证不等式的左边进行变形，为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基．本题有一定的难度，极富思考性和挑战性．

2 在三角中的妙用

例5 若α,β,γ均为锐角，且满足cos2α+cosβ+cos2γ=1，

求证：cot2α+cotβ+cot2γ≥32．

证明：要证cot2α+cot2β+cot2γ≥32，

只需证cos2αsin2α，+cos2βsin2β+cos2γsin2γ≥32,

只需证1-sin2αsin2α+1-sin2βsin2β+1-sin2γsin2γ≥32，

即证1sin2α+1sin2β+1sin2γ≥92．

由cos2α+cos2β+cos2γ=1易得sin2α+sin2β+sin2γ=2．

由柯西不等式的变形公式，得

1sin2α+1sin2β+1sin2γ=12sin2α+12sin2β+12sin2γ

≥(1+1+1)2sin2α+sin2β+sin2γ=92．

∴原不等式成立．

点评：本题联袂使用切割化弦法、分析法及柯西不等式的变形公式等方可圆满解决．

例6 设α,β,γ∈0,π2，且sin2α+sin2β+sin2γ=1，

求证：sin3αsinβ+sin3βsinγ+sin3γsinα≥1．

证明：由柯西不等式的变形公式，得

sin3αsinβ+sin3βsinγ+sin3γsinα

=(sin2α)2sinαsinβ+

(sin2β)2sinβsinγ+

(sin2γ)2sinγsinα

≥(sin2α+sin2β+sin2γ)2sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα

=1sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα，

当且仅当sinαsinβ=sinβsinγ=sinγsinα时取等号．

又∵sin2α+sin2β+sin2γ≥sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα，

∴0

故所证不等式成立．

点评：本题将sin3αsinβ+sin3βsinγ+sin3γsinα变形为(sin2α)2sinαsinβ+

(sin2β)2sinβsinγ+(sin2γ)2sinγsinα是破解问题的突破口，辅之重要结论a2+b2+c2≥ab+bc+ca的应用，可实现第二次放缩而得证．

例7 已知α,β均为锐角，且cos4αsin2β+sin4αcos2β=1，求证：α+β=π2．

证明：由柯西不等式的变形公式，得

cos4αsin2β+sin4αcos2β=(cos2α)sin2β+

(sin2α)2cos2β≥(cos2α+sin2α)2sin2β+cos2β=1，

上式等号成立的充要条件是cos2αsin2β=sin2αcos2β,

注意到α,β均为锐角，

所以cosαsinβ=sinαcosβcosαcosβ=sinαsinβ．

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=0，

又0<α+β<π ，

∴α+β=π2．

点评：利用柯西不等式的变形公式并灵活应用取等条件可以使许多数学问题的解决变得犹如囊中取物，易如反掌．

例8 设a,b是非零实数，x∈R，且sin4xa2+cos4xb2=1a2+b2．

求sin2008xa2006+cos2008xb2006的值．

解析：由柯西不等式的变形公式，得

sin4xa2+cos4xb2=

(sin2x)2a2+(cos2x)2b2

≥(sin2x+cos2x)2a2+b2=1a2+b2,

上式等号成立的充要条件是sin2xa2=cos2xb2．

令sin2xa2=cos2xb2=k，则k=sin2x+cos2xa2+b2=1a2+b2．

所以sin2008xa2006+cos2008xb2006=(sin2x)1004a2006+

(cos2x)1004b2006

=(a2k)1004a2006+(b2k)1004b2006

=k1004(a2+b2)=1(a2+b2)1004×(a2+b2)=1(a2+b2)1003

点评：用柯西不等式的变形公式的取等条件解决一些技巧性较强的竞赛试题，可收到一招制胜之奇效．

3 在几何中的妙用

例9 如图１所示，等腰直角三角形AOB的一直角边为1，在此三角形内任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形的面积和的最小值以及达到最小值时P点的位置.

分析： 首先建立直角坐标系，然后建立三个三角形的面积和S与xP,yP的函数关系式，最后利用柯西不等式的变形公式求最值.

图2解析：分别取OA，OB所在直线为x轴，y轴建立如图２所示的直角坐标系，则AB所在直线的方程为x+y=1，记P点坐标为P(xP,yP)，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和

S=12x2P+12y2P+12(1-xP-yP)2.

由柯西不等式的变形公式，得

S=x2P2+y2P2+(1-xP-yP)22

≥［xP+yP+(1-xP-yP)］22+2+2

=16．

当且仅当xP2=yP2=1-xP-yP2时，等号成立，即xP=yP=13时，面积和S最小，且最小值为Smin=16．

所以三个三角形的面积之和的最小值为16，此时点P到两直角边的距离均为13．

点评：解此题的关键是用P点的坐标表示出三个三角形的面积．观察图形，可以看出：靠近x轴的等腰直角三角形的直角边长为yP，靠近y轴的等腰直角三角形的直角边长为xP，靠近斜边的等腰直角三角形的直角边长为1-xP-xP．

例10 P为△ABC内一点，D,E,F分别为P到BC,CA,AB各边所引垂线的垂足，求使BCPD+CAPE+ABPF求使取最小值时的P点.

解析：如图3，连接AP，BP,CP，设△ABC的面积为S，则有

图3

BC·PD+CA·PE+AB·PF=2S．

由柯西不等式的变形公式，得

BCPD+CAPE+ABPF

=BC2BC·PD+CA2CA·PE+AB2AB·PF

≥(BC+CA+AB)2BC·PD+CA·PE+AB·PF

=(2p)22S=2p2S．（其中p为△ABC的半周长）

当且仅当BCBC·PD=CACA·PE=ABAB·PF，即PD=PE=PF时，等号成立，BCPD+CAPE+ABPFmin=2p2S．

因而使BCPD+CAPE+ABPF取最小值时的P点是△ABC的内心．

点评： 本题先利用柯西不等式的变形公式求出BCPD+CAPE+ABPF的最小值，再由柯西不等式的变形公式中取等号的条件得出PD=PE=PF，进而得出P点是△ABC的内心.

例11 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

解析： 依题意知：椭圆的方程为x24+y2=1,|BO|=1，|AO|=2，.如图４所示，由椭圆的对称性易知四边形AEBF的面积等于四边形AOBF的面积的两倍.

设点F（x,y）(x>0)，所以四边形AEBF的面积S=2(S△OBF+S△OAF)=x+2y.

由柯西不等式的变形公式，得

1=x24+y2=

x24+(2y)24≥(x+2y)24+4=(x+2y)28，

∴x+2y≤22，当且仅当x4=2y4，注意到x24+y2=1且x>0，即x=2时，上式取等号.

故四边形AEBF面积的最大值为22.

篇10：柯西不等式的小结

柯西不等式和排序不等式的多种证明方法（课本延伸课题18）——2010.4 数学研究性学习撰写人 陈点

柯西不等式的一般式：

适用范围：证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题。接下来我将以几种较为主流的证明方法来证明： 求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai〃bi)^2证法一（代数证明，运用二次函数，最主流证法）：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai〃bi C=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不是零时，可知A＞0 构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，f(x)＝∑(ai^2〃x^2＋2ai〃bi〃x＋bi^2)＝∑(ai〃x＋bi)^2≥0f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，移项得AC≥B^2，证毕。

证法二（其中几个特殊情况，为2与3时即向量公式）

n=1时，a1^2〃b1^2≥(a1b1)^2（这个…不解释）a1=a2=a3=…=an,b1=b2=b3=…=bn时同此证

n=2时，即为(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2

即(a1b1)^2+(a1b2)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2≥(a1b1)^2+(a2b2)^2+2a1b1a2b2 即(a1b2)^2+(a2b1)^2≥2a1b1a2b2

因为a2≥a1，b2≥b1，乱序和≥倒序和

故一定成立（呵呵，还一不小心把排序不等式引出来了）

证法三（这个是网上找的很权威的数学归纳法，因为我想出来的证法二是其铺垫，故引用说明。数学归纳法也是一种非常常见且正规的证明方法。）（1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1 显然左式=右式

2当 n2时，右式 a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

⑴

⑵

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

222

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立

2kak即 a1b1a2b2akbka12a2b12b22bkk

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

222

bk2 ak设a12a2b12b2

Ca1b1a2b2akbk

则ak21bk21bk21ak1bk1 22C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222222

akaka12a21b1b2bkbk1

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

其实还有很多证明的方法，证明柯西不等式还可以利用比值法，归纳法，归纳法与综合法，归纳法与平均值不等式，排序不等式，参数平均值不等式，行列式，内积（向量）法，构造单调数列，凹凸函数法（来自奥数老师）……再者，拉格朗日恒等式也相当简单，在此不一一说明，可见证明此式方法之多。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1）证明相关命题 2）证明不等式 3）解三角形的相关问题 4）求最值

5）利用柯西不等式解方程

6）用柯西不等式解释样本线性相关系数（这个完全不理解，不过有这么一说）

排序不等式（又称）

简单来说，就是：反序和≤乱序和≤同序和

即a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

⑶

其中，Cn为乱序数列。

证明：1.证乱序和小于正序和，以下证明中原式为乱序和

从第一个起，将a1b?与a?b1转变为a1b1与a?b?，设其为x，y，则有

a1b1+axby-a1bx+ayb1≧0（因为x，y≧1，根据等式的性质可得），然后

再往下，第二个a2bw与azb2…… 以此类推，到最后得出的式子为正序和，因为每步的过程均使原式减小或不变，故终式不小于原式2.证乱序和大于倒序和

从第一个起，将a1b?与a?bn转变为a1bn与a?b?, 设其为x，y，则有a1b1+axby-a1bx+ayb1≦0(因为x≧1,y≦n)故成立，基本上同理

排序不等式证明的关键在于有顺序的变化，每次变化使式子朝一个方向发展，这样就可轻易推出最终的结论。

应用：

1.排序不等式的基本应用。排序不等式在解决一些常见不等式时，具有简单直观的特点

2.证明不等式时两次或多次运用排序不等式，将结果相加，也是常见方法。3．经过适当变形后再运用排序不等式的问题，常见于一些比较难的习题或竞赛题

拓展：

排序不等式的另一种表述形式 设

a1a2an,b1b2bn

c,c,,cnb1,b2bn

为两组实数，12是的任一排

列，则三个矩阵

a1a2ana1a2ana1a2anbbbbbbccc

12n12nnn11A：B：C：

我们称A为顺序矩阵，B为乱序矩阵，C为反序矩阵 它们的列积和（同列相乘再相加）：

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

即：顺序和乱序和反序和

在此，我们没必要知道矩阵的更多知识，而只是利用它这种形式。因为它更直观，便于在解题中寻找数列

b1,b2,bn的一个我们需要的乱序，更易掌握和应用。

⑴柯西不等式的向量说法：|α||β|≥|α〃β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。⑵数学归纳法（这里说的是第一数学归纳法）：

即一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：1）证明当n取第一个值时命题成立；

2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。