不等式的性质学案

第一篇：不等式的性质学案

1.1.2不等式的基本性质导学案

兰州新区永登县第五中学高二数学(文)导学案

班级：小组名称：姓名：得分：

导学案 §1.1.2不等式的基本性质

设计人：薛东梅审核人：梁国栋、赵珍

学习目标：

1.了解两个正数的算术平均与几何平均;2.理解定理1和定理2;3.掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题。 学习重点：对两个定理的理解

学习难点：应用基本不等式求最值问题

学习方法：六动感悟法(读，想，记，思，练，悟)

一、自学评价 1.定理1：

2.定理2：(基本不等式)

3.如果a,b都是正数，我们就称为a,b的为a,b的，于是，基本不等式可以表述为：思考：利用基本不等式

ab

ab求最值的条件?

注意：利用基本不等式求最值的方法与步骤： (1)变正：通过提取“负号”变为正数;

(2)凑定：利用拆项、添项的方法，凑出“和”或“乘积”为定值; (3)求最值：利用基本不等式求出最值; (4)验相等：验证等号能否成立; (5)结论：得出最大值或最小值。

4.已知x，yyx

xy



2二、检测交流

1.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?

2.一段长为36m的篱笆围城一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少?

三、拓展探究

1.设a，bR2ab

，且ab，求证ab

ab

2.当x>0时，x1x存在最值，最值为x<0时，x1

x

存在最

3.设x,y为正数，求(xy)(14

xy

)的最小值

4.已知x54，求函数y4x214x5

的最值

5.猜想对于3个正数a,b,c,

abc3

abc成立吗?

第二篇：不等式的性质 教案

不等式的性质

教材分析

这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质.这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础.教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系.在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质.

教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用.

教学目标

1. 通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系.

2. 理解并掌握比较两个实数大小的方法.

3. 引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力.

任务分析

这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质.为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确.在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神.

教学设计

一、问题情境

教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考.

1. 公路上限速40km/h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式表达即为v≤40km/h. 2. 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元?

x·[80000-2000(x-25)]≥200000.

3. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式.

设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则

通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质.

二、建立模型 1. 教师精讲，分析

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为a>b，即a减去b所得的差是一个大于0的数.

一般地，设a，b∈R，则 a>ba=ba0， a-b=0， a-b<0.

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.例如，比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小就可以作差变形，然后判断符号.

2. 通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质

(1)对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗? (2)如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗? (3)回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来. 用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质： 定理1 如果a>b，那么bb. 定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c. 定理3 如果a>b，那么a+c>b+c. 定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc; 如果a>b，且c<0，那么ac

关于定理1～4的证明要注意： (1)定理为什么要证明?

(2)证明定理的主要依据或出发点是什么? (3)定理的证明要规范，每步推理要有根据.

(4)关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明.

4. 考虑定理4的推论2：“如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，且n>0)”的逆命题，得出定理5 定理5 如果a>b>0，那么(n∈N，且n>1).

由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法.

三、解释应用 [例 题]

1. 已知a>b，cb-d.

证法1：∵a>b，∴a-b>0.又c0. ∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0， ∴a-c>b-d.

证法2：∵c-d.又a>b，∴a-c>b-d.

[练 习]

1. 判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果ac2>bc2，那么a>b.

(2)如果a>b，c>d，那么a-d>b-c.

四、拓展延伸

1. 如果30

2. 如果a1>b1，a2>b2，a3>b3，…，an>bn，那么a1+a2+a3+…+an>b1+b2+b3+…+bn吗?为什么?

3. 如果a>b>0，那么吗?(其中为正有理数)

点 评

这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进而点出教学的主题———不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质.通过对不等式的证明，使学生理解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力.就整个教学设计的效果看，这种设计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果比较理想.此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维能力.

总之，这是一篇成功的教学设计案例，美中不足的是，对文初创设的现实情景利用的力度稍欠缺.

第三篇：《不等式的性质》教学反思

一、教学过程中的成功之处

1、类比法讲解让学生更易把握

类比一元一次方程的解法来学习一元一次不等式的解法，让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法只是最后未知数的系数化为1不同，其它的步骤都是相同的，还特别能强调最后一步“负变，正不变”。

2、少讲多练起效果

减少了教师的活动量，给学生足够的活动时间去探讨。教师只作出适当的引导，做到少讲，少板书，让学生有足够的时间和空间进行自主探究，自主发展，促使学生学会学习。

3、数形结合更形象

通过画数轴，并把不等式的解集用数轴表示出来体现了“数形结合”的数学思想。

二、不足和遗憾之处

1、内容过多导致学生灵活应用时间少

一堂40分钟的课要容纳不等式三条性质的探索与应用，显然在时间上是十分仓促的。实践也表明确实如此，在探索好三条性质后，时间所剩无几，只能简单的应用所学知识解决一些较为简单的问题，学生灵活运用知识的能力没有很好地体现出来。

2、教学过程中的小毛病还需改正

在上课的过程中，许多平时忽视的小毛病在课中也都体现出来了，例如：学生在回答问题的过程中，为了更快的得到自己预期的答案，往往打断学生的回答，剥夺了学生的主动权;要求学生进行操作实验时，老师所下达的指令不是特别清楚，时常在学生进行操作的过程中再加以补充说明，这样对学生思考问题又带来一定影响;课堂小结中学生的体会与收获谈的不是很好，由此可见，这是平时上课过程中的忽视所导致的。

第四篇：不等式的性质教学反思

(1)本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯，不等式的性质教学反思，教学反思《不等式的性质教学反思》。 利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程中充满师生交流、生生交流以及互动。

(2)我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握得不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛活跃。其中不存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步完善自己的课堂教学。

第五篇：不等式的性质说课

尊敬的各位领导、各位老师：

大家好!

我今天说课的课题是《不等式的基本性质》，它是北师大版八年级下册第一章第二节的内容。今天我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法，教学过程这五个方面谈谈我对这节课处理的一些不成熟的看法：

本节内容不等式，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用。

根据《新课程标准》的要求，教材的内容兼顾我校八年级学生的特点，我制定了如下教学目标：

知识与技能：

1. 感受生活中存在的不等关系，了解不等式的意义。 2. 掌握不等式的基本性质。

过程与方法：经历不等式的基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 情感态度与价值观：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步符号感与数学化的能力。 教学重难点：

重点：不等式概念及其基本性质 难点：不等式基本性质3 ►教法与学法：

1. 教学理念： “ 人人学有用的数学”

2. 教学方法：观察法、引导发现法、讨论法. 3. 教学手段：多媒体应用教学

4. 学法指导：尝试，猜想，归纳，总结

根据《数学课程标准》的要求，教材和学生的特点，我制定了以下四个教学环节。

下面我将具体的教学过程阐述一下：

一、创设情境，导入新课

上课伊始，我将用一个公园买门票如何才划算的例子导入课题。

世纪公园的票价是：每人5元;一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名团员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗?

(此处学生是很容易得出买30张门票需要4X30=120(元), 买27张门票需要5X27=135(元),由于120〈135，所以买30张门票比买27张还要划算。由此建立了一个数与数之间的不等关系式〉

紧接着进一步提问：若人数是x时，又当如何买票划算?

二、探求新知，讲授新课

引例列出了数与数之间的不等关系和含有未知量120<5x的不等关系。那么在不等式概念提出之前，先让学生回顾等式的概念，“类比”等式的概念，尝试着去总结归纳出不等式的概念。使学生从一个低起点，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心，为下面的学习调动了积极。

接下来我用一组例题来巩固一下对不等式概念的认知，把表示不等量关系的常用关键词提出。

(1)a是负数; (2)a是非负数; (3) a与b的和小于5; (4) x与2的差大于-1; (5) x的4倍不大于7; (6) y的一半不小于3 关键词：非负数，非正数，不大于，不小于，不超过，至少

回到引入课题时的门票问题120<5x，我们希望知道X的取植范围，则须学习不等式的性质，通过性质的学习解决X的取植

难点突破：通过上面三组算式，学生已经尝试着归纳出不等式的三条基本性质了。不等式性质3是本节的难点。在不等式性质3用数探讨出以后，换一个角度让学生想一想，是否能在数轴上任取两个点，用相反数的相关知识挖掘一下，乘以或除以一个负数时，任意两个数比较是否性质3都成立。通过“数形结合”的思想，使数的取值从特殊化到一般化，从对具体数的感知完成到字母代替数的升华。让学生用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度。同时，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。 ►反馈练习：用一个小练习巩固三条性质。

如果a>b，那么

(1) a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -3a -3b 提出疑问，我们讨论性质2，3是好象遗忘了一个数0。 ►引出让学生归纳，等式与不等式的区别与联系

三、拓展训练：

根据不等式基本性质，将下列不等式化为“<”或“>”的形式 (1)x-1<3 (2)6x<5x-2 (3)x/3<5 (4)-4x>3 再次回到开头的门票问题，让学生解出相应的x的取值范围 .小结 1.新知识

一个数学概念;两种数学思想;三条基本性质 2.与旧知识的联系

等式性质与不等式性质的异同

五、作业的布置

以上是我对这节课的教学的看法，希望各位专家指正。谢谢!

“让学生主动参与数学教学的全过程，真正成为学习的主人”