关于柯西不等式的证明

第一篇：关于柯西不等式的证明

关于“和式”的数列不等式证明方法

方法：先求和，再放缩

例

1、设数列an满足a10且an

n,2an11an1an，n

N*，

记Snbk,证明：Sn1.k1n

(Ⅰ)求an的通项公式;(Ⅱ)设bn

【解析】：(Ⅰ)由

11

11.得为等差数列，

1a1an11ann

前项为

1111

1,d1,于是1(n1)1n，1an,an

1

1a11annn

(Ⅱ)bn

n









Snbkk

1

11 练习：数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且

a13,b11，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264.

(1)求an,bn; (2)求证

1113. S1S2Sn

4解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，

an3(n1)d，bnqn1

ban1q3ndd6

q642

q3(n1)d依题意有ban①



S2b2(6d)q64

由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一， 解①得d2,q8

故an32(n1)2n1,bn8

n1

(2)Sn35(2n1)n(n2) ∴

1111111



S1S2Sn132435n(n2)

11111111(1) 232435nn211113(1) 22n1n24

方法：先放缩，再求和 例

1、(放缩之后裂项求和)(辽宁卷21).

在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)

(Ⅰ)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论; (Ⅱ)证明：

*

111

5…. a1b1a2b2anbn1

2本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合

运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分. 解：(Ⅰ)由条件得2bnanan1，an1bnbn1 由此可得

a26，b29，a312，b316，a420，b425. ···················································· 2分

猜测ann(n1)，bn(n1). ······················································································· 4分 用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立. ②假设当n=k时，结论成立，即

akk(k1)，bk(k1)2，

那么当n=k+1时，

2ak

ak12bkak2(k1)k(k1)(k1)(k2)，bk12(k2)2.

bk

所以当n=k+1时，结论也成立.

由①②，可知ann(n1)，bn(n1)对一切正整数都成立. ·········································· 7分 (Ⅱ)

11

5.

a1b161

2n≥2时，由(Ⅰ)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n. ·············································· 9分 故

11111111

…… a1b1a2b2anbn622334n(n1)



11111111… 622334nn11111115 622n16412



综上，原不等式成立.··································································································· 12分(

例

2、(放缩之后等比求和)

(06福建)已知数列an满足a11,an12an1(nN).*

(Ⅰ)求数列an的通项公式; (Ⅱ)证明：

an1a1a2n

...n(nN*) 23a2a3an1

22n

(III).设bnan(an1)，数列bn的前n项和为sn，令Tn，

sn

(i)求证：T1T2T3Tnn;

(ii)求证：T1T2T3Tn;

本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

(I)解：an12an1(nN),

*

an112(an1),

an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。 an12n.即 an21(nN).

*

(II)证法一：41

4k1k2

1...4kn1(an1)kn.

4(k1k2...kn)n2nkn.

2[(b1b2...bn)n]nbn,①

2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.② ②-①，得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20,

nbn2(n1)bn120.

③-④，得 nbn22nbn1nbn0,

即 bn22bn1bn0,

bn2bn1bn1bn(nN*),

bn是等差数列。

证法二：同证法一，得(n1)bn1nbn20 令n1,得b12.

设b22d(dR),下面用数学归纳法证明 bn2(n1)d. (1)当n1,2时，等式成立。

(2)假设当nk(k2)时，bk2(k1)d,那么

k2k2bk[2(k1)d]2[(k1)1]d. k1k1k1k1这就是说，当nk1时，等式也成立。 bk1

根据(1)和(2)，可知bn2(n1)d对任何nN都成立。

*

bn1bnd,bn是等差数列。

ak2k12k11

k1,k1,2,...,n, (III)证明：

ak1212(2k1)

2

aa1a2n

...n. a2a3an12

ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232k



aa1a2n1111n11n1

...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan

12...n(nN*). 23a2a3an12

方法：先放缩，再化类等差等比

例1(有界性放缩，迭加)、各项为正数的等比数列an中，a1a310，

a3a540,nN*;

(1)求数列an的通项公式;(2)设b11，

bn1nn

11，求证：bn1bn3n1 bnan

2an2;分析;(1)(2)证明：因为an1(1

所以an0，

n

n

所以an1与an同号，又因为a110，)an，

2n

n

an0，即an1an.所以数列{an}为递增数列，所以ana11， n2nn12n1

即an1annann，累加得：ana12n1.

22222

12n1112n1

令Sn2n1，所以Sn23n，两式相减得：

2222222

11111n1n1n1Sn23n1n，所以Sn2n1，所以an3n1， 22222222

n1

故得an1an3n1.

即an1an

例2(利用有界性化为类等比)、(安徽卷21).(本小题满分13分)

设数列an满足a00,an1can1c,cN,其中c为实数

*

(Ⅰ)证明：an[0,1]对任意nN成立的充分必要条件是c[0,1];

*

1n1*，证明：an1(3c),nN; 312222

(Ⅲ)设0c，证明：a1a2ann1,nN*

313c

(Ⅱ)设0c

解 (1) 必要性 ：∵a10,∴a21c ，

又 ∵a2[0,1],∴01c1 ，即c[0,1]

充分性 ：设 c[0,1]，对nN用数学归纳法证明an[0,1]当n1时，a10[0,1].假设ak[0,1](k1)

则ak1cak1cc1c1，且ak1cak1c1c0

*

∴ak1[0,1]，由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立

(2) 设 0c

，当n1时，a10，结论成立 3

当n2 时，

∵ancan11c,∴1anc(1an1)(1an1an1)∵0C

12

,由(1)知an1[0,1]，所以 1an1an13 且 1an103

∴1an3c(1an1)

∴1an3c(1an1)(3c)(1an2)(3c)∴an1(3c)

(3) 设 0c

n1

n1

(1a1)(3c)n1

(nN*)

122

，当n1时，a102，结论成立 313c

n1

当n2时，由(2)知an1(3c)

0

∴an(1(3c)n1)212(3c)n1(3c)2(n1)12(3c)n1 22222n1∴a2]1a2ana2ann12[3c(3c)(3c)

2(1(3c)n)2

n1n1

13c13c

6

第二篇：柯西不等式的证明

二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^

2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

证明： [√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。*表示乘

≥a^2+b^2+c^2+d^2-2(a*c+b*d)

=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2

=(a-c)^2+(b-d)^2

两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0

构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，(请注意，一次项系数是2B，不是B)展开得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0，

(请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了!)移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。

向量形式的证明

令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos

∵cos≤

1∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)注：“√”表示平方根。

注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

【柯西不等式的应用】 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)∵a 、b 、c 均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又9=(1+1+1)^2 ∴只需证：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9

又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

求某些函数最值

例：求函数y=3√(x-5)+4√(9-x)的最大值。(注：“√”表示平方根)

函数的定义域为[5, 9]，y>0

y=3√(x-5)+4√(9-x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x-5)] ^2 + [√(9-x)] ^2 }=5×2=10函数仅在4√(x-5)=3√(9-x)，即x=6.44时取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例请参考有关文献。三角形式证明 :两边同时平方,展开,消去同样的项,剩余部分再平方,消去同样的项,得一完全平方式,大于或等于0,得证

代数形式

设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则(a1b1+a2b2+...+anbn)①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn(规定ai=0时，bi=0)时等号成立.

推广形式的证明

推广形式为

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)

证明如下

记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….

由平均值不等式得 (1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n), …… 上述m个不等式叠加得

即即 即1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

成立.

(注：推广形式即为卡尔松不等式)

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n， 因此,不等式(*)

第三篇：不等式的证明

不等式的证明不等式的证明，基本方法有

比较法：(1)作差比较法

(2)作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等……

高考不是重点，但是难点。

大学数学也会讲到柯西不等式。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

(2)利用基本不等式，如

3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。

每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

第四篇：不等式的证明

教学目标：

(1)理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义;

(2)掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式;

(3)能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法;

(4)通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力.教学建议：

1.知识结构:(不等式证明三种方法的理解)==〉(简单应用)==〉(综合应用)

2.重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用;

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的;

②综合性问题证明方法的选择.

(1)不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立(或都不成立)，而并非是带入具体的数

值去验证式子是否成立.

(2)比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径.

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0.这种证法就是求差比较法.由于当b>0时,a>b<==>(a/b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a/b)>1(b>0).这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件.

③求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”.

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.

变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式.

(3)综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式.

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

(已知)==〉(逐步推演不等式成立的必要条件)==〉(结论)

(4)分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法.

有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

(已知)<==(逐步推演不等式成立的必要条件)<==(结论)

④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.

(5)关于分析法与综合法关系

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件.即推理方向是：结论已知.

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.即：已知 结论.

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.

④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.

第一课时不等式的证明(比较法)

教学目标

1.掌握证明不等式的方法——比较法;

2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.

教学重点:比较法的意义和基本步骤.

教学难点:常见的变形技巧.

教学方法; 启发引导法.

教学过程：

(-)导入新课

教师提问：根据前一节学过(不等式的性质)的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小?

找学生回答问题.

(学生回答：

，

，

，)

[点评]要比较两个实数 与

的大小，只要考察 与

的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习：用比较法证明不等式.

目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识.

(二)新课讲授

【尝试探索，建立新知】

教师写出一道(证明不等式)例题的题目

[问题] 求证

教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明.

学生研究证明不等式，尝试完成问题.

[本问点评]

①通过确定差的符号，证明不等式的成立.这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.

②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化.

③理论依据是：

④由

，

，知：要证明

只需证

;需证明

这种证明不等式的方法通常叫做比较法.

目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想.

【例题示范，学会应用】

教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评.

例1. 求证

[分析]由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得

关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证. ，将此式看作证明：∵

=

=

，

∴

[本例点评] .

①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;

②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;

③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;

④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.

例2 . 已知都是正数，并且

，求证：

[分析]这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证.

证明：

=

=

.

因为

都是正数，且

，

所以

.

∴

.

即：

[本例点评]

①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;

③例2的结论反映了分式的一个性质(若都是正数

1.当

时，

2.当

时，

.)

目的：巩固用比较法证明不等式的知识，学会用比较法证明不等式时，对差式变形的常用方法——配方法、通分法.

【课堂练习】

教师指定练习题，要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.

练习：1.求证

2.已知 ，

， ，d都是正数，且

，求证

目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号.反馈课堂教学效果，调节课堂教学.

【分析归纳、小结解法】

学生和老师一起分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法，并让学生记录笔记.比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤(作差、变形、判断符号).灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.

(三)小结(培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识)

学生和老师一起小结本节课所学的知识，并让学生记录笔记.

本节课学习的用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.掌握求差后对差式变形的常用方法(配方法和通分法).并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.

(四)布置作业

1.课本作业：P14.1，2，3.(供学生巩固基础知识)

2.思考题：已知

，求证：

( 培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力)

3.研究性题：设 ，

， 都是正数，且

(为培养学生创新意识)

作业答实:

思考题：，求证：

，又

，从而得证.

研究性题：.所以

，

第五篇：不等式的证明方法

几个简单的证明方法

一、比较法：

ab等价于ab0;而ab0等价于a

b1.即a与b的比较转化为与0

或1的

比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：

综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式;分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式;第二，要善于利用题中的隐含条件;第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：

正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：

要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证cb，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a21a;n(n1)n;

②将分子或分母放大(或缩小);

③利用基本不等式，如：

log3lg5(

n(n1)lg3lg522)2lglglg4; n(n1);

④利用常用结论：

k1k

1k1

1k

11k1k



12k

1k

;

1k(k1)

1k1

1k

1k1

1k



1k(k1)1k

;



(程度大)

1k



1



(k1)(k1)



2k1

(



) ; (程度小)

五、换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：

已知x2y2a2，可设xacos,yasin;

已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1); 已知

xaxa

2

2

ybyb

22

1，可设xacos,ybsin;

22

22

已知



1，可设xasec,ybtan;

六、数学归纳法法：

与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：

第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则

(1)、设P(n0)成立，且对于任意的kn0，从P(k)成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1km)成立可推出

P(k1)成立，则P(n)对所有不超过m

的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n2m)，使得P(n)成立，且从P(k1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.

(4)、若P(且P(n)对所有满足1nk的n成立可推出P(k1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.

(6)、若P)且若P(k),P(k1)成立可推出P(k2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.

此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若

P(1)

成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k1)成

立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.

对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立;②设P(m1,n),P(m,n1)成立，证明P(m1,n1)也成立. 第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明

n



k

11k

sinkx0,(0x)

就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法;有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.

第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.

七、构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.

22

例1 已知a，bR，且ab1.求证：a2b2

252

.

证法一：(比较法)a,bR,ab1

b1a

a2b2

22

252

ab4(ab)

22

92

122(a

12)0

a(1a)4

92

2a2a

12

即a22b22

证法二：(分析法)

252

(当且仅当ab时，取等号).

a22B2

252

ab4(ab)8

22

252

b1a

225122

(a)0a(1a)4822

显然成立，所以原不等式成立.

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.

证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).

证法四：(反证法)

假设(a2)2(b2)2

252

，则 a2b24(ab)8

252

252

.

由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212

1

所以(a)0，这与a0矛盾.

22

.

所以a2b2

252

.

证法五：(放缩法)

∵ab1

∴左边=a2b2

a2b221252ab4

222

=右

边.

点评：根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用基本不等式

ab

ab2.

2

证法六：(均值换元法)

∵ab1，

所以可设a

12t

，b

12

t， 1

∴左边=a2b2(t2)2(t2)2

5525252

=右边. tt2t

2222

22

当且仅当t0时，等号成立.

点评：形如ab1结构式的条件，一般可以采用均值换元.

证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)

设ya2b2，由ab1，有y(a2)2(3a)22a22a13， 所以2a22a13y0，

因为aR，所以442(13y)0，即y故a2b2

22

252

.

252

.

下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.

引理：设A0，B0，则(A+B)nAn+nA(n-1)B，其中nN. 证明：由二项式定理可知

n

(A+B)=AniBiAn+nA(n-1)B

n

i0



(A+B)A+nA

nn(n-1)

B