基本不等式的证明

第一篇：基本不等式的证明

证明不等式的基本方法

一、比较法

(1)作差比较法

3322【例1】已知a,b都是正数，且ab，求证：ababab

【1-1】 已知ab，求证：a3b3ab(ab)

【1-2】已知ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)

(2)作商比较法

abba【例2】已知a,b都是正数，求证：abab，当且仅当ab时，等号成立.【2-1】已知a,b,c都是正数，求证：abc

二、综合法与分析法

(1)综合法

【例3】已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(bc)b(ca)c(ab)6abc

【3-1】已知a1,a2,...,anR，且a1a2...an1, 求证：(1a1)(1a2)...(1an)21 n2222222a2b2cabcbaccab.【3-2】已知a,b,cR，用综合法证明：

(1)(abab1)(abacbcc2)16abc; (2)2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)

(2)分析法

【例4】设x0,y0，且xy1.求证：

【4-1】已知a,b,c是不全相等的正数 .求证：

三、反证法与放缩法 (1)反证法

【例5】已知x,y0,，且xy2,，试证：

【5-1】设0a,b,c1，证明：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于

11

18 xyxy

bcacababc abc

1x1y

,中至少有一个小于2. yx

(2)放缩法

【例6】用放缩法证明不等式 ：

【6-1】用放缩法证明不等式 ：

【6-2】用放缩法证明不等式 ：

1)1

1111...1(m1,mN*) 2m1m22m

11111n122...2(n2,3,4,...) 2n123nn

...nN* (n1)

2(nN*) 【6-3】用放缩法证明不等式 ：

...2

四、数学归纳法

11S(a). 【例7】在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足nn

2an

(1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明。

【7-1】.已知数列{an}前n项和为Snan()

12

n1

2(nN*).

(1) 令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式; (2)设cn

22

【7-1】已知各项为正数的数列{an}满足an12ananan1，a2a42a34.

n15n

an，且{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明. n2n1

(1)求数列{an}的通项公式;

(2) 令bnan2，设数列{bn}的前n项和为Tn，试比较并予以证明.

Tn1122log2bn12

与的大小，

2log2bn14Tn

第二篇：证明基本不等式的方法

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法

●教学目标：

1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理

●教学过程：

一、复习引入：

1、复习比较法证明不等式的依据和步骤?

2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法

二、讲授新课：

1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。

用综合法证明不等式的逻辑关系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证： . 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明)

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.点评：(1)综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。

(2)在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证： 例

2、已知 且 ，求证： 分析：观察要证明的结论，左边是 个因式的乘积，右边是2的 次方，再结合 ，发现如果能将左边转化为 的乘积，问题就能得到解决。

2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法。

①用分析法证明不等式的逻辑关系是： ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。

例3. 求证： 分析：观察结构特点，可以利用分析法。

点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通!

②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法.③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.

例

4、已知 ，求证： 分析：要证的不等式可以化为 即 观察上式，左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用

三、课堂练习：

1、已知a,b,c,d∈R,求证：ac+bd≤ 分析一：用分析法

证法一：(1)当ac+bd≤0时,显然成立 (2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)

2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用综合法 证法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证 分析三：用比较法

证法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 点评：用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此,经常要对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变形是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用.2、已知 且 求证：(分析法)

四、课堂小结：

综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

五、课后作业：

课本P25—26 习题2.2—2,3,4,5,6,7,8,9

第三篇：不等式证明的基本依据·例题

例5-2-1 求证：

(1)若x≠1，则x4+6x2+1>4x(x2+1); (2)若a≠1，b≠1，则a2+b2+ab+3>3(a+b); (3)若a

(x4+6x2+1)-4x(x2+1) (作差) =x4-4x3+6x2-4x+1 (变形) =(x-1)>0 (判断正负) 4所以 x4+6x2+1>4x(x2+1) (2)(a2+b2+ab+3)-3(a+b)

所以 a2+b2+ab+3>3(a+b) (3)(a3-b3)-(ab2-a2b)=(a3-ab2)+(a2b-b3) =a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a+b)2(a-b) 而a0，所以

注 用比差法时，常把差变形为一个偶次方或几个偶次方的和的形式;有时把它变形为几个因式的积的形式，以便于判断其正负.

例5-2-2 若a>0，b>0，c>0，求证：

- 1

(2)因10

又由0(lgx)2>lg(lgx) (3)因1

- 3

又|ab|=|a|·|b|<1，故1+ab>0。于是，最后不等式成立，从而原不等式成立。

例5-2-5 证明：

(1)若a>0，m，n∈N，且m>n，则

(2)若a>0，b>0，n∈N，且n≠1，则

当且仅当a=b时取“=”;

(3)对于n∈N，若α>-1，则(1+α)n≥1+nα。 解 (1)原不等式可等价地变为

- 5

又当n=1时，原不等式成为等式，故对一切n∈N，都有 (1+α)n≥1+nα

注 (3)中的不等式一般是利用二项式定理或数学归纳法证明。这里引进一个简单不等式给出的简捷证法，别有风味。读者不妨仿此证明(2)中的不等式。

例5-2-6 已知a>0，b>0，求证：对任意r，s∈R+，若r>s，则 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

解 因为a，b，r，s∈R+，且r-s>0，所以由幂函数的单调性可知，as-bs与ar-s-br-s当a>b时同为正数;当a

(ar+br)-(ar-sbs+asbr-s) =(ar-ar-sbs)-(asbr-s-br) =ar-s(as-bs)-br-s(as-bs) =(as-bs)(ar-s-br-s)≥0 所以 ar+br≥ar-sbs+asbr-s 当且仅当a=b时取等号。

注 本例给出的不等式概括了很多不等式，应用较为广泛。例如不

- 7

第四篇：《 基本不等式的证明》教学设计

【教材分析】

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。

【学情分析】

学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。

【教学目标】

知识目标：

1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平

均数和几何平均数。

2、理解基本不等式的证明过程。

技能目标：

1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。

2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。

3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括

的能力

情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

【教学重点】

1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数;为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。即定理(

)(当且仅当

时取

)

，

2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即

;

仅当时取等号，即，综合起来就

充要条件。 【教学难点】

是的

1、不等式求函数最值时的取等条件

2、对于公式的变形可求的最大值

【教学方法】

启发学生探究，多媒体辅助教学

【教具准备】 多媒体电脑课件 【教学过程】

一、设置问题情境： (展示并介绍古代弦图)

同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的。早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一。弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机。

(展示24届国际数学家大会会标)

大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标。这个会标设计源于古代弦图。它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但

象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献。今天咱们也来研究一下弦图。

问题1.请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?(让学生分组讨论)

形的角度 (利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积。) 问题2. 数的角度 若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

学生讨论结果：

。

问题3.大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢?(师生共同探索)

咱们再看一看图形的变化，(教师演示) (学生发现)a、b为正数，当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即等式，当且仅当

时等号成立。

。 探索结论：我们得到不

二、数学建构

问题1：若设直角三角形的两直角边分别为系?

,应怎样表示这种不等关

如果把它变形，我们能得到什么?

这个不等式 就是今天我们要研究的重点内容，我们把它叫做基本不等式。

我们常把 叫做正数 的几何平均数， 叫做正数的算术平均数。基本不等式说明两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。

问题2：这个不等式怎么证明呢?请与同学讨论一下。

求证：基本不等式 ，()(当且仅当时取)

证法一：

作差

= 变形

= 判断符号

当且仅当，即时取 取等条件

学生容易忽视取等“=”时的情况，出现这种情况可以让学生仔细从证明问题中注意“”号，进而提示学生没有完成。该过程可以提高学生对问题的细心程度，可以培养学生对周围事物的观察力，善于发现问题的能力。 证法二：

要证

只要证

只要证

只要证

因为最后一个不等式成立，所以时取

成立，当且仅当，即问题3：本证明方法有什么特点?平时有没有遇到过? 生：从结论出发，逐步反推已知。在初中几何中遇到过。

有了第一种证明方法此时学生已经不会忽视取“=”条件。证法2的方法我们称之为“分析”，其特点是从结论出发(出发点让学生总结)，形式是“要证……，只要证……只要证……”(形式让学生自己总结)，从本质上看，只是对问题做尝试的探索的过程(即执果索因)。当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的。

探究：对基本不等式再研究

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?(教师演示，学生直观感觉)

易证Rt△ACD∽Rt△DCB，

那么CD2=CA·CB 即CD=

. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.

，其中当且仅因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

这正象著名数学家华罗庚说的:数无形时少直观,形无数时难入微,数形结合千般好,数形分离万事非.可见，数与形真的是密不可分呀。

问题4：前面，我们刚刚学习了数列， 和 在数列中代表什么?

学生：等差中项·等比中项

基本不等式说明两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。

三、要点训练 例1 设为正数，证明下列不等式成立：

(1)

(2)

注意：

要说明不等式中等号成立的条件。这两道例题在讲授时以提问学生为主，让学生自己说，老师在前面板书。 练习：课后练习2题

例2 已知函数，，求此函数的最小值。

注意：

要说明什么时候取得最小值。这是证明基本不等式在函数上的第一个应用，要让学生能够结合基本不等式和函数综合解决最值的问题。

四、课堂练习：练习2题，4题

五、课堂小结：请大家想一想，这节课你有哪些收获?

1.知识：基本不等式

2.思想方法：数形结合，转化与化归数学思想

六、课后作业 巩固升华 课本第100页，习题3.4A组

1、2

七、板书设计

基本不等式的证明 基本不等式内容

证法2

例1

例2

证法1

八、教学反思

1、导入新课采用学生比较感兴趣的变换的几何图形为背景，并且，配以解说，使学生从方方面面感受弦图的玄妙，容易被学生接受，从而产生兴趣，迅速激发学习动机。兴趣是驱使学生探究的良方，教学过程中，时刻应注意照顾学生的学习兴趣，推动学生动手动脑去探究。

2、在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。但实施落实的可能还不到位，有待改进。

3、本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。

4、本课的设计是想通过师生课上的探索、互动学习，达到理解掌握知识的目的。在教师的引导和启发下，学生自己寻找、探求解决问题的途径是本节教学所采用的教学方式。课上学生学习热情很高，师生的互动非常好，出现了很多讨论问题的高潮。学生能够针对教师的问题进行充分的分析和讨论，而且通过讨论,学生对知识点的理解得到了深化，达到了掌握知识的目的。

九、对本节教学设计的说明

新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途。教师应该尽力做好学生探究活动的引路人。在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。

第五篇：3.4.1 基本不等式的证明[模版]

a+b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23.4.1 基本不等式的证明

一、基础过关

111.已知a>0，b>0+ab的最小值是________. ab

2.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________.

112ba①a2+b2>2ab②a+b≥ab③+>④≥2 ababab

1213.已知m=a+(a>2)，n=2x-2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是________. a-

24.设0

①logab+logba≥2②logab+logba≥-2

③logab+logba≤-2④logab+logba>2

255.若lg x+lg y=1，则的最小值为________. xy

6.已知a，b∈(0，+∞)，则下列不等式中恒成立的是________.

111①a+b≥22②(a+b)a+b≥4 ab

a2+b22ab③2ab④ab a+bab

bccaab7.设a、b、c都是正数，求证：+≥a+b+c. abc

2x+y

28.已知x>y>0，xy=1，求证：22. x-y

二、能力提升

19.若a<1，则a+______(填“大”或“小”)值，为__________. a-

1x10.若对任意x>0，a恒成立，则a的取值范围为________. x+3x+1

1111.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=23，则+________. xy

12.已知a，b，c为不等正实数，且abc=1. 111求证：+<+abc

三、探究与拓展

1613.已知a>b>0，求证：a2+16. ba-b

答案

1.4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26.①②③

bccaab7.证明 ∵a、b、c都是正数，也都是正数. abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，+≥2b， abbcac

bccaab三式相加得2abc≥2(a+b+c)，

bccaab即+≥a+b+c. abc

8.证明 ∵xy=1，

x2+y2x-y2+2xyx-y2+2∴=x-yx-yx-y

2=(x-y)+≥x-y x-yx-y

=22.

2x-y=x-y当且仅当， xy=1

时取等号. -2

1，+∞ 11.1 9.大 -1 10.5

1112.证明 ≥=2c， abab

11=2a， bcbc

11≥=2b， caac

111∴2a+b+c≥2(a+b+c)，

111即+≥a+b+c. abc∵a，b，c为不等正实数，

111∴a+b+c+. abc

13.证明 方法一 ∵a>b>0，∴a-b>0.

1616∴a2+[(a-b)+b]2+ ba-bba-b

16≥[2a-bb]2+ ba-b

16=4(a-b)b+ ba-b

4≥4×2a-bb×=16. ba-b

4取“=”时当且仅当：a-b=b>0且(a-b)b=， ba-b

即当a=2且b=2时“=”成立.

方法二 ∵a>b>0，

a2a∴a-b>0，b(a-b)≤2=4，

当且a=2b时取等号， 2x=即y=6+22

161664∴a2+a2+a2+ aaba-b

≥264=16.

当a=2，b=2时，等号成立.