柯西不等式在初等数学中的应用

以表示实维向量空间, R表示实数域, 表示向量与的内积。柯西不等式即柯西——布涅柯夫斯基不等式, 具体内容是:对于欧氏空间中的任意向量与, 恒有, 当且仅当与线性相关时, 上式等号成立。

柯西不等式是高等数学中非常重要的不等式, 并且在初等数学中有着十分广泛的应用, 对于初等数学的解题有很大帮助。灵活而巧妙地应用柯西不等式, 可使一些疑难问题迎刃而解, 亦可使一些复杂繁琐的题目简单化, 从而可以拓宽解题思路, 节省解题时间, 提高学习效率。

1 预备知识

已知是实数, 则有:

或

其中当且仅当时等号成立。

证明:令, , 则,

于是

由柯西不等式, 得

其中当且仅当与线性相关, 即时等号成立。

不等式 (1) 是柯西不等式的变形, 它在代数、几何中都有广泛的应用。

2 应用举例

2.1 证明不等式

例1证明个实数平方的平均数不小于这个数的算术平均数的平方, 即若, 则

证明:由柯西不等式的变形, 有

故

当=2时, 上式为, 这是初等数学中常用的不等式。上式把初等数学中的“算术平均”、“几何平均”问题拓展到了“二次幂平均问题”, 即:

这不仅拓宽了中学生的知识面, 而且为解决许多不等式开辟了一条新路。

已知, 则

证明:∵

∴

由柯西不等式的变形, 得

又∵

∴。

2.2 求函数的最值问题

例1已知, 且, 求

的最大值。

解:由柯西不等式的变形, 得

(当且仅当时, 等号成立)

故的最大值为。例2求的最小值。

解:由柯西不等式的变形, 得

(当且仅当即时, 等号成立)

故的最小值为。

例3求函数的最大值。解:由柯西不等式的变形, 得

(当且仅当即时, 等号成立) 故函数的最大值为。

2.3 几何学中的应用

例1证明点到直线的距离为

证明:设Q为上的任意一点, 且Q点的坐标为, 则

有

由两点间的距离公式及柯西不等式的变形, 得

故点到直线的距离为。

例2设三角形ABC的三边长为, 其外接圆的半径为R, 求证

证明:根据正弦定理及

柯西不等式的变形, 得

不等式左边=

故。

综上所述, 柯西不等式不仅在高等数学中是一个重要的不等式, 而且它对于初等数学的学习也有很大的指导意义。灵活巧妙地运用柯西不等式能高瞻远瞩, 方便地解决初等数学的有关问题, 从而加深知识的理解与巩固。

摘要：本文首先推导了柯西不等式的变形, 进而举例说明柯西不等式及其变形在初等数学中的重要应用:①证明不等式;②求函数的最值问题;③几何学中的应用。

关键词：柯西不等式,柯西不等式的变形与特例

参考文献

[1] 杨家琪, 王卿文.高等代数在初等数学中的应用[M].山东教育出版社, 1992.

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社, 1995.