均值不等式的妙用

均值不等式不但因其形式整齐、简练、美观, 而且其价值还体现在它在数学中的广泛应用;特别是近几年的高考经常考查到均值不等式的运用。下面通过例题从求最值、证明不等式、解方程、三角函数、几何等问题逐一介绍均值不等式的一些妙用。

一、在求最值中的妙用

利用均值不等式求最值是历年高考的热点内容之一, 利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”当这些条件不完全具备时, 就需要一定的技巧, 特别是凑“定和”或“定积”的技巧, 使其具备。下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧。

例1.已知x>0, y>0, 且满足3x+2y=12, 求lgx+lgy的最大值

分析lgx+lgy=lg (xy) , xy是二项“积”的形式, 但不知其“和”的形式x+y是否定值, 而已知是3x与2y的和为定值12,

当且仅当3x=2y, 即x=2, y=3时, 等号成立。

所以lgx+lgy的最大值是lg6。

评注本题是已知和为定值, 要求积的最大值, 可逆用均值不等式, 即利用ab≤2a+b2来解决。

例2.求函数y=x2+x1在 (0, +∞) 内的最小值。

分析:x2+1x是二项“和”的形式, 但其“积”的形式不为定值, 而x2, 12x, 12x的积为定值41, 因此可以先裂项, 使其乘积为一定值, 再用均值不等式.

二、在证明不等式的妙用

均值不等式一般多用于代数解题中, 不少代数不等式, 若能巧妙地运用均值不等式, 则能简洁、轻松地获得解决。

例3:设a1, a2, a3…an为n个正数, 求证:

分析:需证明的不等式的左边含有分式, 右边为整式, 故应想办法将左边的分母去掉, 利用均值不等式的特点, 将不等式左边进行适当的配项, 即可达到目的。

例4:已知m>0, n>0, m3+n3=2, 求证:m+n≤2

分析:要从m3+n3=2推出m+n≤2, 需对m和n进行降幂或升幂处理, 联想到a3+b3+c3≥3abc具有此功能, 但从m3到m或从m到m3, 还需要恰当添项或添因子。

三、在解方程中的妙用

均值不等式不仅可用于证明某些代数不等式, 而且对于某些特殊的方程, 若巧妙的运用均值不等式中等号成立的条件, 也可很快的求出解来。

分析:这是一个含有三个未知数的无理方程, 且是一个不定方程, 用常规方法是不可能求解, 注意到方程两边未知数幂的特点, 利用均值不等式使方程两边建立起联系。

此不等式等号当且仅当经x=1, y=2, z=3时成立故原方程的解为x=1, y=2, =3。

四、在三角函数中的妙用

均值不等式中的a、b、c等既可表示函数, 还可以表示式子, 当然包括三角函数式。据此, 可解决一些三角函数问题, 特别是涉及到三角函数的不等式问题。