绝对不等式的证明

第一篇：绝对不等式的证明

绝对值不等式的证明

知识与技能：

1. 理解绝对值的三角不等式，

2.应用绝对值的三角不等式.

过程方法与能力：

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;提高分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：

让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。

教学重点：理解绝对值的三角不等式

应用绝对值的三角不等式.

教学难点：应用绝对值的三角不等式.

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

(1)abab(2)abab

a

bab(3)abab(4)(b0)

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上，性质abab和a

ba

b(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直

接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大? 显然aa，当且仅当a0时等号成立(即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立)。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

定理(绝对值三角形不等式) 如果a,b

是实数，则

ab≤ab≤ab

注：当a、b为复数或向量时结论也成立. 特别注意等号成立的条件.定理推广：

a1a2an≤a1a2an

当且仅当都a1，a2，，an非正或都非负时取等号. 探究：利用不等式的图形解不等式1. x1x11;2.x2y1.

.

3.利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3

二、典型例题：

例

1、证明 (1)abab，(2)abab。

证明(1)如果ab0,那么abab.所以ababab. 如果ab0,那么ab(ab). 所以aba(b)(ab)ab

(2)根据(1)的结果，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

例

2、证明 ababab。 例

3、证明 abacbc。 思考：如何利用数轴给出例3的几何解释?

(设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。 特别的，取c=0(即C为原点)，就得到例2的后半部分。)

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释?

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。 例

4、已知 xa

c

2,yb

c2

，求证 (xy)(ab)c.证明 (xy)(ab)(xa)(yb) xayb(1)

xa

c2

,yb

c2c2

，

c2

c (2)

∴xayb

由(1)，(2)得：(xy)(ab)c 例

5、已知x证明x

a4a4,y

a6a6

. 求证：2x3ya。

a2,3ya2a2a

2,y，∴2x，

a。

由例1及上式，2x3y2x3y

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。

四、练习：

1、已知Aa

2、已知xa

c2c

4,Bb,yb

c2c6

.求证：(AB)(ab)c。

.求证：2x3y2a3bc。

五、作业： 1.求证

ab1ab



a1a



b1b

ab1ab

.2.已知a1,b1.求证：1.

3.若,为任意实数，c为正数，求证：(1c)(1

1c

)

.

(



2

2，而c2



1c



c

2

1c



)

4. a、b、c均为实数,ab,bc,ac,

5.已知函数f(x)ax2bxc,当0≤x≤1时,f(x)≤1 求证:abc≤17 作业：导学大课堂练习

课后反思：绝对值不等式的证明

求证:≤

ab2cbc2aca2b

abbcca

2.

第二篇：《含绝对值不等式的解法》教案

本课件依据我校高三数学第一轮复习用书《步步高高考总复习—数学》及另选部分题目制作而成，全部内容都经过了课堂教学的检验，为教学过程的实录。

本节课首先给出复习目标、重点解析及知识要点，并给出了绝对值不等式||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|中等号成立的充要条件，对其中较难理解的情况给出了分析或证明。

然后给出了3道典型例题，每道例题后选配训练题帮助学生巩固、掌握所复习的知识。

最后以备选题的形式给出了12道训练题(其他教师使用本课件时可根据所教学生情况的不同，选取其中的题目作为例题)。大多数题目给出了不只一种的解题方法(思路)。

由于历年高考中大部分考生数学题解答不规范，导致无谓失分，制作课件时，力求每一道题的解答都相对完整。使用课件时，先和学生一起分析解题思路，然后通过屏幕展示给学生一个完整、规范的解题过程，以提高学生正确表述知识的能力。

第三篇：含绝对值不等式的解法修改

aa≥0

一.(1)绝对值定义|a|={ -aa<0

绝对值的定义是用分类讨论思想定义的，他可以用来去掉绝对值的符号。

(2) 实数a的绝对值表示在数轴上所对应点A到原点的距离。

(3).请试着归纳出1.解方程|x|=2?|x|=2的几何意义是什么?

(4).能表述|x|>2, |x|<2的几何意义吗?其解集是什么?

二.根据上一 问题可得到

|x|>a的几何意义是到原点的距离大于a的点，

其解集是﹛x|x>a或x<-a﹜

|x|

其解集是﹛x|-a三. 能否归纳|ax+b|>c 与|ax+b|0)型不等式的解法?

|ax+b|>c(c>0)的解法是：先化不等式组ax+b>c 或ax+b<-c，再由不等式的性质求出原不等式的解集。

|ax+b|0) 的解法是：先化不等式组 -c

例题分析

例1 解不等式|3x-5|≤7

例2解不等式|2x-3|>

4例3 解不等式|1-2x|<5(找两名学生上黑板做)

【注】我们在解|ax+b|>c 与|ax+b|0)型不等式的时候，一定要注意a的正负。当a 为负数时，可先把a 化成正数再求解。

练习

1、解下列不等式

(1)|x-4|≤9

(2) |3x-3|≥15

2. 解下列不等式

(1) 2|2x+1|-4≥0

(2) |1-4x|≤2

第四篇：含绝对值的不等式解法(总结归纳)

含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法

[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是

{x|-a0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a (a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c (c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。

求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 或 或 -4

原不等式解集为{x|-4

x2+3x-4<0

(x+

)2<

|x+|< -

原不等式解集为{x|-4

[例题分析与解答]

例1.解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|0)型。∴ -4

当a>0时，-

当a<0时，- >x>,

当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。

故a>0时不等式解集是{x|-

例2.解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和

x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。

(1)

-4≤x<-。

(2)

-≤x≤-。

(3)

。

综上，原不等式的解集为{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。

例3.解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。

[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。

x2+(2-a)x-2a<0

(x+2)(x-a)<0

当a>-2时，原不等式解集是{x|-2例4.已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3

[分析与解答] 二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向(即a的符号)又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，通过代入法求解不等式。

由ax2+bx+c>0的解集是-3

且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴ -3+1=-

∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0,

∵ a<0，∴ x2-x-2<0, (x-2)(x+1)<0,

∴ -1

，即=2, -3×1=，即=-3，

另法：∵ a<0，将所求不等式两边同除以a得

x2+(1+

)x+6(-1)>0,

将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0,

以下同上面解法。

在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解。

例5.解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。

[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。

当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x|x>-

,x∈R}。

当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若016时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为

，。

不等式的解为{x|x<或x>}。

(2)若4

(3) 若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为{x|x≠-,x∈R}。

(4) 若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为{x|x≠,x∈R。}。

(5) 若a<0, Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是<, 不等式的解集是：

{x|

[本周参考练习]

1.关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-

2.解不等式1<|x-2|≤7。

≤x≤，求a，b的值。

3.不等式ax2+bx+c<0的解为x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。 4.不等式x2-ax-6a>0的解为x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。

[参考答案]： 1.解：由|ax+1|≤b, ∴ -b≤ax+1≤b，∴ -b-1≤ax≤b-1。当a>0时，

≤x≤。

∴

, 不满足a>0,舍去。当a<0时，≥x≥。

∴

当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。

2.解由1<|x-2|≤7,∴1

3.解：必有a<0，则x2+

x+>0的解为x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。

将cx2-bx+a>0两边同除以a(a<0)，∴

x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0,

∵ αβ>0，∴ x2+(

)x+<0，∴ (x+)(x+)<0, ∵ α<β<0, ∴ ，即<, ∴->-，不等式解为-

4.解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有两不等根，且α，β是其两根(β>α)。

∴ β-α=

，∴ a2+24a≤25,

-25≤a<24或0

第五篇：数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法

一、数轴标根法解不等式 例1.解下列不等式

1.(x-1)(x-2)(x+3)>02. (x-1)(x-2)(x+3)<0

3. (1- x)(x-2)(x+1)04.(x- 1)2

(x-2)3

(x+1)0

用穿根法解的步骤如下：

(1)整理——原式化为标准型 把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：

f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2„(x-xn) mn >0(或<0)，mi∈N* (i=1,2,…,n)

(2) 标根——在序轴上标根 将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,„„xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。 (3) 画线——画穿根线 从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲

线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶不穿”。 (4) 选解——写出解集 如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。 二.

分式不等式

思考(1)x3

x2

0与x3x20解集是否相同，为什么?

(2)x3x2

0与x3x20解集是否相同，为什么?

解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。

方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式(组)：

(1)

fx0fxgx0(2)fx0fxgx0gx gxgx0

例2.解下列不等式

1.x302.1

2x

x

1

3.2x1x3



14.x2

3x2x2x305.xx3129x206.0xx

1

三、含绝对值的不等式的解法

|x|>a(a>0)________________|x|0)________________

例3:解下列不等式

1. 2x32. x(x1)0

3.|x2-2x|>x 2.4.x(x1)0

巩固练习

1. 解不等式2x2

3x13x13x27x2

02. 解不等式3x1

3.不等式2x1

2x1的解集是

x



x

4 .(2012 山东理)若不等式kx42的解集为xx3

，则实数k__________. 5. 解不等式(2x- 1)2(x-2)3 (x+1)06. 解不等式(3- x)2(x-2)(x+1) 7046