不等式的证明2范文

第一篇：不等式的证明2范文

数学选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明(2)

§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法学案姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握综合法与分析法;

2. ☻知识情景：

1. 基本不等式：

10. 如果a,bR, 那么ab2ab. 当且仅当ab时, 等号成立.ab20. 如果a,bR,

那么. 当且仅当ab时, 等号成立. 22

230. 如果a,b,cR,

那么abc

3, 当且仅当abc时, 等号成立.

ab22.均值不等式：如果a,bR,那么

2abab

常用推论：10. a20; a0; a

20.

3.

1a2(a0); ababbaca2(ab0); bc0(a,b,cR).3.不等式证明的基本方法：10. 作差法与作商法(两正数时).20. 综合法和分析法.3. 反证法、换元法、放缩法 0

☆案例学习：

综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2BnB 例1 已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例2 已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证:(1a1)(1a2)(1an)2n

分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执索的思考和证明方法.BB1B2BnA用分析法证明不等式的逻辑关系： 结(步步寻求不等式已

论成立的充分条件

)知

例3求证 

a2b2b2c2c2a

2例4已知a,b,c0,求证:abc

abc

例5 证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2.§2.1.2不等式的证明(2) 练习姓名

1、已知x0,y0,xy,求证

2、已知ab0, 求证aba.1122333

33、已知a0,b0.求证：(1)(ab)(ab)4.(2)(ab)(ab)(ab)8ab. 1x1y4xy.

4、已知a,b,c,d都是正数。求证：

(1)

abcd2abcd;(2)abcd4abcd.5、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc.

6 a,b,c是互不相等的正数，且abc1. 求证:(1ab)(1bc)(1ca)27.

7 已知a，b，m都是正数，并且ab.分别用综合法与分析法求证:am

bma

b..

8设a0,b0，分别用综合法与分析法求证: a3b3a2bab2.

9(1)已知a,b是正常数,ab,x,y(0,),求证：a

件;(2)利用(1)的结论求函数f(x)2

值.

9(ab)2,指出等号成立的条 xyxy2b2x12x(x(0,1))的最小值，指出取最小值时x的 2

第二篇：高中数学2.5不等式的证明教案

2.5不等式的证明

一、教学重点

1、理解比较法、综合法、分析法的基本思路。

2、会运用比较法、综合法、分析法证明不等式。

比较法

(一)作差法

一开始我们就有定义： 对于任意两个实数有，

也就是说，证明两实数

大小，我们可以作差，然后进行变形，判断其差的符号(将差和0作比较)，从而证明不等式。

例1 求证：证明：

几何意义： 函数的图像始终在函数

的图像之上

A1个单位B

训练作差法基本能力，并让学生从不同角度理解不等式 例2 设

求证：

证明：

作差

1 / 6

这题让学生说，主要训练作差法，为之后作商铺垫

(二)作商法 设实数，则有

作商，与1比较 例2 设证明：

求证：

2 / 6

在作差法的基础上提出作商，让学生体会这两者各自的优点

综合法

从已知条件出发，利用已知的命题和运算性质作为依据，推导出求证的结论。

例3 求证：若

，则有

证明：

在教授综合法的同时，给出这个基本不等式

例4 已知(1)

，求证：

(2)

证：(1)

3 / 6 (2)

这题主要为1的妙用，为学生做题拓宽新的思路

分析法

从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立，从而判断原结论成立。

要证 例4 若，则有 ，如果有

，那么只要证明了

，就有

4 / 6

在教授分析法的同时，给出这个基本不等式

例5 设，则有

先证

再证

5 / 6

在教授分析法的同时，给出这个绝对值不等式，学生以后也能用

6 / 6

第三篇：选修4-5学案§2.1.2不等式的证明(2)综合法...

高二数学学案选修4-5第二讲

§2.1.2综合法与分析法——问题导读

设计：赵连强审核：贾胜如

☆学习目标：1. 理解并掌握综合法与分析法;

2. 会利用综合法和分析法证明不等式

☻知识情景：

1. 基本不等式：

0221. 如果a,bR, 那么ab2ab. 当且仅当ab时, 等号成立.2. 如果a,bR,

那么0

3. 如果a,b,cR0abc,

那么3ab当且仅当ab时, 等号成立. 2, 当且仅当abc时, 等号成立.

2.均值不等式：如果a,bR,那么

2abab的大小关系是： ab

22常用推论：1. a0; a0; a

2. 12(a0); aab2(ab0); ba

acb3. (a,b,cR). bac

3.不等式证明的基本方法：1. 比差法与比商法(两正数时).

2. 综合法和分析法.

3. 反证法、换元法、放缩法

☆案例学习：

综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B2BnB 证明不等式的基本方法——综合法和分析法 1 00 0

导读检测

1、已知x0,y0,xy,求证1

1xy

4xy.2、已知ab0, 求证aba.

例题讲解

例1 已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例2 已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,求证:(1a1)(1a2)(1an

n)2

BB1B2BnA

用分析法证明不等式的逻辑关系： 结(步步寻求不等式已

论成立的充分条件)知

课堂检测

1.求证

2. 已知a,b,c0,求证:a2b2b2c2c2a2

abcabc

3. 证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2.

4.设a0,b0，分别用综合法与分析法求证: a3b3a2bab2.

综合法与分析法——问题解决

1.已知x0,y0,xy,求证114.xyxy

2.a,b,c是互不相等的正数，且abc1. 求证:(1ab)(1bc)(1ca)27.

3.已知a0,b0.求证：(1)(ab)(ab)4.(2)(ab)(ab)(ab)8ab.

4.已知a,b,c,d都是正数。求证：

(1)

11223333abcdabcdabcd;(2)abcd. 24

第四篇：第21讲：不等式的证明(教师用书)(2)

(聚焦2008四川高考)第21讲：不等式的证明(2)

作套题，抓住知识点;详评讲，抓常规思维;仔细看，抓典型思维。

一、知识梳理

作商比较法不

综合分析法 分析法 判别式法向量法 三角换元均值换元 明增量换元反证法 整体换元数学归纳法

构造函数法

放缩法和最值法

二、点解读与例(考)题

(一)判别式法法证明不等式

依据：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则

当a>0时，若Δ≤0，则f(x)≥0;

当a<0时，若Δ≤0，则f(x)≤0。

⑴与二次函数有关，或通过等价变换为二次函数的问题可试用判别式法证明。

⑵对含有两个或两个以上的字母，若能变成某一个字母为主元的二次方程，也可利用判别式法证明。

【例1】已知a，b∈R且b>0 b0，求证：a2+b2>3a-2ab-3。

注：构造a的二次三项式。

【例2】设a，b，c∈R，证明：a2+ac+b2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号成立的条件。

分析：⑴视为a的二次三项式;

⑵计算判别式;

⑶当b+c=0，即b=-c时，Δ=0，此时f(a)=(a+b)2=0，从而a=-b=c时等号成立。

【例3】已知x，y∈R，M= x2+y2+1， N=xy+x+y，试比较M与N的大小。

分析：构造函数f(x)MNx(y1)xyy1，于是由2

2f(x)0的3(y1)20知，当且仅当y2时，MN取等号。 第21讲：不等式的证明(2)

1【例4】已知a,b,cR且abc2,abc2，证明：222

4a,b,c[0,]。

3分析：依题意得a(b2)a(b1)0，此时可将方程视为关于a的一元二次方程，于是(b2)4(b1)0，解得0b理可证a,b,c[0,]。

注：⑴当求不等式的字母指明是实数时，可构造一个一元二次方程，使不等式的字母作为方程各项的系数或常数项，从而利用判别式可得证。

⑵轮换对称不等式的证明方法：证明一个，其与的同;同理可证。

【例5】已知a,b,cR且abc0,abc1，求证：a、b、c中一定有一个不小于4。

分析：①若a,b,c均大于0，则abc0;

②若a,b,c均小于0，则abc0;

③若a,b,c两正一负，则abc0。则都与已知矛盾。

从而知a,b,c两负一正，不妨令a0，则aba,bc

c为一元二次方程xax222224。同3431，即b、a140的两根。于是a20，即aaa4。同理可证。a,b,c4。

1sec2xtanx3。 【例6】求证：3sec2xtanx

策略：①如果是一元二次方程，则直接可利用判别式可证。

②如果是二次三项式，则先计算判别式，然后确定判别式的符号。

【例7】已知tanx=3tany(0

2(二)数学归纳法证明与自然数有关的命题。

(1)数学归纳法是证明具有递推性的自然数命题P(n)的正确性的重

要的数学方法。

(2)证明程序：①命题的递推基础;②递推依据。

(3)用数学归纳法证明不等式的关键在递推依据，证明时必须明确： 当n=k+1时，所要证明的结果P(k+1)是什么，而且必须利用归纳假设P(k)，经过推理演算得出P(k+1)。

⑷在推证程序(递推依据)时，应依据具体问题灵活恰当地处理和使用公式法：比较法、分析法、放缩法等。

111n*++…+(n∈N)，求证：f(2n)>。 23n

21311分析：当n=1时，f(2)1，此时不等式成立。假设当222

111kkn=k时不等式成立，即f(2)1k。 2322

11111k1则当n=k+1时，f(2)1kkk1>232212

kk11111+(>+(++…)kkkkkkkk222122222222【例8】已知f(n)=1+

k2kk1k11k+)(共2项)k。 kkk22222222

故当n=k+1时不等式成立，即命题成立。

【例9】对于一切大于1的自然数n，证明：(1+111)(1+)…(1+)352n1>2n1。 2

分析：当n=2时不等式成立。

假设当nk(k2)时不等式成立，即(1+111)(1+)…(1+)352n1>2n1成立。 2

则当n=k+1时，(1+1111)(1+)…(1+)(1+)>352k12k12k12k2k1+=。于是由 22k12k

1(k1

2k1)2(2k321)0(kN,n2)知不等式24(2k1)

成立。

故当n=k+1时不等式成立，即命题成立。

(三)构造函数法：数学问题若能将其某些字母视为变量二建立联系，构造函数(一次、二次、指数函数等)，从而利用函数性质解决问题将会使问题获得简洁的求解(证明)，构造相应的公式证明不等式。

【例10】设不等式mx2xm10对满足|m|2的一切m值都成立。求实数x的取值范围。

变式：若x,y,z(0,1),证明：(1y)x(1z)y(1x)z1。 注：构造一次函数证明即可。

【例11】设a1，a2，a3，…，an∈R+，证明：对nN有

22(a1a2an)2n(a12a2an)。 2*

策略：由不等式

22(a12a2an)x22(a1a2an)xn0对一切xR而且xN*均成立，即(a1x1)2(a2x1)2(anx1)20，于是构造二次函数。因此令

22y(a12a2an)x22(a1a2an)xn(ai0,i1,2,,n对xR而且xN均成立，从而由0得

22(a1a2an)2n(a12a2an)。 *

变式：求证：

2222(a1b1a2b2anbn)2(a12a2an)(b12b2bn)，并

讨论何时取得等号(柯西不等式)。

证：若ai0或bi0(i1,2,,n)，则左=右=0。此时不等式成立，且取等号。

若ai0(i1,2,,n)不全为零，则考虑函数：

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2，由f(x)0对于一切实数x恒有成立，从而

2222f(x)(a12a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b2bn)

，于是依题意a1a2an0且xR，f(x)0，从而由0得

2222(a1b1a2b2anbn)2(a12a2an)(b12b2bn)。 22

2其中等号成立f(x)0的0，即方程有相等实数根x0，即(aix0bi)20，从而

i1nbb1b2nx0。 a1a2an

bb1b2nx0时等a1a2an综上所得当ai0或bi0(i1,2,3,,n)或

号成立。

例

3、已知ab0，求证：abab。

策略1：构造指数函数f(x)();策略2：比商法。

例

4、设三角形三边a、b、c，求证：

策略：令f(x)abbaabxabc。 1a1b1cx11,x(0,)。由函数的单调性知，1x1x

x在区间(0,)上是单调递增函数，于是由a、b、c为三角形1x

的三边知abc，从而有f(x)

f(ab)f(c)，即

原不等式得证。

例

5、求证：sinx2ababc，故1a1b1(ab)1(ab)1c45。 2sinx

策略：⑴构造指数函数f(x)x

必须依单调性定义证明。 4，⑵利用函数的单调性得证(但x

注：一般地，当x0,a0,b0时。 ①f(x)xa在区间(0,a]单调递减，在区间[a,)单调递增; x

111,0)(0,]单调递减，在区间在区间[aax②f(x)ax

(,11][,)单调递增; aa

bbb,0)(0,]单调递减，在区间在区间[aax③f(x)ax

(,bb][,)单调递增。 aa

例

6、设a、b、c、d∈R， 22求证：ab+cd≥(ac)(bd)。 2222

精析：对于一个问题，多是利用常规思维方法进行求解，几经周折不得结果。这时，可以启发学生利用数形结合的思想进行试探，于是学生马上就会联想到两点间的距离公式。因为x1，x2，y1，y2∈R且含有平方和开方运算，形式与题意何等相似!

于是设P(a，b)，Q(c，d)为坐标平面上两点，则|OP|=ab，22|OQ|=cd，|PQ|=(ac)(bd)，显然有|OP|+|OQ|≥|PQ|。 2222

(五)

第五篇：§2.5.1不等式的证明(1) 比较法

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》

§*2.5.1不等式的证明(1)—比较法

掌握用比较法证明简单不等式

.问1什么是比较法?如何运用比较法证明不等式?

例1(P47例1)比较x2与2x2的大小.

例2(人教B版选修4-5P19例2)

已知：b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，求证：

am1am2. bm1bm

2例3已知：f(x)x3，若x1,x2R，且x1x2，求证：f(x1)f(x2).

- 88 -

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》 例4设a、

bR

例5设a、bR，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)(nN*).

x21n例6设函数f(x)2，求证：对任意不小于3的自然数都有f(n). x1n1

1. 比较3x和2x1的大小.

2. 比较(acbd)和(ab)(cd)的大小.

3. 用比较法证明：abcabbcac. 222222222

a2b2

ab. 4. 已知a，b为正数，用比较证明：ba

5. 设a，b，c为不全相等的正数，用比较法证明：

2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).

6. 已知xyz1，用比较证明：xyz

2221. 3- 89 -