基本不等式的证明1

第一篇：基本不等式的证明1

3.4.1 基本不等式的证明[模版]

a+b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23.4.1 基本不等式的证明

一、基础过关

111.已知a>0，b>0+ab的最小值是________. ab

2.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________.

112ba①a2+b2>2ab②a+b≥ab③+>④≥2 ababab

1213.已知m=a+(a>2)，n=2x-2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是________. a-

24.设0

①logab+logba≥2②logab+logba≥-2

③logab+logba≤-2④logab+logba>2

255.若lg x+lg y=1，则的最小值为________. xy

6.已知a，b∈(0，+∞)，则下列不等式中恒成立的是________.

111①a+b≥22②(a+b)a+b≥4 ab

a2+b22ab③2ab④ab a+bab

bccaab7.设a、b、c都是正数，求证：+≥a+b+c. abc

2x+y

28.已知x>y>0，xy=1，求证：22. x-y

二、能力提升

19.若a<1，则a+______(填“大”或“小”)值，为__________. a-

1x10.若对任意x>0，a恒成立，则a的取值范围为________. x+3x+1

1111.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=23，则+________. xy

12.已知a，b，c为不等正实数，且abc=1. 111求证：+<+abc

三、探究与拓展

1613.已知a>b>0，求证：a2+16. ba-b

答案

1.4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26.①②③

bccaab7.证明 ∵a、b、c都是正数，也都是正数. abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，+≥2b， abbcac

bccaab三式相加得2abc≥2(a+b+c)，

bccaab即+≥a+b+c. abc

8.证明 ∵xy=1，

x2+y2x-y2+2xyx-y2+2∴=x-yx-yx-y

2=(x-y)+≥x-y x-yx-y

=22.

2x-y=x-y当且仅当， xy=1

时取等号. -2

1，+∞ 11.1 9.大 -1 10.5

1112.证明 ≥=2c， abab

11=2a， bcbc

11≥=2b， caac

111∴2a+b+c≥2(a+b+c)，

111即+≥a+b+c. abc∵a，b，c为不等正实数，

111∴a+b+c+. abc

13.证明 方法一 ∵a>b>0，∴a-b>0.

1616∴a2+[(a-b)+b]2+ ba-bba-b

16≥[2a-bb]2+ ba-b

16=4(a-b)b+ ba-b

4≥4×2a-bb×=16. ba-b

4取“=”时当且仅当：a-b=b>0且(a-b)b=， ba-b

即当a=2且b=2时“=”成立.

方法二 ∵a>b>0，

a2a∴a-b>0，b(a-b)≤2=4，

当且a=2b时取等号， 2x=即y=6+22

161664∴a2+a2+a2+ aaba-b

≥264=16.

当a=2，b=2时，等号成立.

第二篇：3.4.1 基本不等式的证明教学设计

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3.4.1 基本不等式的证明

南京师范大学附属中学 季人杰

教学目标：

1.探索并了解基本不等式的证明;

2.体会证明不等式的基本思想方法;

3.能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题.

教学重点：

基本不等式的证明.

教学难点：

基本不等式的证明.

教学过程：

一、问题情境，导入新课

口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗?

问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题?

珠宝放左边称砝码显示重量为a，放右边称砝码显示重量为b，假设天平的左杠杆长为l1，右杠杆长l2，那么这个珠宝的实际重量是多少?(会算吗?用什么原理来算?你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是

问题2 abab 哪个大?) 2abab 哪个大?(你估计一下哪个大?)(如果回答取值代，

2那么可以追问取一正一负行吗?如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大?)

二、学生活动

aba0,b0)呢?

2请2个同学上黑板(巡视，有不同的解法让他上黑板写一下). 问题

3如何证明

证法一(比较法)

：ab1

122

=20，

222

ab时，取“=”.

证法二：要证

ab， 2

只要证

a，b

只要证

0ab，

只要证

02)

因为最后一个不等式成立，所以

时，取“=”.

证法三：对于正数a,b，有

)， 0ab成立，

即ab2

ab0，

ab

 ab 2

先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点?

点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：

证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较;

证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件; 证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法.

(看来珠宝商还是多赚钱的，只有a=b时才是一个守法的商人啊.)

三、建构数学

定理：如果a,b是实数且(a0,b0)，那么

取“=”).

问题：对于这个定理你怎么认识它?(结构有什么特点啊?成立的条件是什么?什么叫当且仅当啊?) (上式中ab称为a,b

a,b的几何平均数，两个正2abab(当且仅当ab时

2数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成

.要用这个定理首先两个数必须都是非负数. ab2ab)

当ab时，取“=”，并且只有当ab时，取“=”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当.

四、数学运用

例1 设a,b是正数，证明下列不等式成立：

ba1(1)2(2)a2 aba

(3)a2b22ab

(先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的?还有什么别的思路?)

点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明

什么时候取等号?

师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢?

有线段AB长为a，线段BC长为b，你能找到

讲完了可以让另一个学生再解释一下)

a

b

2B

1,(x0)，求此函数的最小值. x例2(1)已知函数yx点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗?

(2)已知函数yx

(3)已知函数y2x

1,(x0)，求此函数的最大值; x1,(x1)，求此函数的最小值. x

1五、回顾小结

回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识?

第三篇：§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法

【学习目标】

能熟练运用比较法来证明不等式。

【新知探究】

1.比较法证明不等式的一般步骤：作差(商)—变形—判断—结论.2.作差法：a-b>0a>b，a-b<0a

作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解(分式通分、无理式有理化等)后，把差写成积的形式或配成完全平方式.

3.作商法：a>0，b>0，a>1a>b. b

a>1不能推出a>b.这里要注意a、b两数的符号. b比商法要注意使用条件，若

【自我检测】

1中最大的一个是 1x

A. aB. bC. cD.不能确定

2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定 1.设0

3.若11<<0，则下列结论不正确的是 ...ab

B.ab

2C.ba+>2D.|a|+|b|>|a+b| ab

4.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：

①a<-b-c;②a>-b+c;③a

5.若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a5+b5>a3b2+a2b3;④a+1≥2.其中一定成立的是__________.(把成立的不等式的序号都填上) a

【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.- 1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”

变式训练：当m>n时，求证：m3-m2n-3mn2>2m2n-6mn2+n3.

例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

例

3、b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖，则糖水就变甜了，试根据这个 事实提炼一个不等式：;并且加以证明。

变式训练：5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.并且加以证明。

【典型例题】课后练习课本P23习题2.11，2，3，4

- 2 –“天下事，必作于细”

第四篇：6.备课资料(3.4.1 基本不等式 的证明)

备课资料

一、课外阅读

算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)

(1)设a1，a2，a3，…，a n为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即

a1a2...an，Ga1a2...an,即A≥G,当且仅当a1=a2=…=an时，A=G.特别地n

ababcab,当n=3时，abc. 当n=2时，32A= (2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等.不失一般性，设0

何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1，则G1=Aa2a3...an1(a1anA),∵A(a1+an-A)-a 1an=(A-a1)(a n-A),由a10,则A(a1+an-A)>a1an.∴Aa 2a 3…a n-1(a1+a n-A)>a1a 2…an-1+a n.G1>G.若第二组数全相等，则A1=G 1，于是A=A1=G 1>G证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn，分别用A1(即A)和b1+bn-A代替，因为有b1

A.因而第二组数中的A不是最小数b1，也不是最大数bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A，经过n-2次替换，新数中至少出现n-2个A，最多经过n-1次替换，得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A，而几何平均值不断增大，即G

二、课外拓展

平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用，将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此四个不等式的证明过程.

平均值定理：设n个正数a1，a2，…，an，记 调和平均Hnn

...a1a2an 几何平均Gna1a2...an，算术平均Ana1a2...an， n

222a1a2...an平方平均Qn. n

这4个平均有如下关系：Hn≤Gn≤An≤Q n,等号成立的充要条件都是a1=a 2=…=a n.

第五篇：高中数学 3.4.1《基本不等式的证明(2)》教案 苏教版必修5

第 11 课时：§3.4.1基本不等式的证明(2)

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式;

2.学会推导并掌握均值不等式定理;

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题;基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法



值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.重要不等式：如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

2.基本不等式：如果a,b是正数，那么22ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小2ababab(当且仅当ab时取""号).我们称为a,b2

22的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，ab22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者

只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正数， ①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p;②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

证明：∵x,yR，∴ 12s. 4xyxy，

2①当xyp (定值)有(xy)min2p; xy2p∴xy2p，∵上式当xy时取“”，∴当xy时

②当xys (定值)时，xys12 ∴xys，∵上式当xy时取“”∴当xy时有2

4(xy)max12s. 4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义(“”取最小值，“”取最大值);

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 (1)求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0logx100，于是lgxlogx102lgxlgx102，

当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立，∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10.

(2)若上题改成0x1，结果将如何?

解：∵0x1lgx0logx100，于是(lgx)(logx10)2，

从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x

例2 (1)求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

(2)求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

解：∵0x4，∴x0,4x

0，∴1. 10x4x2则yx(4x)4，当且仅当

2x4x，即x2(0,4)时取等号。∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

例3 若x2y1，求11的最小值。 xy

11x2yx2y2yx2yx

123()3xyxyxyxy解：∵x2y1，∴

x12yxy，即当且仅当x

yx2y1

2

∴当x1,y11时，

取最小值3xy2例4 求下列函数的值域:(1)y3x11yx;(2) 2x2x

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;

(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正

1.已知0x1,0y1,xy1，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。 93

32.已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

3.已知0x

2，求函数f(x)x值。

4.已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

五、归纳整理，整体认识

1.用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解;

2.运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

(1)运用拆分和配凑的方法变成和式和积式;(2)配凑出和为定值;

(3)配凑出积为定值;(4)将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数;积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念4x1x1y

七、板书设计(略)

八、课后记：