不等式的证明技巧

第一篇：不等式的证明技巧

轮换对称不等式的证明技巧

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轮换对称不等式的证明技巧

上海市宝山区教师进修学院王凤春

轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。

一、凑项升幂法

例1 已知x,y,zR，且xyz1， 求证：4x1

4y1

13

4z121

4x1

4y1

4z137

73

分析：由于当xyz证明：因为2

4z1

37

73

时，上述不等式的“=”成立，于是

73

4x1

。

4x1

，所以

4x1

37

(2x5)

，同理

4y1(2y5)

，

(2z5)，上述三式相加，并将xyz1代入化简即得证。

二、凑项降幂法

例2 证明Cauchy不等式a12

a2an

2

2

(a1a2an)

n

2n

证明：设a1a2ana即

2

a1

2a2

2an

2

，则ai

()n

a

2



2an



2

ai，所以ai

i1

n()

n

a

2



2an

n



i1

ai，



(a1a2an)

n

2

。

三、凑项去分母法

例3 设x1,x2,,xn是正数，且x1x2xn1， 求证：

x1

2

x1x2



x2

2

x2x3



xn1xn1xn

2



xn

2

xnx1



12

(1990年第24届全苏数学奥林匹克十年级题2)

xi

2

分析：由于当x1x2xn

xi

2

1n

时等号成立，于是

xixi1



14

(xixi1)

。

证明：设xn1x1，因为

xi

2

xixi1

n



14

(xixi1)xi

2

所以

n

i1xixi1



14

(xixi1)xi，即

i1

i1

i1

1a(bc)

3

nnn

xi

i1xixi1



12

。

32



例4 设a,b,cR，且abc1，求证：



1b(ca)

3



c(ab)

3



(1995年第36届IMO

轮换对称不等式的证明技巧第 2 页 共 2 页

题2)

证明：原不等式等价于

bc

22

a(bc)



ca

22

b(ca)

bc



ab

22

c(ab)

14



32bc

当a=b=c=1时等号成立，此时

ca

a(bc)14

a(bc)

，所以，

a(bc)



14

a(bc)bc

，同理，

b(ca)bc



14

b(ca)caca

，

ab

22

c(ab)12

c(ab)ab

32

，上述三式相加并化简得

32

a(bc)



b(ca)



ab

c(ab)

(abbcca)

abbcca

例5 设角A、B、C满足cos求证：

sin

1Acos

9

2Bcos

C1

A

sin

B

sin

Asin

C

分析：原条件等价于sin2Asin2Bsin2C2，当sin2

1sin

BsinC

23

时等号成立，于是

A

9sin

A

3，

sin

B

9sin

B

3，

sin

C

9sin

C

3

上述三式相加并化简得证，证明略。

四、凑项平衡系数法

例6 设z>0，zxy，则x2分析：当x=y=证明：因为

x

x

y

z



65

(yzzxxy)

。

z2

时等号成立。

，

6525

y

z2

()xz2z2

()yz

，

32

(x

y)3xy

①，将上述三式相加并化简得，

y



15

z



25

(xzyz)

xy

②

65xy

45

z(xy)

25

(xzyz)

65xy

所以，x2即xy

y

z



45

z

(xzyz)

z

65

(yzzxxy)。

32

注：只有①式的系数凑成，②式中xy的系数才能是。

6

上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。

注：本文发表于《上海中学数学》2003年第6期

第二篇：证明不等式的常用方法和技巧

一、比较法

例

1、求证：对任何非负数a和b，不等式

二、分析法11(a+b)2+(a+b)≥a+ba成立 24

1ab2ab1ab2

ab例

2、设0ba,求证: 8a28b

三、综合法

例

3、对任意实数x,y,z，有sinxcosy+sinycosz+sinzcosx≤

例

4、若m、n∈N*，求证：

例

5、求证：对任意正整数n，有(1+3 2mnmnmmn 21n+11n+2)>(1+)>2 nn

1例

6、已知a1,a2,…,an都是正数，且a1+a2+…+an=1，求证：

121212(n21)2

(a1+)+(a2+)+…+(an+)≥ na2ana

1例

7、设3x2+2y2≤6，求p=2x+y的最大值。

例

8、在△ABC中，A、B、C是三内角，a、b、c为其对应边。

a2b2b2c2c2a2a3b3c3

例

9、a,b,c>0，求证：a+b+c≤++≤++

2c2a2bbccaab

aAbBcC



abc

3几个古典不等式

1、(切比雪夫不等式)若a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn为实数，且a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn(或a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn)，则(当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时取等号。

2、(琴生不等式)设f (x)为区间[a，b]上的严格下凸函数，即对x1,x2∈[a,b], x1≠x2，总有f (

x1x21

)<[f (x1)+f (x2)]，则对于[a，b]中任意一组不全相同的值x1,x2,…,xn，22

1n1n1n

aibiai)(bi)≤

ni1ni1ni1

必有f (

x1x2xn1

)<[f (x1)+f (x2)+…+f (xn)]

nn

11xpyq



3、(Young不等式)设p,q>1,1，则对任何x,y≥0，有xy≤。当且仅

pqpq

当xp=yq时等号成立。

4、(赫德勒不等式)若ak≥0，bk≥0，k=1，2，…，n，且p>1，

n

akbkk

1npp≤(ak)

k1

nqq(bk)k1

11

1，则 pq

四、判别式法

例

10、已知A、B、C是△ABC的内角，x,y,z∈R，求证：

x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB

例

11、若x+y+z=0，且a,b,c为三角形的三条边长。求证：a2yz+b2zx+c2xy≤0

五、放缩法

1171

例

12、求证：1++2+…+2<

4n22

3例

13、已知a,b,c∈[0,1]，求证：

例

14、设x0=5，xn+1=xn+

六、代换法

例

15、设a>1,n∈N,n≥2，求证：a1<

例

16、设x1,x2,…,xn>0,求证：1x1)(1x2)(1xn)-x1x2xn≥

1abc

+++(1-a)(1-b)(1-c)≤1

bc1ca1ab1

,求证：45

a1

n

例1

7、设a≥4，求证：

lgalg3lg(a2)



lg4lg3lg

2七、构造法

例

18、设a,b,c为绝对值小于1的实数，求证：ab+bc+ca+1>0

例

19、已知v>0,u∈[-,2]，求证：(u-v)2+(2u2-

92

)≥8 v

八、反证法

例20、已知a1，a2，…，a8>0且a1+a2+…+a8=20，a1a2…a8<13。求证：a1，a2，…，a8中至少有一个小于1。

例

21、设f (x)，g (x)是[0，1]上的增函数。证明：存在x0,y0∈[0，1]，使得|x0y0-f (x0)-g(y 0)|≥

1

4九、数学归纳法 例

22、当0<α<



，n≥2，n∈N时，求证：tan nα>ntanα

4(n1)

练习题：

2222x3x1x2x4

1、设x1,x2,x3,x4>0，求证：+++≥x1+x2+x3+x4

x2x3x4x

12、设a,b,c>0，求证：

bc2ca2ab2x+y+z≥2(xy+yz+xz) abc

3、设a,b,c为正数，试证：abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

4、设x,y,x,w是四个不全为零为实数，求证：

xy2yzzwx2y2z2w2

≤

2

15、求证：(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)

6、有一个矩形铁片，尺寸是80×50，现要在四角各裁去一个同样大小的正方形，做成无盖盒子。求证上：不管如何裁法，所成盒子的容积不超过18000。

7、若x+y+z=1，求22x2+33y2+11z2的最小值

8、若n是不小于2的正整数，试证：

a12b12c12

9、已知a,b,c>0，求证：++≥a10+b10+c10

bccaab

1112411

<1-+-+…+-<

23472n12n

210、设x>0,求证：1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn

11、求证：

y2y22

12、证明：对任意正数x,y,z有xxy+z>z2zxx2

3

3n111

<1+++…+

n2232

113、若a,b,c>0，方程ax2+bx+c=0有实根，求证：a,b,c至少有一个数不小于

14、任给7个实数，证明其中必存在两个实数x,y，满足0≤

xy 1xy

3(a+b+c). 9

15、已知u+u2+u3+…+u8+10u9=v+v2+v3+…+v10+10v11=8，求证：u

提示：

2、作差，配方

3、讨论a≥b+c;a

6、V=x(80-2x)(50-2x)=αx·β(50

111

-2x)·(80-2x)≤[(αx+β(50-2x)+ 80-2x)]3。取α=2β+2且等号成立必

3须αx=β(50-2x)=80-2x，得x=10。

7、用柯西不等式得最小值为6

8、等价于<

7

2111

++…+<由柯西不等式

9、排序不等式

10、排序不等式

11、n1n22n2

放缩法

12、构造法

14、三角代换

15、0

-8，g (x)= x+x2+x3+…+x10+10x11-8 均为增函数，f (0)<0，f (1)>0，g (0)<0，g (1)>0，u,v为f (x)=0，g (x)=0在(0,1)上唯一的根。又10u10-9u9-9u+8=0，10v12-9v11-9v+8=0。可推得g (x)=0的唯一根v∈(u，1)

第三篇：证明数列求和不等式的两种放缩技巧

江苏省包场高级中学张巧凤2261

51数列求和不等式的证明，历来是高考数学命题的热点与重点，并且往往出现在压轴题的位置上，扮演着调整试卷区分度的角色。笔者发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，而学生在运用放缩法时普遍感到难以驾驭，本文重点谈谈通项放缩与舍项放缩两种放缩技巧在证明数列求和不等式中的应用。

1、通项放缩，转化为可以求和的数列

1、1放缩通项，利用等差数列求和

例

1、已知nN,

求证：



(n+1)

2

2

n+(n+1)2n

1

22

352n1



222

=

n2n2

2

<

n2n1

2

2



(n1)2

2

n+12n

1、2放缩通项，利用等比数列求和 例

2、数列an中，a1=2,an+1=(1)求数列an的通项公式; (2)设bn=

an

2

22an(nN+)

16n-an

，若数列bn的前n项的和为Tn，求证：Tn<

12

。

(1)用迭代累乘或者构造新的等比数列(2)证明：bn

an1n-11n-2an

a()即an()可以求得，1nn22n

an

2

2

2

16n-an



14

1n

当n=1时，T1=<2;

3当n2时，∵4n1(31)n-1=(3nCn13n-11)13n,∴bn

11n

1()

1111n11331

1()<∴Tn=+b2++bn<2n

133332321

3∴对一切正整数n，都有Tn<

2

3

141

n

<

13

n

.注：本题将数列从第二项起开始放缩，放缩成以b1为首项，为公比的等比数列，转化为等比数列求和。

事实上，也可以利用

141

n



14

4n

n-1



134

n-1

，将数列放缩成以为首项，

3

114

为公比的

11n1()

41n4134

等比数列，易得Tn1()<<

194921

，放缩的关键在于合理与适度。

1、3放缩通项，利用裂项相消求和 对于例2，也可以这样证明：bn

an

2

216n-an



14

1n



(21)(21)

n

n

当n=1，2时，2n2n，

当n3时， 2n(11)n=Cn0Cn1Cnn1Cnn2(n1)>2n ∴对一切正整数n，都有bn∴Tn

12(1

131315

12n1

(21)(21)



12n1

)

12

n

n



(2n1)(2n1)

12n1

)<

12

=

12n1



12n1

=(1。

注：此法将通项放缩成两项之差，转化为用裂项相消求和。

1、4放缩通项，利用叠加求和 例

3、已知数列an中，a1=1，an=an-1

n=2,3,4), an-1

1求证：

an2004年重庆卷改编) 证明：由递推关系式得：an2=an-12

1an-1

+2>an-1+2，即an-an-1>2，

于是有a22-a12>2，a32-a22>2，…an2-an-12>2，这n-1个不等式两边相加可得

ana1>2(n-1)，即an>2n-1，又an>0,

故an。

1、5放缩通项，利用各项重新组合求和 例

4、数列an满足a1=1且an+1=(1+

1n+n

)an+

n1). n

2(1)用数学归纳法证明an2(n2)

n1)，(2)已知不等式ln(1+x)0,成立,证明an

(2005年重庆卷)

证明:(1)略.(2)由递推关系式及(1)的结论有an+1=(1+两边取对数，且由ln(1+x)

+lnan

2nn+n21111+n(-)+n 故lnan+1-lnan<

n(n+1)2nn+12

n+n

1n+n

)an+

12

n

(1+

1n+n

+

12

n

)an

，

lnan+1ln(1+

+

n

)+lnan<

+

上式中n分别取1，2，…，n-1求和可得

11111111

lnan-lna1<(1-)()(-)+() 2n-1223n-1n222

(1-)+(1=

n

112

n-1

)<2

n1)即lnan<2，故an

2、写出和式，舍项放缩

2、1裂项相消，各项重新组合，舍项放缩 对于例2，还可以这样证明：bn当n=1时，T1=<2;

31141

n



(21)(21)

n

n



221

(

n



121

n

)

当n2时，∴Tn=(

1

11

221



121



121



121



121

n



121

n

)

=1 (12)(3)(n-1n)n

22121212121212121∵

1

2n-1

111111

1



121

n



242(2

n-1

n

1)(21)

12

n

0，∴Tn

221

(



121

n

)

12

∴对一切正整数n，都有Tn<

n+1n

2、2错位相减，各项重新组合，舍项放缩 例

5、数列an中，a1=2,an+1=2((1)求数列an的通项公式; (2)设bn=

nan

n

)an(nN+)

，求证：bi<

i=

1172

4。

，即ann22n

anann

2是以2为公比的等比数列，可以求得

2nn

n1

(2)证明：bn n

ann2

(1)易知

n



i=1

bi

n

112



122



132



1n2

n

n

12



i=1

bi

n

12

112





322n(



12321342

1)2n

1n(n1)2

1n(n1)2

nn

n+1

∴

2

ni=1

bi

i=1

122124



1n21n2

n+1n+1

)

∴bi1=

1724(

14

(

342



1n(n1)2

n



1n2

)

1724

2、3迭代相加，各项重新组合，舍项放缩 对于例

3、也可以这样证明：由已知得：an2=an-12于是有a22-a12

1a

11an-1

+2,即an-an-11an-11an-

222

22

1an-1

+2

，

+2，a3-a2

22

1a2

+2

，…，an2-an-12

1an-1

+2

，

1a1

这n-1个等式两边相加可得an2a12=2(n-1)+(即an2=2n-1+(

1an-1

+

)，

+

1an-2



1a1

)>2n-1，又an>0,

故an

20、(本题满分16分)

在数列an中，已知a1p0，且，nN (1) 若数列an为等差数列，求p的值。 (2) 求数列an的前n项和Sn

n

当n2时，求证：

i1

2a

i



n1n1

第四篇：证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)精减版

证明数列不等式的常用放缩方法技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：

⑵将分子或分母放大(或缩小) a21a;n(n1)n

n(n1)n(n1)

2 ⑶利用基本不等式，如：lg3lg5(lg3lg52)lglglg4;

201n01⑷二项式放缩:2n(11)nCn,2nCnCnCnCnn1,

22nC0C1C2nn22nn(n1)(n2) nnn2

(5)利用常用结论：

Ⅰ.的放缩

Ⅱ. 1的放缩(1) ：

k2111(程度大) 2k(k1)kk(k1)

11111(程度小) ()k1(k1)(k1)2k1k12Ⅲ. 1 的放缩(2)：122kk

411(程度更小) Ⅳ. 1的放缩(3)：

1222()k4k12k12k1k2

Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0)

aamaam

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.

Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：f(x)x(x0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：1x

f(ab)f(ab)。

一. 先求和再放缩

例1.an

1,前n项和为Sn ，求证：sn1 n(n1)

例2.an() , 前n项和为Sn ，求证：sn

13n1 2

1 / 6

二. 先放缩再求和

(一)放缩后裂项相消

例3.数列n，

(二)放缩后转化为等比数列。 {a}an(1)n11s2nn，其前n项和为sn

，求证：2

2{b}b1,bb(n2)bn3 n1n1n例4. 满足：

bnn

11111Tn...Tn3b13b23b33bn，求证：2 (2) (1) 用数学归纳法证明：

三、裂项放缩

例5.(1)求k1n24k21n的值;(2)求证:15.2k1k

3例6.(1)求证:1112235171(n2)

262(2n1)(2n1)

(2)求证:111111 2416364n24n

(3)求证：2(n11)11112(n11)

2n

例7.求证:6n111512 (n1)(2n1)49n3

例8.已知an4n2n,Tn

2na1a2an,求证:TTTT3. 123n

2四、分式放缩

姐妹不等式:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0)

aamaam

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:(11)(11)(11)(11)n1和

352n

111111也可以表示成为 (1)(1)(1)(1)2462n2n1

2n1和135(2n1)2462n2n12462n135(2n1)

111例10.证明:(11)(1)(1)(1)3n1. 473n

2五、均值不等式放缩

例11.设Sn23n(n1).求证n(n1)S2n(n1)

2.2

例12.已知函数f(x)

求证：f(1)11，a>0,b>0,若4，且f(x)在[0，1]上的最大值为， f(1)bx21a2

512n1f(2)f(n)n1. 2

六、二项式放缩

01n012n(11)nCn,2nCnCnCnCnn1, 22nC0C1C2nn22nn(n1)(n2) nnn

2例13.设n1,nN，求证(2)n38. (n1)(n2)

例14.an23n ,试证明：.n1111≤ 4n2a1a2an

4七、部分放缩(尾式放缩)

例15.求证: 1

1313211

32n11

47例16. 设an1111,a2.求证：an2. ana2a

3八、函数放缩

例17.求证：ln2ln3ln4ln33n5n6(nN*). n23436n

2例18.求证:2,ln2ln3lnn2nn1(n2) 23n2(n1)

例19. 求证:111ln(n1)111 23n12n

九、借助数列递推关系例20. 若a11,an1ann1,求证:1a1 112(n11)a2an

例21.求证:113135135(2n1)2242462462nn2

1十、分类放缩例22.求证:111231n

212n

第五篇：不等式的证明

不等式的证明不等式的证明，基本方法有

比较法：(1)作差比较法

(2)作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等……

高考不是重点，但是难点。

大学数学也会讲到柯西不等式。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

(2)利用基本不等式，如

3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。

每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。