课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案（精选8篇）

篇1：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

学案---------高一年级（上）数学NO.39 课题：函数y=Asin（ωx+φ）的图象教案

学习目标 ：

①掌握φ、ω、Α的变化对函数图象的形状及位置的影响。②进一步研究由φ变换、ω变换、Α变换构成的综合变换。教学重、难点：

重点：将考察参数φ、ω、Α对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.难点：①在观察图象变换中发现规律,并能用自己的语言来表达;②φ变换、ω变换、Α变换的不同顺序对图象的影响。〖 新知探究〗 提出问题

1.如何由函数Y=sinx的图像经过变换得到函数Y=Asin（ω x+φ）的图像？ 2.函数Y=Asin（ω x+φ）的图像与字母A、ω、φ 的关系又是怎样的？ 分析问题

可以将上述问题分解为以下几个步骤来进行：

1.函数Y=Asinx与函数Y=sinx的图像关系如何？A的意义如何？ 2.函数Y=sinωx与函数Y=sinx的图像关系如何？ ω的意义如何？ 3.函数Y=sin（x± φ）与函数Y=sinx的图像关系如何？ φ的意义如何？ 4.函数Y=Asin（ω x+φ）与函数Y=sinx的图像关系如何？ 解决问题

1.观察函数Y=2sinx及Y=1/2sinx的图像与Y=sinx的图像在[0，2π]上的关系。

高一数学组 徐国师

结论1 一般地，函数Y=AsinX（A>0且A≠1)的图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有

学案---------高一年级（上）数学NO.39 的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

2、观察函数Y=sin2X及Y=sin1/2X的图像与Y=sinX的图像在[0，2π]上的关系。

结论2一般地，函数Y=sinωX（A>0且A ≠ 1)图像可以看作是把Y=sinX的图像上所有的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的。

3、观 察 函 数Y=sin（x+π /3）和 函 数 Y=sin（x-π /3）的图像与函数Y=sinx的 图 象 在一个周期内的关系。

结论3一般地，函数Y=sin（x+ φ），（φ ≠0）的图像，可以看作是把Y=sinx的图像上所有的点向左（当φ>0）时或向右(当φ<0)时平行移动|φ|个单位而得到的.〖 测试·反馈 〗

学案---------高一年级（上）数学NO.39 1． 画出下列函数长度为一个周期的闭区间上的简图：

(1)y 1sinx, xR3(2)ysin4x, xR(3)ysin(x2), xR

〖 体会·问题 〗____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

课

堂

小

结：

1.函数Y=Asinx与函数Y=sinx的图像关系如何？A的意义如何？ 2.函数Y=sinωx与函数Y=sinx的图像关系如何？ ω的意义如何？

3.函数Y=sin（ωx± φ）与函数Y=sinx的图像关系如何？ φ的意义如何？

篇2：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

《正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 的图象》教案

1.4.1(第三课时) 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 的图象   邓城 增城中学 教学目的： 1 理解振幅、周期、频率、初相的定义； 2 理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律; 3 会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的简图 ，明确A、ω和 对函数图象的影响作用； 4.培养学生数形结合的能力。 5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。 教学重点：熟练地对y＝sinx进行振幅、周期和相位变换 。 教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。 教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教  具：多媒体、实物投影仪   教学 环节   教学内容 师生互动 设计意图 复习引入   复习正弦函数 的图象和性质 教师提出问题，学生回答 为学生认识正弦型函数奠定基础         概念形成及应用举例 通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。 在函数 中，点P旋转一周所需要的时间 ，叫做点P的转动周期。在1秒内，点P转动的周数 ，叫做转动的频率。 与 轴正方向的夹角 叫做初相。                                           例1画出函数y=2sinx  xR；y= sinx  xR的图象（简图） 解：画简图，我们用“五点法” ∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在［0，2π］上的简图 列表： x  0   p   2p sinx   0 1 0 -1 0   2sinx   0 2 0 -2 0   sinx  0   0 - 0 作图：   利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移 就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝ sinx，x∈R。的简图 (1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) (2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)   一般地，函数 的值域是 最大值是 ，最小值是 ，由此可知， 的大小，反映曲线 波动幅度的大小。因此 也称为振幅。 引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论： 1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍（纵坐标不变） 2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图 ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换 例4  画出函数y＝3sin(2x＋ )，x∈R的简图 解：(五点法)由T＝ ，得T＝π  列表：   x C         2x+ 0   π   2π 3sin(2x+ 0 3 0 C3 0 描点画图：                         左移 个单位 这种曲线也可由图象变换得到：即：   y＝sinx  y＝sin(x＋ )   纵坐标不变 横坐标变为 倍       y＝sin(2x＋ )   纵坐标变为3倍 横坐标不变             一般地，函数y＝Asin(ωx＋ )，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到： 先把正弦曲线上所有的点向左(当 ＞0时)或向右(当 ＜0时)平行移动｜ ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变) 另外，注意一些物理量的概念: A ：称为振幅；T＝ ：称为周期；f＝ ：称为频率； ωx＋ ：称为相位 x＝0时的相位 ，称为初相 评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左( ＞0)或向右( ＜0)平移｜ ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋ )的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0),再沿x轴向左( ＞0)或向右( ＜0)平移 个单位，便得y＝sin(ωx＋ )的图象 课堂练习： 1 若将某函数的图象向右平移 以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋ )，则原来的函数表达式为( ) A y＝sin(x＋ ) B y＝sin(x＋ ) C y＝sin(x－ )  D y＝sin(x＋ )－ 答案：A 2 函数y＝3sin(2x＋ )的`图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 (  ) 答案：B A 向右平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标扩大到原来的3倍 B 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标扩大到原来的3倍 C 向右平移 个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的 倍 D 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标缩小到原来的 倍   3.已知函数y＝Asin(ωx＋ )，在同一周期内，当x＝ 时函数取得最大值2，当x＝ 时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( ) A y＝2sin(3x－ ) B y＝2sin(3x＋ ) C y＝2sin( ＋ ) D y＝2sin( － ) 解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点( ，2)和点( ，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有： 解得   答案：B 由y＝Asin(ωx＋ )的图象求其函数式： 一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角 的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中 小结 平移法过程：       1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。 2.教师提问：通过分析， 对观缆车的旋转有什么影响？ 3.学生回答。 4.教师引导归纳。 函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中 表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 ，称为振动的频率； 称为相位； 时的相位φ称为初相。 5.学生在黑板上利用“五点法”画图。 教师提问：y=2sinx  xR和y= sinx  xR的图象与 的图象间的关系怎样？ 学生回答：(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) (2)y＝ sinx，x∈R的值域是［－ ， ］ 图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变) 教师提问：一般地 y=Asinx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？ 学生回答：y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0/**/

篇3：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象, 是高考的热点之一.本文就与此有关的问题分类如下.

一、画图象

在掌握“五点法”画正弦曲线的基础上, 类比可画出 y=Asin (ωx+φ) 的图象.

例1 画出函数$y=\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\text{π}}{4})+1‚x\in [-\frac{\text{π}}{2}‚\frac{\text{π}}{2}]$的图象.

解:可知该函数的振幅是$\sqrt{2}$, 周期T=π.

又由$-\frac{\text{π}}{2}\le x\le \frac{\text{π}}{2}$,

得$-\frac{5\text{π}}{4}\le 2x-\frac{\text{π}}{4}\le \frac{3\text{π}}{4}.$

参考五点法, 列表如下 (实际应取六个点) :

图象如下

例2 函数$y=\sin (2x-\frac{\text{π}}{3})$在区间$[-\frac{\text{π}}{2}‚\text{π}]$上的简图是 ( )

略解:可参考五点法画出略图 (实际上要取八个点) .

也可用特殊点代入检验.如取$x=0‚x=\frac{\text{π}}{6}$代入, 知应选 (A) .

点评:“五点法”是画正弦曲线、余弦曲线的基本方法.在此基础上, 高考题设计得更为灵活.因此, 我们在解这类题应注意选择恰当的方法.

二、求解析式

题目中给出函数的图象, 求函数的解析式.这是画图象的相反问题.解这类题时, 先识别图象, 可观察出振幅、周期, 直接得到A、ω的值.求φ的值时, 一般可选用特殊点的坐标代入, 再根据其它一些条件来确定φ的取值.

例3 函数 y=sin (ωx+φ) (x∈R, ω>0, 0≤φ<2π) 的部分图角如图3, 则 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})\omega =\frac{\text{π}}{2}‚\phi =\frac{\text{π}}{4}\\ (\text{B})\omega =\frac{\text{π}}{3}‚\phi =\frac{\text{π}}{6}\\ (\text{C})\omega =\frac{\text{π}}{4}‚\phi =\frac{\text{π}}{4}\\ (\text{D})\omega =\frac{\text{π}}{4}‚\phi =\frac{5\text{π}}{4}\end{array}$

解:从图中可知$\frac{{\rm T}}{4}=2$, 则T=8.

又${\rm T}=\frac{2\text{π}}{\omega }$, 得$\omega =\frac{\text{π}}{4}$,

所以$y=\sin (\frac{\text{π}}{4}+\phi ).$

再将点 (1, 1) 代入, 有$\sin (\frac{\text{π}}{4}+\phi )=1.$

又由0≤φ<2π, 知$\frac{\text{π}}{4}\le \frac{\text{π}}{4}+\phi ＜2\text{π}+\frac{\text{π}}{4}‚$

则必有$\frac{\text{π}}{4}+\phi =\frac{\text{π}}{2}$, 得$\phi =\frac{\text{π}}{4}$.选 (C) .

例4 函数$y=A\sin (\omega x+\phi )(\omega ＞0‚|\phi |＜\frac{\text{π}}{2}‚x\in \mathbf{R})$的部分图象如图4所示, 则函数表达式为 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})y=-2\sin (\frac{\text{π}}{8}x+\frac{\text{π}}{4})\\ (\text{B})y=2\sin (\frac{\text{π}}{8}x-\frac{\text{π}}{4})\\ (\text{C})y=-2\sin (\frac{\text{π}}{8}x-\frac{\text{π}}{4})\\ (\text{D})y=2\sin (\frac{\text{π}}{8}x+\frac{\text{π}}{4})\end{array}$

解:易见$|A|=2‚\frac{{\rm T}}{2}=\frac{\text{π}}{\omega }=6-(-2)=8$, 则$\omega =\frac{\text{π}}{8}.$

若A=2, 则$y=2\sin (\frac{\text{π}}{8}x+\phi ).$

将点 (-2, 0) 代入, 有$2\sin (-\frac{\text{π}}{4}+\phi )=0$, 则

$-\frac{\text{π}}{4}+\phi =k\text{π}(k\in \mathbf{{\rm Z}}).$

又$|\phi |＜\frac{\text{π}}{2}$, 所以只能取 k=0, 得$\phi =\frac{\text{π}}{4}.$

此时$y=2\sin (\frac{\text{π}}{8}x+\frac{\text{π}}{4})$.再将点 (2, -2) 代入检验, 有

$2\sin (\frac{\text{π}}{4}+\frac{\text{π}}{4})=-2$,

即$\sin \frac{\text{π}}{2}=-1$, 矛盾.故A≠2.

又若A=-2, 则$y=-2\sin (\frac{\text{π}}{8}x+\phi )$.将点 (-2, 0) 代入, 同上可得$\phi =\frac{\text{π}}{4}.$

则$y=-2\sin (\frac{\text{π}}{8}x+\frac{\text{π}}{4}).$

将点 (2, -2) 、 (6, 0) 代入, 均符合.故选 (A) .

点评:本例中容易出现两种错误, 一是由图象想当然得A=2, 而漏掉A=-2;二是仅用图象上的一个点的坐标来确定φ的值, 而忽略了应检验图象上其它特征点的坐标是否满足所得到的函数解析式.

三、图象的变换

将 y=sinx 的图象经过平移和伸缩变换, 可以得到 y=Asin (ωx+φ) 的图象 (参见课本数学必修4的52页) .这里对于先平移后伸缩, 还是先伸缩后平移, 常常搞错系数的变化.实际上, 只要注意到我们所做的变换, 都是对 x 而言, 与 x 前面系数的大小、正负均无关, 就不会出错了.

例5 为了得到函数$y=2\sin (\frac{x}{3}+\frac{\text{π}}{6})‚x\in \mathbf{R}$的图象, 只需把函数 y=2sinx, x∈R的图象上所有的点 ( )

(A) 向左平移$\frac{\text{π}}{6}$个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍

(B) 向右平移$\frac{\text{π}}{6}$个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$倍

(C) 向左平移$\frac{\text{π}}{6}$个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍

(D) 向右平移$\frac{\text{π}}{6}$个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍

解:注意到我们进行的各种变换, 都是对 x 而实施的.由口诀“左加右减”及“x、y 的系数与伸缩成反比”, 那么应将 y=2sinx 的图象先左移$\frac{\text{π}}{6}$, 再将所得图象的横坐标变为原来的3倍.故选 (C) .

例6 将函数 y=sinωx (ω>0) 的图象向左平移$\frac{\text{π}}{6}$, 所得图象如图5所示.则平移后的图象所对应函数的解析式是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})y=\sin (x+\frac{\text{π}}{6})\\ (\text{B})y=\sin (x-\frac{\text{π}}{6})\\ (\text{C})y=\sin (2x+\frac{\text{π}}{3})\\ (\text{D})y=\sin (2x-\frac{\text{π}}{3})\end{array}$

解:将函数 y=sinωx 的图象向左平移$\frac{\text{π}}{6}$后, 所得解析式是$y=\sin \omega (x+\frac{\text{π}}{6})$.观察图象, 再将点$(\frac{7\text{π}}{12}‚-1)$代入, 有

$\sin \omega (\frac{7\text{π}}{12}+\frac{\text{π}}{6})=1$,

得$\omega (\frac{7\text{π}}{12}+\frac{\text{π}}{6})=\frac{3\text{π}}{2}$, 所以ω=2.

选 (C) .

另解:本例是选择题, 也可以由图象特征来求ω.可见$\frac{{\rm T}}{2}＜\frac{7\text{π}}{12}$, 即$\frac{2\text{π}}{2\omega }＜\frac{7\text{π}}{12}$, 得$\omega ＞\frac{12}{7}$.对照选择支, 只能是ω=2.选 (C) .

四、图象的应用

有关较复杂的函数性质问题, 如果能画出它的图象, 那么问题就变得直观而容易解决了.

例7 已知函数$f(x)=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{1}{2}|\sin x-\cos x|$, 则 f (x) 的值域是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})[-1‚1](\text{B})[-\frac{\sqrt{2}}{2}‚1]\\ (\text{C})[-1‚\frac{\sqrt{2}}{2}](\text{D})[-1‚-\frac{\sqrt{2}}{2}]\end{array}$

解:当 sinx≥cosx 时, f (x) =cosx;当 sinx<cosx 时, f (x) =sinx.故

$f(x)=\{\begin{array}{l}\text{c}\text{o}\text{s}x(\text{s}\text{i}\text{n}x\ge \text{c}\text{o}\text{s}x)‚\\ \text{s}\text{i}\text{n}x(\text{s}\text{i}\text{n}x＜\text{c}\text{o}\text{s}x).\end{array}$

在同一坐标平面内, 分别画出 y=sinx 与 y=cosx 的图象, 再取它们两个中较低的部分, 就是 f (x) 的图象 (如图6中的实线部分) .可见值域是$[-1‚\frac{\sqrt{2}}{2}]$, 选 (C) .

例8 设函数$f(x)=\sin (2\omega x+\frac{\text{π}}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}+a$ (其中ω>0, a∈R) , 且使 f (x) 取得最大值的 x 的最小值是$\frac{\text{π}}{6}.$

(1) 求ω的值;

(2) 如果 f (x) 在区间$[-\frac{\text{π}}{3}‚\frac{5\text{π}}{6}]$上的最小值是$\sqrt{3}$, 求 a 的值.

解: (1) 由题设可知, f (x) 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\frac{\text{π}}{6}$, 因此有$2\omega \cdot \frac{\text{π}}{6}+\frac{\text{π}}{3}=\frac{\text{π}}{2}$, 得$\omega =\frac{1}{2}.$

(2) 可知$f(x)=\sin (x+\frac{\text{π}}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}+a.$

由$-\frac{\text{π}}{3}\le x\le \frac{5\text{π}}{6}\Rightarrow 0\le x+\frac{\text{π}}{3}\le \frac{7\text{π}}{6}\Rightarrow -\frac{1}{2}\le \sin (x+\frac{\text{π}}{3})\le 1.$

因此 f (x) 在区间$[-\frac{\text{π}}{3}‚\frac{5\text{π}}{6}]$上的最小值是$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+a=\sqrt{3}$.从而求得$a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$

篇4：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

高境界的数学教学应基于思维发展，包括重视数学知识的内在联系，凸现核心知识的价值，数学规律的形成和思维逐步深入的过程，数学思想方法的提炼以及数学理性精神的体验等方面。而优质的数学思维又集中表现在如何有效地提出问题与解决问题的过程中，因而我们的数学活动可以以问题为研究的起点，以问题为研究的主线，并以问题的解决作为最终的教学目标。具体到这节课上，王荣鑫老师采用了“问题引领，自主建构”的教学方式，合理优化了问题的情境，有效凸显了问题的作用，并让学生在对问题的探究体验中，掌握科学的研究方法，提升了数学的思维品质，这种带有研究意味的教学方法与思路给我们的数学教学带来了启发。

【执教者简介】

王荣鑫，江苏省邗江中学数学教师，扬州市中青年教学骨干，曾获江苏省高中青年数学教师优秀课评比二等奖、扬州市优质课评比一等奖、扬州市基本功大赛一等奖、扬州市骨干教师展示一等奖等荣誉，有多篇论文在学术期刊上发表。

【课例呈现】

一、呈现背景、创设情境

（课前投影展示欢乐世界摩天轮动态画面）

师：同学们，请看大屏幕，摩天轮上的每一点随着时间的推移在周而复始地运动，从中我们可以抽象出如下数学模型。

（PPT动画演示点P绕圆心做匀速圆周运动）

师：大家回忆一下，我们如何将单位圆上的任意一点P的位置表示出来？

生：通常是建立直角坐标系，用坐标来表示点P位置。

师：我们建立如图所示的平面直角坐标系，圆O的半径为A，P0为圆O上的一点，以射线OP0为终边的角为φ，P点从P0出发沿圆O逆时针运动，P点每秒转过的弧度为ω，求x秒后，P点的纵坐标y。

（学生经过计算，得到结果）

生：y=Asin（ωx+φ）。

二、启发引导、提出问题

师：函数y=Asin（ωx+φ）刻画了P点的运动规律，今天我们一起研究这个新函数的图象。你觉得这个函数与学过的哪个函数有联系呢？

生：y=sinx。

师：你为什么觉得这两个函数有联系呢？

生：这两个函数都是刻画周期运动的函数，另外，我觉得这两个函数的解析式很像，都有正弦符号，我猜他们之间应该有联系吧。

师：我们今天就来研究函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象与y=sinx图象的关系。

问题1：函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象与y=sinx的图象是什么关系？

三、自主建构，解决问题

生：我们已经学习过正弦曲线y=sinx的图象，可以作出y=Asin（ωx+φ）的图象，然后寻找图象之间的关系。

师：你打算如何作出y=Asin（ωx+φ）的图象？

生：用五点作图法。

师：观察这两个函数的解析式，思考它与正弦曲线的关系，你还能有别的想法吗？

生：可由y=sinx的图象经过图象变换得到。

师：为什么这么想？

生：当A=1、ω=1、φ=0时，y=Asin（ωx+φ）就是y=sinx，y=sinx是y=Asin（ωx+φ）的一个特例，我想是不是能由y=sinx图象变换得到y=Asin（ωx+φ）的图象。

师：在由y=sinx图象变换得到y=Asin（ωx+φ）图象的过程中，哪几个参数对函数图象有影响？

生：A、ω、φ。

师：如何研究A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）图象的影响？

（学生独立思考）

生：先固定其中的两个，研究另外一个参数对图象的影响。

师：具体的研究的计划呢？可以继续思考一下，如何“固定”？

（独立思考）

生：我们可以让A=1、ω=1、φ=0中的两个成立，研究另外一个参数对图象的影响。

师：下面分别研究y=sin（x+φ）、y=Asinx、y=sinωx与y=sinx图象的关系。你能设计一个方案，探究参数对图象的影响？大家可以进行小组讨论。

（分组讨论，交流成果）

生：我们可以举几个具体的例子，让A、ω、φ取特殊的值，看看他们分别与y=sinx图象的关系，找找有什么规律。

师：对，我们可以从具体的例子入手，探求一般性的规律，这体现了从特殊到一般的思想。

问题2：函数y=sin（x+φ）的图象与y=sinx图象是什么关系？

（学生自由选取φ为不同特殊值，在坐标纸上作图，然后独立探寻图象之间的关系）

（实物投影学生画图，学生叙述研究结论）

生：取φ=1，通过作图发现y=sin（x+1）可以看成由y=sinx图象向左平移1个单位得到。

师：图象向左的意思是什么？

生：图象是由点构成的，y=sin（x+1）可以看成由y=sinx图象上每一点向左平移1个单位得到。

师：你能得到一般性的结论吗？

生：y=sin（x+φ）的图象可以看成y=sinx图象上所有点纵坐标不变，向左/右平移了φ个单位而得到。

（几何画板动态演示，φ可以取任意值）

师：经几何画板检验，结论确具一般性。

问题3：函数y=Asinx（A>0且A≠1）的图象与y=sinx图象是什么关系？

（学生任选A为不同特殊值，在坐标纸上作图，然后独立探寻图象之间的关系，归纳得到一般性结论，然后在小组内讨论，学生用几何画板进行验证，最终达成共识）

生：由y=sinx图象变换为y=Asinx（A>0且A≠1）的图象，就是将y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍即可。

师：大家从特殊到一般，归纳猜想出y=Asinx、y=sin（x+φ）与y=sinx图象的关系。我们还可以用什么方法来研究？

生：还可用刚学过的必修一函数部分图象变换的知识解决。我们研究过y=2x与y=x图象之间的关系，y=（x+1）2与y=x2图象之间的关系，第一个是函数图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，第二个是图象向左平移1个单位。这与我们刚才得到的结论是完全一致的。

师：对，刚才我们使用两种方案研究y=sin（x+φ）、y=Asinx与y=sinx图象的关系，第一种方法是从特殊函数的变换中归纳出一般性结论，第二种方法是类比之前所学的函数图象变换的方法得到的结论。通过几何画板的演示，我们也验证了同学们所得的结论是合理的。

师：那么，以上的几种函数图象变换过程中有什么不变的性质？

（教师用几何画板辅助演示）

生：函数的周期性。

问题4：函数y=sinωx（ω>0且ω≠1）的图象与y=sinx图象的关系又是什么呢？

师：我们当然可以用刚才特殊到一般的方法加以解决。你能不能应用所学y=Asinx与y=sinx图象关系的知识，类比出y=sinωx与y=sinx的关系呢？

（分组讨论，交流展示）

生：将y=Asinx的表达式改写为y=sinx，并令y=Y，可得Y=sinx，Y=AY，就是说，y=Asinx的图象是将y=sinx图象上点的纵坐标乘以A得到（横坐标不变）。因此，从y=sinx变换为y=Asinx，是将y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍。

生：对于y=sinωx，令X=ωx，可得y=sinX，x=，就是说，y=Asinx（A>0且A≠1）的图象就是将y=sinX的图象的横坐标乘以得到（纵坐标不变）。

师：对，我们还可以进一步从点的变换角度来严谨的推理出这个结论。

师：设函数y=sinx图象上有一点P（x0，y0），则y0=sinx0，变换以后为P'（，y0），显然P'在y=sinωx上，同理反之也成立，因此，y=sinx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的就得到了y=sinωx的图象。

师：这说明y=Asinx（A>0且A≠1）、y=sinωx（ω>0且ω≠1）两个函数的图象，就是分别将y=sinx图象在纵向、横向两个方向进行的伸缩变换。其本质就是y=sinx图象上点的变化，一个是横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，后一个是纵坐标不变，横坐标变为原来的。

师：总结在以上研究A、ω、φ对图象影响的过程中，函数有什么性质是不变的呢？

生：函数的周期在变化，但仍然是周期函数。

四、操练拓展、反馈纠正

师：刚才我们共同研究了y=Asin（ωx+φ）图象中A、ω、φ对图象的影响，下面大家尝试独立解决下列问题。

问题5：为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需将函数y=sin2x）图象上所有的点向左平移多少个单位长度？

生：向左平移1个单位长度。

师：有同学有不同的看法的，请阐述自己的看法。

生：应该是向左平移个单位长度。

师：为什么不是1？

生：因为图象的变换本质是点的变换，这里左右平移，是点的横坐标在变化，所以应该是看x变化了多少。

师：你能给出一般性的结论吗？

生：一般地，函数y=sin（ωx+φ）（ω>0，ω≠0）的图象是将函数y=sin（ωx）的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移个单位长度而得到。

师：经过研究我们都清楚了，由y=sinx变换到函数y=Asin（ωx+φ）的图象，是由A、ω、φ决定的，从这个角度去思考，由y=sinx变换而得y=Asin（ωx+φ）的图象，路径共有几条？

生：六条。

师：很好，大家课后可以思考一下这几种路径是否可行？并总结出比较容易出问题的地方，下节课我们接着进行研究。

五、归纳反思、总结提高

问题6：通过本节课的学习，你有哪些感受与同学们分享？

（学生归纳总结，教师点评）

师：在研究y=Asin（ωx+φ）图象与y=sinx图象关系的过程中，我们知道了从特殊到一般的数学思想，知道了如何通过观察、猜想、验证的方法来研究新问题，进一步了解如何将一个复杂的问题进行分解、转化，然后用已有的知识去加以解决。

（王荣鑫，江苏省邗江中学，225009）

篇5：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

教学目的：1.会用“五点法”画y=asin(ωx+ )的图象;2.会用图象变换的方法画y=asin(ωx+ )的图象;3.会求一些函数的振幅、周期、最值等.教学重点：1.“五点法”画y=asin(ωx+ )的图象;2.图象变换过程的理解;教学难点：多种变换的顺序及三角函数性质的综合应用.教学过程：一、复习引入：1.振幅变换:y=asinx，xîr(a>0且a¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变).若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。ω决定了函数的周期.3. 相位变换: 函数y=sin(x+ )，x∈r(其中 ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 >0时)或向右(当 <0时=平行移动| |个单位长度而得到. (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)二、例题： 1.如图b是函数y=asin(ωx+φ)+2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )a.a=3，t= ，φ=- b.a=1，t= ，φ=- c.a=1，t= ，φ=- d.a=1，t= ，φ=- 2.如图c是函数y=asin(ωx+φ)的图象的一段，它的解析式为( )图ca. b. c. d. 3.函数y=asin(ωx+φ)(a>0，ω>0)在同一周期内，当x= 时，有ymax=2，当x=0时，有ymin=-2，则函数表达式是 .图d4.如图d是f(x)=asin(ωx+φ)，a>0，|φ|< 的一段图象，则函数f(x)的表达式为 . 图e5.如图e，是f(x)=asin(ωx+φ)，a>0，|φ|< 的一段图象，则f(x)的表达式为 .6.如图f所示的曲线是y=asin(ωx+φ)(a>0，ω>0)的图象的一部分，求这个函数的解析式.图f7.函数y=asin(ωx+φ)+k(a>0，ω>0)在同一周期内，当x= 时，y有最大值为 ，当x= 时，y有最小值- ，求此函数的解析式.8.已知f(x)=sin(x+θ)+ cos(x-θ)为偶函数，求θ的值.9.由图g所示函数图象，求y=asin(ωx+φ)(|φ|<π)的表达式.图g图h10.函数y=asin(ωx+φ)(|φ|<π)的图象如图h，求函数的表达式.三、作业：《优化设计》p44 强化训练 p46 强化训练. 3~5,8

篇6：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

教学目的：三角函数图象和性质的综合应用 教学重点、难点：三角函数图象和性质的综合应用.一、例题：   例1 θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求θ的值.例2 已知 ，试确定函数的奇偶性、单调性.例3 (1)若函数f(x)(x∈r)的图象关于直线x=a与x=b(b>0)都对称，求证f(x)是周期函数，     且2(b-a)是它的一个周期；(2)若函数y=f(x)(x∈r)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)（常数a∈r+）,则f(x)是周期函数，且6a是它的一个周期.例4已知函数y＝2sinxcosx＋sinx－cosx(0≤x≤π).（1）    求y的最大值、最小值；例5.若函数f(x)=asin(x- )+b满足f( )+f( )=7且f(π)-f(0)=2 求:      ⑴f(x)的解析式；⑵ f(x)的单调区间； ⑶ f(x)的最小值；⑷ 使f(x)=4的x的集合；

例6 已知  ,求的单调递增区间. 二、作业  《精析精练》p52 智能达标训练  1— 21.

篇7：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

1· 教材的地位和作用

在学习这节课以前，我们已经学习了振幅变换。本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。 y=asin(ωx+φ)图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识。同时为相关学科的学习打下扎实的基础。

⒉教材的重点和难点

重点是对周期变换、相位变换规律的理解和应用。

难点是对周期变换、相位变换先后顺序的调整，对图象变换的影响。

⒊教材内容的安排和处理

函数y=asin(ωx+φ)图象这部分内容计划用3课时，本节是第2课时，主要学习周期变换和相位变换，以及两种变换的综合应用。

二、目的分析

⒈知识目标

掌握相位变换、周期变换的变换规律。

⒉能力目标

培养学生的观察能力、动手能力、归纳能力、分析问题解决问题能力。

⒊德育目标

在教学中努力培养学生的“由简单到复杂、由特殊到一般”的辩证思想，培养学生的探究能力和协作学习的能力。

⒋情感目标

通过学数学，用数学，进而培养学生对数学的兴趣。

三、教具使用

①本课安排在电脑室教学，每个学生都拥有一台计算机，所有的计算机由一套多媒体演示控制系统连接，以实现师生、生生的相互沟通。

②课前应先把本课所需要的几何画板课件通过多媒体演示系统发送到每一台学生电脑。

四、教法、学法分析

本节课以“探究——归纳——应用”为主线，通过设置问题情境，引导学生自主探究，总结规律，并能应用规律分析问题、解决问题。

以学生的自主探究为主要方式，把计算机使用的主动权交给学生，让学生主动去学习新知、探究未知，在活动中学习数学、掌握数学，并能数学地提出问题、解决问题。 五、教学过程

五、教学过程设计

【预备知识】

(一)问题探究

(1)师生合作探究周期变换

(2)学生自主探究相位变换

(二)归纳概括

(三)实践应用

【教学程序】

【设计说明】

1我们已经学习了几种图象变换?

2这些变换的规律是什么?

帮助学生巩固、理解和归纳基础知识，为后面的学习作铺垫。促使学生学会对知识的归纳梳理。

【问题探究】

(一)师生合作探究周期变换

(1)自己动手，在几何画板中分别观察①y=sinx→y=sin2x;②y=sinx→y=sin x图象的变换过程，指出变换过程中图象上每一个点的坐标发生了什么变化。

(2) 在上述变换过程中，横坐标的`伸长和缩短与ω之间存在怎样的关系?

(二)学生自主探究相位变换

篇8：课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案

在本节课的教学中,学习工具的使用点有展示现实情境,画出函数图象,对参数Α,ω,φ赋值并进行动态跟踪,对函数图象、函数解析式进行动态关联,拓展应用范围,为学生提供更大的创新思维空间。学习工具的应用化解了函数的高度抽象性带来的学习困惑,使教学内容可视化、动态化、可操作,增强了学生学习活动的探索性。

●使用背景

我校学生的整体水平在北京市朝阳区处于中等水平,学生数学基础比较薄弱,基本数学素养相对较低,但学生思维比较活跃,学习积极性较高。在本节课之前学生已经学习了正弦函数y=sinx的图象、性质及五点法画简图,并且有了一定的识图能力。但是学生对我ω、φ两个参数对图象带来的影响在理解上有一定的难度。因此我利用了这一学习工具,旨在让学生通过动手实践,在操作过程中更好地观察和发现对应变化点的坐标之间的联系,从而真正理解变换的实质。

●设计思路及内容结构

为学生提供一人一台TI图形计算器的学习环境,要求学生利用信息技术快捷地作图象。学生通过调节参数赋值、拖动等自主操作,观察相应图象的变化,调动多种感官,动静结合、手脑并用地直观感知参数Α,ω,φ(ω>0,A>0)的变化对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响。

本课的教学过程分为五个环节完成,本文着重介绍学习工具利用率较高的前三个环节。

1.创设情境,引入新课

打开学习工具,我首先展示了如图1的一个弹簧振动模拟实验图。随后出示图2,它是交流电的电流y随时间x变化的图象。

我们看到不同的例子中函数的图象有所不同,那么是什么原因使得函数的图象不同呢?我们应该如何探究参数Α,ω,φ(ω>0,A>0)对函数y=Asi n(ωx+φ)图象的影响呢?对于较多因素影响的问题我引导学生采用先“各个击破”再“归纳整合”的策略,化繁为简,化难为易。

2.自主实践,探究新知

我利用学习工具开展了数学实验,即探索参数Α,ω,φ对函数y=As i n(ωx+φ)的图象的影响。

师生共同归纳总结,我综合所有结果形成如下结论:一般地,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是将函数y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的。

3.归纳结论,整合应用

然后让学生对不同顺序的变换方案用文字语言叙述图象的变化过程,这个过程会让学生暴露问题,尤其是在先变化ω,再变化φ的方案中,学生会在变化量上出问题,用TI图形计算器验证。通过以上探究,将函数y=sin x到y=Asin(ωx+φ)的图象变换推广到一般的情形,我板书归纳结论(如图8)。

师生共同归纳总结,我综合所有结果形成如下结论:可利用图象变换作图法1(先平移后伸缩)及图象变换作图法2(先伸缩后平移)作图。

●评价与反思

在课堂教学中,学生能利用TI图形计算器快捷地作出函数图象,化解了手工作图带来的费时且不准确的困难。借助信息技术让参数“动起来”,实现了“参数变化对函数图象影响”的可视化,弥补了传统教学在直观感、立体感、动态感方面的不足,很容易化解了教学难点,让学生更系统直观地感受到各种参数对函数图象的影响。信息技术的运用激发了学生的学习兴趣,实现了高效课堂。

在教学中,教师应该给学生足够的时间和空间,让学生在自主学习与合作探究中主动建构新知识。

●幕前幕后

NOC活动,是面向广大师生开展的,运用信息技术,培养创新思维、提升实践能力、增强知识产权意识的一项活动。这对中小学普及信息技术教育,全面推进素质教育,实现高效课堂具有积极的意义。在此特别感谢组委会给我们教师提供了这样的展示、观摩和交流的平台,更感谢各位专家和评委的点评。回顾参赛前后,从一开始通知参加NOC活动全国决赛,对作品的酝酿,再到专家点评后获得的启发和这一年来的教学实践,让我真正地体会到数字化学习工具的作用在于能构建积极互动的教育新模式。学生在动手实践、合作学习、自主学习和探究活动中,借助工具实现内容的可视化、动态化、可操作,增强学习活动的探索性,发挥学生思维的创造性,促进他们对重难点知识的理解,实现了有效教学。

点评

吕老师的《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》的教学运用了TI图形计算器,学习工具介入的数学课程使得教学方式发生了巨大的变化,正如课程标准指出的“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响”。在教学中,如何将信息技术与数学课程内容有机整合是数学整合课程需要研究的重要课题,无论整合的形式如何变化,整合的原则都应该是有利于学生对数学本质的认识,本节课在信息技术与数学课程内容的整合方面有如下特点:

第一,整合应利用技术来呈现以往课堂教学中难以快速呈现的课程内容。在本节课中,如果没有学习工具,一个学生只能徒手画几个函数图象,而使用学习工具则可以根据实际探索的需要画几个、十几个甚至几十个函数的图象。在学习工具的支持下师生可以从繁琐和重复的画图中解脱出来,集中精力对众多图象进行观察、分析,从诸图象的变化中归纳出隐藏的内在联系,把握变换的本质规律。

第二,学习工具的介入使得学生的探索更适于个性化认知,在探究函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx的图象间的变换关系时,不同的学生可以利用手中的TI图形计算器按照自己的想法A,ω,φ赋不同的值。例如,某学生对ω对函数图象的影响理解不到位,则他(她)可以在教师要求的基础上对ω再赋不同的值进行观察分析,显然这样的探究活动更有利于学生对知识的理解与落实。

第三,学习工具介入数学课堂不仅是一种新的学习方式,更体现了新的教学理念。从社会发展的角度看,学生在学校所学的知识只是学生未来一生中所需知识的一小部分,因此基础教育不仅要教会学生知识,更要使学生学会学习,特别是在信息社会中要学会使用学习工具来学习,学生在学习工具支持下的数学探究学习,就是以学生发展为目标的数学探究学习,这样的学习方式会使学生受益终身,实现可持续发展。

鉴于此,我给予以下三个建议:(1)本节课教师已经对A,ω,φ赋值的顺序做出安排,但对某些能力较强的学生,其实不必强求。(2)TI图形计算器具有局域网的联网功能,教师如果恰当使用这一功能,会更容易把握教学过程的预设与生成,教师可以利用网络把每位学生的探究过程微缩图都实时地呈现在大屏幕上,并可据此把握全体学生的正确率、进度等。另外对学生学习中的典型问题,教师可以根据需求及时进行进一步的启发或根据情况调整预设,总之在TI图形计算器与局域网的学习环境中,学习进程中的预设与生成的矛盾都呈现可视化的特点,这使得教师更容易把握解决矛盾的方法,提高教学效率。