二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质（共10篇）

篇1：二次函数的图象与性质

2yaxc的图象与性质的教学反思 二次函数

增城二中赖灶兰

这节课是人教版九年级数学下册的一节探究课。在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是前置性作业，前

2yax置作业是前一天发给学生的，主要涉及如何作图、复习二次函数性质等问

题。我的设计目的是让学生在复习这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质。应该说这样设计既让初三同学复习了旧知又使他们体会到如何研究函数，从哪些方面研究函数，从思维层面锻炼了学生的探究能力。第二部分是学习探究，2yaxc的性质以及和二次函数yax只要是图象让学生感受2的联系与

区别。第三部分是通过练习和我的展示让学生锻炼了自我学习的能力和出题的能力。我的优点主要包括：

1、教态自然，能注重身体语言的作用，提问具有启发性。

2、教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。

3、能运用现代化的教学手段教学，尤其是能用几何画板等软件突破重难点

4、二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体的动态展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。我的不足之处表现在：

1、目标定位不好，本节课通过画图，由图象观察总结出对称轴、顶点坐标、开口方向等。

2、课堂上讲的太多。有些过程，让学生自主观察总结是完全能收到好的效果的，但是我都替学生总结了，学生还是被动的接受。其实这还是思想的问题，说明我没有真的放开手。真正让学生有了空间，他们也会给我们很大的惊喜。

3、有些内容偏离教学大纲，导致差生吃不好，优生吃不饱。课堂上有个别同学的学习态度不尽人意。

4、备课不够细心，“图象”两个字变成“图像”。

5、课堂应急处理不够老练，同学提出的问题没有及时解答

但在教学中，我自认为热情不够，没有积极调动学生学习热情的语言，感染力不足。今后备课时要重视创设丰富而风趣的语言，来调动学生的积极性。总之，在数学教学中不但要善于设疑置难，而且要理论联系实际，只有这样才会吸引学生对数学学科的热爱。

篇2：二次函数的图象与性质

——香江中学黄布发老师

一、教学设计反思

1、教学目标有偏差，本节重点在描点法掌握函数，我自己把重点放在应用上

2、抬高了本节课的高度，要依据学生的基础而进行相关的教学设计

二、教学过程反思

1、在布置前置作业，学生挺配合，都把自己的想法写出来，为上课提供较好的平台

2、学生在展示的同时，鼓励学生多说，台下同学多观察，对比，这点有待提高

3、在习题巩固中，要多给时间思考和小组合作

三、存在问题反思

1、时间分配上，要把握好度

2、在进度分配上，要把握重难点突破

3、在师生关系中，要平等，和谐

四、改进措施反思

1、多听课，多与备课组集体备课

2、充分了解学情，让自己的课堂教学提高一个台阶

篇3：二次函数的图象与性质

一、二次函数的图象与性质的学习, 学生经常会出现方向判断错误问题

二次函数是初中数学教材的重点教学内容, 也是中考出题的考点之一, 它综合考查了学生的实践操作能力和空间想象能力。但是, 学生在学习这一板块的内容时, 经常会出现方向判断错误的问题。

《义务教育初级中学课本 (试用) 第五册A数学》通过画几个二次项系数相同的二次函数图象, 如:y=2x2, y=2 (x+1) 2和y=2 (x+1) 2+3的图象, 归纳总结y=a (x+m) 2+k的图象可以由函数y=ax2平移得出平移法则:“一般地, 函数y=a (x+m) 2+k的图象可以由函数y=ax2的两次平移得到, 当m>0时, 向左平移m个单位, 当m<0时向右平移|m|个单位;当k>0时, 再向上平移k个单位, 当k<0时, 向下平移|k|个单位。”

由于这条法则环节比较多, 学生很容易忘掉, 而且提醒过后, 再次用时, 还是会出错, 平移法则加上“正左负右, 正上负下”的口诀依然不能解决根本的问题, 原因在于法则与“正向上, 负向下”的内容有别, 还与x轴y轴移动法则不同, 若是单凭对法则的机械记忆, 而不能够通过有效的办法让数和形结合起来, 很难得出正确的结论。

二、运用数形结合的数学思想来解决二次函数的问题行之有效

笔者在讲授这一板块时, 也遇到了很多的问题, 在实践中也想了很多种办法。笔者觉得运用数形结合的方式来研究方程与二次函数图象的关系更易理解。即在教学时先令x+m=0, 得x=-m;当x=-m时, y=k.即顶点 (0, 0) 到 (-m, k) 的移动, 从而在直角坐标平面内获得图象的移动, 这种方法简称为“方程-图象相结合”法。

经过笔者多次的实践经验总结, 方程和图象相结合的方法比常规的移动图象的法则更易掌握。因为用方程与图象相结合的思想是同化, 易于理解和掌握。学生们都对一元一次方程的知识很熟悉, 且掌握得非常好, 在讲一元一次方程时, 也可以用到数形结合的思想, 运用顶点坐标的知识, 让学生运用方程与图形相结合的平移图形与方程和顶点知识发生联系, 温故而之新, 让学生运用旧的知识与新的知识相互作用就能直接纳入到原有的数学认知结构中去, 这样学生由学会的知识过渡到新学的知识, 自然会感觉到易于接受。而教材中的平移法则只是注重了记忆的东西, 让学生先熟记法则, 再加以运用, 增加了难度, 增大了出错的机会, 且与坐标平移的方法不统一, 极易出错。笔者认为学生单纯地记法而忽略法则本身是从具体的函数图象中平移总结出来的, 这就给学生的学习造成了障碍。

笔者认为用数形结合的思想学习图象的平移是回归本质, 再加上我们找的又是关键点的平移, “点”在图象上也是图形之一, 关键点的移动情况就可以代表整个图形的移动走向, 这样可以减少法则的记忆, 降低出错的机率。我们以点带面地来分析二次函数, 就简化了整个图象向左向右、向上向下移动的情形, 因为每做一道题把整个图形都画出来是不符实际又浪费时间的。

三、在教授二次函数时需注意的方面

很明显, 按照二次函数画出整个图形来做判断是不可行的, 过于麻烦, 而运用数形平移知识简化教学程序, 运用解方程的方法求出顶点坐标, 再以顶点的动态来确定整个图形动态的方法简单易理解, 易操作。学生比较喜欢且容易找到做题的突破口, 因其是之前学习并熟练掌握的内容。运用方程求出顶点坐标, 可以不涉及图象平移的法则, 这样会减少出错, 在今后的数学教学过程中, 教师也可以不用再补充这段法则, 完全按着简化的思想来解题就可以了。

综上所述, 我们可以看出, 二次函数与图象是动态的问题, 它对学生的综合能力要求非常高, 解题的方法也多种多样, 其中所含的数学方法有数形结合思想、函数思想、分类讨论思想、数学建模思想等等。这一类题型是考查学生图形变换、动静结合、有条理地分析和解决问题的能力, 可以提高学生的观察能力、空间构建能力、总结归纳能力、验证推理能力等, 让学生动静互转, 化繁为简, 还要善于抓住运动过程中的某一特殊位置的等量关系及变量关系, 探究一下试题内在考查的知识点, 对于学生的数学能力提升非常有帮助。笔者认为解答二次函数的问题一定要做到静中取动, 或在动中求静, 在静中求解, 抓住解题关键点。

参考文献

[1]马复.义务教育课程标准试验教科书数学七年级上册[M].第3版.北京:北京师范大学出版社, 2003.

篇4：二次函数的图象与性质

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）07A-

0071-02

一、教材分析

本节课“二次函数的图象与性质”内容，主要是能够利用描点法准确画出二次函数的图象，确定二次函数的性质特征。在利用描点法画二次函数图象时，其具体步骤是：确定自变量取值范围，分析x、y的变化规律，估量函数图象的位置和趋势，通过“列表—描点—连线”这一系列步骤画出函数图象，并由此得出画函数图象的规律所在。

二、教学目标

教学目标：1.学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，掌握抛物线相关概念知识；2.学生通过对二次函数y=ax2图象的分析，确定其性质特征，对学生的自主学习能力和探究思维的培养起到较大的促进作用。

教学重点：学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，掌握抛物线相关概念知识。

教学难点：学生能够使用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能够通过对二次函数y=ax2图象的分析，确定其性质特征。

三、学情分析

九年级学生学习积极性比较高，学习能力也不差，他们在学习数学知识的过程中，善于使用直观思维，并能够对直观图象进行抽象概括，其认知水平已处于一个上升趋势。在学习本节课之前，学生已熟练掌握一次函数的相关知识和函数图象的描点法，同时也基本掌握了二次函数的相关概念，做好了学习二次函数的前期知识积累，为顺利学好“二次函数y=ax2的图象与性质”提供了保障。

四、教学过程

（一）旧知引入

师：一次函数的相关知识，同学们还记得吗？

生：记得。

师：那什么是一次函数？

生1：形如y=ax+b的函数，其中a、b为常数，且a≠0。

师：回答正确。谁能够使用我们学过的描点法把一次函数的图象画出来呢？（请一个学生说出描点法的步骤，并上台将一次函数的图象画在黑板上）

生2：描点法有列表—描点—连线这三个步骤，首先要建立一个直角坐标系，接着取x为任意值，将其代入函数中求出y的结果，然后把每一对x、y所对应的数值在坐标轴上一一准确描出，最后把这些点一一连接成线。（学生上台画图）

师：这位同学回答得不错，图象也画得很正确。大家仔细看图象，试着总结出画图的规律？

（学生深入思索，交流讨论，得出各种各样的答案）

师：看刚才的同学画一次函数的图象的整个过程，我们就应该知道，只要求出足够多的点坐标，把点一一对应连接，就可以得出函数的图象。这节课我们要学习的二次函数的图象也可以用这个方法。

[设计意图]在学习“二次函数的图象与性质”之前，学生已经熟练掌握一次函数的相关知识，虽然一次函数和二次函数在概念、图象以及性质等方面存在差异，但是学生可以利用在学习一次函数时的模式来学习二次函数，这样可以唤起学生对函数的熟悉度，降低学生学习新知识的紧张心理，让学生能够顺利开展二次函数的学习。

（二）探究新知

1.画图：画y=2x2与y=-2x2的图象。（学生独立完成，并邀请一名学生到讲台上将自己所画的图象板演出来）

步骤如下：（1）列表。在自变量取值范围内（全体实数），选择适当的x值，并计算相应的y值，完成表格；（2）描点。以自变量与其对应的函数值分别为横、纵坐标，建立直角坐标系，将其对应值在坐标轴上一一准确描出；（3）连线。使用平滑曲线，将描好的对应点一一连接，二次函数y=2x2与y=-2x2的图象就完成了。

[设计意图]让学生回忆描点法作图的注意事项，并动手完成图象的绘制，体会二次函数图象与一次函数、反比例函数图象的异同点，为学生讨论二次函数图象的性质做好铺垫。

2.观察图象：要求学生认真观察画好的二次函数y=2x2与y=-2x2的图象，从图象的形状、开口方向、位置、增减性、最高（低）点，以及图象是否与对称轴有交点这六个方面思考、讨论，最后总结出二次函数的性质。

学生在观察图象后进行了积极发言，其答案各种各样，有对有错，教师有针对性地对学生的回答进行了点评，并做出归纳：

①图象：y=2x2与y=-2x2的图象都呈抛物线状态，都是轴对称图形，对称轴是y轴。

②y=2x2与y=-2x2的图象与对称轴都有交点，交点坐标（0，0）。

③开口方向：y=2x2的开口方向向上，y=-2x2的开口方向向下。

④位置：y=2x2在x轴上方，y=-2x2在x轴的下方。

⑤增减性：y=2x2：x<0时，x增大y 减小，x>0时，x增大y增大。y=-2x2与y=2x2的情况正好相反。

⑥最高（低）点：y=2x2有最低点（0，0），y=-2x2有最高点（0，0）。

[设计意图]教师设置的思考题，有效地为学生指明了探究的方向，避免了学生进入盲目探究的极端，节约了时间，提高了课堂效率。

（三）总结

二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。

（四）作业（略）

五、教学反思

教师在整个教学情境中，与学生一起实践、一起思考，把教师的点拨与学生的解决问题有机结合起来，培养了学生自主学习的能力和深入探究的精神。同时在教学过程中对于学生勇于实践、大胆发表自己的见解做出及时性的、激励性的评价。

篇5：二次函数的图象与性质

一．教学目标 1.知识与能力

能够作出函数y=ax2+k的图象，并能够理解函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系，理解a、k对二次函数图象的影响；能够正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。2.过程与方法

通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。3.情感态度与价值观

通过动手操作，激发学生的学习兴趣，在互动中让学生学会和他人合作、交流，同时让学生在猜想与探究中，体验学习的快乐。二．教材分析

二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型。它的图象是抛物线，通过前两节课的学习，大家不仅会画简单的抛物线，而且还能够通过观察图像了解抛物线的一些性质。

本节课通过对二次函数y=ax2+k的图象的作法和性质的过程探索，进一步将函数的表格、关系式、图像三者联系起来，逐步积累研究函数的图象和性质的经验。

在教学中，运用类比的学习方法，通过与y=ax2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质，三．教学重点

能作出y=ax2+k的图象，并能够比较它与y=ax2的异同，理解a与k对于二次函数图象的影响，能说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。四．教学难点

能够作出函数y=ax2+k的图象，并总结其性质，还能和函数y=ax2作比较，五．教学准备 多媒体 六．教学过程

（一）、创设问题情境，引出新课

上节课，我们一起学习了函数y=ax2的图象的画法，了解了它们的图象的一些性质，请你告诉大家函数y=2x2与y=-x2图象有哪些相同点和不同点？ 提出问题，引导学生回顾已学的知识。并追问：

你知道y=2x2+1 y=2x2-1有哪些性质吗？它们的图象与y=2x2的图象有什么关系？

积极回忆已学的知识，并思考回答

（板书课题）

设计意图：对于函数y=ax2（a>0）图象性质加以总结。这里取a为正，负数对比，不仅进一步复习巩固，同时为今天运用类比教学打下铺垫，提问时分层回答，不断补充，体现合作，互助。

（二）、师生互动，探求新知 问题一（多媒体展示）

在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=2x2, y=2x2+1 和y=2x2-1的图象呢？ 1．培养学生的自学能力独立思考问题的习惯。提出问题1，组织学生自学填1．培养学生的自学能力独立思考问题的习惯。

2．能够将自己的想法说给同伴听训练孩子的语言表达能力。表、描点、画图个别指导，展示学生作品，指出作图中不足之处。

学生经历列表，描点，连线的过程，作出函数图象，认真观察并注意聆听老师的指导，观察表格中的数据。

设计意图：1.规范作图，注意抛物线的对称性。

2.通过表中的数据体现出来的规律让学生发现猜测、验证，重视学习过程，体验表格、关系式、图表三者之间的联系。

观察

（一）1.函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象，它们的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是多少？

对于同一个x的值，对应的函数y=2x2,y=2x2+1

与y=2x2-1的值有什么关系？三个函数图象在位置上有什么关系？

当x分别取何值时函

数y=2x2, y=2x2+1与

y=2x2-1有最小值？最小值是多少呢？

4.你还能发现哪些结论大胆的说一说。

教师提问并对学生回答的情况给予适当的点评与补充，并对学生的好的回答给予积极的回应适当的夸奖 2.教师展示多媒体。

独立思考自主探究，得到答案，认真倾听他人的回答，取长补短。设计意图：

1、过观察函数图象，使每个学生都能够说出y=2x2,y=2x2+1与 y=2x2-1 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标。

2、直观的函数图象体会y=2x2,y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间的关系可以通过平移得到。

3、解y=2x2,y=2x2+1

与y=2x2-1的最值。

4、励大家将自己发现的结论与大家交流，使每个人都有不同的收获，但教师在肯定保护学生个性的同时还提出了规范和严谨 观察

（二）（多媒体展示）

比较函数y=2x2，y=2x2+1 与y=2x2-1的图象的性质有何相同点有和不同点？ 1．组织学生独立思考与合作交流相结合。

2．倾听学生的回答并积极地给予点评或纠正。3．利用多媒体进行归纳与整理。

独立思考自主探究，得到答案，认真倾听他人的回答，取长补短。设计意图：

1．培养学生的自学能力独立思考问题的习惯。

2．能够将自己的想法说给同伴听训练孩子的语言表达能力。3．让孩子学会发散地思考问题，也要学会归纳和总结。想一想

二次函数y=2x2,y=2x2+1和 y=2x2-1的图象有什么联系？能通过怎样的变换得到？

1.展示问题 2.多媒体展示几何画板软件，让图象动起来，更加直观。认真观察教师演示，用心思考、总结。设计意图：

培养学生的观察能力 问题二

在同一个平面直角坐标系中，怎样画出y=-x2 y=-x2+1与y=-x2+1的图象呢？

在学生对以上的问题思考与总结后提出该问题。大胆猜测并动手验证。设计意图：

培养学生的辩证思维能力，诉学生所有的结论都必须用自己的实践来验证，知识必须用自己的实际行动来获取。归纳总结

1.抛物线y=ax2 与y=ax2+k的形状、开口方向、开口大小相同，只是位置不同。抛物线y=ax2+k可以看成抛物线y=ax2 沿着y轴方向平移

k个单位得到，当k>0时向上平移

当k<0时向下平移

组织学生思考问题总结问题讨论问题回答问题，并板书总结。

独立思考，合作交流。独立思考合作交流总结归纳并在教师给出总结后阅读归纳总结的内容加深印象 设计意图：

培养学生的独立思考问题的能力，和与他人交流的能力，并学会对学习知识进行规范的总结语，详尽的反思。巩固练习课本

练习

巡视学生列表描点连线的过程，继续对作图的规范性给予指导 列表、描点连线，完成相应的填空并回答。

让每个学生不仅理解a>0时y=ax2 与y=ax2+k的图象和性质，同时也要理解a<0时函数y=ax2 与y=ax2+k的图象和性质。学习心得交流

1.这节课大家在交流，活动中有哪些体验和收获？

2.对函数y=ax2 与y=ax2+k的图的象的画法和性质还有哪些困惑？ a、k的值对于二次函数图象和性质有何影响？ 组织学生交流讨论

对学生在讨论中仍存在疑惑的东西给予解释 互相交流互相补充

每个学生接受能力不尽相同对知识的理解也不一样在学习心得交流过程中既是总结的过程更是查缺补漏的过程。布置作业

习题

26、第1题

篇6：二次函数的图象与性质

教学目标:

1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.

3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.

4.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.

教学重点：

1.利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同.

教学难点：

经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现探索经验运用的思维过程.

教学过程：

一、学前准备

我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是_______________，一般的一次函数的图象是____________，反比例函数的图象是_________________.上节课我们学习了二次函数的一般形式为_________________________，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题.

二、探究活动

(一)、作函数y=x2的图象.

回忆画函数图象的一般步骤吗?(列表，描点，连线.)

下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.

(1)列表：

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

(2)在直角坐标系中描点.

(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.

(二)、议一议

对于二次函数y=x2的.图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?

(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?

(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并交流.

下面我们系统地总结：

(三)y=x2的图象的性质.

二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.

大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.

当堂练习：按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象.

y=-x2的图象如右图，并让学生总结：

形状是___________，只是它的开口方向____________，它

与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可

以看成是__________对称.

试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.

并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.

不同点：

相同点：

联系：

(四)课堂练习： 随堂练习(P47)

三.学习体会

1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问?

2.你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方?

3.预习时的疑问解决了吗?

四.自我测试

1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象.

2.下列函数中是二次函数的是 ( )

A. y=2+5x2 B.y= C.y=3x(x+5)2 D. y=

3.分别说出抛物线y=4x2与y=- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标

4、已知函数y=mxm2+m.

(1)m取何值时，它的图象开口向上.

(2)当x取何值时，y随x的增大而增大.

(3)当x取何值时，y随x的增大而减小.

篇7：二次函数的图象与性质

23.2二次函数y=ax2的图象和性质

教学目标：

.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

3.能根据二次函数y=ax2的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）。

教学重点：二次函数y=ax2的图象的作法和性质

教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系

教学方法：自主探索，数形结合 教学建议：

利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时，应尽可能多地运用小组活动的形式，通过学生之间的合作与交流，进行图象和图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数性质的真正理解。

教学过程：

一、认知准备：

．正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么？

2．画函数图象的方法和步骤是什么？（学生口答）

你会作二次函数y=ax2的图象吗？你想直观地了解它的性质吗？本节课我们一起探索。

二、新授：

（一）动手实践：作二次函数

y=x2和y=-x2的图象

（同桌二人，南边作二次函数

y=x2的图象，北边作二次函数y=-x2的图象，两名学生黑板完成）

（二）对照黑板图象议一议：

.你能描述该图象的形状吗？

2.该图象与x轴有公共点吗？如果有公共点坐标是什么？

3.当x<0时，随着x的增大，y如何变化？当x>0时呢？

4.当x取什么值时，y值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

5.该图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点。

（三）学生交流：

.交流上面的五个问题（由问题1引出抛物线的概念，由问题2引出抛物线的顶点）

2.二次函数y=x2和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点？

3．教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2

和y=-x2图象，根据图象回答：

（1）二次函数y=x2和y=-x2的图象关于哪条直线对称？

（2）两个图象关于哪个点对称？

（3）由y=x2的图象如何得到y=-x2的图象？

（四）动手做一做：

1．作出函数y=2x2

和

y=-2x2的图象

（同桌二人，南边作二次函数y=-2x2的图象，北边作二次函数y=2x2的图象，两名学生黑板完成）

2．对照黑板图象，数形结合，研讨性质：

（1）你能说出二次函数y=2x2具有哪些性质吗？

（2）你能说出二次函数y=-2x2具有哪些性质吗？

（3）你能发现二次函数y=ax2的图象有什么性质吗？

（学生分小组活动，交流各自的发现）

3．师生归纳总结二次函数y=ax2的图象及性质：

（1）二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

（2）性质

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下[

b:顶点坐标是（0，0）

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

e:增减性：a>0时，在对称轴的左侧（X＜0)，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧（x＞0），y随x的增大而增大，a〈0时，在对称轴的左侧（X＜0)，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧（x＞0），y随x的增大而减小。

4．应用：（1）说出二次函数y=1/3x2

和

y=-5x2

有哪些性质

（2）说出二次函数y=4

x2和

y=-1/4x2有哪些相同点和不同点？

三、小结：

通过本节课学习，你有哪些收获？（学生小结）

．会画二次函数y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线

2．知道二次函数y=ax2的性质：

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下

b:顶点坐标是（0，0）

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

篇8：二次函数的图象与性质

本案例源于浙教版九 (上) 《二次函数图象 (3) 》。本节课的目标是:会根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标;能用配方法将一般形式y=ax2+bx+c化成顶点式;会用顶点式求二次函数的解析式。

学生根据预习提纲课前完成预习。课堂上, 在完成学生预习问题交流并进行一定量的变式练习后, 我们重点交流了预习提纲中的如下问题 (课本“课内练习”3改编) :

你能求如图所示的二次函数图象吗? (如果可以, 请尝试用不同方法)

[教学片段]

问题一展出, 学生纷纷举手。

我请一位成绩偏下的小A同学回答:

“老师, 我觉得这个二次函数可设成y=a (x-2) 2+4, 再把 (0, 1) 代进去, 就可以求出a的值。”

“你是怎么想到设成y=a (x-2) 2+4的呢?”我紧跟着问。

“从图形中, 我注意到 (2, 4) 是抛物线的顶点坐标, 知道了顶点坐标就可以写出二次函数的解析式。”

“非常好, 你能把你的解题过程给大家展示一下吗?”

“好。”小A同学在实物投影上展示了他非常清晰的解题过程。

“肯定没错, 我旁边几个同学答案跟我一样的。”临下讲台之前, 小A自信地说。

“老师, 我觉得还可以设成y=ax2+bx+c。”小B同学马上抢着站起来说。

“我觉得图形中虽然没有三个点, 但y=ax2+bx+c的顶点坐标是再把 (0, 1) 代入, 就得到三个方程, 可求出a, b, c的值。”

很多同学频频点头表示赞同。少部分只想到一种解法的组的同学在专注地整理自己的思路, 教室里很安静。大部分同学在准备进入下一个练习的交流。

“老师, 我还有不同的解法。”突然小C的声音打破了沉静。

“还有?好, 请讲。”我有些意外, 但更多的是惊喜。全班同学不由自主地将目光齐刷刷盯向了小C。

“我们还是设成y=ax2+bx+c, 我是这样想的:顶点坐标是 (2, 4) , 对称轴就是直线x=2, 在图象中可以写出点 (0, 1) 关于对称轴的对称点是 (4, 2) , 把这三个点分别代入y=ax2+bx+c, 就可以求出a, b, c。”

“是的, 我怎么就没想到。”教室里不由得掌声响起。这确实是一种非常有价值的发现, 对后续的学习意义非同一般。何况, 我一直认为学生不会有第三种解法了。

“简直太了不起了。你刚才用了‘我们’, 看来是小组讨论完成的。你能给大家讲讲你们是怎么想到的吗?”

小C很干脆地说:“好的。我们想把函数设成y=ax2+bx+c, 但题目中只有两个点, 肯定不够, 于是我们试着找第三个点, 刚开始也不知道找什么点, 后来小D提到了图形中的对称轴, 小E马上想起抛物线上的点关于对称轴对称, 于是我们就找到了 (4, 2) 这个点。”

“我们再次把掌声送给这组了不起的同学。”教室里的掌声更响了。

……

[教学反思]

1. 创造性地使用教材, 引领学生多角度思考

创造性地开发和利用教材资源是新教育理念和新课程目标的体现。教科书作为重要的课程资源, 在备课过程中, 教师要充分挖掘教材的内在教育因素, 结合学生实际, 精心设计, 组织引导学生富有个性地开展学习, 充分调动学生的学习兴趣。更可通过适当的变式而把问题的解决延伸到课堂以外, 拓展学生探究的空间, 引领学生触类旁通、举一反三, 培养学生的发散性思维。

2. 恰当的课前预习, 提供学生充足的思考时间

现在的教学采用多媒体教学, 课堂的知识密度比较大, 节奏快, 而且数学的逻辑性强, 再加上九年级时间紧任务重, 若一个环节出了问题, 将直接会导致整节课都无法理解, 甚至会影响到下一节的学习, 从而严重伤害学生学习数学的积极性。“凡事预则立, 不预则废”, 恰当的课前预习是非常必要的。

在具体的预习过程中, 教师应淡化学生的最终学习结果, 要重点关注学生学习的过程。因此, 教师可根据教材和学生实际, 预测学生可能存在的预习障碍, 设置一定量的预习问题, 引导学生通过阅读、独立思考、查资料、询问探讨等方式, 在有较充足时间保证的前提下, 先进行一系列的热身, 还有不能解决的或不够完善的问题留到课堂上集体讨论解决。这样, 不仅使学生的思维能力得到锻炼, 同时还把课本知识当工具去启迪学生的心智和“发现”的能力, 对培养学生创新精神、创造能力尤为重要。这是授人以渔, 将使学生终身受益。

3. 良好的课外合作学习, 能让学生碰撞出独特的思维火花

我们平时讲的合作学习, 一般都是在课内开展的, 但很多时候因局限于课堂的时间、任务, 往往草草了事, 不能深入地开展, 甚至有些时候纯粹是一种作秀, 起不到应有的作用。其实, 学习小组的课外作用更应引起教师的高度关注, 课外的合作学习较课堂环境更为宽松的, 时间相对更充足, 更适合同伴之间的深入交流探讨, 更易碰撞出思维的火花。

篇9：二次函数的图象和性质

对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。

1.图象的识别

【例1】 （2006 福州）已知实数s、t满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（ ）。

【分析】 依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是A、B.又x=-b[]2a=-1[]2×1=-1[]2<0，∴抛物线对称轴在y轴的左侧。

解：B.

【小结】 这是一道结合一元二次方程考查二次函数图象和性质的试题。二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y＝0时，即为一元二次方程，如果此方程有两不同实根，则二次函数图象与x轴有两个交点。

【例2】 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac-b2[]4a=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.

正确的序号是.

【分析】 从图象中易知a>0，b<0，c<0，③正确；抛物线顶点纵坐标为-1，∴ ①对；当x=-1时y=a-b+c，由图象知（-1，a-b+c）在第二象限，∴ a-b+c>0，④正确；设C（0，c），则OC=|c|，∵ OA=OC=|c|，∴ A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确。

解：正确的序号为①②③④.

【小结】 我们研究二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的时候，首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系。

【例3】 （2006 武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且00；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数是（ ）.

【分析】 这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵ 00正确；∵-b[]2a=-1，∴ b=2a，∴ b-a=2a-a=a>0.∴ b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ∴ ③正确；故答案为2个.

【小结】 将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键。

2.性质的应用

【例4】 （2006 山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2与y=x2-mx-m2+2[]2，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点。

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；

（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

【分析】 解第（1）问时用b2-4ac是否大于0即可判断；解（2）时把A点坐标代入第（1）问求出的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断。

解：（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2，b2-4ac=(-m)2-4×1×m2+1[]2=-m2-2<0，

∴ 此函数的图象与x轴没有交点。

对于关于x的二次函数y=x2-mx-m2+2[]2,b2-4ac=(-m)2-4×1×(-m2+2[]2)=3m2+4>0，

∴ 此函数的图象与x轴有两个不同的交点，故图象经过A、B两点的二次函数为：y=x2-mx-m2+2[]2

（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+2[]2得1+m-m2+2[]2=0，整理得m2-2m=0，∴ m=0或m=2.

当m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，

此时B点的坐标是（1，0）.

当m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，

此时B点的坐标是（3，0）.

（3）当m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=0，

∴ 当x<0时，y随x的增大而减小.

当m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1，

∴ 当x<1时，y随x的增大而减小。

篇10：二次函数的图象与性质

数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果。下文就为大家送上了二次函数y=ax2的图象和性质测试题，希望大家认真对待。

一.选择题(共8小题)

1.已知反比例函数y= (a≠0)，当x>0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是

A. B. C. D.

2.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()

A. B. C. D.

3.函数y=ax2+1与y= (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

A. B. C. D.

4.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是()

A. B. C. D.

5.已知函数y=﹣(x﹣m)(x﹣n)(其中m

A. B. C. D.

6.函数y= 与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

A. B. C. D.

7.二次函数y=ax2+b(b>0)与反比例函数y= 在同一坐标系中的图象可能是()

A. B. C. D.

8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx+ 与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象是()

A. B. C. D.

二.填空题(共6小题)

9.下列函数中，当x>0时y随x的增大而减小的有 _________ .

(1)y=﹣x+1，(2)y=2x，(3) ，(4)y= ﹣x2.

10.如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为(﹣1，0)，(2，0)，(0，2)，

则抛物线的对称轴是 _______ __ ;若y>2，则自变量x的取值范围是 _________ .

11.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是 _________ .

12.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分.则图中阴影部分的面积是 _________ .

13.如图，⊙O的半径为2.C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是 _________ .

14.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是 _____ ____ .

三.解答题(共6小题)

15.抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0，3)点.

(1)求出m的值并画出这条抛物线;

(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;

(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方?

(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小?

16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：

(1)这个二次函数的解析式是y= _________ ;

(2)当x= _________ 时，y=3;

(3)根据图象回答：当x _________ 时，y>0.

17.分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标.

18.函数y=2(x﹣1)2+k(k>0)的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?请作图说明.

19.在同一直角坐标系中画出二次函数y= x2+1与二次函数y=﹣ x2﹣1的图形.

(1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点;

(2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点.

20.在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同.

26.2.1二次函数y=ax2的图像与性质

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.已知反比例函数y= (a≠0)，当x>0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是()

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象;反比例函数的性质.

分析： 根据反比例函数的增减性判断出a>0，再根据二次函数的性质判定即可.

解答： 解：∵反比例函数y= (a≠0)，当x>0时，它的图象y随x的增大而减小，

∴a>0，

∴二次函数y=ax2﹣ax 图象开口向上，

2.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是()

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象;正比例 函数的图象.

专题： 数形结合.

分析： 本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象 相比较看是否一致.(也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较.)

解答： 解：A、函数y=ax中，a>0，y=ax2中，a>0，但当x=1时，两函数图象有交点(1，a)，故A错误 ;

B、函数y=ax中，a<0 y=“ax2中，a”>0，故B错误;

C、函数y=ax中，a<0，y=ax2中，a<0，但当x=1时，两函数图象有交点(1，a)，故C正确;

D、函数y=ax中，a>0，y=ax2中，a<0，故D错误.

3.函数y=ax2+1与y= (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象;反比例函数的图象.

分析： 分a>0和a<0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可.

解答： 解：a>0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为(0，1)，

y= 位于第一、三象限，没有选项图象符合，

a<0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为(0，1)，

4.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是()

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象;一次函数的图象.

分析： 本题可先由二次函数图象得到字母系数的`正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致.逐一排除.

解答： 解：A、由二次函数的图象可知a<0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除;

B、二次函数的图象可知a<0 y=“” a=“” b=“”>0，此时直线y=ax+b经过 一、二、四象限，故B可排除;

C、二次函数的图象可知a>0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除;

5.已知函数y=﹣(x﹣m)(x﹣n)(其中m

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.

专题： 数形结合.

分析： 根据二次函数图象判断出m<﹣1，n=1，然后求出m+n<0，再根据一次函数 与反比例函数图象的性质判断即可.

解答： 解：由图可知，m<﹣1，n=1，

∴m+n<0，

∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点(0，1)，

6.函数y= 与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象;反比例函数的图象.

专题： 数形结合.

分析： 分a>0和a<0两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解.

解答： 解：a>0时，y= 的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，

a<0时，y= 的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，

7.二次函数y=ax2+b(b>0)与反比例函数y= 在同一坐标系中的图象可能是( )

A. B. C. D.

考点： 二次函数的图象;反比例函数的图象.

专题： 数形结合.

分析： 先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确.

解答： 解：A、对于反比例函数y= 经过第二、四象限，则a<0，所以抛物线开口向下，故A选项错误;

B、对于反比例函数y= 经过第一、三象限，则a>0，所以抛物线开口向上，b>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确;

C、对于反比例函数y= 经过第一、三象限，则a>0，所以抛物线开口向上，故C选项错误;

D、对于反比例函数y= 经过第一、三象限，则a>0，所以抛物线开口向上，而b>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误.

8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx+ 与反比例函数y= 在同一坐标系内的大致图象是()

A. B. C D.

考点： 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.

分析： 先根据二次函数的图象得到a>0，b>0，c<0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置.

解答： 解：∵抛物线开口向上，

∴a>0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣<0，

∴b>0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下 方，

∴c<0，

∴一次函数y=cx+ 的图象过第一、二、四象限，反比例函数y= 分布在第一、三象限.

二.填空题(共6小题)

9.下列函数中，当x>0时y随x的增大而减小的有 (1)(4) .

(1)y=﹣x+1，(2)y=2x，(3) ，(4)y=﹣x2.

考点： 二次函数的图象;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质.

分析： 分别根据一次函数、正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解.

解答： 解：(1)y=﹣x+1，y随x增大而减小，正确;

(2)y=2 x，y随x增大而增大，错误;

(3) ，在每一个分支，y随x增大而增大，错误;

(4)y=﹣x2，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小，正确.

10.如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为(﹣1，0)，(2，0)，(0，2)，

则抛物线的对称轴是 x= ;若y>2，则自变量x的取值范围是 0

考点： 二次函数的图象;二次函数的性质.

专题： 图表型.

分析： 二次函数的图象与x轴交于(a，0)(b，0)，则对称轴为 ;求得对称轴后即可求得图象经过的另一点为(1，2)，据此可以确定自变量的取值范围.

解答： 解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为(﹣1，0)，(2，0)，

∵对称轴为x= = ;

∵抛物线与y轴的交点坐标分别为(0，2)，对称轴为x= ，

∴抛物线还经过 点(1，2)，

∴y>2，则自变量x的取值范围是 0

11.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是 ﹣3

考点： 二次函数的图象.

专题： 压轴题.

分析： 根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为(1，0)，可推出另一交点为(﹣3，0)，结合图象求出y>0时，x的范围.

解答： 解：根据抛物线的图象可知：

抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为(1，0)，

根据对称性，则另一交点为(﹣3，0)，

12.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分.则图中阴影部分的面积是 2 .

考 点： 二次函数的图象;正方形的性质.

分析： 根据图示及抛物线、正方形的性质不难 判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半，从而得出答案.

解答： 解：根据图示及抛物线、正方形的性质，

13.如图，⊙O的半径为2.C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是 2π .

考点： 二次函数的图象.

分析： 根据 C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可.

解答： 解：∵C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，

∴两函数图象关于x轴对称，

∴阴影部分面积即是半圆面积，

14.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是 ﹣1

考点： 二次函数的图象.

专题： 压轴题.

分析： 由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与﹣1对应的点是3.观察图象可知y>0时x的取值范围.

解答： 解：已知抛物线与x轴的一个交点是(﹣1，0)对称轴为x=1，

根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为(3，0)，

三.解答题(共6小题)

15.抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0，3)点.

(1)求出m的值并画出这条抛物线;

(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;

(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方?

(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小?

考点： 二次函数的图象;二次函数的性质.

分析： (1)直接把点(0，3)代入抛物线解析式求m，确定抛物线解析式， 根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与x轴及y轴的交点，画出图象.

(2)、(3)、(4)可以通过(1)的图象及计算得到.

解答： 解：(1)由抛物线y=﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于(0，3)得：m=3.

∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4.

列表得：

X ﹣1 0 1 2 3

y 0 3 4 3 0

图象如右.

(2)由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3.

∴抛物线与x轴的交点为(﹣1，0)，(3，0).

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4

∴抛物线顶点坐标为(1，4).

(3)由图象可知：

当﹣1

(4)由图象可知：

16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：

(1)这个二次函数的解析式是y= x2﹣2x ;

(2)当x= 3或﹣1 时，y=3;

(3)根据图象回答：当x<0>2 时，y>0.

考点： 二次函数的图象.

分析： (1)易知顶点为(1，﹣1);那么可设顶点式y=a(x﹣1)2﹣1再把(0，0)代入求a.

(2)把y=3代入抛物线解析式即可.

(3)函数值大于0，指x轴上方的函数图象所对应的x的取值.

解答： 解 ：(1)由图可知顶点坐标为(1，﹣1)，设y=a(x﹣1)2﹣1，

把点(0，0)代入，得0=a﹣1，即a=1，

所以y=(x﹣1)2﹣1=x2﹣2x.

(2)当y=3时，x2﹣2x=3，解得x=3或x=﹣1.

(3)由图可知，抛物线与x轴两交点为(0，0)，(2，0)，开口向上，

17.分别在同一直角坐标系内，描点画出y= x2+3与y= x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标.

考点： 二次函数的图象.

分析： 根据抛物线的解析式求得抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点 坐标.则可画出图象.

解答： 解：抛物线y= x2+3的开口方向向上，顶点坐标是(0，3)，对称轴是y轴，且经过点(3，6)和(﹣3，6)

抛物线y= x2的开口方向向上，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，且经过点(3，3)和(﹣3，3)

18.函数y=2(x﹣1)2+k(k>0)的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?请作图说明.

考点： 二次函数的图象.

分析： 建立平面直角坐标系，然后作出函数y=2x2的图象，再确定出函数y=2(x﹣1)2+k的顶点位置，然后作出图形解答即可.

解答： 解：如图，函数y=2(x﹣1)2+k(k>0)的图象由函数y=2x2的图象向右平移一个单位，向上平移k个单位得到.

19.在同一直角坐标系中画出二次函数y= x2+1与二次函数y=﹣ x2﹣1的图形.

(1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点;

(2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点.

考点： 二次函数的图象.

分析： 根据二次函数图象，可得二次函数的性质.

解答： 解：如图：

，

(1)y= x2+1与y=﹣ x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，

y= x2+1与y=﹣ x2﹣1的不同点是：y= x2+1开口向上，顶点坐标是(0，1)，y=﹣ x2﹣1开口向下，顶点坐标是(0，﹣1);

(2)性质的相同点：开口程度相同，不同点：y= x2+1 当x<0 y=“” x=“”>0时，y随x的增大而增大;

y=﹣ x2﹣1当x<0 y=“” x=“”>0时，y随x的增大而减小.

20.在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同.

考点： 二次函数的图象.

分析： 根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象，进而得出图象的异同即可.