函数图象中体现的辩证观点

现代课程理论及教学实践证明, 搞好这一章的教学, 不仅可以帮助学生深化对以前所学的过基础知识的理解, 提高数学能力, 形成运动、变化、联系的意识, 而且能较自然地培养学生辩证唯物主义的世界观。

1 常量与变量

辩证法认为, 世界上的万事万物, 都是相互联系、运动、变化和发展的。常量, 是相对于某一过程或另一个变量而言的。绝对的常量是没有的。因为物质的运动是绝对的, 静止是相对的, 故物动则变。既然如此, 相对的常量是有的, 绝对的常量是不存在的。

教学实践表明, 要使学生认识常量与变量这一辩证关系, 就必须多形式、多角度、多层次地予以阐释。

2 运动与静止

根据人类认识事物的客观规律及青少年实践和知识的发展水平, 我们可结合教材中的具体教学内容, 引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。

画成的图象表面上是完整的, 其实是不完整的, 因为它还可以向两方无限延伸, 即不断运动、发展和变化, 画出的函数图象永远只能是局部的, 它只能是某个函数图象的一个象征物;同时这一例举也体现了部分与整体的辩证统一。

3 内容与形式

根据现行教材体系, 初一上学期, 学生学习了方程的有关概念后会认为, 形如y=2 x+1的式子表示一个二元一次方程;初三学生刚接触一次函数概念时, 会认为y=2 x+1表示一个一次函数;当学生用描绘函数图象的一般方法描出y=2 x+1的图象后, 又认识到y=2 x+1还可以表示一条直线。从哲学的角度去看, y=2 x+1表示一类事物的本质联系, 其内容是极其丰富的, 而表达这丰富内容的形式却是相同的。这正表明, 同一事物在不同的外部条件下可有多种不同的外部表现形式, 相同的外部形式可以表示不同的本质内容。随着学生知识的增多和认识能力的提高, 他们对事物本质的认识也将逐步地从感性上升为理性。

4 特殊与一般

辩证法认为, 一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊与一般这一内容至少有以下几个方面: (1) y=kx与y=kx+b; (2) y=ax2与y=ax2+k; (3) y=ax2与y=a (x-h) 2; (4) y=a x 2与y=a x 2+b x+c。它们之间的关系, 均是典型的特殊与一般之间的关系, 而这一关系又是辩证统一的。为利于学生认识事物的本质属性, 教材中总是先介绍简单的、特殊的内容, 然后再逐步推广、逐步加深到较复杂的、更一般的内容, 从而引导学生逐步认识事物的本质属性, 掌握对事物的认识规律。

5 现象与本质

在物质世界中, 没有一定的现象, 就不能表现出事物的本质, 而且其本质常常寓于现象之中。当然, 个别现象不一定能暴露出事物的本质, 因为本质是若干同类现象的寓归。这在数学上也会如此。

6 具体与抽象

现代认知科学理论告诉我们, 人类对事物本质属性的认识, 是由现象到本质、由具体到抽象、由浅入深的渐进过程。感性认识常来之于对某些具体实践的思考;而理性认识则来之于对这些初步认识概括和抽象的过程, 从而达到对事物本质属性的认识。因此只有从具体的感性认识上升发展为抽象的理性认识以后, 才容易纳入原有的认知结构, 才可以转化为运用的能力, 才能为更高级的抽象提供基础和保证。

7 量变与质变

本章体现量变与质变观点的内容, 例子很多, 要使学生深刻认识这些内容却是很困难的, 因而我们在教学时宜逐步引导, 点滴渗透, 而后去系统推进对这些内容的理解。 (1) 对于一次函数y=kx+b, 若从k≠0变为k=0, 情况如何; (2) 二次函数y=ax2+bx+c中, 规定a≠0;若令a=0, 情况如何; (3) 反比例函数y=中, 自变量x的取值范围是x≠0;如果x=0, 或y=0, 又将如何; (4) 对于y=kx+b, 从k>0变为k<0, 则其变化特征如何相应变化; (5) 对于二次函数y=ax2+bx+c, 若Δ>0变为Δ=0或Δ<0, 相应的函数图象及性质将如何改变; (6) 对于周长确定的矩形, 当相邻边长均为周长时, 面积的大小有何特征; (7) 对于一般的二次函数y=ax2+bx+c, 从x<-变为x=-, 再变为x>-, 其增减趋势如何相应地改变?

诸如此类, 均是量变积累到一定程度导致质变的例子。

8 有限与无限

事物或数量中, 有限总是表现为具体的, 因而我们对这一概念可以穷极或易于理解, 或能完全把握;而无限则是抽象的, 它是一种运动无限延长的过程, 是物的一种变化发展趋势, 是一种抽象的理念, 需反复渗透方可形成一定程度的认识。

(1) 学生“准确地”“画出函数y=2x-1的图象”, 其实只是画出了这个函数图象的一个有限部分, 远非全部, 即用有限的部分去“表示”“无限”的趋势。 (2) 列表、描点、连线, 画出抛物线, 显然也只是画出了函数图象的一个“部分”, 用“有限”的一些点“确定”其“大致”位置、形状、大小, 而连线是从有限走向了无限。 (3) 在画反比例函数的图象时, 关于有限与无限、极限的思想体现得更为充分, 例如观察教科书上例题y=的图象, 当x (或y) 的绝对值越大 (或越小) 时, y (或x) 的绝对值如何变化?何谓“无限接近”而“永远不能到达”两坐标轴? (4) 坐标轴上有多少个点?坐标轴有多长?一个象限内有多少个点?直角坐标平面内有多少个点?坐标轴上任意两点之间有多少个点?以坐标平面内任一点P (a, b) 为圆心, 任意小的正数r为半径作圆, 圆内有多少个点?圆上有多少个点?圆外还“剩余”多少个点?抛物线可以画多长?……所有这些具体的、生动的材料, 都在向学生对数的理解方面潜移默化地渗透着无限、极限等观点。

9 离散与连续

离散与连续是一个矛盾的两个方面, 但在列表——描点——连线的过程中, 连线使离散与连续得到了统一。如教科书上画y=x及y=x 2的图象, 均采用了由简单到复杂、从特殊到一般、由离散到连续的手法, 体现了这种对立统一的关系。

为帮助学生培养辩证唯物主义的世界观, 我们应根据教材中相关的教学内容, 结合学生的认识水平, 有目的、有计划、有系统、有重点地组织教学内容, 采用学生易于接受的教育、教学方法, 适当渗透, 系统推进, 当渗透到一定程度时, 再适时进行整理, 适度地进行概括和抽象;日积月累, 使这些教学内容在学生的头脑中系统地并深刻地扎下根去。这样, 教学大纲中规定的培养辩证唯物主义观点的任务就可以顺利完成。

摘要：在初三代数的函数及其图象中, 蕴含的辩证观点极为丰富。这一章教学内容的最大特点是“变”:变化、变量、运动, 正如恩格斯所说的:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数, 运动进入了数学, 有了变数, 辩证法进入了数学, 有了变数, 微分和积分也就立刻成为必要的了。”

关键词：函数,常量,变量