函数模型的应用教案

函数模型的应用教案（共9篇）

篇1：函数模型的应用教案

《三角函数模型的简单应用（1）》教案 邓城

课题：§1.6 三角函数模型的简单应用（1）  邓城 一．教学任务分析: 1. 通过对实际问题的分析，发现周期变化的规律，将发现的规律抽象为恰当的三角函数模型.用三角函数模型解决这些具有周期性变化规律的实际问题. 2.能根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 3．通过学习体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勤于思考的精神. 二．教学重点与难点： 教学重点：由图象求解析式，由解析式研究图象及性质. 教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型. 三．教学基本流程:    回顾函数y=Asin（ωx+φ）的性质. ↓ 由图象求解析式 ↓ 由解析式研究图象及性质 ↓   应用三角知识解决实际问题   ↓ 巩固练习，小结,作业 四.教学情境设计: 1．创设情景，揭示课题. （1）回顾y=Asin（ωx+φ）的性质。 （2）在现实生活中，有许多变化着的现象具有周期性，比如：“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，它们都可以借助三角函数来描述，下面通过具体的实例，说明三角函数模型的简单应用. 2．由图象探求三角函数模型的解析式  例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数． （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．               解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是 ； （2）从图可以看出：从6～14是 的.半个周期的图象， ∴ ∴ ，∵ ，∴ 又∵   ∴   ，∴ 将点 代入得： ，∴ ， ∴ ，取 ，∴ 。 三．由解析式作出图象并研究性质 例2．画出函数 的图象并观察其周期． 分析与简解：如何画图？ 法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）； 法2：图象变换――对称变换，可类比 的作法．         从图中可以看出，函数 是以 为周期的波浪形曲线． ①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证： ∴ 的周期是 ．（体现数形结合思想！） ②思考：的周期是 ． 的周期是 ．的周期是 ． 四．应用数学知识解决实际问题 例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 ．当地夏半年 取正值，冬半年 取负值．             如果在北京地区(纬度数约为北纬 )的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？       3.课堂练习  课本P73第1,2题.

篇2：函数模型的应用教案

1.教学目标

1、知识与技能 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、过程与方法 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

3、情感、态度、价值观 深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。

2.教学重点/难点

重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

3.教学用具

投影仪等.4.标签

数学，函数的应用

教学过程 教学设想

（一）创设情景，揭示课题

2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）尝试实践

探求新知

例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）

1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为4375px，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题：

1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图； 2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？ 3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重数关系比较合适？

4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？

本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测.此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.与身高的函例2.将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：

1）描点画出水温随时间变化的图象；

2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y（℃）关于时间x的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？ 本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好.为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？ 探索过程如下：

1）首先建立直角坐标系，画出散点图；

2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：二次函数模型：

幂函数模型：

指数函数模型：

（＞0，）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.（三）归纳小结，巩固提高.通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

（四）布置作业：

作业：教材P107习题32（B组）第1、2题：

课堂小结

通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

课后习题 作业：

教材P107习题32（B组）第1、2题：

篇3：函数模型及其应用例谈

一、一次函数与二次函数模型

在高中数学教学中, 最常见的函数模型是一次函数与二次函数模型, 这两种函数模型在构建及实际应用中应当给学生强调如下要点: (1) 当涉及的问题可以归结为一次函数模型时, 即函数的增长特点是随直线上升或直线下降时。对于这样的问题, 在构建一次函数模型时主要是借助一次函数图像的单调性来解决实际问题; (2) 当研究的问题是面积问题、产量问题及利润问题等时, 通常都涉及两变量函数之间的二次函数关系, 需要利用二次函数模型来具体求解, 此时可以通过对函数配方并且结合具体的函数图像来分析函数的单调性, 最后找出相关规律让问题得以解决; (3) 在一次函数与二次函数模型的构建及实际应用中, 特别需要注意的是函数的定义域。

二、分段函数模型

【例1】某公司生产一种产品, 每年需投入固定成本0.5万元, 此外每生产100件这样的产品, 还需增加投入0.25万元, 经市场调查知这种产品年需求量为500件, 产品销售 数量为t件时, 销售所得 的收入为

(1) 该公司这种产品的年生产量为x件, 生产并销售这种产品所得到的利润 关于当年 产量x的函数为f (x) , 求f (x) ;

(2) 当该公司的年产量为多少件时, 当年所获得的利润最大?

评析:分段函数是一种非常具有代表性的函数模型, 也是能够让很多复杂问题得以解决的方法。在利用分段函数模型时需要提醒学生注意如下事项: (1) 当问题中的变量关系无法用一个函数式表达时, 应立刻想到建立分段函数模型; (2) 在使用分段函数解决实际问题时, 应做到思维清晰, 可以先将整个问题当作几个小问题来分别处理, 再结合每个小问题找出各段函数的变化规律, 之后再让这些分段函数汇集到一起, 进行相关总结。特别需要注意的是, 分段函数中每一段函数的定义域都可能会不同, 对于函数的端点值的确定也要十分明确。

三、指数函数模型

【例2】一片森林原来面积为a, 计划每年砍伐一些树, 且每年砍伐面积的百分比相等, 当砍伐到面积的一半时, 所用时间是10年, 为保护生态环境, 森林面积至少要保留原面积的1 /4 , 已知到今年为止, 森林剩余面积为原来的

(1) 求每年砍伐面积的百分比;

(2) 到今年为止, 该森林已砍伐了多少年?

(3) 今后最多还能砍伐多少年?

评析:例2是典型的增长率问题, 增长率问题是非常常见的函数问题, 很多都可以借助指数函数模型y= N (1+p) x (其中N是基础数, p为增长率, x为时间) 和幂函数模型y=a (1+x) n (其中a为基础数, x为增长率, n为时间) 的形式来解决。在指数函数模型的应用中, 计算是一个难点, 在进行对数运算或开方时要注意利用题目中给定的数值求解。

篇4：函数模型的构建与应用

构建函数模型一般要经历：提出问题―收集数据―描述数据―分析数据―建立拟合函数―检验函数―解释问题―预测变化趋势这一基本过程,即将问题放到动态背景中考虑,将具体的生产、生活问题,转化为数学问题；然后引进变量,建立函数关系, 寻求解决问题的最优途径或获得最大益处的最优点.

下面介绍几类函数模型.

一、 二次函数模型

二次函数是我们最熟悉的一种特殊的初等函数,也是应用最广泛的函数之一.这类题往往信息隐蔽,要通过阅读提炼相关的信息,加工成二次函数的模型,再利用二次函数的相关性质进行求解.

例1 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,而每辆车的月租金每增加50元,未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需维护费50元,二者都由租赁公司支付.

(1) 当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车？

(2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

思路分析 选定月租金为自变量,建立目标函数,月租金为x元时,计算出提高了多少个50元,即可求出租出的车辆数和未租出的车辆数.

解 (1) 当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为3 600-3 00050=12,所以租出了88辆车.

即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.

解题回顾 在现实生活中,常常遇到这样的情况：一个变量与另一个变量密切相关,如矩形的面积由长和宽决定,利润由售价和销售量确定等,这类实际问题往往可抽象成二次函数模型.

二、 分段函数模型

分段函数的应用极其广泛,如邮寄费、托运费、打车费等等,是刻画现实问题的重要模型.

例2 一辆汽车在某段路中的行驶速度与时间的关系如图1所示.图1

(1) 求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义；

篇5：函数模型的应用教案

§3.2.3 二次函数模型(三)教案

§3.2.3 二次函数模型(三) 【教学目标】 1) 熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的三种关系式。 2) 学会根据已知条件求二次函数的关系式，数形结合思想的应用。 3) 培养学生合作学习、大胆创新，让他们充分的展现才能，同心协力， 【教学重点】 求二次函数关系式。 【教学难点】 数形结合思想的应用 【教学方法】 这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法. 【板书设计】 §3.2.3 二次函数模型(三) 例： 学生板演 【教学过程预设】 一、情境导入 要求学生写出二次函数的一般形式，并写出它图象的顶点坐标。 y=ax2+bx+c (a≠0)，顶点坐标为(-，)。 要求学生写出二次函数的顶点式，并写出它图象的顶点坐标。 y=a(x+h)2+k (a≠0)，顶点坐标为(-h，k)。 二次函数y=x2+2x-3的`图象与x轴的交点坐标为(-3，0)和(1，0); 二次函数y=(x+3)(x-1)的图象与x轴的交点坐标为(-3，0)和(1，0); [教师指出]： 我们把y=a(x-x1)(x-x2)叫做二次函数的交点式。其中，x1，x2是图象与x轴交点的横坐标。 (因此交点式也叫双根式，截距式) 顺势揭示课题，板书节名 二、例题讲解 例1、已知二次函数图象的顶点为(2，3)，且经过点(3，1)，求这个二次函数的关系式。 [分析]：已知二次函数的顶点坐标，能否写出他的顶点式。 y=a(x+h)2+k (a≠0)，顶点坐标为(-h，k) 这里h=?，k=?，a=? 待定系数法的一般步骤? [教师引导学生完成解题][巡视辅导，点评] 解：∵二次函数图象的顶点为(2，3) ∴设二次函数的关系式为y=a(x-2)2+3 又∵二次函数图象过点(3，1) ∴1=a(3-2)2+3 解得a=-2 ∴所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3即y=-2x2+8x-5 [教师引导学生总结]： 当已知条件有顶点，或对称轴，或最值，或单调区间， 通常设顶点式y=a(x+h)2+k (a≠0)。 [巩固练习]： 已知二次函数的图象是以直线x=-2为对称轴，函数有最小值-3，又经过点(0，1)。 求该二次函数函数的表达式。 [教师巡视辅导，点评练习] 解：由题意可设此函数的表达式为y=a(x+2)2-3 ∵二次函数图象过点(0，1) ∴1=a(0+2)2-3 解得a=1 ∴所求二次函数的表达式为y= (x+2)2-3即y=x2+4x+1 例2 已知二次函数f(x)函数值f(2)=0,f(4)=0,f(-1)=30。求这个二次函数的表达式。 [分析]：函数的表达式有哪几种?应该怎么设函数解析式。 [教师讲解三元一次方程组的解法[。 解：由已知设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)， 则有 解得： ∴所求二次函数的表达式为f(x)=2x2-12x+16 [教师引导学生总结]： 当已知条件有图像上三点，通常设一般式y=ax2+bx+c (a≠0)。 [思考]：还有没有其他的解法? J 二次函数f(x)函数值f(2)=0，你能发现什么吗? &二次函数f(x)与x轴的交点为(2，0)，(4，0)。 可设其表达式为f(x)=a(x-2)(x-4) 解：∵f(2)=0,f(4)=0 ∴f(x)与x轴的交点为(2，0)，(4，0) ∴设f(x) =a(x-2)(x-4) 又∵f(-1)=30 ∴设30=a(-1-2)(-1-4) 解得a=2 ∴所求二次函数的表达式为f(x)=2(x-2)(x-4) 即f(x)=2x2-12x+16 [教师引导学生总结]： 当已知条件有与x轴的交点的坐标，通常设双根式y=a(x-x1)(x-x2) [巩固练习] 已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是7，且y≥0的解集是{x|-1≤x≤3}， 求函数的解析式。 [学生展开讨论] [教师总结] 三、课堂小结 当已知条件有顶点，或对称轴，或最值，或单调区间，通常设顶点式y=a(x+h)2+k (a≠0)。 当已知条件有图像上三点，通常设一般式y=ax2+bx+c (a≠0)。 当已知条件有与x轴的交点的坐标，通常设双根式y=a(x-x1)(x-x2)。对称轴是x= 三元一次方程组的解法。 四、作业 课课练，P37-38 五、教学反思

篇6：函数模型的应用教案

教学目标：

1、能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价.3、体会数学在实际问题中的应用价值.教学过程：

一、创设情景，引入新课

通过一个情境，了解建立一次函数模型和指数函数型模型。一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来解决实际问题？利用这些函数模型预测未来，改造世界。

二、实例分析

实例

1、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示:(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;设问：图中每一个矩形的面积的意义是什么? 单位时间内行驶的路程。

阴影部分的面积为360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km(2)试建立汽车行驶路程 S km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.设问：如何建立函数关系式？根据S= vt建立函数关系。单位小时内速度不同，所以构成了一次函数的分段形式.（3）假设这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时间 t h的函数解析式，与（２）的结论有何关系？

汽车的行驶里程=里程表读数-2004，分段函数的定义域是指每个范围的并集.说明：1.本例所给出的函数模型是一个速度-时间图象，向另一种图象模型和解析式模型转化，建立了分段函数模型。

2.解决应用题的一般步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

实例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长

y y0e提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

rt(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增

长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;设问：描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种函数模型需要几个因素? y0和r 设问：根据表中数据如何确定函数模型? 先求1951-1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定y0的值,从而确定人口增长模型.y55196e得到马尔萨斯人口增长模型：

0.0221t,tN设问：对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价? 作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上.由图可以看出,所得模型1950-1959年的实际人口数据基本吻合.(2)如果按数据表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿? 该模型只能大致描述自然状态下的人口增长情况，而对于受到人为影响的人口增长情况，如计划生育。如果不实行计划生育，我国将面临难以承受的压力，计划生育政策，利国利民.设问：如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法? 已知函数值,求自变量的值.设问：依据表中增长趋势，你算一算我国2050年的人口数？ 利用函数模型既能解决现实问题，也可预测未来走向.说明：本题体现数学建模的思想，检验模型，更体现模型的实际应用价值。

练习1：某人开汽车以60km/h的速率从A地到150km远处的 B 地，在B地停留1小时后，再以50km/h的速率返回A 地。把汽车与A地的距离S表示为从A地出发时开始经过的时间t（小时）的函数，并画出函数的图像。

60t0t2.5S1502.5t3.515050(t3.5)3.5t6.5练习2：水库蓄水量随时间而变化，现有t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量V(t)(单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

(1)该水库的蓄求量小于40的时期称为枯水期.以 i1ti2t14t0t10V(t)4t103t404010t12

i月份 i1,2，12表示第 问一年内哪几个月份是枯水期？

(2)求一年内该水库的最大蓄水量.设问：想一想：生活中我们该如何节约用水？

三、小结： 本节重点是：

1、体验函数模型是用来解决客观世界中存在的有关实际问题；

2、建立分段函数的函数模型时，要注意定义域“不重、不漏”的原则；

3、利用函数模型既能解决现实问题，也可预测未来走向。

4、建立（确定）函数模型的基本步骤： 第一步：审题

读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解题中所给的图形、表格的现实意义，进而把握住新信息，确定相关变量的关系。第二步：建模

确定相关变量后，根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：求模

利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：还原再转译为具体问题作出解答。

篇7：函数模型的应用教案

课 题: 三角函数模型简单应用 设计者:

学 院: 数学学院 时 间: 2015-9-24 三角函数模型的简单应用

一、教学目标

1、知识与技能:a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会 由图象求解析式的方法;b 根据解析式作出图象并研究性质;c 体验实际 问题抽象为三角函数模型问题的过程;d 体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型.2、过程与方法:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建 模” 思想 , 从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.3、情感态度价值观:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实 际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在 解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍 的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

二、教学重难点

教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的三角函数关系 来建立数学模型,并运用相关学科的知识来解决问题.三、教学过程 1.情景展示,新课导入

【师】 经过前面的学习, 大家知道, 在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象, 而要定量地去刻画这些现象, 我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们 将来学习三角函数模型的简单应用。

【师】 老师想问大家一个问题:若干年后, 如果在座的各位有机会当上船长的话, 当 你的船只要到某个港口去 ,你作为船长,你希望知道关于那个港口的一些什么情况? 【生】水深情况。

【师】 是的, 我们要到一个陌生的港口时, 是非常想得到一张有关那个港口的水深与 时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢?请同学们看下面这个问题。

问题探究 1:如图所示,下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 水深 /米 时刻 水深 /米 时刻 水深 /米

3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5

【师】请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息? 【生】(思考中发现水深的最大值是 7.5米,最小值是 2.5米。【师】水的深度变化有什么特点吗? 【生】水的深度开始由 5.0米增加到 7.5米,后逐渐减少一直减少到 2.5,又开始逐渐 变深,增加到 7.5米后,又开始减少。

【师】 大家发现,水深变化并不市杂乱无章, 而是呈现一种周期性变化规律,为了更加 直观明了地观察出这种周期性变化规律,我们需要做什么工作呢? 【生】需要画图。

【师】 非常好, 下面大家拿出一张白纸, 以时间为横坐标,以水深为纵坐标建立平面直 角坐标系,将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中去。

(学生活动:作图

【师】(电脑呈现作图结果 大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起 来,得到的图象形状,可以用哪个函数来刻画呢? 【生】跟三角函数模型 sin(y A wx h ϕ=++很象。(师板书 2.5sin 55.50.3(2 6x x π+≥--【师】下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗?(学生活动,求解解析式

【生】从数据和图像可以得出:7.52.522.5, 5, 12, 02A h T πϕω-======

【师】这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型,为 了保 证所选函数的精确性, 通常还需要一个检验过程(因为时间关系, 老师事先已经帮大家检验 过了,这里就不检验,同学们可以下去检验下有了这个模型,我们要制定一张一天 24内 整时刻的水深表,就是件非常容易的事情了.【师】 有了水深关于时间的函数模型以后, 作为船长考虑的问题还没有结束, 因为船只 在进出港时, 每艘船只的吃水深度是不一样, 下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进 去的一个问题: 问题探究 2:一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离 为 4米, 安全条例规定至少要有 1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离,试问:该船何时能够进入港口?在港口能呆多久? 【师】货船能够进入港口所需要满足的条件是什么?(师生一起分析 【师】只有当“实际水深 吃水深度 +安全间隙”时,船只才可以进去或离开港口。怎 样用数学语言将这一条件给转述出来呢? 【生】 2.5sin 41.56x π≥+,即 sin 0.26x π≥,(师生齐分析解三角不等式,通常我 们是算去边界值,然后再确定解的范围。【师】令 sin 0.26x π=(学生活动:操作计算器计算 0.2014, 0.38486x x π≈=，【师】 我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个, 那么在 [0, 24]范围内 , 其他一 些解该怎么求呢?我们来看图象情况。(电脑呈现图象

发现:在 [0, 24]范围内,方程

0.26x π=的解共有 4个,从小到大依次记为: 那么其他三个值如何求得呢?(学生思考

【师】 得到了 4个交点的横坐标值后, 大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港? 什么时间出港呢?(学生讨论,交流

【生】货船可以在 0时 30分钟左右进港,早晨 5时 30分钟左右出港;或者是中午 12时 30分钟左右进港,在傍晚 17时 30分钟左右出港。

【生】货船可以在 0 时 30 分钟左右进港，可以选择早晨 5 时 30 分，中午 12 时 30 分，或者傍晚 17 时 30 分左右出港。【师】上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情 况更符合实际或者说更安全。（学生讨论，最后确定方案 1 为安全方案，因为当实际水深小 于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）【师】大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃 深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载 满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量 的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是 一个常数，现在它

也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都 在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？请看下面问题： 问题探究 3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4 米，安全条例规定至少要 有 1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在 2：00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 【师】题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？（学生讨论）【生】当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必修停止卸货。【师】那么我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深 安全 水深 即： 2.5sin x 6  5  5.5  0.3(x ，2 【师】这样的不等式大家会解吗？ 【生】不会 【师】用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题。（电脑作 图并呈现）

通过图象可以看出，当快要到 P 时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么 P 点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）【师】P 点横坐标即为方程 2.5sin x 6  5  5.5  0.3(x 解，很显然，精确解我们是无法求 2 得，我们只能是求得其近似解，同学们回忆回忆，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？ 【生】二分法，【师】如何用二分法求得近似解呢？（师生一道分析）由图得点 P 在[6，7]，故我们 只需要算出 6，6.5，7 三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。时间 6．0 6．5 7．0 实际水深 5米 4．2 米 3．8 米 安全水深 4．3 米 4．1 米 4．0 米 是否安全 安全 较安全 危险 货船应该在 6 时 30 分驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以讨论）【师】从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会 出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上帐后在驶回来。这样对 老板来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？这显然不是老板愿意看到的。那改怎么来做 呢？（学生讨论）【生】可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。【师】看下面这个问题： 问题探究 4：若船的吃水深度为 4 米，安全间隙为 1。5 米，该船在 2：00 开始卸货，货物 卸空后吃水深度为 2 米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每 小时吃水深度至少要以多少速度减少？（学生课后探究）

篇8：传递函数模型在居民储蓄中的应用

改革开放以来, 我国经济保持了较高的增长势头, 而国民收入分配也逐渐向个人倾斜, 使得居民收入不断提高。从全球经济角度而言, 我国居民储蓄率明显偏高, 长期以来一直保持在40%左右, 远远高于世界25%左右的一般水平。这其中除了我国所具有的储蓄传统外, 把仅有的一点闲钱存到银行成为许多居民不得已而为之的理财方式。业内人士指出, 除了国家社会保障制度不健全, 居民对未来预期不乐观等因素外, 投资机会, 特别是金融投资渠道的缺乏, 是中国储蓄居高不下的一个重要原因。有关分析表明, 居民储蓄存款的高速增长与居民收入的增长密切相关。许多居民储蓄是出于养病防老以及后代教育的考虑, 部分储蓄甚至是居民的“养命钱”。储蓄存款在一定程度上缓解了医疗和养老保障不足、教育收费越来越高给社会带来的压力。因此, 本文将运用传递函数模型 (即ARIMAX模型) 定量分析我国居民储蓄的发展变化, 通过现实数据分析居民储蓄余额与国内生产总值之间的相关性, 并对居民储蓄进行有效的预测。

二、文献回顾

胡学锋 (2001) [1]利用1952年~1998年的年度数据对居民储蓄和GDP做了几种模型形式的比较, 最后得出引入回归项GDP后各个检验系数均较好, ARIMAX模型可以应用在该领域的结论。谈樱佳 (2005) [3]试图从预防性储蓄理论出发, 认为储蓄的主要动机是预防意外事件, 当人们预期未来收入不确定时, 就会进行预防性储蓄。随后分析了影响我国居民预期未来收入不确定的因素, 并提出相关建议。谭晴 (2009) [6]通过对居民储蓄的研究成果的借鉴和修正, 运用EVIEWS进行多元线性回归, 建立了我国城乡居民储蓄存款模型。通过对回归模型结果的分析, 得出我国居民储蓄存款的变化主要是居民可支配收入及其均等程度决定, 而利率并不是导致居民储蓄变化的主要因素。

这些研究大多基于经典的线性回归模型, 问题是很多动态数据不仅受到其他变量当期的影响, 还受到自身变量过往数据的影响。本文拟通过AIMAX模型构造动态居民储蓄模型以更好地进行居民储蓄的分析、预测。

三、实证分析

1. 传递函数模型 (ARIMAX) 简介。

传递函数模型研究的是具有一个或多个输入变量的单输出线性系统。其模型形式为:

上述模型被称为动态回归模型, 简记为ARIMAX。式中, 响应序列yt和输入变量序列 (即自变序列) x1t:, x2t:, ……, xkt;Φ (B) 为残差序列自回归系数多项式;Θ (B) 为残差序列移动平均系数多项式;at为零均值白噪声序列。

2. 数据整理。

本文选用1978年~2010年的年度数据作为分析对象 (数据来源于中经网数据库) 。很容易得出原数据序列 (S和GDP) 具有稳步上升的趋势, 均是非平稳数据, 而其对数一阶差分后序列 (dln S和dln GDP) 是否是平稳序列, 还需进一步利用单位根检验诊断。

3. 平稳性检验。

我们对原序列S和GDP, 以及处理后序列dln S和dln GDP做单位根ADF检验, 检验结果见表1:

注:检验类型 (C, N, T) , C表示带截距项, T表示带有趋势项, N表示确定的SIC确定的滞后阶数。

结果表明原序列S和GDP是非平稳的, 而对数一阶差分后序列是平稳的, 可以建立传递函数模型。

4. 传递函数建模。

针对对数一阶差分后序列 (dln S和dln GDP) 进行建模, 综合考虑各评价标准, 得到的最佳拟合函数如下:

其中St、GDPt分别表示我国居民储蓄和GDP, at为零均值白噪声序列。

对模型残差进行检验, 不存在自相关, 说明模型建立是合理的。用条件最小二乘法估计的模型输出结果如表2所示:

可见, 在90%置信度水平下, 各项参数均通过显著性检验。对残差进行检验, 残差无自关, 说明模型建立是合理的。

该系统可以解释为输入变量GDPt通过对输出变量St产生影响, 随机干扰项通过 (1-0.9755B-0.38741B2) 叠加到系统上, 居民收入对居民储蓄有滞后1期的影响。

5. 模型拟合预测。

我们通过已建立的传递函数模型对1978年至2010年实际居民储蓄值进行拟合, 并对2011年实际居民储蓄值进行预测, 如下图。

从图形可以看出模型拟合值和实际值相差较小。首先, 我们可以看到2007年~2008年间, 居民储蓄的拟合值比实际值略高。2007年末居民储蓄存款余额172534亿元, 比上年末增加10967亿元, 本文拟合值为173867亿元。居民储蓄的预测值也比实际值略高。这可能主要与股票市场交易持续活跃, 分流了一部分储蓄存款到股票市场有关。其次, 自2008年底金融危机以来, 我国持续实行刺激消费的低利率政策。在高通货膨胀和低利率的刺激下, 2009年~2010年居民储蓄的实际值到超过了拟合值, 于2010年底达到303302亿元, 高于本文的预测值296268.4亿元。鉴于上述情况, 本文预测2011年末居民储蓄存款余额是333845.7亿元。

从实证分析的结果来看, 2002年以来居民储蓄的拟合值和预测值大多比实际值略高。这可能与以下两个原因有关, 一方面来自于城乡居民收入水平稳步提高以及通货膨胀压力的加大, 消费意愿的增强。另一方面, 资本市场繁荣使居民选择收益相对较高的股票、基金等投资工具或理财产品的意愿增强, 证券公司客户保证金大幅增加, 分流了部分居民户存款。央行于2010年12月发布的《2010年第4季度全国城镇储户问卷调查》显示, 近半数的被调查者认为物价过高, 调查同时显示, 随着股市震荡调整, 居民投资股票和基金的热情迅速上升。随着理财热在各城市兴起, 部分居民也开始尝试以购买保险等理财产品作为投资方式, 这也将进一步导致居民储蓄的分流。

综上所述, 居民储蓄仍会稳步有升, 不同的是, 其上升幅度会逐渐减缓。本文预测2011年末居民储蓄存款余额是333845.7亿元。

参考文献

[1]胡学锋.ARIMAX模型在居民储蓄存款预测中的应用[J].财经问题研究, 2001, (1) .

[2]汪远征, 徐雅静.多元平稳时间序列ARIMAX模型的应用[J].统计与决策, 2007, (9) .

[3]谈樱佳.预防性储蓄理论与我国居民储蓄行为探析[J].理论探讨, 2007, (9) .

[4]李若愚.如何对待居民储蓄高速增长[N].人民日报, 2003-01-22.

[5]苗燕.股市分流居民储蓄5年首降[N].上海证券报, 2006-11-14.

[6]谭晴.基于EVIEWS我国城镇居民储蓄率变化实证分析[J].现代商贸工业, 2009, (8) .

[7]王宇, 安蓓.我国居民储蓄增减历程[EB/OL].2007-06-14].http://finance.sina.com.cn/g/20070614/20123692987.shtml.

[8]高惠璇, 等.SAS系统SAS/ETS软件使用手册[M].北京:中国统计出版社, 1998.

篇9：探究一次函数模型的应用

[关键词] 一次函数；模型应用；地铁票价；盈利；亏损

在学习某一数学知识的过程中，学生经常会提出这样的问题：老师，学了这个知识有什么用？如果我们回答：为了解题，为了考试. 显然没有说服力. 就目前我们所学的知识，难道真的找不到它的用武之地吗？本文以笔者所上的一节“一次函数模型应用”课为例来说明函数的应用.

在本次课之前，笔者所教授的班级已经学习了正比例函数与一次函数，教学片段展示如下.

问题1：你能用我们学过的函数模型近似地描述“某地铁线路的盈利额与乘客量之间的关系”吗？

生：首先应确定票价，设票价为a，设盈利额为y，乘客量为x，则可用正比例函数模型，即y=ax来描述.

师：大家同意该生的观点吗？

生：结合实际情况来看，地铁运营要有固定的成本，所以当乘客数x=0时，利润y应为负值，所以它应该是一次函数模型，即y=ax+b.

师：好，我们来回顾一下一次函数的相关知识.

生：一次函数的关系式是y=kx+b，其图像是一条直线. 当k>0时，y随x的增大而增大. 若b>0时，则直线过第一、二、三象限，如图1所示；若b<0时，则直线过第一、三、四象限，其图像如图2所示.

当k<0时，y随x的增大而减小，若b>0时，则直线过第一、二、四象限，如图3所示；若b<0时，则直线过第二、三、四象限，其图像如图4所示.

师：在这里k起到什么作用？

生：反映了直线的倾斜程度，当k>0时，k越大，直线越陡峭；k越接近于0，直线越平缓. 当k<0时，k越小，直线越陡峭；k越接近于0，直线越平缓.

师： 那么这个函数的图像大致形状是什么样的？

生：如图2所示.

师：同学们是否有异议？

生：函数是有定义域限制的，乘客量应是正整数，而且是有限的，所以该函数的图像应为在某条线段上的一些整点.

师：非常好！为了研究方便，我们就近似地用直线来表示这个函数的图像.

评析：通过问题的引入，引导学生联系所学知识与生活问题建立关联. 但要注意生活问题因有其实际意义，故不能直接套用所学数学模型，应根据实际问题对函数模型进行相应的调整. 将生活中的数学问题构造出的模型，大多为一种符号模型，即把题目中的已知量、未知量、常量、变量分别列出，再添加题目的各种约束条件，进而得出相应的数学结论.

问题2：如果目前这条线路处于亏损状态，你们有什么办法令其扭亏为盈吗？

生：提高票价.

师：虽然简单粗暴，但确实是行之有效的办法. 如果提高了票价，那么函数的图像有什么变化？

生：提高票价，即直线的倾斜程度变得更陡峭，如图5所示.

师：当然，票价提高多少，还需要做科学的调查，我们在此先不做深入研究. 还有没有其他的办法？

生：降低成本.

师：你很有奉献精神. 如果降低了成本，函数的图像又会有什么变化？

生：票价不变，说明直线的倾斜程度不变，直线向上平移，如图6所示.

师：当然实际情况可能不像我们所想象的那样简单，地铁公司可能有更科学的定价方案.

评析：通过对问题1进行变式，由函数模型与实际问题的关系，利用函数模型实现对实际问题的处理，从而提出有针对性的策略.

问题3：请同学们思考一下，如果我们也近似用一次函数模型来表示，那么随着票价的增加，乘客量会有什么变化？

生：票价越高，乘坐地铁的人就会越少. 设票价为x，乘客量为y，则y=kx+b（k<0）.

师：若票价与乘客量之间的关系如图7所示，则票价为多少时，盈利额最大？

生：由图知，当票价x=1时，y=10；x=5时，y=2.将其代入直线方程y=kx+b，得k+b=10，5k+b=2， 解得k=-2，b=12.所以函数关系式为y=-2x+12.

师：能否求出盈利额的最大值？以及当盈利额最大时，票价应定为多少？

生：设盈利额为L，成本为B，则有L=x（-2x+12）-B. 因此当票价x=3时，盈利额最大，最大值为18-B.

师：函数模型确定以后，我们就可以用于决策方案的确定. 当然具体问题的处理不像我们所设想的这样简单.

评析：把生活问题转化为相应的数学模型后，再根据要求对该模型进行求解.通常情况下，把实际应用问题数学化之后，生活问题便成为普通的数学问题了.

问题4：该地铁公司决定实行按照乘车里程分段计价. 方案如下：

乘坐地铁方案6公里（含）内3元；

6公里至12公里（含）4元；

12公里至22公里（含）5元；

22公里至32公里（含）6元；

32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.

已知在某段线路上，任意一站到A站的票价不超过5元，现从那些只乘坐该线路地铁，且在A站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图8所示. 如果从那些只乘坐该线路地铁，且在A站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率.

生：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”. 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20.

nlc202309082257

所以票价小于5元的有60+40=100（人）.

故120人中票价小于5元的频率是=.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率P（A）=.

师：使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠.

某同学上学，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次，每月按上学22天计算. 如果该同学每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么他每月第21次乘坐地铁里时，他刷卡支出的费用是________元；他每月上下学乘坐地铁的总费用是_______元.

生：该生每天的上下学的费用分别为5元，即每天10元. 10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8=4元.

10天后的费用为100元，再过6天后花费8×6=48元，此时合计花费148元.

第17天上午累积花费148+4=152元，从第17天的下午开始车费为5×0.5=2.5元. 此时到22天结束还需要要乘车11次，需要花费2.5×11=27.5元.

故合计152+27.5=179.5元.

答案为4；179.

评析：通过仔细审视题目信息，弄清题目中的每一个词语的含义，深入挖掘其中所涉及的隐含信息；再将题目中生活、生产中的语言准确地用我们所学数学语言表达出来，分清条件和结论，理顺题目中各种数量之间的关系，联想归结为自己所熟悉的某种基本数学关系.

总之，应用函数模型解决实际问题时可遵从如下步骤：首先，对实际问题进行模型概括：探究实际生活问题中各变量间的关系，并用x，y分别表示问题中的变量；其次，确立函数模型：将变量y表示为x的函数，建立的函数模型即为函数的解析式；最后，求解函数模型：根据实际生活问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，准确选择相应的函数知识求模型的解，并将所得结论应用到实际问题中.

当然，数学模型的应用不仅局限于此. 数学来源于生活，应用于生活，我们要善于观察身边的事物，用所学的知识去解决生活中的问题，让数学变得不再枯燥. 笔者在此抛砖引玉，希望对读者有所启发，共同探究应用数学知识解决生活问题，真正实现学有所用、学以致用.