函数的奇偶性复习教案

函数的奇偶性复习教案（精选8篇）

篇1：函数的奇偶性复习教案

高三 ①f(x)(x1)1x

非奇非偶函数 1x

偶函数 ②f(x)lg(1x2)x222x2x(x0)③f(x)

奇函数 2xx(x0)④f(x)3x2x2既是奇函数又是偶函数

⑤f(x)x2xaa=0时偶函数，a≠0时非奇非偶函数 ⑥f(x)x2x2

例2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求证：f(0)=②求证：y=f(x)是偶函数 证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)

∴f(-y)=f(y)

∴y=f(x)是偶函数

变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。

解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0)

∴f(0)=0 令x1=x

x2=-x则f(0)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)∴y=f(x)是奇函数

2例3．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x+2x-1 ①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

x22x1(x0)(x0)答案：①可确定，f(x)0x22x1(x0)②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。

2a2xa2变式：已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。x212x2分析：用f(-x)=-f(x)(x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，f(x)x

21例4．已知g(x)是奇函数，f(x)log2(x1x)g(x)2且f(3)5，求f(3)

2x18f(x)log2(x21x)g(x)2xxx简解： 相加得：f(x)22f(x)

2xf(x)log2(x1x)g(x)2f(3)2323f(3)3

例5．已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在[0,)上为减函数，若f(a2a2)f(2a1)，求实数a的取值范围。

简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在[0,)上为减函数，∴由f(a2a2)f(2a1)有：

a2a20解得a≤-1或a≥2.aa2f(2a1)

22aa2(2a1)2例6．设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR．

（1）讨论f(x)的奇偶性；

（2）求 f(x)的最小值．

解：（1）当a0时，f(x)(x2)|x|1f(x)，此时f(x)为偶函数；

当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，∴f(a)f(a),f(a)f(a), 此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

22（2）①当xa时，函数f(x)xxa1(x)a123，41，则函数f(x)在(,a]上单调递减，∴函数f(x)在(,a]上的最小值为2f(a)a21；

1131若a，函数f(x)在(,a]上的最小值为f()a，且f()f(a)．

22421232②当xa时，函数f(x)xxa1(x)a，241131若a，则函数f(x)在[a,)上的最小值为f()a，且f()f(a)；

22421若a，则函数f(x)在[a,)上单调递增，∴函数f(x)在[a,)上的最小值2f(a)a21．

1311综上，当a时，函数f(x)的最小值是a，当a时，函数f(x)的最小值22242是a1，13当a，函数f(x)的最小值是a．

24若a

（四）巩固练习：

1、以下五个函数：（1）y14x(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x； x（5）ylog2(xx21)，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________ 变题：已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性如何？

2、函数yaxbxc是偶函数的充要条件是___________ 7533、已知f(x)axbxcxdx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7，则2f(7)_______

4、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于（）

（A）x轴对称

（B）y轴对称

（C）原点对称

（D）以上均不对

5、函数F(x)(12)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（）2x1（A）是奇函数

（B）是偶函数

（C）可能是奇函数也可能是偶函数

（D）不是奇函数也不是偶函数

答案：

1、（1）（5）；（2）；（3）（4）变题：奇函数

2、b0 3、17

4、B

5、A

四、小结：

１．定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； ２．y=f(x)是奇（偶）函数y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)５．函数奇偶性的判断与应用。

11[f(x)f(x)][f(x)f(x)] 2

2五、作业：

篇2：函数的奇偶性复习教案

●知识梳理

1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基

1.下面四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函数

B.偶函数 C.既奇且偶函数

D.非奇非偶函数

3解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是

A.f（cosα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）

解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知（fx）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝

32.又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.答案：13

0 1x5.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+

x21）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤

②

③④ ●典例剖析

【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f（0）＜f（－1）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f（x）在［－2，0］上单调递减.∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［0，2］上单调递增.又f（－1）=f（1），故应选A.答案：A 【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）²

1x1x；

（3）f（x）=1x2|x2|2x(1x)x(1x)；

（4）f（x）=(x0),(x0).剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由

1x1x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.1x20,1x1,由得

x0且x4.|x2|20,故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）= 1x2x22=1xx2，这时有f（－x）=

1(x)x2=－

1xx2=－f（x），故f（x）为奇函

数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1²x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（1³1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）³（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数.（3）解：f（4³4）=f（4）+f（4）=2，f（16³4）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组

(3x1)(2x6)0, (3x1)(2x6)64(3x1)(2x6)0,(3x1)(2x6)64,或

1x3或x,1x3,3或或3

xR.7x53∴3＜x≤5或－73≤x＜－

7313或－

1313＜x＜3.或－

13∴x的取值范围为{x|－≤x＜－＜x＜3或3＜x≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：

（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展

已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a，b），g（x）＞0的解集是（b2

2a22，），b2＞a，那么f（x）²g（x）＞0的解集是 2

A.（a222，b2b2）

b2

2B.（－b，－a2）D.（a2C.（a，）∪（－，－a）

2，b）∪（－b2，－a2）

提示：f（x）²g（x）＞02

f(x)0,g(x)02

或f(x)0,g(x)0.∴x∈（a，答案：C b2）∪（－

b2，－a）.【例4】（2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+

px+m（p≠0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－pxpx+m=－x－－m.∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max= f（2）=2+p2，f（x）min=f（1）=1+p.p］上是减函数，在［

p，+∞）（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，上是增函数.①当p＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数，∴f（x）max=f（2）=2+②当

p2，f（x）min=f（1）=1+p.p∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.p.f（x）min=f（p）=2f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+当1≤p≤2时，1+p≤2+③当

p2p2}.p2，f（x）max=f（2）；当2＜p≤4时，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.p＞2，即p＞4时，f（x）在［1，2］上为减函数，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+（文）解答略.p2.评述：f（x）=x+px（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.深化拓展

f（x）=x+px的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？

●闯关训练 夯实基础

1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）=f(x)f(x)x0,x0, f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：D 2.（2003年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是

A.增函数

C.先增后减的函数

B.减函数

D.先减后增的函数

解析：∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A 3.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lgf（x）的表达式是__________.解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg答案：lg（1－x）

x224.（2003年北京）函数f（x）=lg（1+x），g（x）=0x2x1,|x|1,h（x）=tan2x中，x1.11x，那么当x∈（－1，0）时，11x=lg（1－x）.______________是偶函数.解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）］=lg（1+x）=f（x），∴f（x）为偶函数.又∵1°当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，∴g（－x）=0.又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）.2°当x＜－1时，－x＞1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2.又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）.3°当x＞1时，－x＜－1，2

∴g（－x）=（－x）+2=－x+2.又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）.综上，对任意x∈R都有g（－x）=g（x）.∴g（x）为偶函数.h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h（x），∴h（x）为奇函数.答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=a2a22122xxx为奇函数，求实数a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－a－22x1+ 1=0，得a=1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析.（文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案：A 培养能力 7.已知f（x）＝x（12x12.1＋

12）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）＞0.（1）解：f（x）＝x²

2xx11)，其定义域为x≠0的实数.又f（－x）＝－x²

2xx11)2(212xx2(2＝－x²＝x²

2xx11)＝f（x），2(12)2(2∴f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0.又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0，∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0，即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.探究创新

8.设f（x）=log1（21axx1）为奇函数，a为常数，（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增；

（3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（m的取值范围.（1）解：f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴log1ax1212）+m恒成立，求实数

xx1=－log

1ax12x11axx1=

x11ax＞01－a2x2=1－x2a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1.（2）证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.∴0＜2x11＜2x210＜1+

2x11＜1+

2x210＜

x11x11＜

x21x21log

x1112x11＞logx2112x21，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）内单调递增.1（3）解：f（x）－（）x＞m恒成立.2令g（x）=f（x）－（）x.只需g（x）min＞m，用定义可以证g（x）在［3，4］上是

21增函数，∴g（x）min=g（3）=－

98.∴m＜－

98时原式恒成立.●思悟小结

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心 教学点睛

1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.拓展题例

【例1】 已知函数f（x）=

ax21bxc（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）＜3，得4a1a1＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=

12，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；

（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；

篇3：函数的奇偶性

函数的奇偶性是函数的一个重要的性质, 也是每年高考的内容之一, 运用的过程要紧扣定义, 注意理解其本质, 灵活运用其性质, 综合考虑图像、定义域等方面的联系.

一、对函数奇偶性的理解

奇偶性是函数在整个定义域内的性质, 在函数定义域内的真子集上讨论函数的奇偶性是没有意义的.只有对函数定义域内的每一个x, 都有f (-x) =-f (x) 或f (-x) =f (x) , 才能说函数f (x) 是奇函数或偶函数.因此, 定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提条件.如果一个函数的定义域不关于原点对称, 这个函数必定既不是奇函数也不是偶函数.

二、函数奇偶性的分类

函数按奇偶性分为四大类:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.

既是奇函数又是偶函数的函数必为f (x) =0, x∈M, M为任意关于原点对称的非空数集, 也就是说, 既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个, 它们的解析式相同, 但是定义域不同.

三、函数奇偶性的判定方法

1.判断函数奇偶性的步骤:首先求函数的定义域, 判断定义域是否关于原点对称.若定义域不关于原点对称, 则函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称, 进一步判断f (-x) 与f (x) 的关系.若满足f (-x) =-f (x) 或f (-x) +f (x) =0或$\frac{f(-x)}{f(x)}=-1$, 其中f (x) ≠0, 则是奇函数;若满足f (-x) =f (x) 或f (-x) -f (x) =0或$\frac{f(-x)}{f(x)}=1$, 其中f (x) ≠0, 则是偶函数;若两者都不满足, 则是非奇非偶函数;若两者都满足, 则是既奇又偶函数.

2.两个奇 (偶) 函数的和、差函数还是奇 (偶) 函数;两个奇 (偶) 函数的积、商函数是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积、商函数是奇函数.

3.如果一个解析式为整式形式的函数是奇函数, 则它只能含有奇次项, 即偶次项的系数和常数项都等于0;如果它是偶函数, 则它只能含有偶次项和常数项, 即奇次项的系数等于0.

4.设f (x) 是定义域关于原点对称的一个函数, 则F (x) =f (-x) +f (x) 为偶函数, G (x) =f (-x) -f (x) 为奇函数.

5.任何一个定义域关于原点对称的函数f (x) 都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和, 即f (x) =g (x) +φ (x) , 其中$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$是奇函数, $\phi (x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$是偶函数.

四、奇函数和偶函数的图像特征

1.对称性:

奇函数的图像关于原点对称;如果一个函数的图像关于原点对称, 则这个函数为奇函数.偶函数的图像关于y轴对称;如果一个函数的图像关于y轴对称, 则这个函数为偶函数.根据这些性质, 可以帮助我们作出或研究函数的图像、讨论函数的单调区间、求函数的解析式等.

2.单调性:

对称性可以用来讨论函数的单调性和单调区间.在定义域内, 奇函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的单调区间上的单调性相反.

五、函数奇偶性的应用

1.若函数f (x) 为偶函数, 则f (-x) =-f (x) =f (|x|) , 这个性质经常和函数的单调性结合在一起使用.如f (x) 是R上的偶函数, 当x≥0时, f (x) 是增函数, 则f (x1) <f (x2) ⇔f (|x1|) <f (|x2|) ⇔|x1|<|x2|.利用这个性质可以帮助我们简便解题, 避免分类讨论带来的麻烦.

2.若奇函数f (x) 的定义域中包含x=0, 则f (0) =0.

总之, 认知函数奇偶性, 就要抓住函数奇偶性的本质, 掌握应用中的基本方法与技巧及其图像特征, 才能提高应用和解题能力.

篇4：谈函数奇偶性的复习

一、 必须在定义域中来研究函数的奇偶性

例1 判别下列函数的奇偶性

(1) f(x)=(1+x)1-x1+x；(2) g(x)=lg(1-x2)｜x+2｜-2．

解：(1) ∵函数定义域为｛x｜－1＜x≤1}

∴它不关于数轴上原点对称，故f（x）是非奇非偶函数

(2) ∵函数定义域为1-x2＞0｜x+2｜-2≠0

∴其定义域为｛x｜－1＜x＜1且x≠0}

此时g(x)=lg(1-x2)(x+2)-2=lg(1-x2)x

可验证g（x）是奇函数

二、 证明函数的奇偶性时，要对函数（或证明函数奇偶性过程中）加以化简或转化

例2 判断下列函数奇偶性

(1) f(x)=lg(x2+1-x)；(2) g(x)=axax+1-12（a＞0且a≠0）．

解：(1) f(x)=lg(x2+1-x)可知定义域为R

∴f(-x)=lg(x2+1-(-x)=lg(x2+1+x)=lg(x2+1-x)-1

=-lg(x2+1-x)=-f(x)

∴函数f（x）R上为奇函数

(2) g(x)=axax+1-12

∴g(x)=ax-12(ax+1)，定义域为R

又g(-x)=a-x-12(a-x+1)=1ax-121+1ax+1=1-ax2(1+ax)=-g(x)

∴函数g（x）为R上奇函数

三、 会利用图象来形象地判断函数的奇偶性

例3 判断下列函数奇偶性：f(x)=-x2+2x+1,x＞0x2+2x-1,x＜0．

解：y＝f（x）的图象为右图，

可知它关于原点对称

∴该函数是奇函数

四、 会证明抽象函数的奇偶性

类型（一）：用赋值法产生“f（0）”

例4 定义R上函数f（x），对任意x1，x2均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．

解：令x1＝x2＝0，则f（0）＝f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0）

∴f（0）＝0

∴0＝f（0）＝f［x＋（－x）］＝f（x）＋f（－x）

∴得f（－x）＝－f（x）

∴f（x）为R上奇函数

类型（二）：用赋值法产生“f（－1）”

例5 已知定义域为D＝｛x｜x≠0｝上函数f（x），对x1，x2∈D均有f（x1•x2）＝f（x1）＋f（x2），求f（x）奇偶性．

解：令x1＝x2＝1，得f（1）＝f（1•1）＝f（1）＋f（1）f（1）＝0

∴f（1）＝f（－1×（－1））＝f（－1）＋f（－1）知f（－1）＝0

∴f（－x）＝f（－1•x）＝f（－1）＋f（x）＝f（x）

故函数f（x）是R上偶函数

类型（三）：联想具体函数加以猜想

例6 已知定义R上f（x），对任意x，y均有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）且f（0）≠0，求f（x）奇偶性．

解：(1) 通过题意的条件和其特征，加以联想，如f（x）＝cosx就满足条件

即：cos（x＋y）＋cos（x－y）＝2cosxcosy

∴可猜出f（x）是偶函数

(2) 令x＝y＝0，知f（0＋0）＋f（0－0）＝2f（0）f（0）又f（0）≠0

∴f（0）＝1

∴由题意知f（0＋x）＋f（0－x）＝2f（0）f（x）

∴f（x）＋f（－x）＝2f（x）

∴得f（－x）＝f（x）

∴函数为R上偶函数

类型（四）：通过代换或换元来证明函数单调性

例7 已知定义为R的函数f（x）满足：f（x）对任意x1，x2∈R均有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，问f（x）＋1的奇偶性．

解：令F（x）＝f（x）＋1，下面只要判断F（－x）与F（x）的关系，由题意知，f（x＋（－x））＝f（x）＋f（－x）＋1

∴F（－x）＋F（x）＝［f（－x）＋1］＋［f（x）＋1］

＝f（－x）＋f（x）＋2

＝［f（－x）＋f（x）］＋2

＝［f（－x＋x）－1］＋2

＝f（0）＋1

又令x1＝x2＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＋1

知f（0）＋1＝0

∴F（－x）＋F（x）＝0

∴得F（－x）＝－F（x）

∴F（－x）是奇函数，则f（x）＋1是奇函数

五、 利用函数奇偶性求解析式

例8 已知定义R上的奇函数f（x），当x＞0时f（x）＝x3－x2＋1，求f（x）解析式．

解：设x＜0

∵函数f（x）为奇函数，则f（x）＝－f（－x）又－x＞0

∴f（x）＝－f（－x）＝－［（－x）3－（－x）2＋1］＝x3－x2－1

∴f（x）解析式为f(x)=x3-x2+1,x＞00,x=0x3-x2-1,x＜0

不要忘记f（0）＝0

六、 函数奇偶性综合运用

类型（一）：与函数的单调性联系

例9 已知f（x）是R上奇函数，且函数是（－∞，0）上减函数，求f（x）在（0，＋∞）上单调性.

证明：设x1＞x2＞0 ∴－x1＜－x2＜0 由题意知f（－x1）＞f（－x2）

∴f（x1）－f（x2）＝［－f（－x1）］－［－f（－x2）］

＝f（－x2）－f（－x1）＜0

∴f（x1）＜f（x2）

∴函数f（x）是（0，＋∞）上减函数

类型（二）：与函数周期联系

例10 f（x）是定义R上的偶函数，且其图象关于直线x＝1对称，求函数f（x）的最小正周期．

解：由题意知，f（x）满足f（－x）＝f（2＋x）

又f（x）是偶函数

∴f（－x）＝f（x）得f（2＋x）＝f（x）

∴函数f（x）的最小正周期为2

类型（三）：与函数的图象联系

例11 已知函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f（x）是（1，＋∞）上增函数，比较f（0）与f（3）大小．

解：∵函数y＝f（x＋1）是偶函数，y＝f（x＋1）图象关于直线x＝0对称

∴函数y＝f（x）图象关于直线x＝1对称

∴f（0）＝f（2），又f（x）是（1，＋∞）上是增函数

∴f（2）＜f（3）

即f（0）＜f（3）

篇5：函数的奇偶性教案

教学目标

1．能够理解函数奇偶性的概念．

2．通过参与函数奇偶性概念的形成过程，养成观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法．

3．学生能够具有从特殊到一般的概括能力．

教学重点：函数奇偶性概念 教学难点：函数奇偶性的判定．

教具准备：幻灯片，投影仪，彩色粉笔，黑板 教学过程设计：

师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？

(幻灯．翻折片．)

观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性(图1)．

（生：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数的定义域是定义域为全体实数的折线；函数为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图像关于y轴对称。）

师：那么究竟什么叫关于y轴对称？

（生：从初中所学的轴对称概念可知，如果图形F与F′关于y轴对称，那么把图形F沿y轴折过来，一定与图形F′重合。）

师：(幻灯演示)将

在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

(幻灯演示)我们在函数

位于y轴右侧的图象上任取一点(x，f(x))，通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点（x′,f(x′)）.同学们由图像观察一下，这两个点的坐标有什么关系？

生：x=-x′,.也就是说，当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等．

师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？

生：一般地，如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做偶函数．

(当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．)

师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意实数x，都有f(－x)=f(x)”说明了什么？

生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的．

师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？

生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件．

师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义．

生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等．

师：下面我们看几个习题．

(幻灯)

1．判断下列函数是否是偶函数．

(1)

(2)

生：函数f(x)=x2，x∈[－1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不对称．

函数

也不是偶函数。因为它的定义域为｛x|x∈R且x≠1｝，并不关于原点对称．

(对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f(x)=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．)

(多重复合幻灯)

同学们，让我们再来观察下一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？

(幻灯．旋转片)

观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称．

师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？

生：从初中所学的中心对称概念可知，所谓图形F与F′关于原点对称，就是把图形F在它们所在的平面绕着原点旋转180°，一定能与图形F′重合。

师：(幻灯演示)将转180°，我们发现它与

在第一象限内的图象，绕着原点旋在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？

生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数．

师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？

生：如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

师：定义中“任意实数x∈D，都有f(－x)=f(x)成立”说明了什么？

生：这说明f(－x)与f(x)都有意义，即－x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的．

师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么这个定义的实质是什么呢？

生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数．

师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？

生：有．函数f(x)=0，x∈R就是一个．

师：那么这样的函数有多少个呢？

生：只有函数f(x)=0，x∈R一个．

师：再想一想．函数的三要素是什么呢？

生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域．

师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数．

生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为f(x)=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f(x)=0，x∈[－3，－1]∪[1，3]；f(x)=0，x∈[－5，－2]∪[－2，－5]等等．

师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数．

例1 判断下列函数的奇偶性：

(1)

；

（2）

分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．

解(1): f(x)的定义域是｛x|4＋x＞0且4－x＞0｝=｛x|－4＜x＜4｝，它具有对称性．

因为 f(－x)=lg(4－x)＋lg(4＋x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，不是奇函数．

(2)：当x＞0时，－x＜0，于是

当x＜0时，－x＞0，于是

.综上可知，在上，g(x)是奇函数．

例2 设F(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F(x)的解析式是，求F(x)在R上的表达式．

解 任取x∈(－∞，0)，设 P(x，y)是函数 F(x)图象上的一个点．由于F(x)是奇函数,所以，取x>0,则-x<0,且F(-x)=

=-

F(x)，所以F(x)=，（x>0）

当x=0时，F(－0)=－F(0)，即F(0)=0．所以奇函数

(今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法．)练习：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20]；

2．f(x)=x3＋x，x∈[－2，2)；

3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]；

4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|；

5．f(x)=|x－2|－|x＋2|；

6．f(x)=5；

生：1．f(x)=x2＋3，x∈[－10，20)的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数．

2．f(x)=x＋x，x∈[－2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数．

3．f(x)=0，x∈[－6，－2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f(－x)=f(x)且f(－x)=－f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数．

4．f(x)=|x－2|＋|x＋2|是偶函数．这是因为f(－x)=|－x－2|＋|－x＋2|=|x＋2|＋|x－2|=f(x)，且x∈R，所以是偶函数．

5．f(x)=|x－2|－|x＋2|是奇函数．这是因为f(－x)=|－x－2|－|－x＋2|=|x＋2|－|x－2|=－(|x－2|－|x＋2|)=－f(x)，且x∈R，所以是奇函数．

6．f(x)=5是偶函数．这是因为f(－x)=5=f(x)，且x∈R，所以是偶函数．

师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件． 小结：师生一起归纳这节课所学的知识。3 作业课本P66练习第1,2,4，6题．

1．设f(x)在R上是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1

补充题：

－x)．试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？

篇6：函数的奇偶性教案

重点：判断函数的奇偶性

难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

一、复习引入

1、函数的单调性、最值

2、函数的奇偶性

(1)奇函数

(2)偶函数

(3)与图象对称性的关系

(4)说明(定义域的要求)

二、例题分析

例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数

例2、证明函数 在R上是奇函数。

例3、试判断下列函数的奇偶性

三、随堂练习

1、函数 ( )

是奇函数但不是偶函数 是偶函数但不是奇函数

既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数

2、下列4个判断中，正确的是_______.

(1) 既是奇函数又是偶函数;

(2) 是奇函数;

(3) 是偶函数;

(4) 是非奇非偶函数

篇7：函数奇偶性教案

授课教师——李振明

授课班级——高一（8）

教学目的：

1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；

2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点和难点： 函数奇偶性的判断

一、引入新课： 题1：已知函数f(x)=3x 画出图形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

题2：已知函数g(x)= 2x2画出图形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

考察：f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)之间的关系是什么？

二、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，任

意一个x.①如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

三、例：判断下列函数的奇偶性

① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:

1、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。

２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

四、巩固练习

（1）如果对于函数f(x)的(任意一个X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数。

如果对于函数f(x)的（任意一个X），都有（f(-x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）奇函数的图象关于（关于原点）对称，偶函数的图象关于（y轴对称）对称。

（3）已知函数y = f(x)是奇函数，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函数中，偶函数是（B）

（5）函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

四、小结

1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。

①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

2、性质:奇函数的图象关于原点对称。

偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数。

五、课后思考题

已知函数f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，则当m、n为何值时，为奇函数

篇8：函数奇偶性小议

一、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件, 然而这一点却往往被许多学生所忽略。

例1:判断下列函数的奇偶性:

解析: (1) 由于函数定义域为[0, +∞) , 没有关于原点对称, 故该函数既不是奇函数也不是偶函数。

(2) 此题若忽略了函数定义域而直接求f (-x) , 则很难与f (x) 进行比较判断, 最后甚至误认为是非奇非偶函数。事实上, 函数定义域为[-2, 0) ∪ (0, 2], 满足关于原点对称, 此时函数可进一步化简为, 易知有f (-x) =-f (x) , 故函数为奇函数。

例2:偶函数f (x) 的定义域为 (k, 2k+3) , 则函数g (x) = (k+2) x2+ (k-1) x+3的单调递减区间为_____。

解析:f (x) 既是偶函数, 则其定义域必关于原点对称, 于是k+2k+3=0, 得k=-1, 从而g (x) =x2-2x+3, 单调递减区间为 (-∞, 1]。

二、函数奇偶性除了注意其定义域之外, 判定时也应注意形式多变, 方法多样, 只有做到对症下药, 解题时才可以得心应手。

例3:判断下列函数的奇偶性:

注:第 (1) 题应注意函数奇偶性定义的等价形式的应用:;第 (2) 题则应注意分子有理化在根式化简中的应用。

例4:定义在R上的函数f (x) 满足:对任意的x, y∈R, 都有f (x+y) =f (x) -f (y) , 证明函数f (x) 为偶函数。

解析:对抽象函数奇偶性的说明仍需比较f (-x) 与f (x) 的关系, 依题意, 令x=y=0, 可得f (0) =0, 再令y=-x, 则f (0) =f (x) - (-x) =0, 即f (-x) =f (x) , 所以f (x) 为偶函数。

三、函数奇偶性有着较多的性质, 在解题中有着广泛灵活的运用。

例5:已知函数是奇函数, 则a的值为_____。

解析:若直接采用f (-x) =-f (x) 两边进行比较求解, 很难得出结果。

方法二:利用奇函数的性质f (0) =0 (当x=0时函数有意义) , 即得:。

例6:若f (x) 为奇函数, 且在 (-∞, 0) 内是增函数, 又f (-2) =0, 则xf (x) <0的解集为 () 。

A. (-2, 0) ∪ (0, 2)

B. (-∞, -2) ∪ (0, 2)

C. (-∞, -2) ∪ (2, +∞)

D. (-2, 0) ∪ (2, +∞)

解析:本题可根据题设条件先作出函数f (x) 在 (-∞, 0) 内的大致图像, 如上图, 由对称性 (奇函数的图像关于原点对称) 及单调性 (在 (-∞, 0) 内是增函数) 得出f (x) 在 (0, +∞) 的图像, 如上图。∵f (x) 为奇函数, 且f (-2) =0, ∴f (2) =0。由图像可知:当-20, ∴xf (x) <0;当0

例7:设f (x) 是奇函数, g (s) 是偶函数, 且f (x) -g (x) =x2-x, 求f (x) 与g (x) 的表达式。